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专题强化练10　直线与圆锥曲线的位置关系
1.若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.至多为1　　　　B.2
C.1　　　　D.0
2.已知直线l的方程为y=kx-1,双曲线C的方程为x2-y2=1.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-,)　　　　B.[1,)
C.[-,]　　　　D.(1,)
3.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,若AB的中点为N,且抛物线C上存在点M,使得+=(O为坐标原点),则p的值为　(　　)
A.4　　　　B.2
C.1　　　　D.
4.已知A,B分别为双曲线Γ:x2-=1的左、右顶点,过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ,交双曲线于P,Q两点(点P,Q异于点A,B),则直线AP,BQ的斜率的比值=(　　)
A.-　　　　B.-3
C.-　　　　D.-
5.直线l与双曲线E:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行,且l过抛物线C:y2=4x的焦点,交C于A,B两点,若|AB|=6,则E的离心率为(　　)
A.2　　B.　　C.　　D.
6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于M,N两点,直线x=-4与MO,NO的延长线分别交于P,Q两点,则=(　　)
A.16　　B.12　　C.9　　D.8
7.(多选)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其长轴长是短轴长的,若点P是椭圆上任意一点,且不在x轴上,若△PF1F2的周长为16,则下列结论正确的是(　　)
A.椭圆C的方程为+=1
B.椭圆C的离心率为
C.双曲线-=1的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点为
D.点Q是圆x2+y2=25上一点,点A,B分别是椭圆C的左、右顶点(Q不与A,B重合),设直线PB,QB的斜率分别为k1,k2,若A,P,Q三点共线,则25k1=16k2
8.已知抛物线C:y2=4x,过点A(-1,0)作C的两条切线,切点分别为B,D,则过点A,B,D的圆截y轴所得的弦长为　　　　.
9.斜率为的直线l与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,且l过C的左焦点,线段AB的中点为M(-2,1),C的右焦点为F,则△AFB的周长为　　　　.
10.已知一个半径为的圆的圆心在抛物线C:y2=2px(p>0)上,该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A,B两点,过弦AB的中点M作平行于x轴的直线,与直线OA,OB,l分别相交于P,Q,N三点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当|PQ|=|MN|时,求直线AB的方程.
11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,且离心率为,点M为椭圆上一动点,△F1MF2面积的最大值为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若M是椭圆C的上顶点,直线MF1交椭圆C于另一点N,过点F1的直线l(不与直线MF1重合)与椭圆C交于P,Q两点,点P在点Q的上方.若∶=3∶2,求直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
1.B　∵直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,
∴>2,∴m2+n2<4,
∴+<+=1-m2<1,∴点(m,n)在椭圆+=1的内部,∴过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为2.故选B.
2.D　联立整理得(1-k2)x2+2kx-2=0,因为直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的右支交于不同的两点,所以解得13.B　联立得y2-2py-2p=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,x1+x2=2p+2.因为N为AB的中点,所以N(p+1,p),又因为+=2,所以=3,即M(3p+3,3p),由点M在抛物线上,得9p2=2p(3p+3),解得p=2(p=0舍去).故选B.
4.B　由双曲线方程得a=1,b=,c=2,故F(-2,0),A(-1,0),B(1,0).设直线PQ:x=my-2,m≠±,且P(x1,y1),Q(x2,y2).由消去x并整理得(3m2-1)y2-12my+9=0,∴y1+y2=,y1y2=,两式相除得m=×①,∴=×==②,将①代入②得===-3.故选B.
5.B　双曲线E的渐近线方程为y=±x,不妨设直线l的方程为y=x+m(m≠0),易知抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),则×1+m=0,即m=-,所以直线l的方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得b2x2-(4a2+2b2)x+b2=0,所以x1+x2=,根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+2=6,即+2=6,即2a2=b2,又因为c2=a2+b2,所以3a2=c2,所以e==.故选B.
6.A　易得F(1,0),当直线l与x轴垂直时,△MON∽△POQ,所以==16.
当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),P(-4,yP),Q(-4,yQ),
联立消去y并整理可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1x2=1,则==·=·==16.
综上,=16.
7.ACD　根据题意可得解得所以椭圆的方程为+=1,故A正确;e==,故B错误;双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,联立解得∴双曲线-=1的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点为,故C正确;由题意知,A(-5,0),B(5,0),设P(x1,y1),则k1=,∵点Q在圆x2+y2=25上,且A,P,Q三点共线,∴AQ⊥BQ,∴k2=-=-,∴===,即25k1=16k2,故D正确.故选ACD.
8.答案　2
解析　设过点A(-1,0)的直线方程为x=my-1,联立可得y2-4my+4=0,由Δ=16m2-16=0,解得m=±1,即y2±4y+4=0,得y=±2,不妨设B(1,-2),D(1,2),则BD的中垂线方程为y=0,即圆心在x轴上,易知点(1,0)到点A、B、D的距离都相等,所以圆心坐标为(1,0),半径为2,圆的方程为(x-1)2+y2=4,令x=0,解得y=±,故圆截y轴所得的弦长为2.
9.答案　
解析　易得直线l的方程为y=(x+2)+1=x+,当y=0时,x=-6,所以c=6,设A(x1,y1),B(x2,y2),则则+=0,整理得=-=-·=-×==,
所以a=,则△AFB的周长为4a=.
10.解析　(1)设圆的圆心坐标为(x0,y0),可得=2px0,
易知抛物线的焦点为,准线方程为x=-,
由题意得+=+2px0==,解得p=2(负值舍去),
则抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由(1)知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1,与抛物线的方程y2=4x联立,可得y2-4my-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,
x1+x2=m(y1+y2)+2=2+4m2,则AB的中点M的坐标为(1+2m2,2m),
易知N(-1,2m),故|MN|=2+2m2,
直线OA的方程为y=x,即y=x,
直线OB的方程为y=x,即y=x,
令y=2m,可得P,Q,
则|PQ|=|m(y1-y2)|=|MN|=(2+2m2),
即m2(16m2+16)=(2+2m2)2,解得m=±,
所以直线AB的方程为x=±y+1,
即y=2x-2或y=-2x+2.
11.解析　(1)△F1MF2面积的最大值为|F1F2|·b=·2c·b=bc=1,
又因为=,a2=b2+c2,所以b=c=1,
所以a=,故椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)由题可得直线MF1的方程为y=x+1,
联立得N,则=.
因为∶=3∶2,
所以|NF1|·|QF1|sin∠QF1N=|MF1|·|PF1|sin∠PF1M,得|QF1|=2|PF1|,
当直线l的斜率为0时,不符合题意,
设直线l的方程为x=my-1(m≠1),P(x1,y1),Q(x2,y2),由点P在点Q的上方,得y2=-2y1.
联立得(m2+2)y2-2my-1=0,
则
则-2=,得m2=,所以m=±.
又因为y1+y2==-y1<0,所以m=-,
故直线l的方程为7x+y+7=0.
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