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专题强化练8　双曲线的综合应用
1.已知A(-4,0),B是圆C:(x-1)2+(y-4)2=1上的点,点P在双曲线-=1的右支上,则|PA|+|PB|的最小值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.9　　　　B.2+6
C.10　　　　D.12
2.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C右支上的点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于(　　)
A.192　　　　B.96
C.48　　　　D.102
3.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹方程是(　　)
A.x2+=1　　　　B.x2-=1
C.+y2=1　　　　D.-y2=1
4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,O为坐标原点,过右焦点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N,且△OMN为直角三角形,若S△OMN=,则C的方程为(　　)
A.-=1　　　　B.-=1
C.-y2=1　　　　D.-=1
5.若F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则该双曲线的离心率为(　　)
A.5　　　　B.2
C.　　　　D.
6.(多选)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且a,b,c成等比数列(c为双曲线的半焦距),点P为双曲线右支上的点,点I为△PF1F2的内心.若=+λ成立,则下列结论正确的是(　　)
A.当PF2⊥x轴时,∠PF1F2=30°
B.离心率e=
C.λ=
D.点I的横坐标为定值a
7.已知点M(0,1),点P是双曲线-y2=1上的点,点Q是点P关于原点的对称点,则·的取值范围是　　　　.
8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与圆x2+y2=a2相切于点T,且直线l与双曲线C的右支交于点P,若=3,则双曲线C的离心率为　　　　.
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t(O为坐标原点),求t的值及点D的坐标.
10.双曲线C的中心在原点O,焦点在x轴上,且焦点到其渐近线y=±2x的距离为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点P(0,2)的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,与其渐近线分别交于M,N(从左至右)两点.
(i)证明:|AM|=|BN|;
(ii)是否存在这样的直线l,使得= 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
1.C　如图所示,设双曲线的右焦点为A',易知C(1,4),由双曲线的定义知|PA|=|PA'|+2a=|PA'|+6,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10,故选C.
2.A　由题意得a=6,b=8,则c==10,则|PF2|=|F1F2|=20,由双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|+2a=20+12=32,
所以△PF1F2中PF1边上的高为=12,所以△PF1F2的面积为×32×12=192,故选A.
3.B　如图,当点P在y轴左侧时,连接ON,PF1,
则|ON|=|F2M|=1,
所以|F2M|=2.因为直线PN为线段MF1的中垂线,所以|PF1|=|PM|=|PF2|-|F2M|=|PF2|-2,所以|PF2|-|PF1|=2<|F1F2|=4.同理,当点P在y轴右侧时,|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|=4.故点P的轨迹是双曲线,其中a=1,c=2,则b2=3,所以方程为x2-=1.故选B.
4.C　如图所示,由双曲线的离心率e==,可得=,由题意可得∠MON=60°=2∠MOF,设∠OMN=90°,所以|MF|=|OM|,|ON|=2|OM|,因为S△OMN=|OM|·|ON|·sin 60°=,所以|OM|2=3,即|OM|=,所以|MF|=×=1,而焦点F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d=|MF|==b,所以b=1,a=,
所以双曲线的方程为-y2=1,故选C.
5.D　双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为bx-ay=0,∴点F2到此渐近线的距离d==b,即|PF2|=b,∴|OP|===a,cos∠PF2O=,如图所示,∵|PF1|=|OP|,∴|PF1|=a,在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2|·|F1F2|·cos∠PF2O,∴5a2=b2+4c2-2b·2c·=4c2-3b2=4c2-3(c2-a2),即2a2=c2,故e==,故选D.
6.BCD　∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,当PF2⊥x轴时,|PF2|==c=|F1F2|,此时tan∠PF1F2=,∴A错误;易得|F1F2|=2c==,整理得e2-e-1=0,∵e>1,∴e=,∴B正确;设△PF1F2的内切圆的半径为r,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又∵|F1F2|=2c,∴=|PF1|·r,=|PF2|·r,=·2c·r=cr,∵=+λ,∴|PF1|·r=|PF2|·r+λcr,
故λ====,∴C正确;如图所示,设△PF1F2的内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为M,N,T,可得|PM|=|PN|,|F1M|=|F1T|,|F2N|=|F2T|,由|PF1|-|PF2|=|F1M|-|F2N|=|F1T|-|F2T|=2a,|F1F2|=|F1T|+|F2T|=2c,可得|F2T|=c-a,可得点T的坐标为(a,0),即点I的横坐标为a,∴D正确.故选BCD.
7.答案　(-∞,-2]
解析　设点P(x0,y0),|x0|≥,则点Q(-x0,-y0),所以=(x0,y0-1),=(-x0,-y0-1),所以·=--+1,因为点P是双曲线-y2=1上的点,所以-=1,所以·=--+1=2-≤-2,故·的取值范围是(-∞,-2].
8.答案　
解析　如图,由题可知,|OF1|=|OF2|=c,|OT|=a,则|F1T|=b,
∵=3,∴|TP|=2b,|F1P|=3b,
又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=3b-2a.
作F2M∥OT,可得|F2M|=2a,|TM|=b,则|PM|=b.
在Rt△MPF2中,|PM|2+=,
即b2+(2a)2=(3b-2a)2,得2b=3a.
又∵c2=a2+b2,∴c2=a2+a2,化简可得4c2=13a2,∴双曲线的离心率为.
