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1.排列的定义包含两个过程:(1)取出元素:从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同
的元素(可分成m步,一步取一个、不放回地取);(2)按序排列:把这m个不同的元素
按照一定的顺序排成一列.因此,两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素及其
排列顺序完全相同.
2.组合是从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,不论次序地构成一组.两个
组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同.
4.2　排列
4.3　组合
1 | 排列与组合概念的理解
1.排列数公式
(1) =n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(常用来求值);
(2) = (常用来化简或证明).
2.组合数公式
(1) = = ;
(2) = ;
(3) = 反映对称性,当m> 时,通常将 转化为 ;
(4) = + .
2 | 排列数公式与组合数公式
1.同一个排列中,同一个元素可以重复出现吗
不可以.
2.在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列发生变化吗
发生.排列是有顺序的,元素位置发生变化,排列就会发生变化.

知识辨析
1.求解此类问题时要注意对公式的选择与灵活应用.
2.解有关排列数、组合数的方程或不等式的步骤
1 与排列数、组合数有关的计算
典例1 (1) + + +…+ 等于 (　 )
A. 　　　　 B.
C. -1　　　 D. -1
(2)解方程:3 =5 ;
(3)解不等式: > .
C
解析 (1) + + +…+ = + + + +…+ - = + + +…+ -1
=…= + -1= -1.
(2)由排列数公式和组合数公式,知原方程可化为3· =5· ,
则 = ,
即(x-3)(x-6)=40,
解得x=11或x=-2.
易知x≥7,则x=11.
(3)由 > 得
6≤n<10.
因为n∈N+,所以原不等式的解集为{6,7,8,9}.
典例2　化简求值:
(1) ;
(2) + + +…+ (n≥2且n∈N+).
解析 (1)
=
= =3.
(2)∵ = - ,
∴ + + +…+ = + + +…+ =1- .
1.“在”与“不在”问题
　　解决此类问题,常用的方法是特殊位置(元素)分析法,遵循的原则是优先排特
殊位置(元素),即需先满足特殊位置(元素)的要求,再处理其他位置(元素),如果有
两个及以上的约束条件,那么在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件;当直
接求解困难时,可考虑用间接法解题.
2.“相邻”与“不相邻”问题
(1)当元素被要求相邻时,通常采用“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体并与
其他元素进行排列.
(2)当元素被要求不相邻时,通常采用“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排
列,再将不相邻元素插在前面元素形成的空中.
2 有限制条件的排列问题
3.“定序”问题
　　在排列问题中,某些元素已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑其
顺序.在具体的计算过程中,可采用“除阶乘法”解决,即n个元素的全排列中有m
(m≤n)个元素的顺序固定,则满足题意的排法有 种.
典例1 7名师生站成一排照相留念,其中有1名老师,4名男学生,2名女学生.分别
求满足下列情况的不同站法的种数.
(1)老师必须站在中间或两端;
(2)2名女学生必须相邻而站;
(3)4名男学生互不相邻;
(4)4名男学生身高都不等,且按从高到低的顺序站.
解析 (1)先考虑老师,有 种站法,
再考虑其余6人,有 种站法,
故不同站法的种数为 =2 160.
(2)2名女学生相邻而站,有 种站法,将她们视为一个整体并与其余5人全排列,有
种站法,
所以不同站法的种数为 =1 440.
(3)先排老师和女学生,有 种站法,再在老师和女学生站位的空(含两端)中插入
男学生,每空一人,则插入方法有 种,所以不同站法的种数为 =144.
(4)在7人全排列的所有站法中,4名男学生不考虑身高顺序的站法有 种,而从高
到低顺序站有从左到右和从右到左2种,所以不同站法的种数为2× =420.
典例2　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个:
(1)无重复数字且个位数字不是5的六位数
(2)无重复数字且为5的倍数的五位数
(3)无重复数字的六位数 若这些六位数按照从小到大的顺序排成一列数,则240 1
35是该列数的第几项
解析 (1)解法一(间接法):
0在十万位或5在个位上时都有 种情况,0在十万位且5在个位上时有 种情况.
故符合题意的六位数共有 -2 + =504(个).
