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1.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨
迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
　　此时,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线.
2.求曲线方程的一般步骤
(1)建系设点:用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)列式(限制):找出曲线上的点所满足的几何关系式;
3.4 曲线与方程
3.5 圆锥曲线的应用
曲线的方程与方程的曲线
(3)代换:用坐标(x,y)来表示上述几何关系;
(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)证明:验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.(一般变为确定点
的范围即可)

1.圆锥曲线的统一定义
　　平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常
数e的点的轨迹.
当0当e>1时,它表示双曲线;
当e=1时,它表示抛物线.
　　其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的
准线.
2.椭圆 + =1(a>b>0)的准线方程为x=± ,
椭圆 + =1(a>b>0)的准线方程为y=± .
双曲线 - =1(a>0,b>0)的准线方程为x=± ,
双曲线 - =1(a>0,b>0)的准线方程为y=± .
1.根据方程研究曲线的性质时,若方程比较复杂,则应对方程进行同解变形,并注
意方程的附加条件以及隐含条件,一定要保证其等价性.
1　根据方程研究曲线的性质
2.研究曲线是否经过某个点时,只需验证该点的坐标是否满足曲线的方程,若满
足,则点在曲线上,否则,点不在曲线上.
3.研究曲线的对称性时,可将方程F(x,y)=0中的x用-x代替,y用-y代替,分析方程是
否发生变化,以确定其对称性.
4.研究两曲线是否相交时,可将两曲线方程联立,然后判断方程组是否有实数解,
若有实数解,则有交点,否则,没有交点.
典例 (多选)已知曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的乘积等于
常数m2(m>1)的点的轨迹,则下列结论中正确的是 (　 )
A.曲线C经过原点
B.曲线C关于原点对称
C.若点P在曲线C上,则△PF1F2的面积不大于 m2
D.直线y=x与曲线C有两个交点
BCD
解析 设动点坐标为(x,y),依题意有 · =m2,
即[(x+1)2+y2]·[(x-1)2+y2]=m4(m>1),此即为曲线C的方程.
将原点坐标(0,0)代入曲线C的方程,等式不能成立,所以曲线C不经过原点,故A选
项错误;
以-x代替x,-y代替y,方程不变,所以曲线C关于原点对称,故B选项正确;
若点P在曲线C上,则△PF1F2的面积S= |PF1||PF2|sin∠F1PF2= m2·sin∠F1PF2≤ m
2,即△PF1F2的面积不大于 m2,故C选项正确;
由 消去y,得4x4+1=m4,即x4= ,由于m>1,所以
>0,因此方程x4= 有两个实数解,即直线y=x与曲线C有两个交点,故D选
项正确.
求动点轨迹方程的常用方法
(1)直接法:当所求动点满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、
代入坐标、整理化简、限制说明”的基本步骤求解.
(2)定义法:若能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可由该曲线的定义
直接写出曲线方程,即得动点的轨迹方程.
(3)代入法(相关点法):当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点的坐
标来表示,再代入其他动点满足的曲线方程或条件中,整理即得所求动点的轨迹
方程.
(4)参数法:选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标中的x,y,然后消去参数,即得
动点的轨迹方程.
2 求动点的轨迹方程
典例　如图所示,动圆C1:x2+y2=t2,1A1,A2分别为C2的左、右顶点.

(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值 并求出其最大面积;
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.
解析 (1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|.由 + =1得 =1- ,从而
= =- + ,∴当 = , = 时,Smax=6.从而t2= + =5,∴t= .
∴当t= 时,矩形ABCD的面积取得最大值6.
(2)由椭圆C2: +y2=1,知A1(-3,0),A2(3,0).由曲线的对称性及A(x0,y0),得B(x0,-y0).设点
M的坐标为(x,y).易知直线AA1的方程为y= (x+3)①,直线A2B的方程为y=
(x-3)②,由①②得y2= ·(x2-9)③,又点A(x0,y0)在椭圆C2上,故 =1- ④,将④代
入③得 -y2=1(x<-3,y<0),因此点M的轨迹方程为 -y2=1(x<-3,y<0).
名师点评 本题(2)的轨迹方程中,求解时要结合几何性质和几何直观细心发掘.
求解中充分运用椭圆与圆的对称性以及方程④的整体代入,避免了烦琐运算,优
化了解题过程.