9.解析　(1)由题意知a=2,所以一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,所以=,又因为c2=b2+12,所以b2=3.所以双曲线的方程为-=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程与双曲线方程联立,得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12,
所以所以
由+=t,得(16,12)=(4t,3t),
所以t=4,点D的坐标为(4,3).
10.解析　(1)设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意得b=2,=2,所以a=1,
故双曲线C的标准方程为x2-=1.
(2)(i)证明:易知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,
联立(λ=0或λ=1),
消去y可得(4-k2)x2-4kx-4-4λ=0,
易知Δ>0,且k∈(-2,2),
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4).
当λ=1时,x1+x2=,即AB中点的横坐标为,
当λ=0时,x3+x4=,即MN中点的横坐标为,
故线段AB,MN的中点重合,所以|AM|=|BN|.
(ii)存在.由(i)可得,x1+x2=x3+x4=,
x1x2=,x3x4=,
所以|MN|=
=,
|AB|=
=,
又因为==,所以k=±,满足Δ>0,故存在这样的直线l,其方程为y=±x+2.
9(共22张PPT)
1.双曲线的定义
　　平面上到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨
迹叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|叫
作双曲线的焦距.
2.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点);
当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;当2a=0时,动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分
线.

3.2 双曲线
1 | 双曲线的定义
1.标准方程
当焦点在x轴上时, - =1(a>0,b>0);当焦点在y轴上时, - =1(a>0,b>0).
2.一般方程
　　双曲线的一般方程为Ax2-By2=1,其中AB>0,当A>0,B>0时,焦点在x轴上;当A<0,
B<0时,焦点在y轴上.

2 | 双曲线的方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
图形
1.双曲线的简单几何性质
3 | 双曲线的简单几何性质
性质 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a
对称性 对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线 y=± x y=± x
离心率 e= ,e∈(1,+∞) 实轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫
作双曲线的实半轴长 虚轴 线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫
作双曲线的虚半轴长 a,b,c的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
2.e= = = >1,它反映了双曲线开口的大小,e越大,开口就越大.

1.等轴双曲线
　　实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.它有如下性质:
(1)方程形式为x2-y2=λ(λ≠0);
(2)渐近线方程为y=±x,两条渐近线互相垂直;
(3)实轴长和虚轴长都等于2a,离心率e= .
2.距离
　　双曲线 - =1(a>0,b>0)右支上任意一点M到左焦点的最小距离为a+c,到右
焦点的最小距离为c-a.
3.焦半径
　　双曲线上一点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作双曲线
的焦半径,记r1=|PF1|,r2=|PF2|.
(1) - =1(a>0,b>0),若点P在右支上,则r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,则r1=-
ex0-a,r2=-ex0+a.
(2) - =1(a>0,b>0),若点P在上支上,则r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,则r1=-
ey0-a,r2=-ey0+a.
1.已知平面上一点M到两个定点F1,F2的距离之差为常数2a(a>0,2a<|F1F2|),则点M
的轨迹是双曲线吗
不是,它表示双曲线的一支.当|MF1|-|MF2|=2a时,M的轨迹为焦点为F2的这一侧的
一支;当|MF2|-|MF1|=2a时,M的轨迹为焦点为F1的这一侧的一支.
知识辨析
2.双曲线和椭圆的标准方程中,a,b,c的关系相同吗
不相同.双曲线的标准方程中,c2=a2+b2,a>0,b>0,a与b的大小关系不确定;椭圆的标
准方程中,a2=b2+c2,其中a>b>0.
3.给定一个方程Ax2+By2=1,它一定表示双曲线吗
不一定.当AB<0时表示双曲线,当A>0,B>0,且A≠B时表示椭圆,当A=B>0时表示圆.
4.双曲线的焦点到其渐近线的距离是不是定值
是.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b,此结论在解小题时可直接应用.
1.定义法
1 双曲线标准方程的求解
　　根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出标准方程.
2.待定系数法.其步骤如下:
(1)定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上,还是二者都有可能.
(2)设方程:根据焦点位置,设其方程为 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦
点位置不确定时,可设为mx2+ny2=1(mn<0).
(3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b或m,n的方程组.
(4)得方程:解方程组,将a,b或m,n的值代入所设方程即可.
3.常见双曲线方程的设法
(1)渐近线方程为y=± x的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0,m>0,n>0);如果渐近
线方程为Ax±By=0,那么双曲线方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0).
(2)与双曲线 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设
为 - =λ(λ≠0)或 - =λ(λ≠0).
(3)与双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为 - =λ(λ>0)
或 - =λ(λ>0),这是因为由离心率不能确定焦点位置.
(4)与椭圆 + =1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(b2<λ 典例　求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)以椭圆 + =1长轴的端点为焦点,且经过点(3, );
(2)过点P ,Q ,且焦点在坐标轴上;
(3)渐近线方程为y=± x,且经过点A(2,-3).
解析 (1)由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=2 .
设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=8,
由双曲线过点(3, )得 - =1,
∴a2=3,b2=5.
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.
∵点P,Q在双曲线上,
∴ 解得
故双曲线的标准方程为 - =1.
(3)解法一:当焦点在x轴上时,设标准方程为 - =1(a>0,b>0),则 = .①
∵点A(2,-3)在双曲线上,∴ - =1.②
①②联立,无解.
当焦点在y轴上时,设方程为 - =1(a>0,b>0),则 = .③
∵点A(2,-3)在双曲线上,∴ - =1.④
联立③④,可得a2=8,b2=32.