解法二(直接法):
当个位数字为0时,符合题意的六位数有 个;
当个位数字不为0时,符合题意的六位数有 个.
故符合题意的六位数共有 + =504(个).
(2)符合题意的五位数可分为两类:
第一类,个位数字是0的五位数,有 个;
第二类,个位数字是5的五位数,有 个.
故符合题意的五位数的个数为 + =216.
(3)符合题意的六位数共有 - =600(个),
其中十万位数字为1的有 个,十万位数字为2,万位数字为0或1或3的共有3 个,
∵ +3 +1=193,∴240 135是该列数的第193项.
易错警示 含有数字“0”的排列问题隐含了数字“0”不能在首位的条件,应将
其视为有限制条件的元素优先排列问题.若在一个题目中,除了数字“0”以外还
有其他受限制的数字,则应考虑受限制的数字对位置的选择会不会影响数字
“0”对位置的选择,若有影响,则应分类讨论.
1.分组问题的求解策略
(1)非均匀不编号分组:将n个不同元素分成m(m≤n)组,每组元素数目均不相等,依
次记为m1,m2,…,mm,不考虑各组间的顺序,不管是否分尽,分法种数N= · ·
·…· .
(2)均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m(m≤n)组,假定其中r组元素个
数相等,不管是否分尽,其分法种数为 (其中N为非均匀不编号分组中的分法种
数).若再有k组均匀分组,则应再除以 .
(3)非均匀编号分组:将n个不同元素分成m(m≤n)组,各组元素数目均不相等,且考
虑各组间的顺序,其分法种数为N· (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).
(4)均匀编号分组:将n个不同元素分成m(m≤n)组,其中r组元素个数相等且考虑各
3 分组与分配问题
组间的顺序,其分法种数为 · (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).
2.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,那么可看作排成一行的小
球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的
方法对应着小球放入盒子的一种方法,此方法称为隔板法.隔板法专门用于解决
相同元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有 种方法.可理解为(n-1)个
空中插入(m-1)块板.
典例1　把10个相同的小球分别放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子
中的小球数不小于盒子的编号数,则不同的方法共有　 15　 种.
解析 在编号为2,3的两个盒子中分别放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球,则
问题变为求把7个相同的小球分别放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少
放一个小球的不同方法的种数,由隔板法可知共有 =15种方法.
典例2　按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法
(1)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(2)分成三份,一份4本,另外两份每份1本.
解析 (1)先从6本书中选择1本,有 种方法,再从剩余5本书中选择2本,有 种方
法,还剩3本书全选,有 种方法,所以总共有 =60种方法,再在此基础上进行
分配,所以有 =360种方法.
(2)从6本书中选择4本书的方法有 种,从剩余2本书中选择1本书的方法有 种,
因为在最后2本书的选择中发生了重复,所以分配方法共有 =15(种).
　　解决排列、组合问题首先要区分是排列问题还是组合问题,有序则用排列知
识求解,无序则用组合知识求解,要遵循两个原则:
(1)按元素(或位置)的性质进行分类;
(2)按事情发生的过程进行分步.
4 排列、组合的综合问题
典例　如图,一个正方形花圃被分成5部分.
(1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、
绿4种颜色的花可选,问有多少种不同的种植方法
(2)若在这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同
的放法
A B C D E
解析 (1)先给A部分种植,有4种不同的种植方法;再给B部分种植,有3种不同的种
植方法;最后给C部分种植,分两类:
①若C与B相同,则D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有4×3×1×2
×2=48种不同的种植方法;
②若C与B不同,则C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种不同
的种植方法,共有4×3×2×1×2=48种不同的种植方法.
综上,共有48+48=96种不同的种植方法.
(2)将7个盆栽分成5组,每组至少有1个盆栽,有2种分法:
①若分成2,2,1,1,1的5组,有 种分法;
②若分成3,1,1,1,1的5组,有 种分法.
