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3.3　抛物线
3.3.1　抛物线的标准方程
基础过关练
题组一　抛物线的定义及其应用
1.动圆M 经过双曲线x2-=1的左焦点F且与直线x=2相切,则圆心M的轨迹方程是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y2=8x　　　　B.y2=-8x
C.y2=4x　　　　D.y2=-4x
2.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=(　　)
A.1　　B.2　　C.4　　D.8
3.设O为坐标原点,F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,若|PF|=6,则△POF的面积为(　　)
A.2　　B.4　　C.4　　D.4
题组二　抛物线的标准方程和准线方程
4.设抛物线C:y2=2px(p>0)的准线被圆E:x2+y2-8y=0所截得的弦长为4,则抛物线C的方程为(　　)
A.y2=12x　　　　B.y2=8x
C.y2=4x　　　　D.y2=x
5.已知抛物线C1的顶点在坐标原点,焦点F在y轴正半轴上.若点F到双曲线C2:-=1的一条渐近线的距离为2,则C1的标准方程是(　　)
A.y2=x　　　　B.y2=x
C.x2=8y　　　　D.x2=16y
6.抛物线x2=ay(a>0)的焦点到准线的距离为,则a的值为　　　　.
7.已知抛物线y2=8x的焦点为F,准线与x轴交于点E,A是抛物线上一点,AE⊥AF,则|AF|=　　　　.
题组三　抛物线的综合应用
8.若椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx(b>0)的焦点F分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
中国古代的桥梁建筑有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.如图是一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.若水面下降1 m,则水面的宽度为(　　)
A.2 m　　　　B.4 m
C.4 m　　　　D.12 m
10.已知点P是抛物线y2=4x上一点,设点P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是(　　)
A.5　　　　B.4
C. 　　　　D.
11.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三个不同的点,若++=0,则||+||+||=　　　　.
能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　抛物线的定义及其应用
1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于点P,且=2,|BF|=2,则p=(　　)
A.3　　B.2　　C.4　　D.6
2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上在第一象限的一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|=　　　　.
3.已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物线于点B,过点B作l的垂线,垂足为M.若AM⊥MF,则三角形AFM的面积为　　　　.
题组二　抛物线的准线方程和标准方程
4.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在x轴正半轴上,点M为圆O:x2+y2=12与C的一个交点,且|MF|=3,则C的标准方程是(　　)
A.y2=2x　　　　B.y2=3x
C.y2=4x　　　　D.y2=6x
5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点T在C上,且|FT|=,若点M的坐标为(0,1),且MF⊥MT,则C的方程为(　　)
A.y2=2x或y2=8x
B.y2=x或y2=8x
C.y2=2x或y2=4x
D.y2=x或y2=4x
题组三　抛物线的综合应用
6.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线,垂足为N,则的最大值为(　　)
A.2　　　　B.
C.1　　　　D.
7.(多选)设抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,点M为C上一动点,E(3,1)为定点,则下列结论正确的是(　　)
A.准线l的方程是x=-2
B.|ME|-|MF|的最大值为2
C.|ME|+|MF|的最小值为5
D.以线段MF为直径的圆与y轴相切
8.汽车前照灯的反射镜为一个抛物面,它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成.通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成,其中灯泡位于抛物面的焦点上,由灯泡发出的光经反射镜反射后形成平行光束,再经过透镜的折射等作用达到照亮路面的效果.如图,从灯泡发出的光线FP经抛物线y2=2px(p>0)反射后,沿PN平行射出,∠FPN的平分线PM交x轴于点M,直线PM的方程为2x+y-12=0,则抛物线的方程为　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　易知F(-2,0),由题意知圆心M到点F(-2,0)的距离和到直线x=2的距离相等,由抛物线的定义知M的轨迹是焦点为F,准线方程为x=2的抛物线,其方程为y2=-8x.故选B.
2.A　由抛物线C:y2=x可得p=,∴|AF|=x0=x0+=x0+,解得x0=1.
3.B　由题意知F(0,2),准线方程为y=-2.设P(x0,y0),则|PF|=y0+2=6,解得y0=4,代入抛物线方程得x0=±4,故S△POF=|OF||x0|=×2×4=4,故选B.
4.B　由题意得,准线方程为x=-,圆心E(0,4),半径r=4,则42=+,所以p=4,所以抛物线C的标准方程为y2=8x.