　　解应用题时涉及两个基本步骤,即将实际问题抽象成数学问题和解决这个数
学问题,为此要注意以下四点:
(1)阅读理解:读懂题意,理解实际背景,领悟其数学实质.
(2)数学建模:将应用题的材料陈述转化成数学问题,这就要抽象、归纳其中的数
量关系,并把这种关系用数学式子表示出来.
(3)数学求解:根据所建立数学关系的知识系统,得出结果.
(4)实际还原:将数学结论还原为实际问题.
3 圆锥曲线的实际应用
典例　神舟九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面
指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C),A在B的正东
方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某时刻,A
接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时
接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方向角.
解析 如图所示,

以直线AB为x 轴,线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(-3,
0),C(-5,2 ).
设P(x,y),BC的中点为D.∵|PB|=|PC|,
∴点P在线段BC的垂直平分线上.
易知kBC=- ,D(-4, ),
∴直线PD的方程为y- = (x+4).①
易得|PB|-|PA|=4<6=|AB|,
∴点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且a=2,c=3,
∴双曲线方程为 - =1(x≥2).②
联立①②,得P点坐标为(8,5 ),
∴kPA= = ,因此P在A的北偏东30°方向上.

　通过圆锥曲线的应用发展逻辑推理和数学建模的核心素养
　　圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活中有广泛的应用,求解此
类问题时要善于抓住问题的实质,建立适合的数学模型(椭圆、双曲线、抛物线),从而发展数学建模的核心素养,然后利用圆锥曲线的相关定义、标准方程、性质
等知识求解,在求解过程中发展逻辑推理的核心素养.
素养解读
例题　某同学观看了2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》后引发了他
的思考:假定地球(设为质点P,半径忽略不计)借助原子发动机开始“流浪”的轨
道是以木星(看作球体,其半径R约为7万千米)的中心F为右焦点的椭圆C.已知地
球的近木星点A(轨道上离木星表面最近的点)到木星表面的距离为1万千米,远木
星点B(轨道上离木星表面最远的点)到木星表面的距离为25万千米.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若地球在“流浪”的过程中,由A第一次逆时针“流浪”到与轨道中心O的距
离为 (a,b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长)万千米时,由于木星引力,
部分原子发动机突然失去了动力,此时地球向着木星方向
开始变轨(如图所示),假定地球变轨后的轨道为一条直线L,
称该直线的斜率k为“变轨系数”.当“变轨系数”k
的取值为-2或1时,地球与木星会不会发生碰撞
典例呈现
解题思路 (1)设出椭圆的标准方程,再根据题意求出a,b,c的值即可.
设椭圆C的标准方程为 + =1(a>b>0).
由条件得 解得
故b2=256,
因此椭圆C的标准方程为 + =1.
(2)由P与轨道中点O的距离和椭圆的方程联立得到的方程组的解得P的坐标,再由
点到直线的距离与R的大小关系列出不等式进行判断.
设地球由近木星点A第一次逆时针“流浪”到与轨道中心O的距离为 万千米
时所在位置为P(x0,y0),设x0>0,y0>0.
信息提取 以地球“流浪”的轨道为背景建立椭圆模型,受木星引力,地球“流
浪”的轨道变轨,为一条直线,从而建立直线模型,最后利用相关知识解决问题.
则
∴P ,
则直线L的方程为y- =k ,
即kx-y+ - k=0,
设木星的中心F到地球的距离为d万千米.
由d>R得 >7,
化简得425k2+128 k-839<0,
当k=-2时,不等式左边=861-256 >0,故原不等式不成立,此时地球与木星会发生
碰撞.
当k=1时,不等式左边=128 -414<0,故原不等式成立,此时地球与木星不会发生
碰撞.

利用圆锥曲线解应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:读懂题意,理解问题的实际背景,领悟其实质.
(2)建模:将应用题的材料陈述转化成数学问题,抽象、归纳其中的数量关系,并用
数学式子表示出来,建立数学模型.
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论.
(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.
思维升华3.5　圆锥曲线的应用
基础过关练
题组一　圆锥曲线在天体运动轨道中的应用
1.如图所示,“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行,然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行,最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行,设圆形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则下列结论中正确的为(　　)
①轨道Ⅱ的焦距为R-r;
②若R不变,则r越大,轨道Ⅱ的短轴长越小;
③轨道Ⅱ的长轴长为R+r;
④若r不变,则R越大,轨道Ⅱ的离心率越大.　　　　　　　　　　　　　　　