将分好的5组全排列,对应5个部分,
则一共有 × =16 800种放法.4.3　组合
基础过关练
题组一　对组合概念的理解与简单的组合问题
1.(多选)给出下列问题,属于组合问题的有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法
B.有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法
C.某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种
D.从2,3,5,7,11中任选两个数相乘,可以得到多少个不同的积
2.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为(　　)
A.70　　B.64　　C.60　　D.58
题组二　组合数公式及其性质的简单应用
3.(多选)若a=+,下列结论正确的是(　　)
A.n=10　　　　B.n=11
C.a=466　　　　D.a=233
4.不等式<的解集是　　　　　　　.
5.若+++…+=363,则正整数n=　　　　.
6.已知则x=　　　　.
题组三　“含”与“不含”问题
7.(多选)从6名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛,则下列说法正确的有(　　)
A.如果4人中男、女生各有2人,那么有30种不同的选法
B.如果男生甲和女生乙必须在内,那么有28种不同的选法
C.如果男生甲和女生乙至少有1人在内,那么有140种不同的选法
D.如果4人中必须既有男生又有女生,那么有184种不同的选法
题组四　分组与分配问题
8.在中国传统佳节元宵节中,赏花灯是常见的活动.某单位拟举办庆祝元宵节的活动,购买了A,B,C三种类型的花灯,其中A种花灯4个,B种花灯5个,C种花灯1个,现从中随机抽取4个花灯,则A,B,C三种花灯各至少被抽取一个的选法种数为(　　)
A.30　　　　B.70
C.40　　　　D.84
9.某交通岗共有3人,从周一到周日的7天中,每天安排1人值班,每人至少值2天,则不同的排法种数为(　　)
A.5 040　　　　B.1 260
C.210　　　　D.630
10.将编号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球随机地放入编号分别为1,2,3,4,5,6的6个盒子中,每个盒子放一个小球,则恰好有4个小球的编号与其所在盒子的编号不一致的放法种数为(　　)
A.45　　　　B.90
C.135　　　　D.180
11.某校得到北京大学给的10个推荐名额,现准备将这10个推荐名额分配给高三年级的6个班级(每班至少一个名额),则该校高三(1)班恰好分到3个名额的概率为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
12.某影院一排有10个座位,选出3个用于观影,要求选出座位的左、右两边都是空位,则不同的选法有　　　　种.(用数字作答)
题组五　排列与组合的综合问题
13.某单位有四个不同的垃圾桶,因为场地限制,要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落,每个角落至少摆放一个,则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落,那么它们的位置关系不作考虑)(　　)
A.18种　　　　B.24种
C.36种　　　　D.72种
14.在数学中,有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数,被称为“回文数”.如44,585,2 662等,那么用数字1,2,3,4,5,6可以组成4位“回文数”的个数为(　　)
A.30　　　　B.36
C.360　　　　D.1 296
15.从6人中选出4人分别到北京、上海、深圳和广州4个城市游览,要求每个城市有1人游览,每人只游览1个城市,则这6人中甲、乙两人不去北京游览的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
16.有5名男生和3名女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法种数.
(1)女生甲担任语文课代表;
(2)男生乙必须包括在内,但不担任语文课代表;
(3)女生甲担任语文课代表,男生乙担任课代表,但不担任数学课代表.
17.从1到9这九个数字中任取3个偶数和4个奇数,试问:
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数
(2)在(1)中的七位数中,3个偶数排在一起的有多少个
(3)在(1)中的七位数中,3个偶数排在一起、4个奇数也排在一起的有多少个
(4)在(1)中的七位数中,任意2个偶数都不相邻的有多少个
能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　组合数公式及其性质的综合应用
1.化简:1++++…+=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　B.　　C.　　D.
2.(多选)下列等式正确的是(　　)
A.+m=　　　　
B.r=n
C.=++　　　　
D.=
题组二　组合的应用
3.北京冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红、迎春黄、天霁蓝、长城灰、瑞雪白,间色包括天青、梅红、竹绿、冰蓝、吉柿,辅助色包括墨、金、银.若各赛事纪念品的色彩设计要求主色一种或两种,间色两种,辅助色一种,则某个纪念品的色彩搭配中包含瑞雪白、冰蓝、银这三种颜色的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.安排A,B,C,D,E,F共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两名义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,则安排方法共有(　　)
A.30种　　B.40种　　C.42种　　D.48种
5.某国际旅行社现有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人既会英语又会法语,现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则不同的选法种数为(　　)
A.225　　B.185　　C.145　　D.110
题组三　排列与组合的综合应用
6.为了加强新冠疫苗的接种工作,某医院欲从5名医生和4名护士中选3人(医生和护士均至少有一人)分配到A,B,C三个地区参加医疗支援工作(每个地区一人),要求医生不能去A地区,则不同的分配方案共有(　　)
A.264种　　B.224种　　C.200种　　D.236种
7.有6个座位连成一排,安排3个人就座,则恰有两个空位相邻的不同坐法有　　　　种.(用数字作答)
8.现有分别标有1,2,3,4,5,6,7的七张卡片.