∴所求双曲线的标准方程为 - =1.
解法二:由题意可设双曲线方程为 -y2=λ(λ≠0),
∵A(2,-3)在双曲线上,∴ -(-3)2=λ,即λ=-8.
∴所求双曲线的标准方程为 - =1.
1.双曲线上的点P(不在坐标轴上)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.双曲
线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形
面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运
用.
2.焦点三角形中常用的结论
(1)设∠F1PF2=θ,则焦点三角形的面积S= =c|yP|.
(2)设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,P为双曲线右支上一点,则e= .
2 双曲线的焦点三角形
典例　设F1,F2为双曲线 - =1的左、右焦点,P为双曲线上一点,且∠F1PF2=1
20°,则△F1PF2的面积为　3　　 .
解析 由题意可得a=5,b=3,c= ,则F1(- ,0),F2( ,0),则|F1F2|2=136,||PF1|-|PF2||
=10.由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 120°= +3|PF1|
·|PF2|=100+3|PF1|·|PF2|=136,∴|PF1|·|PF2|=12,
∴△F1PF2的面积S= |PF1|·|PF2|·sin 120°= ×12× =3 .
1.焦点在x轴上和y轴上的双曲线的渐近线方程不同,注意区分.
2.双曲线的两条渐近线的斜率互为相反数.
3.渐近线与离心率的关系: = ,e= .
4.求双曲线的渐近线与离心率的关键是通过给出的几何关系建立关于参数a,c(或
a,b或b,c)的关系式,结合c2=a2+b2进行求解.
3 双曲线的渐近线和离心率
典例　已知双曲线 - =1(b>0)上任意一点P到两条渐近线的距离之积等于3,
则该双曲线的离心率等于　 (　D )
A. 　 B. 　
C. 　 D.
解析 易知双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=± x,即bx± y=0.设P(x
0,y0),则P到两条渐近线的距离之积为 · = ,
又 - =1,即b2 -5 =5b2,
所以 =3,所以b2= ,
故双曲线的离心率e= = = = ,故选D.
　　一般地,设直线l:y=kx+m(m≠0)①,双曲线C: - =1(a>0,b>0)②.把①代入②,
得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)当b2-a2k2=0,即k=± 时,直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线C相交于一
点.
(2)当b2-a2k2≠0,即k≠± 时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点;
Δ=0 直线与双曲线有一个公共点;
Δ<0 直线与双曲线没有公共点.
4 直线与双曲线的位置关系
典例 (1)已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),讨论双曲线与直线公共点的个数;
(2)若直线l:y=kx-1与双曲线C:x2-y2=1交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积
为 ,求实数k的值.
思路点拨 (1)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与双曲线方程,得一元二次方程,根据根与系数的关
系得到x1+x2,x1x2,并求出k的范围,根据△AOB的面积为 列出等式,进而求解.
解析 (1)联立 消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)
①当1-k2=0,即k=±1时,方程(*)只有一个解x= .
故k=±1时,直线与双曲线有一个公共点,此时直线l与渐近线平行.
②当1-k2≠0,即k≠±1时,易得Δ=4(4-3k2),
(i)令Δ>0,得- 解,故直线与双曲线有两个公共点.
(ii)令Δ=0,得k=± ,此时方程(*)有两个相等的解,故直线与双曲线只有一个公共
点,此时直线l与双曲线相切.
(iii)令Δ<0,得k<- 或k> ,此时方程(*)无实数解,方程组无解,故直线与双曲
线无公共点.
综上所述,当k=±1或k=± 时,直线与双曲线有一个公共点;
当- 当k<- 或k> 时,直线与双曲线无公共点.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
消去y,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0,
则x1+x2=- ,x1x2=- .
由
解得- 易知直线l恒过点(0,-1),设为D.
①当x1x2<0时,S△OAB=S△OAD+S△OBD= |x1|+ |x2|= |x1-x2|= .
②当x1x2>0时,S△OAB=|S△OAD-S△OBD|= = |x1-x2|= .
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2 )2,
即 + =8,
解得k=0或k=± .
经检验,均符合题意,
所以k=0或k=± .3.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程
基础过关练
题组一　双曲线的定义及其应用
1.已知平面上的定点F1,F2及动点M,甲:||MF1|-|MF2||=m(m为常数),乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且|PF1|=3,则|PF2|=(　　)
A.5　　　　B.1
C.3　　　　D.1或5
3.动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=1,圆C2:x2+y2-8x+7=0都外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.+y2=1　　　　B.x2-=1
C.x2-=1(x≥1)　　　　D.x2-=1(x≤-1)
4.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5.若2a=8,则△ABF2的周长是　　　　.
题组二　双曲线的标准方程
5.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7)的双曲线的标准方程是(　　)
A.-=1　　　　B.-=1
C.-=1　　　　D.-=1
6.与椭圆+y2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线的方程是(　　)
A.-y2=1　　　　B.-y2=1
C.-=1　　　　D.x2-=1
7.已知双曲线的一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是(　　)
A.-y2=1　　　　B.x2-=1
C.-=1　　　　D.-=1
8.(多选)关于x,y的方程+=1(其中m2≠4)表示的曲线可能是(　　)
A.焦点在y轴上的双曲线
B.圆心为坐标原点的圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.长轴长为2的椭圆
题组三　双曲线的综合应用
9.若椭圆+=1(m>n>0)和双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是(　　)
A.m-a2　　　　B.(m-a2)
C.m2-a2　　　　D.-
10.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线C的右支上的一点,且不在x轴上,过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|MO|=(　　)
A.随P点变化而变化　　　　
B.2
C.4　　　　
D.5
11.人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质.如图,从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2-y2=1,则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点),∠F1F2P的大小为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
12.F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,过F1的直线分别交该双曲线的左、右两支于A,B两点,若AF2⊥BF2,|AF2|=|BF2|,则|AF2|=(　　)
A.2　　　　B.2
C.4　　　　D.4
13.设F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△PF1F2的面积.
