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专题强化练11　圆锥曲线中的最值与范围问题的解法
1.已知双曲线C:-y2=1的左焦点为F,点M在双曲线C的右支上,A(0,3),当△MAF的周长最小时,△MAF的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.　　B.9　　C.　　D.4
2.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,|F1F2|=4,点Q(2,)在椭圆C上,P是椭圆C上的动点,则·的最大值为(　　)
A.4　　B.　　C.5　　D.4+
3.设F1为椭圆C:+y2=1的左焦点,P为椭圆C上给定一点,以PF1为直径作圆Γ,点Q为圆Γ上的动点,则坐标原点O到Q的距离的最大值为　　　　.
4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点.D为OA的中点(O为坐标原点),B,D在y轴上的投影分别为P,Q,则|PQ|的最小值是　　　　.
5.已知椭圆+y2=1上存在相异两点关于直线y=x+t对称,则实数t的取值范围是　　　　.
6.已知直线l经过抛物线C:y=的焦点,与抛物线交于A,B两点,且xA+xB=8,点D是抛物线的一段弧(O为原点)上一动点,以点D为圆心的圆与直线l相切,当圆D的面积最大时,圆D的标准方程为　　　　.
7.已知动圆E与圆M:(x-1)2+y2=外切,并与直线x=-相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点Q(-2,0)的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得∠APB=90°,求直线l的斜率k的取值范围.
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点,其一个焦点为(,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=k(x-1)(k≠0)与x轴交于点P,与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q,求的取值范围.
9.在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PG,G为垂足,=.当点P在圆上运动时,点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点Q(-1,0)的两条相互垂直的直线分别交曲线E于A,B和C,D,求四边形ACBD面积的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.A　设C的右焦点为F',由题意可得a=2,c=3,
因为|MF|-|MF'|=2a=4,所以|MF|=|MF'|+4,易得|AF|=3,所以△MAF的周长为|MA|+|MF|+|AF|=|MA|+|MF'|+7≥|AF'|+7=10,即当A,M,F'三点共线,且M在线段AF'上时,△MAF的周长最小,
易得直线AF'的方程为y=-x+3,联立解得y=或y=-1(舍去),即此时M的纵坐标为,故△MAF的面积为|FF'|·|OA|-|FF'|·|yM|=×6×=.故选A.
2.B　由题意可得解得
所以椭圆的方程为+=1,
易得F1(-2,0),设P(x,y),则+=1,即x2=8-2y2,-2≤y≤2,
则·=(2-x,-y)·(-2-x,-y)=x2-4+y2-y=-y2-y+4=-+,当且仅当y=-时,·取得最大值,为,故选B.
3.答案　
解析　设PF1的中点为M,椭圆的右焦点为F2,连接OM,PF2,QM,
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=2,
由OM为△PF1F2的中位线,可得|OM|=|PF2|,
又∵|QM|=|PF1|,
∴|OQ|≤|OM|+|QM|=|PF1|+|PF2|=×2a=a=,当且仅当O,M,Q三点共线时,|OQ|取得最大值,为.
4.答案　4
解析　如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+2,联立整理得y2-8my-16=0,
则y1+y2=8m,y1y2=-16,因为D为OA的中点,所以D,则Q,P(0,y2),从而|PQ|=|OP|+|OQ|=|y2|+≥2=4,当且仅当|y2|=,即y1=4,y2=-2或y1=-4,y2=2时,等号成立.
5.答案　
解析　设两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),根据对称性可知线段AB被直线y=x+t垂直平分,设AB的中点为M(x0,y0),则M在直线y=x+t上,且kAB=-1,故可设直线AB的方程为y=-x+b,联立整理可得3x2-4bx+2b2-2=0,由Δ=16b2-12(2b2-2)>0,可得-∴x1+x2=,y1+y2=2b-(x1+x2)=,
∴x0==,y0==,
∵AB的中点M在直线y=x+t上,
∴=+t,可得t=-,∴-6.答案　(x-4)2+(y-2)2=8
解析　设A(xA,yA),B(xB,yB),因为点A,B在抛物线C:y=上,所以yA=,yB=,两式相减可得yA-yB==,所以=.因为xA+xB=8,所以==1,所以直线l的斜率为1,又因为直线l过抛物线的焦点(0,2),所以直线l的方程为y=x+2,联立可得x2-8x-16=0,解得或不妨设A(4-4,6-4),B(4+4,6+4),点D,因为点D是弧(O为原点)上一动点,所以4-40,因为圆D与直线l相切,所以圆D的面积最大时圆心D到直线l的距离最大.易得点D到直线l的距离d===,当t=4时,dmax=2,此时圆D的方程为(x-4)2+(y-2)2=8.
7.解析　(1)因为动圆E与圆M:(x-1)2+y2=外切,并与直线x=-相切,所以点E到点M的距离比点E到直线x=-的距离大.
因为圆M:(x-1)2+y2=的半径为,所以点E到点M的距离等于点E到直线x=-1的距离,
所以圆心E的轨迹为抛物线,且焦点坐标为(1,0).
所以曲线C的方程为y2=4x.
(2)设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=k(x+2)(k≠0).
由得ky2-4y+8k=0,
则y1+y2=,y1y2=8.
由得-kPA===,同理得kPB=.
由∠APB=90°,得·=-1,
即+y0(y1+y2)+y1y2=-16,
所以+y0+24=0,
由Δ=-96≥0及-所以k的取值范围为∪.
8.解析　(1)由题意得解得
所以椭圆C的方程是+y2=1.
(2)易知P(1,0).由得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,故Δ=64k4-4(1+4k2)(4k2-4)=16+48k2>0恒成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2-2)=.所以线段AB的中点坐标为,所以线段AB的垂直平分线方程为y-=-,于是Q.又因为点P(1,0),所以|PQ|==.
又因为|AB|==,
所以==4
=4.
因为k≠0,所以1<3-<3.所以的取值范围为(4,4).
9.解析　(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则G(x0,0).∵=,∴x=x0,y=y0,∴x0=x,y0=y,
∵点P在圆x2+y2=4上,∴+=4,∴x2+=4,
∴曲线E的方程为x2+y2=4,即+=1.
(2)①当直线AB的倾斜角为0°时,|AB|=4,|CD|=3,
S四边形ACBD =|AB||CD|=6.
同理直线AB的倾斜角为90°时,S四边形ACBD =|AB|·|CD|=6.
②当直线AB的倾斜角不为0°和90°时,
设直线AB的方程为x=my-1(m≠0),
则直线CD的方程为x=-y-1,
联立得(3m2+4)y2-6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,
|AB|=·|y1-y2|=
=
=×6×=12×,
用-代替m得|CD|=12×,
∴四边形ACBD的面积S=|AB||CD|=×12××12×,
令t=m2+1,m≠0,∴t>1,∴0<<1,
∴S=72××=72××=72×=72×,0<<1,
∴≤S<6.
综上所述,四边形ACBD面积的取值范围是.
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