A.①②③　　　　B.①②④
C.①③④　　　　D.②③④
2.(多选)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图所示,卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c,下列结论正确的是(　　)
A.卫星向径的取值范围是[a-c,a+c]
B.卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间
C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁
D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小
题组二　圆锥曲线在斜抛物体轨迹中的应用
3.某农场为节水推行喷灌技术,喷头装在管柱OA的顶端A处,喷出的水流在各个方向上呈抛物线状,如图所示.现要求水流最高点B离地面4 m,点B到管柱OA所在直线的距离为3 m,且水流落在地面上的以O为圆心,7 m为半径的圆上,则管柱OA的高度为(　　)
A. m　　B. m　　C. m　　D. m
4.张燕同学在校运会的掷铅球比赛中创造佳绩.已知张燕所掷铅球的轨迹可看成一段抛物线(人的身高不计,铅球看成一个质点),如图所示,设初速度的大小为v0 m/s,且其与水平方向所成的角为θ,已知张燕掷铅球的最远距离为10 m.当她掷得最远距离时,铅球轨迹(抛物线)的焦点到准线的距离为　　　m.(空气阻力忽略不计,重力加速度为10 m/s2)
题组三　圆锥曲线在光学中的应用
5.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面的反射后,集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中,对称轴与x轴重合,顶点与原点重合,如图,若抛物线过点A,平行于对称轴的光线经过点A反射后,反射光线交抛物线于点B,则线段AB的中点到准线的距离为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
双曲线有如下光学性质:如图,从双曲线上焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过下焦点F1.某双曲线方程为-=1(a>0,b>0),F1,F2为其下、上焦点,若从下焦点F1发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后(点A、F1、B三点共线),反射光线分别为AD,BC,且满足∠ABC=90°,tan∠BAD=-,则该双曲线的离心率e为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知曲线C的方程为+=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C相切于点P,且|PF1|=,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆的长轴交于点M,则|F1M|∶|F2M|=　　　　.
题组四　圆锥曲线在现代建筑中的应用
8.某市为庆祝建党100周年,举办城市发展巡展活动,巡展的车队要经过一个隧道,隧道横断面由一段抛物线A1OA及一个矩形A1C1CA的三边组成,尺寸如图1(单位:m).
(1)以隧道横断面抛物线的顶点O为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立如图2所示的平面直角坐标系xOy,求该段抛物线A1OA所在抛物线的方程;
(2)若车队空车时能通过此隧道,现装载一集装箱,箱宽3 m,车与集装箱总高4.5 m,此车能否安全通过隧道 请说明理由.
　　 　　图1　　　　　　　　　　图2
9.如图,平面上P,Q两地间的距离为4,O为PQ的中点,M处为一基站,设其发射的电波为直线,测量得∠MOQ=60°,且O,M间的距离为2,现一机器人N正在运行,它在运行过程中始终保持到P地的距离比到Q地的距离大2(P,O,M,N及电波直线均共面),请建立适当的平面直角坐标系.
(1)求出机器人N运行的轨迹方程;
(2)为了使机器人N免受M处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M的直线),求出电波所在直线斜率k的取值范围.
10.某城市决定在夹角为30°的两条道路EB,EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园,如图所示,|AB|=2,O为AB的中点,OD为椭圆的长半轴,在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN,其中M,N在椭圆上,且直线MN的倾斜角为45°,交OD于G.
(1)若|OE|=3,为了不破坏道路EF,求椭圆长半轴长的最大值;
(2)若椭圆的离心率为,当线段OG长为何值时,游乐区域△OMN的面积最大
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　①由椭圆的性质知a+c=R,a-c=r,得2c=R-r,故正确;②由①知a=,c=,所以2b=2=2=2,若R不变,则r越大,2b越大,即轨道Ⅱ的短轴长越大,故错误;③由①知2a=R+r,故轨道Ⅱ的长轴长为R+r,故正确;④因为椭圆的离心率e====1-=1-,若r不变,则R越大,越小,所以e越大,即轨道Ⅱ的离心率越大,故正确.故选C.
2.AD　由题意可得,卫星的向径是椭圆上的点到焦点的距离,所以最小值为a-c,最大值为a+c,A正确.根据在相同时间内扫过的面积相等,知卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间,故B不正确.卫星向径的最小值与最大值的比值越小,即==-1+越小,则e越大,椭圆越扁,故C不正确.因为运行速度是变化的,所以卫星运行速度在近地点时向径越小,在远地点时向径越大,卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等,则向径越大,速度越小,所以卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小,故D正确.故选AD.