14.焦点在x轴上的双曲线过点P(4,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.
能力提升练
题组一　双曲线的定义及其应用
1.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.y2-=1(y≤-1)　 　　　　B.y2-=1
C.x2-=1(x≤-1)　　　　D.x2-=1
2.已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交双曲线右支于A,B两点,若△ABF1是等腰三角形,且∠A=120°,则△ABF1的周长为(　　)
A.+8　　　　B.4(-1)
C.+8　　　　D.2(-2)
3.已知F1,F2分别为双曲线x2-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点,点P不在x轴上,若A为△PF1F2内切圆上一动点,则当|AF1|的最大值为4时,△PF1F2的内切圆半径为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别是F1,F2,点M关于F1,F2对称的点分别是A,B,线段MN的中点在双曲线C的右支上,则|AN|-|BN|=　　　　.
题组二　双曲线的标准方程及其应用
5.如图,F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1(-,0),过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为(　　)
A.-=1　　　　B.-y2=1
C.x2-=1　　　　D.-=1
6.设P(x,y)是双曲线-=1的右支上的点,则代数式-的最小值为(　　)
A.　　　　B.2-
C.-　　　　D.+-3
7.(多选)已知点P是双曲线E:-=1的右支上一点,F1,F2分别为双曲线E的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有(　　)
A.点P的横坐标为
B.△PF1F2为锐角三角形
C.△PF1F2的周长为
D.△PF1F2的内切圆半径为
8.若P是双曲线x2-=1的右支上的一点,M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为　　　　.
9.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离;
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.
题组三　双曲线的综合应用
10.设F1,F2是双曲线C:-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C的右支上,且+=2,则△PF1F2的面积为(　　)
A.　　　　B.4
C.8　　　　D.8
11.某地发生地震,为了援救灾民,救援员在如图所示的P处收到一批救灾药品.现要把这批药品沿道路PA,PB运送到矩形灾民区ABCD中去,已知|PA|=100 km,|PB|=150 km,|BC|=60 km,∠APB=60°.试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线,并求出其方程.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　根据双曲线的定义,知乙 甲,但甲 /　乙,只有当02.A　依题意得,a=1,b=3,因此c=,易知点P只可以在双曲线的左支上,因此|PF1|-|PF2|=-2,即3-|PF2|=-2,所以|PF2|=5,故选A.
易错警示
　　已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|3.D　易知圆C1的圆心为C1(-4,0),半径 r1=1,圆C2的圆心为C2(4,0),半径 r2=3.设M(x,y),动圆M的半径为r,因为动圆M与圆C1,C2都外切,所以所以|MC2|-|MC1|=2,因为2<|C1C2|=8,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点,2a=2为实轴长的双曲线的左支,所以a=1,c=4,所以b==,即M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).故选D.
4.答案　26
解析　易知|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
∴|AF2|+|BF2|=16+5=21,
∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
5.B　设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则解得
故双曲线的标准方程为-=1.故选B.
6.A　由椭圆方程可得焦点坐标为(±,0),设与椭圆共焦点的双曲线的方程为-=1(07.B　设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),易知c=,所以b2=5-a2,所以-=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),所以点P的坐标为(,4).将(,4)代入双曲线方程,得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-=1.故选B.
8.BC　若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则m2+2<0且4-m2>0,无解,A错误;若方程表示圆心为坐标原点的圆,则m2+2=4-m2,解得m=±1,B正确;若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则4-m2<0且m2+2>0,所以m>2或m<-2,C正确;若方程表示长轴长为2的椭圆,则2a=2,则或无解,D错误.故选BC.
9.A　不妨设|PF1|>|PF2|,由椭圆与双曲线的定义可得所以
所以|PF1|·|PF2|=(+a)(-a)=m-a2.故选A.
10.C　延长F2M交PF1于Q,由题意得,直线PM是线段F2Q的中垂线,即|PQ|=|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=8,又因为线段MO是△F1F2Q的中位线,所以|MO|=|QF1|=4.
11.D　由x2-y2=1,得a=1,b=1,c=.
设|PF2|=m(m>0),则|PF1|=2+m.
所以m2+(m+2)2=(2)2,解得m=-1(m=--1舍去),
所以cos∠F1F2P===,
所以∠F1F2P=.故选D.
12.C　由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,因为|AF2|=|BF2|,所以|BF2|-|AF1|=2a,所以|BF1|-|AF1|=4a,即|AB|=4a,因为AF2⊥BF2,所以|AF2|2+=|AB|2,所以2|AF2|2=|AB|2=16a2,由-=1,得a2=2,所以2|AF2|2=|AB|2=16a2=32,解得|AF2|=4(负值舍去),故选C.
13.解析　∵F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,
∴不妨设F1(-3,0),F2(3,0),∴|F1F2|=6,
由|PF1|∶|PF2|=2∶1,可设|PF2|=x(x>0),
则|PF1|=2x.
