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专题强化练7　椭圆的综合应用　　　　　　　　　　　　　　
1.“4A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.P为椭圆C:+=1上一动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,延长F1P至点Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹方程为(　　)
A.(x+2)2+y2=34　　　　　　B.(x+2)2+y2=68　　
C.(x-2)2+y2=34　　　　　　D.(x-2)2+y2=68
3.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于(　　)
A.-3　　　　B.-
C.-或-3　　　　D.±
4.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是,左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=,△F1PF2的面积等于3,则椭圆E的方程为(　　)
A.+=1　　　　B.+y2=1
C.+=1　　　　D.+=1
5.设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使线段PF1的垂直平分线经过点F2,则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
6.(多选)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是(　　)
A.离心率的取值范围为
B.当离心率为时,|QF1|+|QP|的最大值为2a+
C.存在点Q使得·=0
D.+的最小值为1
7.若实数x,y满足方程+=1,则+的取值范围为　　　　　　　.
8.过椭圆+=1上一动点P分别向圆C1:(x+3)2+y2=4和圆C2:(x-3)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2+2|PN|2的最小值为　　　　.
9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,过下焦点且与x轴平行的弦长为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若A,B分别为椭圆C的右顶点与上顶点,直线y=kx(k>0)与椭圆C相交于M,N两点,求四边形AMBN的面积的最大值及此时k的值.
10.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点与短轴端点构成的四边形的面积为4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,过椭圆外一点P作两条互相垂直的直线l1,l2,且l1,l2均与椭圆C相切,切点分别为A,B.
(i)求P的轨迹方程;
(ii)记原点O到l1,l2的距离分别为d1,d2,求d1d2的最大值.
答案与分层梯度式解析
1.B　若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则解得72.B　由+=1可得a=,则|PF1|+|PF2|=2a=2,又因为|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|=2a=2,所以动点Q的轨迹是以F1(-2,0)为圆心,2为半径的圆,故动点Q的轨迹方程为(x+2)2+y2=68.故选B.
3.B　由+y2=1,得a2=2,b2=1,则c2=a2-b2=1,则焦点坐标为(±1,0).不妨设直线l过右焦点,因为l的倾斜角为45°,所以直线l的方程为y=x-1,
代入+y2=1得x2+2(x-1)2-2=0,即3x2-4x=0,
解得x1=0,x2=.
不妨设A,B两点的坐标分别为(0,-1),,所以·=(0,-1)·=0-=-.
4.D　由题意知=,即3a2=4c2,根据椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a, 又因为∠F1PF2=,且△F1PF2的面积等于3,所以+=4c2,且|PF1|·|PF2|=6, 则+=-2|PF1||PF2|=4a2-12=4c2,即4a2-12=3a2,解得a2=12,所以c2=9,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为+=1.故选D.
5.C　由题意得F1(-c,0),F2 (c,0),设点P,PF1的中点为K,则K,
∴·=-1,即·=-1,
∴m2=-·≥0,∴a4-2a2c2-3c4≤0,∴3e4+2e2-1≥0,∴e2≥,∴e≥.
又∵e∈(0,1),∴≤e<1.
6.BD　由题意可得2a=4,所以a=2,由点P(,1)在椭圆内部可得+<1,可得27.答案　[10-,10+]
解析　+可表示椭圆+=1上的点P(x,y)与点A(1,0)及上焦点F2(0,3)间的距离之和,即+=|PA|+|PF2|,设椭圆的下焦点为F1(0,-3),由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=10,所以|PA|+|PF2|=10+|PA|-|PF1|,又因为||PA|-|PF1||≤|AF1|=,所以-≤|PA|-|PF1|≤,故10-≤|PA|+|PF2|≤10+.
8.答案　90
解析　∵a2=36,b2=27,∴c==3,
圆C1的圆心为C1(-3,0),半径为2,圆C2的圆心为C2(3,0),半径为1,
易知C1(-3,0),C2(3,0)为椭圆的两个焦点,如图所示:
|PM|2+2|PN|2=-4+2(-1)=+2|PC2|2-6,
根据椭圆的定义得|PC1|+|PC2|=2a=12,设|PC2|=t,则a-c≤t≤a+c,即3≤t≤9,
则|PM|2+2|PN|2=(12-t)2+2t2-6=3t2-24t+138=3(t-4)2+90,∴当t=4时,|PM|2+2|PN|2取得最小值,最小值为90.
9.解析　(1)由题意可得2b=2,则b=1,
将y=-c代入椭圆方程可得+=1,
则x2=b2=,解得x=±,
由题意可得==,所以a=,
因此,椭圆C的标准方程为+x2=1.
(2)易知点A(1,0),B(0,),
所以直线AB的方程为x+=1,即x+y-=0.
不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),且x1由 x1=-,x2=,则x2=-x1,
则M到直线AB的距离d1===,
N到直线AB的距离d2==,
则S四边形AMBN=|AB|(d1+d2)=··=(k+)x2===·=·=·≤·=,当且仅当k=时,等号成立,
因此,四边形AMBN的面积的最大值为,此时k=.
10.解析　(1)由已知可得解得因此,椭圆C的标准方程为+=1.
(2)(i)设点P的坐标为(x0,y0).
当直线l1,l2的斜率都存在时,
不妨设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,
过点P且斜率存在的直线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx+(y0-kx0),
联立消去y可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-36=0,
由Δ=182k2(y0-kx0)2-4(9k2+4)[9(y0-kx0)2-36]=0,可得(9-)k2+2kx0y0+4-=0,
由题意可知,k1,k2是关于k的二次方程(9-)k2+2kx0y0+4-=0的两根,
因为l1⊥l2,所以k1k2==-1,化简可得+=13.
当l1,l2分别与两坐标轴垂直时,满足l1⊥l2,此时点P的坐标为(±3,±2),点P在圆x2+y2=13上.
综上所述,点P的轨迹方程为x2+y2=13.
(ii)由(i)可知|OP|=,
如图所示,过点O分别作直线l1、l2的垂线,垂足分别为M,N.
因为PN⊥PA,OM⊥PA,所以OM∥PN,同理可得ON∥PM,所以四边形OMPN为矩形,
故+=|OM|2+|ON|2=|OP|2=13,
由基本不等式可得d1d2≤=,当且仅当d1=d2=时,等号成立.
因此,d1d2的最大值为.
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