3.B　如图所示,建立平面直角坐标系,由题意知,水流的轨迹为一开口向下的抛物线,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),易得点C(4,-4),所以16=-2p×(-4),解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y,设点A(-3,y0),因为点A在抛物线上,所以9=-4y0,解得y0=-,所以|OA|=4-=,所以管柱OA的高度为 m.故选B.
4.答案　5
解析　设铅球的运动时间为t0 s,t时刻铅球在水平方向上的位移大小为x m,则x=v0tcos θ,由v0sin θ-gt0=0知,t0=,∴t0时刻,x=,故当x=时,xmax==10,∴v0=10,∴t0=,∴最高点到地面的距离h=g=2.5(m).
如图,建立平面直角坐标系,易得P(-5,-2.5),设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则抛物线的焦点到准线的距离为p===5(m).
5.B　设抛物线的方程为y2=mx(m>0),将A的坐标代入可得12=m,解得m=4,所以抛物线的方程为y2=4x,则焦点为(1,0),准线方程为x=-1,由题意可得,反射光线过焦点(1,0),所以直线AB的方程为y-0=(x-1),整理可得y=-(x-1),联立整理可得y2+3y-4=0,解得y1=-4,y2=1,代入直线方程可得x1=4,x2=,所以反射光线与抛物线的两个交点为A,B(4,-4),所以线段AB的中点坐标为,所以线段AB的中点到准线的距离d=+1=,故选B.
6.D　连接AF2,BF2,设|BF2|=n,由tan∠BAD=-,得sin∠BAD=,即sin∠BAF2=,在Rt△ABF2中,可得|AF2|=n,|AB|=n,由双曲线的定义知|AF1|=n-2a,∴|BF1|=n-=2a-n,又|BF2|-|BF1|=n-=2a,∴n=a,在Rt△BF1F2中,|BF2|=a,|BF1|=a,|F1F2|=2c,∴+=(2c)2,即=,可得e=,故选D.
7.答案　3∶5
解析　如图,由椭圆的光学性质得直线l'平分∠F1PF2,所以=,由|PF1|=,|PF1|+|PF2|=4,得|PF2|=,故|F1M|∶|F2M|=3∶5.
8.解析　(1)设抛物线的方程为y=ax2(a<0),
因为抛物线的顶点为坐标原点,隧道宽6 m,高5 m,矩形的高为2 m,所以抛物线过点A1(-3,-3),
将其代入抛物线方程,得-3=9a,解得a=-,
所以该段抛物线A1OA所在抛物线的方程为y=-x2,即x2=-3y.
(2)不能.理由如下:
如果此车能通过隧道,那么集装箱处于对称位置,
将x=1.5代入抛物线的方程,得到y=-0.75,
此时集装箱最上方距离隧道的底5-0.75=4.25(m),又4.25 m<4.5 m,所以此车不能安全通过此隧道.
9.解析　(1)如图所示,以点O为坐标原点,PQ所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则P(-2,0),Q(2,0),
设点N(x,y),则|NP|-|NQ|=2<|PQ|=4,
所以动点N的运动轨迹是以点P,Q为焦点的双曲线的右支,
由题得a=1,c=2,
所以b2=4-1=3,
所以机器人N运行的轨迹方程为x2-=1(x>0).
(2)由题得,点M的坐标为(,3),
则电波所在直线的方程为y-3=k(x-),即y=k(x-)+3,与x2-=1(x>0)联立,消去y,得(3-k2)x2+(2k2-6k)x+6k-3k2-12=0.
当3-k2=0时,若k=,则电波所在直线为y=x,是双曲线的渐近线,符合题意;若k=-,则电波所在直线为y=-x+6,与机器人N的轨迹有交点,不符合题意.
当3-k2≠0时,由Δ<0,得(2k2-6k)2-4(3-k2)·(6k-3k2-12)<0,所以(k-)(k-2)<0,
所以综上所述,≤k<2,即电波所在直线斜率k的取值范围是[,2).
10.解析　(1)以点O为坐标原点,OD所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略).
设椭圆方程为+=1(a>b>0),
因为|OE|=3,所以E(0,3),
又EB,EF的夹角为30°,所以直线EF的方程为y=-x+3.