由双曲线的定义知2x-x=2,解得x=2,
∴|PF1|=4,|PF2|=2,
∴cos∠F1PF2==,
∴sin∠F1PF2=.
∴△PF1F2的面积为×4×2×=12.
14.解析　因为双曲线的焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),两焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).
因为双曲线过点P(4,-3),所以-=1①.
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,
所以·=0,即-c2+25=0,
解得c2=25②.又因为c2=a2+b2③,
所以由①②③可解得a2=16或a2=50(舍去),
所以b2=9.故此双曲线的标准方程是-=1.
能力提升练
1.A　由题意得|AC|==13,|BC|==15,|AB|=14,因为A,B 都在椭圆上,所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14,
故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支,又因为2c=|AB|=14,2a=|AF|-|BF|=2,即c=7,a=1,所以b2=48,因此F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1).故选A.
2.A　由题意得a=2,则|AF1|-|AF2|=2a=4,|BF1|-|BF2|=2a=4,设|AF2|=m,|BF2|=n,m>0,n>0,所以|AF1|=4+m,|BF1|=4+n.因为△ABF1是等腰三角形,且∠A=120°,所以|AF1|=|AB|,即4+m=m+n,所以n=4,所以|BF1|=8,|AB|=4+m,在△ABF1中,由余弦定理得=+|AB|2-2×|AF1|×|AB|×cos A,即82=(4+m)2+(4+m)2-2×(4+m)2×,所以3(4+m)2=64,解得m=-4(负值舍去),所以△ABF1的周长为|AF1|+|AB|+|BF1|=4+m+m+4+8=8+.故选A.
3.C　易得F1(-2,0),F2(2,0).设△PF1F2的内切圆分别与PF1,PF2切于N,B,与F1F2切于M,圆心为C,如图,则|PN|=|PB|,|F1N|=|F1M|,|F2B|=|F2M|,又因为点P在双曲线右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,故|F1M|-|F2M|=2a,
设M的坐标为(x,0),则(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a=1.设内切圆半径为r,则内切圆圆心为C(1,r),则|AF1|的最大值为|CF1|+r=4,即+r=4,解得r=.故选C.
4.答案　16
解析　如图,设线段MN的中点为D.由双曲线的定义可得|DF1|-|DF2|=2a=8.易得D,F1,F2分别是线段MN,MA,MB的中点,则|AN|=2|DF1|,|BN|=2|DF2|,故|AN|-|BN|=2|DF1|-2|DF2|=4a=16.
5.C　根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,由于△ABF2为等边三角形,因此|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又因为∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,
所以双曲线的方程为x2-=1.
6.B　-=-,设A(0,1),F(3,0),则上式表示|PA|-|PF|,易知双曲线-=1的左、右焦点分别为F'(-3,0),F(3,0),实轴长2a=2,则|PF|=|PF'|-2a=|PF'|-2,则|PA|-|PF|=|PA|-|PF'|+2=-(|PF'|-|PA|)+2,因为|PF'|-|PA|≤|AF'|==,当P为F'A的延长线与双曲线右支的交点时等号成立,所以(|PA|-|PF|)min=-|AF'|+2=2-.故选B.
7.ACD　由双曲线的标准方程知a=4,b=3,c=5.对于A,设P(m,n),m>0,n>0,则=|F1F2|×n=cn=5n=20,即n=4,代入双曲线的方程中,可解得m=(负值舍去),故A正确;对于B,由P,F2(5,0),可得=>0,则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,故B错误;对于C,易求得|PF1|==,|PF2|==,则△PF1F2的周长为++10=,故C正确;对于D,如图,设△PF1F2的内心为I,内切圆半径为r,连接IP,IF1,IF2,则r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=20,可得r=40,解得r=,故D正确.故选ACD.
8.答案　6
解析　设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,由题意得a=1,b=4,c=7,∴F1(-7,0),F2(7,0),∵M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1上的点,
∴|MF1|=3,|NF2|=1,由题意知|PF1|-|PF2|=2a=2,∴|MP|≤|PF1|+|MF1|,|PN|≥|PF2|-|NF2|,∴-|PN|≤-|PF2|+|NF2|,∴|PM|-|PN|≤|PF1|-|PF2|+|NF2|+|MF1|=2+1+3=6.
9.解析　(1)由题意得a=4,c==2,如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,
∵·=0,∴MF1⊥MF2,
设|MF1|=m,|MF2|=n,
由双曲线的定义,知m-n=2a=8,
又∵m2+n2=(2c)2=80,∴(m-n)2+2mn=64+2mn=80,
∴mn=8,∴mn=|F1F2|·h=4,∴h=.
故M点到x轴的距离为.
(2)设所求双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16),
∵双曲线C过点(3,2),
∴-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),
∴所求双曲线C的方程为-=1.
10.C　由+=2,得·+·=2||,所以·(+)=·=2||,可得|OP|=2,
不妨设F1(-2,0),F2(2,0),
所以|OP|=|F1F2|,所以点P在以F1F2为直径的圆上,所以△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形,
故+==48.
又因为点P在双曲线的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a=4,所以16=(|PF1|-|PF2|)2=+-2|PF1||PF2|=48-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=16,
所以=|PF1||PF2|=8,故选C.
11.解析　灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样近.依题意知,界线是第三类点的轨迹.
设M为界线上的任意一点,
则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,
即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
因为|AB|=
=50>50,
所以界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分.