(1)若将七张卡片作为历史、地理、物理、化学、生物五本书的书签,每本书至少有一个书签,则共有多少种不同的分配方法
(2)将七张卡片打乱,任意摸出四张卡片,记下卡片上的数字,若将这四个数字都填在下面的五个空格中,要求每个空格填一个数字,且相邻的两个空格不能填相同的数字,则共有多少种不同的填法
(3)若将七张卡片排成一排,求编号为1,2,3的卡片按从左到右、由小到大的顺序连排的概率.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.BCD　
2.D　由题意知三棱锥的4个顶点不共面,从正方体的8个顶点中任选4个,有种选法,其中共面的有12种,∴符合题意的三棱锥有-12=58(个).故选D.
3.AC　由题意可知
解得9.5≤n≤10.5,∵n∈N+,∴n=10,
∴a=+=+=+31=466.故选AC.
4.答案　{0,1,2,3}
解析　根据题意得,
即
解得0≤n<4,n∈N,∴n=0,1,2,3,∴原不等式的解集为{0,1,2,3}.
5.答案　13
解析　由+++…+=363,
得1++++…+=364,
即++++…+=364.
又+=,所以++++…+=+++…+=+++…+=…=,所以=364,
即=364,解得n=13.
6.答案　5
解析　由=可得x=2x(舍去)或x+2x=n,
所以x=,
所以=,即=·,
化简得11··=3··,
即11n(n+3)=6n(2n+3),解得n=15(n=0舍去),所以x=5.
7.BC　对于A,从6名男生中任选2人的选法有=15(种),从4名女生中任选2人的选法有=6(种),故共有15×6=90种不同的选法,A错误;对于B,从除了男生甲和女生乙以外的8人中任选2人,有=28种不同的选法,B正确;对于C,从10人中任选4人,有=210种不同的选法,甲、乙都不在其中的选法有=70(种),故所求选法有210-70=140(种),C正确;对于D,从10人中任选4人,有=210种不同的选法,只有男生的选法有=15(种),只有女生的选法有=1(种),则4人中既有男生又有女生的选法有210-15-1=194(种),D错误.故选BC.
8.B　有两种情况:A种花灯选2个,B种花灯选1个,C种花灯选1个,有=30种选法;A种花灯选1个,B种花灯选2个,C种花灯选1个,有=40种选法.故不同的选法共有30+40=70(种).故选B.
9.D　把7天按照2天,2天,3天分成三组,有=105种分法,3个人各选1组值班,共有=6种选法,所以不同的排法种数为105×6=630.故选D.
10.C　从6个盒子中任选2个,放入与其编号相同的小球,共有种选法,剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不相同,假设剩下的小球编号分别为1,2,3,4,则1号小球放2、3、4号盒子,有3种放法,剩下的3个小球放入剩下的3个盒子,有3种放法,故不同的放法有3×3×=135(种).故选C.
11.B　本题相当于将10个相同的小球分成6组,每组至少1个,可将10个小球排成一行,然后在除两端的9个空位中选取5个,插入隔板,共有=126种方法.
若高三(1)班恰好分到3个名额,则只需将剩下的7个名额分给5个班,共有=15种方法,
从而高三(1)班恰好分到3个名额的概率为=.故选B.
12.答案　20
解析　先将其中的7个空位排成一排,有6个空隙,再把三个座位放在其中的3个空隙中,共有=20种不同的选法.
