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专题强化练9 抛物线的综合应用
1.过抛物线y2=4x的焦点F作直线,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.10　　B.8　　C.6　　D.4
2.过抛物线y2=-2x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且A,B在直线x=上的射影分别为M,N,则∠MFN=(　　)
A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90°
3.如图,F是抛物线x2=8y的焦点,过F作直线交抛物线于A,B两点,若△AOF与△BOF的面积之比为1∶4,则△AOB的面积为(　　)
A.10　　B.8　　C.16　　D.12
4.(多选)设F是抛物线y2=4x的焦点,过F且斜率为的直线与抛物线的一个交点为A,以F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点,且B在C的上方,B关于点F的对称点为D,以下结论正确的是(　　)
A.线段CD的长为8
B.A,C,F三点共线
C.△CDF为等边三角形
D.四边形ABCD为矩形
5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线l交抛物线于A,B两点,点M,若直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=　　　　.
6.(2021湖南衡阳二十六中期中)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,O为原点,点P是抛物线C的准线上一动点,点A在抛物线C上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为　　　　　.
7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,点M(x0,6)是抛物线上一点,以M为圆心的圆与直线x=交于A,B两点(A在B的上方),若sin∠MFA=,则抛物线C的方程为　　　　.
8.已知圆M:(x-1)2+y2=,动圆N与圆M外切,且与直线x=-相切.
(1)求动圆圆心N的轨迹C的方程;
(2)已知点P,Q(1,2),过点P的直线l与曲线C交于两个不同的点A,B(与点Q不重合),直线QA,QB的斜率之和是不是定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
1.B　依题意得,|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+,
∴|AB|=x1+x2+p,又∵2p=4,∴p=2.
因此,|AB|=6+2=8,故选B.
2.D　由题意得焦点F的坐标为,设A(x1,y1),B(x2,y2),则M,N,因为过抛物线y2=-2x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,故y1y2=-p2=-1,
又因为=(1,y1),=(1,y2),所以·=1+y1y2=1-1=0,故∠MFN=90°.
3.A　易知抛物线x2=8y的焦点为F(0,2).若直线AB的斜率不存在,则直线AB与抛物线x2=8y有且只有一个公共点,不符合题意.设直线AB的方程为y=kx+2,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y并整理得x2-8kx-16=0,则x1+x2=8k,x1x2=-16.由于△AOF与△BOF的面积之比为1∶4,则=4,即(-x2,2-y2)=4(x1,y1-2),所以x2=-4x1,则x1+x2=-3x1=8k,可得x1=-,所以x1x2=-4=-4×=-=-16,可得k2=,所以S△OAB=|OF|·|x1-x2|=×2×===10.故选A.
4.BCD　由抛物线的方程可得F(1,0),准线方程为x=-1,过点F且斜率为的直线的方程为y=(x-1),代入抛物线方程可得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.易知当x=3时,圆F才能与抛物线的准线相交,此时点A的坐标为(3,2),则|FA|=3+1=4,所以圆F的方程为(x-1)2+y2=16,令x=-1,得y=±2,则B(-1,2),C(-1,-2),设B关于点F的对称点为D(m,n),则=1,=0,解得m=3,n=-2,所以D(3,-2),所以|CD|=3-(-1)=4,故A错误;因为=(2,2),=(-2,-2),所以=-,所以A,C,F三点共线,故B正确;因为|FC|=|FD|=r=4,且|CD|=4,所以三角形CDF为等边三角形,故C正确;易知|AB|=|CD|,AB⊥BC,AB∥CD,所以四边形ABCD为矩形,故D正确.故选BCD.
5.答案　-2
解析　由题知F.设直线l的方程为x=my+,将其与抛物线的方程y2=2px联立,消去x并整理,得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2,所以k1+k2=+=+=+=·=·==-2.
6.答案　2
解析　由题意得抛物线的准线方程为y=-2,
∵|AF|=4,∴点A到准线的距离为4,故点A的纵坐标为2,把y=2代入抛物线方程可得x=±4.不妨设点A在第一象限,则A(4,2),如图,取点O关于准线y=-2的对称点M(0,-4),连接AM,则|PO|=|PM|,于是|PA|+|PO|=|PA|+|PM|≥|AM|,
故|PA|+|PO|的最小值为|AM|==2.
7.答案　y2=12x
解析　如图所示,过点M作EM⊥直线x=,垂足为E,ME的延长线交准线于点D,则sin∠MFA==,由抛物线的定义可得|MF|=|MD|=x0+,∴==,即5x0+p=7x0-p,
∴x0=3p,∵点M(x0,6)是抛物线上一点,
∴(6)2=2px0,将x0=3p代入上式,得36×6=6p2,
∴p=6,∴抛物线C的方程为y2=12x.
8.解析　(1)圆M的圆心为(1,0),半径为.设N到直线x=-的距离为d,则圆N的半径也为d.
因为动圆N与圆M外切,所以|MN|=d+,
所以N到直线x=-1的距离等于N与M(1,0)两点间的距离,
由抛物线的定义可知,N的轨迹C为抛物线,其焦点为M(1,0),准线方程为x=-1,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)直线QA,QB的斜率之和是定值.设直线l的方程为x+=m,即2x-2my+1-m=0.
因为点A,B与点Q不重合,所以m≠.
设直线QA,QB的斜率分别为k1和k2,点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x并整理得y2-4my-2m+2=0,则y1+y2=4m,y1y2=2-2m,
由Δ=(-4m)2-4(-2m+2)>0,解得m<-1或m>,且m≠.
可得k1===,
同理可得k2=,
所以k1+k2=+
=
=
==,
故直线QA,QB的斜率之和为定值.
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