如图所示,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
易知a=25,c=25,所以b2=c2-a2=3 750,故双曲线的标准方程为-=1.
故界线的方程为-=1(25≤x≤35,0≤y≤60).
173.2.2　双曲线的简单几何性质
基础过关练
题组一　根据双曲线的标准方程研究其几何性质
1.双曲线-=1的离心率是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　B.　　C.　　D.
2.双曲线4x2+ky2=4k的虚轴长是实轴长的2倍,则实数k的值是(　　)
A.16　　B.　　C.-16　　D.-
3.(多选)已知双曲线W:-=1,则(　　)
A.m∈(-2,-1)
B.若W的顶点坐标为(0,±),则m=-3
C.W的焦点坐标为(±1,0)
D.若m=0,则W的渐近线方程为x±y=0
题组二　由双曲线的几何性质求其标准方程
4.已知双曲线的一条渐近线的方程为y=2x,且经过点(,2),则该双曲线的标准方程为(　　)
A.-y2=1　　　　B.-x2=1
C.x2-=1　　　　D.y2-=1
5.以椭圆+=1的焦点为顶点,左、右顶点为焦点的双曲线的方程为(　　)
A.-x2=1　　　　B.x2-=1
C.-=1　　　　D.-=1
6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为1,则该双曲线的方程为(　　)
A.x2-y2=　　　　B.x2-y2=1
C.x2-y2=　　　　D.x2-y2=2
7.已知双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点,且它们的离心率之和为,则双曲线C的方程是　　　　　　　.
题组三　双曲线的渐近线
8.已知椭圆+y2=1与双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率之积为2,则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x　　　　B.y=±3x
C.y=±x　　　　D.y=±2x
9.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线分别为正方形OABC的边OA,OC所在的直线(其中O为坐标原点),点B为该双曲线的一个焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.1
10.设F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若P为C左支上的一点,满足|PF1|=|F1F2|,且F1到直线PF2的距离为a,则C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x　　　　B.y=±x
C.y=±x　　　　D.y=±x
11.已知双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在双曲线C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则双曲线C的实轴长为　　　　;△PFO的面积为　　　　.
题组四　双曲线的离心率
12.已知双曲线-=1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为(　　)
A.　　　　B.2
C.或2　　　　D.
13.点P在双曲线-=1(a>0,b>0)上,F1,F2是双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长满足2|PF1|=|PF2|+|F1F2|,则此双曲线的离心率是(　　)
A.　　　　B.
C.2　　　　D.5
14.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M,若·>0,则该双曲线离心率的取值范围是(　　)
A.(1,)　　　　B.(,+∞)
C.(1,2)　　　　D.(2,+∞)
题组五　直线与双曲线的位置关系
15.若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-,-1)　　　　B.(1,)
C.(-,)　　　　D.(-1,1)
16.设离心率为e的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(　　)
A.k2-e2>1　　　　B.e2-k2>1
C.k2-e2<1　　　　D.e2-k2<1
17.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线,与双曲线交于A,B两点,则|AB|=　　　　.
18.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,一条渐近线方程为y=x.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=k(x-1)与双曲线C相交于不同的两点,求实数k的取值范围.
能力提升练
题组一　双曲线的几何性质及其应用
1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,点P在直线x=c上运动,若∠A1PA2的最大值为,则双曲线的离心率为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　B.　　C.　　D.
2.(多选)已知双曲线C过点(3,),且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是(　　)
A.C的方程为-y2=1
B.C的离心率为
C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点
D.直线x-y-1=0与C有两个公共点
3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是C的右支上一点,PF1⊥PF2,PF1与y轴交于点M,若|F1O|=2|OM|(O为坐标原点),则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x　　　　B.y=±2x
C.y=±x　　　　D.y=±3x
4.(多选)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,O为坐标原点,若=16|MA|·|MB|,则(　　)
A.双曲线C的离心率为
B.四边形AMBO的面积为a2
C.双曲线C的渐近线方程为y=±x
D.直线MA与直线MB的斜率之积为定值
5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为　　　　.
6.设双曲线C:x2-=1(b>0)的右焦点为F,点Q(0,b),已知点P在双曲线C的左支上,若△PQF的周长的最小值是8,则双曲线C的离心率是　　　　,此时,点P的坐标为　　　　.
题组二　直线与双曲线的位置关系
7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A,B两点,若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(2c,0),则双曲线C的离心率为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.2
8.设点P为双曲线E:-=1(a>0,b>0)上任意一点,双曲线E的离心率为,右焦点与椭圆G:+=1(t>0)的右焦点重合.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)过点P作双曲线两条渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于点A,B,O为坐标原点,求证:平行四边形OAPB的面积为定值,并求出此定值.
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,|PF1|,|PF2|的最小值m1,m2,且满足m1m2=3a2.
(1)求双曲线的离心率;
(2)若a=2,过点F1的直线交双曲线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点D(异于坐标原点O),求的最小值.
10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,点A为C上位于第二象限的动点.
(1)若点A的坐标为(-2,3),求双曲线C的方程;
(2)设B,F分别为双曲线C的右顶点、左焦点,是否存在常数λ,使得∠AFB=λ∠ABF 如果存在,请求出λ的值;如果不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　由双曲线-=1,得a2=4,b2=3,
∴a=2,c==,∴e==,故选C.