13.C　易知有一个角落放两个垃圾桶,先选出两个垃圾桶,有种选法,再与另外两个垃圾桶摆放在三个不同的角落,有种放法,所以不同的摆放方法共有=6×6=36(种),故选C.
14.B　当回文数由一个数字组成时,有个;当回文数由两个数字组成时,有个.故共有+=36(个),故选B.
15.B　基本事件总数为=360.这6人中甲、乙两人不去北京游览分三种情况:①不选甲、乙两人去游览,有=24种情况;②甲、乙两人有一人去游览,有=144种情况;③甲、乙两人都去游览,有=72种情况.所以不同的选择方案有24+144+72=240(种),故所求概率为=,故选B.
16.解析　(1)除去女生甲,先选后排,不同的选法种数为=840.
(2)先选后排,优先安排男生乙,不同的选法种数为=3 360.
(3)先从除去女生甲和男生乙的6人中选3人,再安排男生乙,最后将其余3人全排列,所以不同的选法种数为=360.
17.解析　(1)分三步完成:第一步,在4个偶数中取3个,有种情况;
第二步,在5个奇数中取4个,有种情况;
第三步,将3个偶数,4个奇数进行全排列,有种情况.
所以符合题意的七位数有=100 800(个).
(2)在(1)中的七位数中,3个偶数排在一起的有=14 400(个).
(3)在(1)中的七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有=5 760(个).
(4)在(1)中的七位数中,任意2个偶数都不相邻,可先把4个奇数排好,再将3个偶数分别插入到5个空位中,共有=28 800(个).
能力提升练
1.C　1++++…+=++++…+=++++…+=…=.故选C.
2.ABD　选项A,左边=+m·= ==右边,正确;
选项B,右边=n·=·=r·=左边,正确;
选项C,右边=+=≠左边,错误;
选项D,右边=·
=
==左边,正确.故选ABD.
3.B　当主色只选一种时,共有=150种色彩搭配方案,其中包含瑞雪白、冰蓝、银的有=4(种);当主色选两种时,共有=300种色彩搭配方案,其中包含瑞雪白、冰蓝、银的有=16(种).故所求概率为=,故选B.
4.C　由题意可知共有=90种安排方法,其中A照顾老人甲的情况有=30(种),B照顾老人乙的情况有=30(种),A照顾老人甲,同时B照顾老人乙的情况有=12(种),故符合题意的安排方法有90-30-30+12=42(种),故选C.
5.B　分三类:①既会英语又会法语的2人均未入选,有=5种选法.②既会英语又会法语的2人中有1人入选,此时分该人当英语翻译和法语翻译两种情况,有+=60种选法.③既会英语又会法语的2人均入选,这时分三种情况:两个都当英文翻译;两个都当法语翻译;一人当英语翻译,一人当法语翻译,有++=120种选法.故共有5+60+120=185种不同的选法.故选B.
6.C　当选取的是1名医生,2名护士时,有=30种选法,分配到A,B,C三个地区(每个地区一人),且医生不能去A地区,有2=4种分法,故共有30×4=120种方案;当选取的是2名医生,1名护士时,有=40种选法,分配到A,B,C三个地区(每个地区一人),且医生不能去A地区,有=2种分法,故共有40×2=80种方案.综上所述,不同的分配方案共有120+80=200(种).故选C.
7.答案　72
解析　设6个座位的编号分别为1,2,3,4,5,6.当1,2号座位为空时,另一空位在4,5,6号中产生,共有种可能;当2,3号座位为空时,另一空位在5,6号中产生,共有种可能;当3,4号座位为空时,另一空位在1,6号中产生,共有种可能;4,5号座位为空和2,3号座位为空的情况相同;5,6号座位为空和1,2号座位为空的情况相同.故不同坐法的种数为(+)×2+=72.
8.解析　(1)把7张卡片分成3,1,1,1,1和2,2,1,1,1两种情况,再分配给5本书,故共有·=16 800种不同的分配方法.
(2)将这四个数字填在五个空格中,则有1个数字用两次.先将用一次的3个数字全排列,形成4个空,再将用两次的数字插入即可,故共有=5 040种不同的填法.
(3)七张卡片排成一排,有种排法,其中编号为1,2,3的卡片按从左到右、由小到大的顺序连排有种排法,故所求概率为=.