5.D　双曲线C2的渐近线方程是-=0,
即y=±x.该抛物线C1的标准方程为x2=2py(p>0),则F.因为抛物线C1的焦点F(p>0)到渐近线x-y=0的距离为2,所以=2,即p=8,所以C1的标准方程是x2=16y,故选D.
6.答案　5
解析　抛物线x2=ay(a>0)的焦点为,准线方程为y=-,则+=,解得a=5.
7.答案　2-2
解析　易知|EF|=4.设A(x0,y0).因为AE⊥AF,所以点A在以原点为圆心,2为半径的圆上,即+=4,又因为A是抛物线上一点,所以=8x0,所以由解得x0=2-4(负值舍去),由抛物线的定义得|AF|=x0+2=2-2.
8.D　由题意得椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),抛物线y2=2bx(b>0)的焦点为F,则=,解得c=2b,又因为a2=b2+c2,所以5c2=4a2,
所以e====.故选D.
9.B　以拱桥顶点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设拱桥所在抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由题意知,抛物线过点A(-4,-2),将点A的坐标(-4,-2)代入抛物线方程,得p=4,所以抛物线的标准方程为x2=-8y,水面下降1 m,即y=-3,代入抛物线方程,解得x1=2,x2=-2,所以此时水面的宽度d=2x1=4 m.故选B.
10.C　设抛物线y2=4x的焦点为F,则F(1,0),由题意得d1=|PF|,则d1+d2的最小值即为F到直线x+2y-12=0的距离,则==,故选C.
11.答案　6
解析　易知F(1,0),因为++=0,所以点F为△ABC的重心,设A,B,C三点的横坐标分别为xA,xB,xC,xA≥0,xB≥0,xC≥0,则=1,故||+||+||=xA+1+xB+1+xC+1=6.
能力提升练
1.A　如图,设准线为l,l与x轴的交点为H,过点A作AE⊥l于点E,过点B作BC⊥l于点C.∵=2,
∴F是PA的中点,∴|AE|=|AF|=|PF|=|PA|.在Rt△PEA中,∵sin∠EPA==,∴∠EPA=30°,即∠HPF=30°.在Rt△PHF中,|HF|=p,∴|PF|=2p,∵△PCB∽△PHF,且|BC|=|BF|=2,∴=,即=,解得p=3.故选A.
2.答案　2
解析　如图所示,连接MF,QF,设准线与x轴交于点H,由题意得|FH|=2,|PF|=|PQ|.
∵M,N分别为PQ,PF的中点,∴MN∥QF.
∵PQ垂直l于点Q,∴PQ∥OR,∴四边形FRMQ为平行四边形,
∴|FR|=|QM|,∠PQF=∠NRF=60°,又∵|PQ|=|PF|,∴△PQF为等边三角形,∴FM⊥PQ,则四边形HFMQ为矩形,
∴|QM|=|FH|=2,
∴|FR|=|QM|=2.
3.答案　
解析　如图所示.
由抛物线的定义可知|BF|=|BM|,F,
又∵AM⊥MF,∴B为线段AF的中点,∴B,
把代入抛物线方程得1=2p×,解得p=(负值舍去),∴B,
∴S△AFM=2S△BFM=2××1×=.
4.C　设抛物线的方程为y2=2px(p>0),连接MO,则|MO|=2,过M作MM1垂直于准线于M1,交y轴于M2, 因为|MF|=3=xM+,所以|M2M|=xM=3-,所以|M2O|=yM==,在Rt△OMM2中,+=|MO|2,即6p-p2+=12,所以p=2,所以C的标准方程为y2=4x,故选C.
5.A　设T(x0,y0),则=(x0,y0-1),因为F,所以=.因为MF⊥MT,所以·=0,即x0-y0+1=0,与=2px0联立,消去x0并整理,可得-4y0+4=0,所以y0=2,故T,又因为|FT|=x0+=,所以-=,即p2-5p+4=0,解得p=1或p=4,所以C的方程为y2=2x或y2=8x.故选A.
6.D　如图,设|AF|=a,|BF|=b,分别过A,B作准线的垂线,垂足为Q,P,
由抛物线的定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.
在梯形ABPQ中,|MN|==.由余弦定理,得|AB|2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab≥(a+b)2-(a+b)2=(a+b)2,当且仅当a=b时等号成立,所以|AB|≥(a+b),所以≤=,即的最大值为.故选D.