2.C　双曲线方程可化为+=1,易知k<0,所以双曲线的焦点在y轴上,且a2=4,b2=-k,所以2a=4,2b=2,又因为虚轴长是实轴长的2倍,所以2×4=2,解得k=-16.故选C.
3.BD　因为方程表示双曲线,所以(2+m)(1+m)>0,解得m>-1或m<-2,A错误;因为W的顶点坐标为(0,±),所以-m-1=()2,解得m=-3,B正确;当m>-1时,c2=(2+m)+(m+1)=2m+3>1,当m<-2时,c2=-(2+m)-(m+1)=-2m-3>1,C错误;当m=0时,双曲线W的标准方程为-y2=1,则渐近线方程为y=±x,即x±y=0,D正确.故选BD.
4.C　由题意可设双曲线的标准方程是x2-=k(k≠0),将(,2)代入,可得-=k,解得k=1,所以双曲线的标准方程为x2-=1.故选C.
5.B　易知椭圆+=1的焦点为(±1,0),左、右顶点分别为(-2,0),(2,0),
∴双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则a=1,c=2,∴b2=c2-a2=3,
则双曲线的标准方程为x2-=1.故选B.
6.B　由题意得a2=b2,则c==a,所以双曲线的焦点坐标为(±a,0),渐近线方程为x±y=0,
因为焦点到渐近线的距离为1,所以=1,解得a=1,则双曲线的标准方程为x2-y2=1.故选B.
7.答案　-=1
解析　因为双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点,所以双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则c==4,+=,解得a=2,所以b2=16-4=12,因此双曲线C的方程是-=1.
8.D　易得椭圆的离心率为=,故×=2,即=,则==2,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.故选D.
9.A　由题意可知双曲线的两条渐近线互相垂直,则×=-1,即a=b,故渐近线方程为y=±x,∵正方形OABC的边长为2,B为双曲线的一个焦点,∴|OB|=2,即c=2,则a2+b2=c2=8,即2a2=8,解得a=2(负值舍去),故选A.
10.C　由题意知|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF2|=2a+2c,则(2c)2=(a+c)2+(a)2,得3c2-2ac-8a2=0,3·-2·-8=0,所以=2,故a2+b2=4a2,所以=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选C.
11.答案　4;3
解析　由双曲线C的方程可知其实轴长为4,右焦点为F(2,0),又因为|PO|=|PF|,所以点P在线段OF的中垂线上,所以点P的横坐标为,易得双曲线C:-=1的渐近线方程为y=±x,所以点P的纵坐标为±,即△PFO的高为,所以△PFO的面积为×|OF|×=3.
12.A　双曲线的渐近线方程为y=±x,因为两条渐近线的夹角为,所以直线y=x的倾斜角是或,即=tan 或=tan ,解得a=或a=,又因为a>,则a=,所以c=2,所以双曲线的离心率e==.故选A.
13.D　设点P在双曲线的右支上,F1,F2分别为左、右焦点,则|PF1|-|PF2|=2a,因为|F1F2|=2c,2|PF1|=|PF2|+|F1F2|,所以|PF1|=2c-2a,|PF2|=2c-4a,因为∠F1PF2=90°,所以△F1PF2是直角三角形,所以+==4c2,所以(2c-2a)2+(2c-4a)2=4c2,即c2-6ac+5a2=0,所以e2-6e+5=0,解得e=5或e=1(舍去),所以此双曲线的离心率是5,故选D.
14.D　由题意可设过点F1(-c,0)且与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线的方程为y=x+,与另一条渐近线y=-x的交点为M,由·>0得·>0,即>3,又因为e==,所以e>2,故选D.
15.D　当直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时直线l只与双曲线的左支或右支有一个交点,
∵直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,
∴k的取值范围为(-1,1),故选D.
16.B　当直线l的斜率k不存在时,直线l只与双曲线的一支相交,不满足题意,故k存在,由直线l过右焦点F,可设直线l的方程为y=k(x-c),易求得双曲线的渐近线方程为y=±x,若直线l与双曲线C的左、右两支都相交,则|k|<,故k2<,即e2-k2>1,故选B.
规律总结
　　解决直线与双曲线的交点问题,可先把双曲线的渐近线与直线进行对比,然后把问题转化成渐近线的斜率与直线斜率之间的大小关系求解.
17.答案　3
解析　依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=(x+2).
由得8x2-4x-13=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=-,
所以|AB|=
=
=3.
18.解析　(1)由条件可知所以所以双曲线C的方程为-=1.
(2)联立消去y,得(3-4k2)x2+8k2x-4k2-12=0,
因为l与双曲线交于不同的两点,
所以
解得-1故k的取值范围为∪∪.
能力提升练
1.A　设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,∠F2PA1=α,∠F2PA2=β,则∠A1PA2=α-β.依题意不妨设点P在第一象限,坐标为(c,t)(t>0),则tan α=,tan β=,所以tan(α-β)===.因为t>0,所以t+≥2b,当且仅当t=b时等号成立,则tan(α-β)≤.因为∠A1PA2的最大值为,所以=,即a=b,则c2=a2+b2=4b2,所以c=2b,故e==,故选A.
2.AC　由题意可设双曲线的方程为-y2=λ(λ>0),把(3,)代入,得-2=λ,即λ=1,∴双曲线C的方程为-y2=1,故A正确;由a2=3,b2=1,得c==2,∴双曲线C的离心率为=,故B错误;令x-2=0,得x=2,则ex-2-1=0,故曲线y=ex-2-1过定点(2,0),故C正确;双曲线的渐近线方程为x±y=0,因为直线x-y-1=0与双曲线的一条渐近线平行,所以直线x-y-1=0与C有1个公共点,故D不正确.故选AC.