144.2　排列
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　对排列概念的理解
1.(多选)下列问题中,属于排列问题的有(　　)
A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长,共有多少种不同的选取方法
B.从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加志愿者活动,共有多少种不同的选取方法
C.平面上有五个点,任意三点不共线,这五个点最多可确定多少条直线
D.从1,2,3,4四个数字中任选两个组成一个两位数,共有多少个不同的两位数
2.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和 ②相除可得多少个不同的商 ③作为椭圆+=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程 ④作为双曲线-=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程
上面四个问题属于排列问题的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.①②③④　　　　B.②④
C.②③　　　　D.①④
题组二　排列数与排列数公式
3.(多选)下列各式中与排列数相等的是(　　)
A.　　　　
B.n(n-1)(n-2)…(n-m)
C.　　　　
D.
4.计算:=　　　　.
5.(1)解不等式:3≤2+6;
(2)解方程:=140.
题组三　简单的排列问题
6.已知直线l:mx+ny=0,若m,n∈{1,2,3,4,5,6},则能得到的不同直线的条数是(　　)
A.22　　B.23　　C.24　　D.25
7.3张卡片正、反面分别标有数字1和2,3和4,5和7,若将3张卡片并列组成一个三位数,则可以得到　　　　个不同的三位数.
题组四　特殊元素与特殊位置问题
8.某校要安排一场文艺晚会的10个节目的演出顺序,除第1个节目和最后1个节目已确定外,3个音乐节目要求排在第2,5,7的位置,3个舞蹈节目要求排在第3,6,8的位置,2个曲艺节目要求排在第4,9的位置,则不同排法的种数是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.14　　　　B.24
C.36　　　　D.72
9.由0,1,2,3,4这5个数字组成不同的五位偶数的个数为(　　)
A.24　　B.54　　C.60　　D.72
10.将分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为8,则不同的排法共有　　　　种.
11.某地有7个著名景点,其中5个为日游景点,2个为夜游景点.某旅行团要从这7个景点中选5个作为两日游的旅游地.行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点,第二天上午、下午各一个景点.
(1)行程共有多少种不同的排法
(2)甲、乙两个日游景点恰选1个的不同排法有多少种
(3)甲、乙两个日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种
题组五　“相邻”与“不相邻”问题
12.小明与父母、爷爷、奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐一排.若小明的父母都与他相邻,则不同坐法的种数为(　　)
A.6　　B.12　　C.24　　D.48
13.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A.144　　B.120　　C.72　　D.48
14.航空母舰山东舰在某次舰载机起降飞行训练中,有5架飞机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰,则不同的着舰方法有(　　)
A.36种　　B.24种　　C.16种　　D.12种
15.现将6张连号的电影票分给甲、乙等六人,每人1张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有　　　　种不同的分法(用数字作答).
16.某小区有排成一排的6个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的3个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为　　　　.
题组六　“定序”问题
17.元宵节灯展后,悬挂的8盏不同的花灯需要取下,如图所示,每次取1盏,则不同的取法有(　　)
A.32种　　B.70种　　C.90种　　D.280种
18.若把英文单词“anyway”的字母顺序写错,则可能出现错误写法的种数为　　　　.
能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　排列问题
1.学校要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案的种数为(　　)
A.12　　　　B.24
C.30　　　　D.36
2.(多选)A,B,C,D,E五个人并排站在一起,则下列说法正确的有(　　)
A.A,B两人站在一起有24种排法
B.A,B不相邻共有72种排法
C.A在B的左边有60种排法
D.A不站在最左边,B不站在最右边,有78种排法
3.某车队有6辆车,现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务,要求甲、乙两车必须参加,且甲车要先于乙车开出,则共有　　　　种不同的调度方案.(用数字作答)
4.“五一”假期期间,我校欲安排甲、乙、丙等7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙两人都不安排在5月1日和5月2日,同时丙不安排在5月7日,则不同的排法有　　　　种.(用数字作答)
5.如图,对A,B,C,D,E,F六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择,则共有　　　　种不同的染法.
6.有0,1,2,3,4这五个数字.