7.ACD　由题意得p=4,则焦点F(2,0),准线l的方程是x=-=-2,A正确;|ME|-|MF|≤|EF|==,当点M在线段EF的延长线上时等号成立,所以|ME|-|MF|的最大值为,B错误;如图所示,过点M,E分别作准线l的垂线,垂足分别为A,B,则|ME|+|MF|=|ME|+|MA|≥|EB|=5,当点M在线段EB上时等号成立,所以|ME|+|MF|的最小值为5,C正确;设点M(x0,y0),线段MF的中点为D,则xD==,所以以线段MF为直径的圆与y轴相切,D正确.故选ACD.
8.答案　y2=4x
解析　设P,因为点P在直线PM上,所以+y0=12①,又因为PN∥FM,所以∠PMF=∠NPM,又因为PM平分∠FPN,所以∠FPM=∠NPM,所以∠PMF=∠FPM,所以|PF|=|MF|.易知M(6,0),F,所以|MF|=6-,又因为|PF|=+,所以6-=+②,由①②可得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
11(共22张PPT)
3.3　抛物线
1 | 抛物线的定义
　　我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)距离相等的点的轨迹叫作
抛物线,点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.
1.抛物线的简单几何性质
2 | 抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
简图
焦点坐标
顶点坐标 (0,0) 准线方程 x=- x= y=- y=
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
离心率 e=1 2.p是抛物线的焦点到准线的距离,p值永远大于0,p越大,开口越大.

1.焦点弦的概念
　　过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段,称为抛物线的焦点弦.
2.通径
　　过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦,称为抛物线的
通径,抛物线的通径长为2p,是所有焦点弦中最短的弦.
3.有关抛物线焦点弦的性质
　　如图,已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y
2),AA',BB'均垂直于准线,直线AB的倾斜角为θ,则有
(1)|AB|=x1+x2+p= ;
(2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2;
(3)|AF|= ,|BF|= ;
(4) + = ;
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切;
(6)以AB为直径的圆与准线相切;
(7)A,O,B'共线,A',O,B共线;
(8)∠A'FB'=90°;
(9)S△AOB= ;
(10)抛物线在A,B处的切线互相垂直且交点在准线上.
1.平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹一定是抛物线吗
不一定.若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
2.抛物线的离心率e越大,抛物线的开口越大吗
不是.抛物线的离心率e为定值1,它对抛物线的形状无影响.
3.“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的充要条件吗
不是.当直线与抛物线有一个交点时,直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称
轴平行(或重合);当直线与抛物线相切时,直线与抛物线有一个交点,故为必要不
充分条件.
知识辨析
1 抛物线标准方程的求解
1.定义法
　　先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义,再根据定义求出方程.
2.待定系数法.其步骤如下:
　　当抛物线的位置没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可
以减少讨论不同情况的次数.
典例　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.
(1)准线方程为y= ;
(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5;
(3)经过点(-3,-1).
解析 (1)由题意可得抛物线的准线与y轴正半轴相交,故设所求抛物线的标准方
程为x2=-2py(p>0),则 = ,解得p= ,
故所求抛物线的标准方程为x2=- y.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设所求抛物线的方程为x2=2my(m≠0),
由焦点到准线的距离为5,可得|m|=5,即m=±5,
所以满足条件的抛物线有两条,标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.
(3)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=-
2p2y(p2>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0),则由(-1)2=-2p1×(-3),解得p1= ;
若抛物线的标准方程为x2=-2p2y(p2>0),则由(-3)2=-2p2×(-1),解得p2= .
故所求抛物线的标准方程为y2=- x或x2=-9y.
　　抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点的距离及与准线的距离的
转化,通过转化可以求最值、参数、距离.
2 抛物线定义的应用
典例 (1)已知点P是抛物线y2=-2x上的动点,则点P到点M(0,2)的距离与点P到该
抛物线准线的距离之和的最小值为 (　 )
A. 　 B.3　
C. 　 D.
(2)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹
方程为　x2=-12y　 .
思路点拨 (1)求|PM|与P到准线的距离之和的最小值,即求|PM|+|PF|的最小值.
(2)将条件转化为抛物线的定义,利用定义解决问题.