3.B　易得F1(-c,0),F2(c,0),因为PF1⊥PF2,所以∠F1PF2=90°,因为∠F1OM=90°,∠MF1O=∠F2F1P,所以△MOF1∽△F2PF1,故==2,所以|PF1|=2|PF2|,因为|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a,|PF1|=4a,在Rt△PF2F1中,由勾股定理可得+=,即16a2+4a2=4c2,可得5a2=c2,所以b2=c2-a2=4a2,故=4,即=2,所以渐近线方程为y=±x=±2x.
4.ABD　设M(x0,y0),则-=1,即b2-a2=a2b2,且双曲线C的两条渐近线的方程分别为bx+ay=0和bx-ay=0,不妨设点A在直线bx+ay=0上,于是得|MA|=,|MB|=,从而得(2c)2=16··=16·=,即c2=2ab,即a2+b2-2ab=0,所以a=b,所以c=a,故双曲线的离心率e==,A正确;双曲线的渐近线方程为x±y=0,即两条渐近线互相垂直,四边形AMBO为矩形,其面积为|MA|·|MB|=·(2c)2=c2=a2,B正确,C不正确;因为直线MA⊥MB,且两直线都不垂直于坐标轴,所以直线MA与直线MB的斜率之积为-1,D正确.故选ABD.
5.答案　-=1
解析　如图,直线CD是双曲线的一条渐近线,其方程为y=x,即bx-ay=0,且F(c,0),AC⊥CD,BD⊥CD,故四边形ACDB是梯形,作EF⊥CD,垂足为E,因为F是AB的中点,所以|EF|==3,又因为|EF|==b,所以b=3,因为双曲线的离心率为2,所以=2,即=4,解得a=(负值舍去),则双曲线的方程为-=1.
6.答案　;
解析　如图,设D为双曲线C的左焦点,连接PD,QD,则|QD|=|QF|,|PF|=|PD|+2,设△PQF的周长为l,则l=|PQ|+|PF|+|QF|=|PQ|+|PD|+|QD|+2,因为|PQ|+|PD|≥|QD|=,所以△PQF的周长l≥2+2,因为△PQF的周长的最小值是8,所以2+2=8,即c2+b2=9,即1+b2+b2=9,所以b=2,所以c=,所以双曲线C的离心率e==,其方程为x2-=1.当△PQF的周长取最小值时,点P在直线QD上,易得Q(0,2),D(-,0),所以直线QD的方程为y=x+2,联立解得或(舍去),
故点P的坐标为.
7.D　设线段AB的中点坐标为(x0,y0),则有解得设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,又因为点A,B在双曲线C上,所以-=1,-=1,两式相减,得-=0,可得-·1=0,即=,即b2=3a2,∴c=2a,∴e=2.故选D.
8.解析　(1)由题意可得则
所以双曲线E的标准方程为x2-=1.
(2)易求得双曲线渐近线方程为y=±x.设点P坐标为(x0,y0),过点P且与两条渐近线平行的直线分别为l1,l2,A在l1上,且l1的斜率为,则l1,l2的方程分别为y-y0=(x-x0),y-y0=-(x-x0),
联立
则A,联立
则B,
又因为渐近线方程为y=±x,所以sin∠AOB=,
所以=|OA|2×|OB|2×sin2∠AOB
=··=,
又因为点P在双曲线上,所以-=1,即2-=2,
所以=,即平行四边形OAPB的面积为定值,且此定值为.
9.解析　(1)由题意知F1(-c,0),F2(c,0).
由双曲线的性质知m1=c+a,m2=c-a,
∴m1m2=c2-a2=3a2,∴c=2a,
故双曲线的离心率e==2.
(2)当a=2时,c=-a2=12.
∴双曲线的方程为-=1,F1(-4,0).
由题知直线AB的斜率存在,设为k,则k≠±,直线AB的方程为y=k(x+4).
联立消去y并整理,得(3-k2)x2-8k2x-16k2-12=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
∴|AB|=
=
=.
又∵线段AB的中点的坐标为,
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-=-.令x=0,得y= ,
∴D点的坐标为,∴|OD|=,
∴===≥,
当且仅当|k|=1,即k=±1时等号成立,
∴的最小值为.
10.解析　(1)因为离心率e==2,所以c=2a,
又因为b2=c2-a2=3a2,所以双曲线C的方程为-=1,把(-2,3)代入双曲线方程,得-=1,解得a2=1,故双曲线C的方程为x2-=1.
(2)存在.由(1)知双曲线C的方程为-=1,
故B(a,0),F(-2a,0).
①当直线AF的斜率不存在时,∠AFB=90°,|FB|=3a,|AF|==3a,所以∠ABF=45°,此时λ=2.
②当直线AF的斜率存在时,设∠AFB=α,∠ABF=β,A(x0,y0),其中x0<-a,y0>0,
因为e=2,所以c=2a,b=a,故双曲线C的渐近线方程为y=±x,
所以α∈,β∈,
又因为tan α=,tan β=-,
所以tan 2β==
==
==,
所以tan α=tan 2β,
又因为α,2β∈,所以α=2β.
综上,存在常数λ=2满足∠AFB=2∠ABF.
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