(1)能组成多少个无重复数字的五位数
(2)能组成多少个无重复数字且数字1与3相邻的五位数
(3)组成无重复数字的五位数中,比21 034大的数有多少个
题组二　排列与概率的综合应用
7.在高三年级毕业成人礼活动中,要求A,B,C三个班级各出三名同学,组成3×3小方阵,则来自同一班级的同学既不在同一行,也不在同一列的概率为　　　　.
8.5名师生站成一排照相留念,其中1名教师,2名男生,2名女生.
(1)求两名女生相邻而站的概率;
(2)求教师不站中间且女生不站两端的概率.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.AD　
2.B　∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,∴②是排列问题;若方程+=1(a>0,b>0)表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,故③不是排列问题;在双曲线-=1(a>0,b>0)中不管a>b还是a3.AD　=,A正确;
n(n-1)(n-2)…(n-m)=≠,B错误;
==≠,C错误;
=n×==,D正确.
故选AD.
4.答案　
解析　=
===.
5.解析　(1)原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1),且x≥3,
解得3≤x≤5,
易知x∈N+,所以原不等式的解集为{3,4,5}.
(2)易得所以x≥3,且x∈N+,
由=140,得
2x(2x+1)(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
化简,得4x2-35x+69=0,
解得x1=3,x2=(舍去).
所以原方程的解为x=3.
6.B　当m,n相等时,只能得到1条直线;当m,n不相等时,有=30种情况,但==,==,=,=,=,=,重复了8条直线,因此共能得到1+30-8=23条不同的直线.故选B.
7.答案　48
解析　分两步:
第一步:确定排在百位、十位、个位上的卡片,即3个元素的一个全排列,即;
第二步:分别确定百位、十位、个位上的数字,各有2种选法,即23.
根据分步乘法计数原理,可以得到×23=48个不同的三位数.
8.D　由题意得3个音乐节目有=6种排法,3个舞蹈节目有=6种排法,2个曲艺节目有=2种排法,则共有6×6×2=72种不同的排法,故选D.
9.C　当个位数字是0时,五位偶数的个数为=24,
当个位数字不是0时,五位偶数的个数为=36,故所求五位偶数的个数为24+36=60.故选C.
10.答案　64
解析　分两步:①中间行的两张卡片上的数字之和为8,则中间行的数字只能为2,6或3,5,共有2=4种排法;②将剩下的4个数字安排在其他4个位置,有4×2×=16种排法,则共有4×16=64种不同的排法.
11.解析　(1)先排夜游景点,有2种排法,再排日游景点,有=120种排法,故共有2×120=240种不同的排法.
(2)先排夜游景点,有2种排法,再排甲或乙,有2×4=8种排法,最后排其他日游景点,有=6种排法,故共有2×8×6=96种不同的排法.
(3)先排夜游景点,有2种排法,再排甲和乙,有·=4种排法,最后排其他日游景点,有=6种排法,故共有2×4×6=48种不同的排法.
12.B　先将小明父母与小明三人进行捆绑,其中小明居于中间,共有种不同的坐法,将其看成一个元素,再与其他两人进行全排列,有种不同的坐法,故不同坐法的种数为=12.故选B.
13.B　先考虑只有3个歌舞类节目不相邻,排法有=144(种),再考虑3个歌舞类节目不相邻,2个小品类节目相邻的排法有=24(种),因此同类节目不相邻的排法种数是144-24=120.故选B.
14.A　将甲、乙看成一个整体,与丁不相邻的排法有=24(种),甲、乙、丁相邻且乙在中间的排法有=12(种),所以共有24+12=36种着舰方法.故选A.
15.答案　240
解析　将甲、乙分得的电影票看成一个整体,共有5=10种分法,其余四人每人分得1张电影票,共有=24种分法,故共有10×24=240种不同的分法.
16.答案　24
解析　先把3辆车排列,共有=6种方法,再把剩余的3个车位看成一个整体,插入4个空位里,共有=4种方法.故共有6×4=24种不同的停放方法.
17.B　因为取花灯时每次只能取一盏,所以每串花灯必须先取下面的花灯,即每串花灯取下的顺序确定,故不同的取法有=70(种).故选B.