A
解析 (1)如图所示,

由抛物线的定义知,点P到准线x= 的距离|PD|等于点P到焦点F 的距离|PF
|,因此点P到点M(0,2)的距离与点P到准线x= 的距离之和等于点P到点M(0,2)的
距离与点P到点F 的距离之和,其最小值为点M(0,2)到点F 的距离(当
点P位于P'的位置时),即最小值为 = .
(2)设动圆圆心M(x,y),由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.
由抛物线的定义可知,动圆圆心M的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的抛物线,
其方程为x2=-12y.
　　解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的性质,并灵活运用.这些
性质一般是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的,但在实际应用中,有些抛物
线的方程可能不是这种形式,这时相关结论会随之变化,不能盲目套用.
3 抛物线的焦点弦问题
典例　已知抛物线y2=4x,经过其焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于
M,N两点,且|MF|=3|NF|,则k=　　　 .
解析 解法一:分别过M,N两点作准线的垂线,垂足分别为P,Q,过N向PM作垂线,垂
足为S,设|NF|=m(m>0),则|MF|=3m.由抛物线的定义得|MP|=3m,|NQ|=m,所以|MS|=2
m,|MN|=m+3m=4m,则sin∠MNS= = ,即∠MNS= ,故直线l的倾斜角为 ,所
以k=tan = .
解法二:设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ ,
由于|MF|= ,|NF|= ,
且|MF|=3|NF|,所以 = ,
解得cos θ= ,所以θ= ,
所以k=tan θ= .
解法三:抛物线y2=4x中,p=2,
所以 + = =1,
又因为|MF|=3|NF|,
所以|MF|=4,|NF|= ,于是|MN|= .
设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ ,
所以 = ,解得sin θ= (负值舍去),
所以θ= ,故k=tan θ= .
　　研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方
法类似,一般是联立直线与抛物线的方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等
问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.
4 直线与抛物线的位置关系
典例　已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为
3.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)过(-1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=-4于点E,直线BF交直线
x=-1于点D,是否存在这样的直线l,使得DE∥AF 若存在,求出直线l的方程;若不存
在,请说明理由.
思路点拨 (1)根据抛物线的定义可以得到关于p的关系式,进而求解.
(2)从DE∥AF出发,我们可以从两个角度展开求解,思路一:利用斜率相等;思路二:
由平行得到比例关系,进而求解.
解析 (1)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,
所以根据抛物线的定义可得1+ =3,解得p=4,
所以y2=8x,
所以准线方程为x=-2.
(2)存在.
显然直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
联立 消去y,得k2x2+(2k2-8)x+k2=0.
由Δ=(2k2-8)2-4k4>0,解得- 所以- 由根与系数的关系得x1+x2= ,x1x2=1.

解法一:直线BF的方程为y= (x-2).
因为xD=-1,所以yD= ,
所以D .
因为DE∥AF,
所以直线DE与直线AF的斜率相等.
又E(-4,-3k),所以 = ,
整理得k= + ,
即k= + ,
化简得1= + ,
即1= ,即x1+x2=7.
所以 =7,整理得k2= ,解得k=± .经检验,k=± 符合题意.
所以存在满足题意的直线l,直线l的方程为y= (x+1)或y=- (x+1).
解法二:因为DE∥AF,
所以 = ,
所以 = ,
整理得x1x2+x1+x2=8,即 =7,
整理得k2= ,解得k=± .
经检验,k=± 符合题意.
所以存在满足题意的直线l,直线l的方程为y= (x+1)或y=- (x+1).3.3.2　抛物线的简单几何性质
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　抛物线的几何性质
1.若点P在抛物线x2=-12y上,且P到抛物线准线的距离为d,则d的取值范围是(　　)
A.[6,+∞)　　　　B.[3,+∞)
C.(6,+∞)　　　　D.(3,+∞)
2.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,且OA⊥OB,则△AOB的面积是(　　)
A.8p2　　　　B.4p2
C.2p2　　　　D.p2
3.顶点在原点,对称轴为y轴且经过点(4,1)的抛物线,其准线与对称轴的交点坐标是　　　　.
4.已知点A(0,5),过抛物线x2=12y上一点P作直线y=-3的垂线,垂足为B,若|PB|=|PA|,则|PB|=　　　　.