又因为|AB|=2,所以b=1,则椭圆方程为+y2=1.
为了不破坏道路EF,则直线EF与半椭圆至多有一个交点,
联立
整理,得(1+3a2)x2-6a2x+8a2=0,
则Δ=108a4-4(1+3a2)·8a2≤0,即a2(3a2-8)≤0,又a>0,所以0当a=时,半椭圆与EF相切,所以amax=.
(2)设椭圆的焦距为2c,
由椭圆的离心率为=,b=1,a2=b2+c2,得a2=4,所以椭圆的方程为+y2=1(x≥0).
设G(m,0),又直线MN的倾斜角为45°,且交OD于G,
所以直线MN的方程为x=y+m(0由得5y2+2my+m2-4=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=-m,y1y2=,
则|y1-y2|===,
则S△OMN=×|OG|×|y1-y2|=m×
=≤1,当且仅当m=时等号成立,此时△OMN的面积最大.
故当线段OG长为时,游乐区域△OMN的面积最大.
103.4　曲线与方程
基础过关练
题组一　曲线与方程的关系及其应用
1.已知直线l的方程是f(x,y)=0,点M(x0,y0)不在直线l上,则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲线是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.直线l
B.与l垂直的一条直线
C.与l平行的一条直线
D.与l平行的两条直线
2.方程(x2+3y2-3)·=0表示的曲线是(　　)
A.一个椭圆和一条直线
B.一个椭圆和一条射线
C.一条直线
D.一个椭圆
3.(多选)已知曲线C:x|x|-y|y|=1,则下列结论正确的是(　　)
A.曲线C与直线y=x没有交点
B.曲线C与x轴的交点为(1,0),(-1,0)
C.A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上任意两点,若x1D.若点P(x,y)是曲线C上任意一点,则|x-y|≤
4.已知P(x,y)满足=|x+y-1|,则点P的轨迹为　　　　.
题组二　求曲线的方程
5.已知A(2,1),B(2,-1),O为坐标原点,动点P(x,y)满足=m+n,其中m,n∈R,且m2+n2=,则动点P的轨迹方程是(　　)
A.x2+=1　　　　B.+y2=1
C.x2-=1　　　　D.-y2=1
6.设A,B分别是直线y=2x和y=-2x上的动点,且满足|AB|=4,则AB的中点M的轨迹方程为(　　)
A.x2+=1　　　　B.y2+=1
C.x2-=1　　　　D.y2-=1
7.已知椭圆+=1,作垂直于x轴的直线l交椭圆于A,B两点,作垂直于y轴的直线m交椭圆于C,D两点,且|AB|=|CD|,直线l与直线m交于P点,则点P的轨迹方程为　　　　　　　　.
8.如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,则动圆P的圆心P的轨迹方程为　　　　　　　　　.
题组三　曲线与方程的综合应用
9.若直线l:kx-y-2=0与曲线C:=x-1有两个交点,则实数k的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.∪　　　　D.
10.在平面直角坐标系中,定义两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上的两个不同定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是(　　)
11.(多选)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),则下列说法正确的是(　　)
A.当m>0时,点C的轨迹是双曲线
B.当m>0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点)
C.当m=-1时,点C在圆x2+y2=25[除去点(5,0),(-5,0)]上运动
D.当m<-1时,点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大
12.已知曲线C1:+=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为4,曲线C1的内切圆的半径为,记C2是以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆.
(1)求椭圆C2的标准方程;
(2)设AB是过椭圆C2中心的任意弦,l是线段AB的垂直平分线,M是l上异于椭圆中心的点,|MO|=λ|OA|(O为坐标原点,λ≠0),当点A在椭圆C2上运动时,求点M的轨迹方程.
13.已知点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l:x=4距离的比值为.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)记点P的轨迹为C,过F的直线l与曲线C交于点M,N,与抛物线y2=4x交于点A,B,设D(-1,0),记△DMN与△DAB的面积分别是S1,S2,求的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　因为点M(x0,y0)不在直线l上,所以f(x0,y0)是不为0的常数,所以方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的是过点M(x0,y0)且与直线l平行的一条直线.故选C.
2.C　原方程可化为x2+3y2-3=0(x≥4)或=0,即+y2=1(x≥4)或x=4,因为当x≥4时,+y2=1不成立,所以x=4,所以方程(x2+3y2-3)=0表示的曲线是直线x=4,故选C.