18.答案　179
解析　英文单词“anyway”中有2个“a”,2个“y”,1个“n”,1个“w”,这6个字母的排列顺序共有=180(种),则可能出现错误写法的种数为180-1=179.
能力提升练
1.D　分两种情况:①小张和小赵中有且只有一人从事前两项工作中的一项,再安排剩余三人从事其他三项工作,不同的选派方案的种数为2=24;②小张和小赵两人都从事前两项工作,再从剩余三人选两人从事其他两项工作,不同的选派方案的种数为=12.故不同的选派方案的种数为24+12=36.故选D.
2.BCD　将A,B看成一个整体,和剩余的3人全排列,共有=48种排法,A不正确;先将A,B之外的3人全排列,产生4个空,再将A,B两元素插空,共有=72种排法,B正确;5人全排列,其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的,所以A在B的左边的排法有=60(种),C正确;对A分两种情况:①若A站在最右边,则剩下的4人全排列,有=24种排法,②若A不站在最左边也不站在最右边,则A从中间的3个位置中任选1个,然后B从除最右边的3个位置中任选1个,最后剩下3人全排列,共有=54种排法,由分类加法计数原理可知,共有24+54=78种排法,D正确.故选BCD.
3.答案　72
解析　当甲车排1号时,乙车可排2,3,4号,有3种选择;当甲车排2号时,乙车可排3,4号,有2种选择;当甲车排3号时,乙车只可排4号,只有1种选择.除甲、乙两车外,在其余4辆车中任意选取2辆按顺序排列,有种选法,因此共有(3+2+1)·=72种不同的调度方案.
4.答案　2 112
解析　当甲、乙两人中有一人排在5月7日,另一人排在3,4,5,6日时,剩余5人全排列,共有=960种排法;当甲、乙两人均排在3,4,5,6日时,丙只有种排法,剩余4人全排列,共有=1 152种排法.故不同的排法共有960+1 152=2 112(种).
5.答案　96
解析　分两类:①仅用三种颜色染色,则A与F同色,B与D同色,C与E同色,即从四种颜色中取三种,有4种取法,用三种颜色染三个区域有=6种染法,共有4×6=24种染法;②用四种颜色染色,即A与F,B与D,C与E三组中有一组不同色,有3种方案,将四种颜色全排列,有=24种排法,共有3×24=72种染法.由分类加法计数原理可得,不同的染法种数为24+72=96.
6.解析　(1)先排数字0,0只能占除最高位外的其余四个数位,有种情况,再排其他数字,有种情况,故满足题意的数字共有=96(个).
(2)把1和3视为一个整体与其他3个元素全排列,且0不在最高位,同(1)有=36(个),
故满足题意的数共有36个.
(3)分两类:
①万位比2大的五位数有=48(个);
②万位是2的五位数中,千位比1大的有=12(个),千位是1,百位比0大的有=4(个),千位是1,百位是0,十位比3大的有1个.
由分类加法计数原理知,共有48+12+4+1=65(个),
故满足题意的数共有65个.
7.答案　
解析　A,B,C三个班级各出三名同学组成3×3小方阵,有种安排方法.若来自同一班级的同学既不在同一行,也不在同一列,则分两步:①第一行班级的排法有=6(种),第二行班级的排法有2种,第三行班级的排法有1种;②第一行的人员安排方法有3×3×3=27(种),第二行的人员安排方法有2×2×2=8(种),第三行的人员安排方法有1×1×1=1(种).故所求概率为=.
8.解析　5名师生站成一排照相留念共有=120种站法.
(1)记“两名女生相邻而站”为事件A,将两名女生视为一个整体与其余3个人全排列,有种排法,两名女生可互换位置,所以共有=48种不同站法,则P(A)==,
即两名女生相邻而站的概率为.
(2)记“教师不站中间且女生不站两端”为事件B,事件B分两类:①教师站在一端,另一端由男生站,有=24种站法;②两端全由男生站,教师站除两端和正中间外的2个位置之一,有=8种站法.
所以事件B共包含24+8=32种不同站法,
则P(B)==,
即教师不站中间且女生不站两端的概率为.
6

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