题组二　直线与抛物线的位置关系
5.过点P(2,2)作抛物线y2=4x的弦AB,若弦AB恰好被P平分,则弦AB所在的直线方程是(　　)
A.x-y=0　　　　B.2x-y-2=0
C.x+y-4=0　　　　D.x+2y-6=0
6.过抛物线y2=4x上的一点A(3,y0)(y0>0)作其准线的垂线,垂足为B,抛物线的焦点为F,直线BF在x轴下方交抛物线于点E,则|FE|=(　　)
A.1　　　　B.
C.3　　　　D.4
7.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线分别交抛物线于A,B两点,若|AF|=4,|BF|=1,则p=(　　)
A.　　　　B.2
C.　　　　D.1
8.若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有(　　)
A.1条　　　　B.2条
C.3条　　　　D.4条
9.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点,O是坐标原点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
10.在平面直角坐标系中,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线x2-=1的渐近线的距离为.
(1)求该抛物线的方程;
(2)设抛物线的准线与x轴交于点M,过M作斜率为k的直线l与抛物线交于A,B两点,弦AB的中点为P,AB的中垂线交x轴于点N,求点N横坐标的取值范围.
题组三　抛物线的综合应用
11.下列图形中,可能是方程ax+by2=0和ax2+by2=1(a≠0且b≠0)图形的是(　　)
12.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是东方之门的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线形,如图1,两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户,两窗户的水平距离为30 m,如图2,则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为(　　)
A.180 m　　　　B.200 m
C.220 m　　　　D.240 m
13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F的直线与抛物线C交于点A,B,与l交于点D,若=4,|AF|=4,则p=(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.6
能力提升练
题组一　抛物线的几何性质
1.(多选)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为且经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线l交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.p=2　　　 　B.F为AD的中点
C.|BD|=2|BF|　　　　D.|BF|=2
2.已知拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,C的准线l与x轴相交于点B,A为C上的一点,直线AO与直线l相交于点E,若∠BOE=∠BEF,|AF|=6,则C的标准方程为　　　　.
3.已知抛物线x2=8y的焦点为F,准线为l,点P是l上一点,过点P作PF的垂线交x轴的正半轴于点A,AF交抛物线于点B,PB与y轴平行,则|FA|=　　　　.
题组二　直线与抛物线的位置关系
4.已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0),则斜率k的取值范围是(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(-∞,1]
C.(1,+∞)　　　　D.[1,+∞)
5.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点F为抛物线的焦点,点P在抛物线上,且满足|PA|=m|PF|,则m的最大值是(　　)
A.1　　B.　　C.2　　D.4
6.(多选)过抛物线x2=6y的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则(　　)
A.以线段AB为直径的圆与直线y=-相切
B.以线段BM为直径的圆与y轴相切
C.当=2时,||=
D.|AB|的最小值为6
题组三　抛物线的综合应用
7.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B(O为坐标原点),若△OAB的垂心为抛物线C2的焦点,则双曲线C1的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
8.扎花灯是中国的一门传统手艺,逢年过节常常可以在大街小巷看到各式各样的花灯.现有一个花灯,它的外围轮廓是由两段形状完全相同的抛物线绕着它们共同的对称轴旋转而来的(纵截面如图),花灯的下顶点为A,上顶点为B,AB=8分米,在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡,球心C在轴AB上,且AC=2分米,若球形灯泡的球心C到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点A处取得,建立适当的坐标系可得以A为顶点的抛物线方程为y=ax2(a>0),则实数a的取值范围是　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　由已知得2p=12,所以=3,因此d的取值范围是[3,+∞).
2.B　不妨设点A在x轴上方,由抛物线的对称性及OA⊥OB,可知kOA=1,故直线OA的方程为y=x,则A(2p,2p),B(2p,-2p),故=×2p×4p=4p2.
3.答案　(0,-4)
解析　依题意设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则有42=2p,即p=8,则抛物线的准线方程为y=-4,准线与对称轴的交点坐标是(0,-4).
4.答案　7
解析　由题意得,焦点为F(0,3),准线方程为y=-3,由抛物线的定义可得|PB|=|PF|,
又∵|PB|=|PA|,
∴|PA|=|PF|,即△PAF是等腰三角形,∵A(0,5),F(0,3),∴yP==4,∴|PB|=yP+3=4+3=7.