3.ACD　由x|x|-y|y|=1,知曲线C的方程由x2-y2=1(x≥0,y≥0),x2+y2=1(x>0,y<0),y2-x2=1(x<0,y<0)三部分组成,如图所示,两边为双曲线的一部分,中间为圆的一部分,且双曲线的渐近线为直线y=x,所以曲线C与直线y=x没有交点,故A正确;易知曲线C与x轴的交点为(1,0),故B错误;由图可知曲线的方程所对应的函数单调递增,所以若x14.答案　双曲线
解析　由=|x+y-1|得=,其几何意义可看成动点P(x,y)到定点(-1,0)的距离与到定直线x+y-1=0的距离之比为,由>1,结合圆锥曲线的统一定义可知,轨迹为双曲线.
5.B　由题意得(x,y)=(2m+2n,m-n),
∴x=2m+2n,y=m-n,∴m=,n=,∵m2+n2=,∴+=,即+y2=1.
6.A　设A(x1,2x1),B(x2,-2x2),M(x,y),
则M,故x=,y=x1-x2,又因为|AB|2=(x1-x2)2+(2x1+2x2)2=16,所以y2+(4x)2=16,即x2+=1,所以点M的轨迹方程为x2+=1.
7.答案　-=1(-解析　设直线l的方程为x=p(-C,D,所以|AB|=2,|CD|=2,因为|AB|=|CD|,所以2=2,所以-=1(-8.答案　x2-=1(x≤-1)
解析　由已知,得圆E的半径为2,|EF|=4,P,E,M三点共线,设圆P的半径为R,
则|PE|=|PM|-|ME|=R-2,所以|PF|-|PE|=2,
易知|PF|-|PE|<|EF|=4,所以由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支,
由题意得a=1,c=2,所以b=,
故所求轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
易错警示
　　求轨迹方程时要注意“补点”和“去点”.“补点”是指求轨迹方程时,会漏掉曲线上的部分点或个别点,应根据条件进行补充;“去点”是指求轨迹方程时,有些方程会因整理、变形而产生不合题意的点,应去掉.
9.A　直线l:kx-y-2=0恒过定点(0,-2),曲线C:=x-1表示以点(1,1)为圆心,1为半径,且位于直线x=1右侧的半圆[包括点(1,2),(1,0)].如图,当直线l 经过点(1,0)时,l 与曲线C有两个交点,此时k=2,直线记为l1;当l 与半圆相切时,由=1,得k=,切线记为l2.分析可知当10.A　设F1(-c,0),F2(c,0),c>0,动点M(x,y)到定点F1,F2的“L-距离”之和为定值m(m>2c),则有|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m,即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.当x<-c,y≥0时,方程可化为x-y+=0;当x<-c,y<0时,方程可化为x+y+=0;当-c≤x11.BC　设C(x,y)(y≠0),则·=m -=1(y≠0).当m>0时,方程表示焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点),A错误,B正确;
当m=-1时,方程为x2+y2=25(y≠0),则点C在圆x2+y2=25[除去点(5,0),(-5,0)]上运动,C正确;当m<-1时,方程表示焦点在y轴上的椭圆(不含左、右顶点),则离心率e==,此时e随着m的增大而减小,D错误.故选BC.
12.解析　(1)由题意得
所以a2=5,b2=4,所以C2的标准方程为+=1.
(2)设A(xA,yA),当AB所在直线的斜率存在且不为0时,设AB所在直线的方程为y=kx(k≠0),
由得=,=,
所以|OA|2=+=,
设M(x,y),由题意得|MO|2=λ2|OA|2(λ≠0),
即x2+y2=λ2·,
又因为直线l的方程为y=-x,即k=-,
所以x2+y2=λ2·=λ2·,
又因为x2+y2≠0,所以+=λ2.易得当AB所在直线的斜率不存在或为0时,上式仍然成立.综上所述,点M的轨迹方程为+=λ2(λ≠0).
13.解析　(1)依题意有=,
化简得3x2+4y2=12,即+=1,故点P的轨迹方程为+=1.
(2)依题意有=.
①当l不垂直于x轴时,设l的方程是y=k(x-1)(k≠0).
联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
则|AB|=x1+x2+2=.
联立得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设M(x3,y3),N(x4,y4),
则x3+x4=,x3x4=,
则|MN|==,
则===+∈.
②当l垂直于x轴时,易知|AB|=4,|MN|==3,
此时==.
综上,的取值范围是.
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