5.A　易知弦AB所在的直线斜率存在,且不为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直线的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+2-2k,由消去y并整理,得k2x2+[2k(2-2k)-4]x+(2-2k)2=0,则x1+x2=-,∵P为弦AB的中点,
∴-=4,解得k=1.∴所求的直线方程为y=x.故选A.
6.D　如图,将(3,y0)(y0>0)代入y2=4x,得y0=2,则B(-1,2),又因为F(1,0),所以直线BF的方程为y=-x+,与y2=4x联立并消去y,得3x2-10x+3=0,
解得x=3或x=,因为点E在x轴下方,所以xE=3,所以|FE|=xE+1=4,故选D.
7.C　由题意可知直线AB的斜率存在,设为k,则其方程为y=k,由消去y可得k2x2-(k2+2)px+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令x1>x2>0,则x1x2=,x1+=4,x2+=1,所以=,解得p=.故选C.
8.C　当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0与抛物线y2=2x有且只有一个交点;当直线l的斜率为0时,直线l:y=2与抛物线y2=2x有且只有一个交点;当直线l的斜率存在且不为0时,若直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,则直线与抛物线相切,设直线方程为y=kx+2(k≠0),代入抛物线方程 y2=2x,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,则Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,即直线的方程为y=x+2.
综上,满足条件的直线l共有3条,故选C.
9.解析　(1)证明:当k=0时,直线与抛物线仅有一个交点,不符合题意,∴k≠0.
由y=k(x+1),y2=-x消去x并整理,得y2+y-1=0.
设A(-,y1),B(-,y2),
则y1+y2=-,y1y2=-1,
∴kOA·kOB=·==-1,∴OA⊥OB.
(2)设直线AB与x轴交于点E,
则E(-1,0),∴|OE|=1,
∴S△OAB=|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|==,解得k=±.
10.解析　(1)易知F,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,则F到渐近线的距离d==,解得p=2.
∴抛物线的方程为y2=4x.
(2)由(1)知M(-1,0),则直线l的方程为y=k(x+1),k≠0.
联立得k2x2+2(k2-2)x+k2=0.
则Δ=4(k2-2)2-4k4>0,所以0设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),N(x0,0),
则x3==-,y3=k=.
∴直线PN的方程为y=-+,
令y=0,得x0=1+.
又∵k2∈(0,1),∴x0>3.
∴点N横坐标的取值范围为(3,+∞).
11.D　方程ax+by2=0化为标准方程为y2=-x,则抛物线的焦点在x轴上,故B错误;若方程ax2+by2=1表示椭圆,则a>0,b>0,则-<0,抛物线应开口向左,故A错误;若方程ax2+by2=1表示焦点在y轴上的双曲线,则a<0,b>0,则->0,则抛物线应开口向右,故C错误,D正确.
12.B　建立平面直角坐标系,如图所示,
设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),D(15,t)(t<0),则点B(30,-150+t),
由B,D在抛物线上,
得解得
所以抛物线顶端O到连桥AB的距离为150+50=200(m),故选B.
13.B　如图所示,过点A作AN⊥l于点N,过点B作BM⊥l于点M,则|AF|=|AN|,|BM|=|BF|,
又因为=4,即|DB|=4|BF|=4|BM|,所以cos∠DBM==,所以cos∠FAN=,过点F作FH⊥AN于点H,则cos∠FAN==,由|AF|=4可得|AH|=1,又因为|AN|=|AF|=4,所以|NH|=4-1=3,
所以点F到准线l的距离为3,由抛物线的定义可得p=3.
能力提升练
1.ABC　设准线l与x轴交于点N.如图所示,过点A作AC⊥l于点C,AM⊥x轴于点M,过点B作BE⊥l于点E.因为直线的斜率为,所以tan∠AFM=,∠AFM=,又因为|AF|=4,所以|MF|=2,|AM|=2,所以A,将点A的坐标代入抛物线方程可求得p=2,所以|NF|=|FM|=2,故△AMF≌△DNF,故F为AD的中点,又因为∠BDE=,所以|BD|=2|BE|=2|BF|,|BD|+|BF|=|DF|=|AF|=4,故|BF|=.故选ABC.
2.答案　y2=8x
解析　∵∠BOE=∠BEF,∠OBE=∠EBF=90°,
∴△OBE∽△EBF,∴=,即|BE|2=|OB|·|BF|=·p=,∴|BE|=p,
∴tan∠BOE==,不妨令点A在第一象限,则直线AO的方程为y=x,
联立得即A(p,p),所以|AF|=p+==6,解得p=4,所以C的标准方程为y2=8x.
3.答案　6
解析　由题意得焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,设P(m,-2)(m>0),∴kPF==-.
∵PF⊥PA,∴kPA=,∴直线PA的方程为y+2=(x-m),令y=0,解得x=+m,即A,
∵PB与y轴平行,且B点在抛物线上,
∴可设B,∵F,A,B三点共线,∴=,
即m4+8m2-128=0,解得m=2或m=-2(舍去),
∴A(4,0),∴|FA|==6.
4.C　设直线l的方程为y=kx+b, A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,并整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,∴Δ=(2kb-4)2-4k2b2>0,且x1+x2=,x1x2=,∴kb<1,y1+y2=k(x1+x2)+2b=.∵线段AB的中点为M(1,m)(m>0),∴x1+x2==2,y1+y2==2m,∴b=,m=,∵m>0,∴k>0,又∵kb<1,∴2-k2<1,∴k>1.故选C.
5.B　由抛物线x2=4y可得准线方程为y=-1,故A(0,-1).如图,不妨设点P在第一象限或为原点,过P作准线y=-1的垂线,垂足为E,则|PE|=|PF|,故===sin∠PAE.
当直线AP与抛物线相切时,∠PAE最小,而当点P的位置变化时,0<∠PAE≤,当∠PAE=时,点P与点O重合,此时m=1;当0<∠PAE<时,设直线AP:y=kx-1,由得x2-4kx+4=0,令Δ=16k2-16=0,得k=1或k=-1(舍去),所以直线AP与抛物线相切时,∠PAE=,故的最小值为,即m的最大值为,故选B.
6.ACD　由抛物线方程知F,准线方程为y=-,由题意可知,直线AB的斜率存在,可设AB:y=kx+,设A(x1,y1),B(x2,y2).对于A,易知|AB|=y1+y2+3,∵M为AB的中点,∴点M到准线y=-的距离d=+=,∴以线段AB为直径的圆与直线y=-相切,A正确;对于B,由得x2-6kx-9=0,则Δ=36k2+36>0,∴x1+x2=6k,x1x2=-9,∴y1+y2=k(x1+x2)+3=6k2+3,
∴M,设BM的中点为N,则xN=,
|BM|=|AB|==,∵=不恒成立,∴以线段BM为直径的圆与y轴未必相切,B错误;对于C,若=2,则x1=-2x2,不妨设x1<0,x2>0,∵x1x2=-9,∴x2=,x1=-3,则A(-3,3),B,∴||=3++3=,C正确;对于D,∵|AB|=y1+y2+3=6k2+6,∴当k=0时,|AB|min=6,D正确.故选ACD.
7.A　抛物线的焦点F的坐标为,设OA所在的直线方程为y=x,则OB所在的直线方程为y=-x,解方程组得则点A的坐标为.∵F是△OAB的垂心,
∴kOB·kAF=-1,∴-·=-1,即=,
∴e2==1+=,∴e=,故选A.
8.答案　
信息提取　①花灯的截面是两段抛物线;②在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡,球心C在轴AB上.
数学建模　建立平面直角坐标系,利用抛物线的方程y=ax2(a>0)设出抛物线上的动点P(m,am2),构造函数|PC|2=m2+(am2-2)2=a2m4+(1-4a)m2+4,将问题转化为不等式a2t2+(1-4a)t+4≥4对任意的t≥0恒成立,从而求得a的范围.
解析　由题意,以A为原点,AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示:
则A(0,0),C(0,2),由抛物线方程为y=ax2(a>0),设抛物线上任意一点P(m,am2),
则|PC|2=m2+(am2-2)2=a2m4+(1-4a)m2+4.
由于|PC|的最小值是在P位于A(0,0)处取得的,即m=0时,|PC|取得最小值2,
故对任意的实数m,|PC|2=a2m4+(1-4a)m2+4≥4恒成立.
令t=m2,其中t≥0,则有a2t2+(1-4a)t+4≥4对任意的t≥0恒成立.
整理可得t(a2t+1-4a)≥0,
则a2t+1-4a≥0对任意的t≥0恒成立.
故(a2t+1-4a)min=1-4a≥0,解得a≤.
综上,实数a的取值范围为.
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