资源简介

4.4　二项式定理
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　二项式定理及其应用
1.若(1+)4=a+b(a,b均为有理数),则a+b=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.33　　B.29　　C.23　　D.19
2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=(　　)
A.x5　　　　B.x5-1
C.x5+1　　　　D.(x-1)5-1
3.设A=37+×35+×33+×3,B=×36+×34+×32+1,则A-B的值为(　　)
A.128　　　　B.129
C.47　　　　D.0
4.已知3n+3n-1+3n-2+…+3+=212,则n=　　　　 .
题组二　二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
5.在的展开式中,中间一项的二项式系数为(　　)
A.20　　　　B.-20
C.15　　　　D.-15
6.已知的展开式中含的项的系数为-80,则实数a=(　　)
A.-2　　　　B.2
C.-　　　　D.
7.已知(n∈N+)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x3的系数为(　　)
A.14　　　　B.
C.240　　　　D.-240
8.(1+2x)6的展开式中含x3的项的系数为　　　　.
9.已知在的展开式中,第5项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
题组三　二项式系数和及项的系数和
10.若的展开式中各二项式系数之和为256,则其展开式中各有理项系数之和为(　　)
A.85　　　　B.84
C.57　　　　D.56
11.已知的展开式中各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M-N=992,则展开式中含x2的项的系数为(　　)
A.90　　　　B.180
C.360　　　　D.540
12.观察如图所示的三角形数阵,则该数阵最后一行各数之和为　　　　.
1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　6　4　1
……
1　10　45　…　45　10　1
题组四　二项式系数的性质
13.(多选)已知(a>0)的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是(　　)
A.展开式中各偶数项的二项式系数和为512
B.展开式中第5项和第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x4的项的系数为210
14.若的展开式中,仅有第6项的二项式系数取得最大值,则展开式中含的项的系数是　　　　.
15.设n为正整数,(a+b)2n的展开式的二项式系数的最大值为x,(a+b)2n+1的展开式的二项式系数的最大值为y,若13x=7y,则n=　　　　.
16.已知(n∈N+)的展开式的第5项的系数与第3项的系数之比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和;
(2)求展开式中含的项;
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
能力提升练
题组一　与项的系数(和)、二项式系数(和)有关的问题
1.(x-2+y)6的展开式中,x2y2的系数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.360　　B.180　　C.90　　D.-180
2.已知(1-2x)n的展开式中,各奇数项的二项式系数之和为64,则(1-2x)n的展开式中的常数项为(　　)
A.-14　　B.-13　　C.1　　D.2
3.(多选)已知(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+…+a2 021x2 021,下列结论中正确的是(　　)
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 021
B.展开式中所有奇次项系数的和为
C.展开式中所有偶次项系数的和为
D.+++…+=-1
4.(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)20中,x2的系数为　　　　.
题组二　二项式系数的性质
5.在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,且所有项的系数和为0,则展开式中含x6的项的系数为(　　)
A.45　　B.-45　　C.120　　D.-120
6.(多选)已知的展开式中各二项式系数之和为64,则下列结论正确的是(　　)
A.展开式中各项系数之和为36
B.展开式中二项式系数最大的项为160
C.展开式中无常数项
D.展开式中系数最大的项为90x3
7.已知的展开式的各二项式系数之和比(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和大992,求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
题组三　二项式定理的应用
8.假设今天是星期二,那么经过22 021天后是(　　)
A.星期三　　　　B.星期四
C.星期五　　　　D.星期六
9.(多选)中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=+×3+×32+…+×320,a≡b(mod 5),则b的值可以是(　　)
A.2 005　　B.2 006　　C.2 020　　D.2 021
10.若n是正奇数,则7n+7n-1+7n-2+…+7被9除的余数为(　　)
A.2　　B.5　　C.7　　D.8
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　∵(1+)4=()0+()1+()2+·()3+()4=17+12=a+b,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.B　逆用二项式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.故选B.
3.A　A-B=×37-×36+×35-×34+×33-×32+×31-×30=(3-1)7=27=128.
4.答案　6
解析　3n+3n-1+3n-2+…+3+=3n·10+3n-1·11+3n-2·12+…+31·1n-1+30·1n=(3+1)n=4n=212,即22n=212,得n=6.
5.A　的展开式中共有7项,中间一项是第4项,对应的二项式系数为=20,故选A.
6.B　的展开式的通项为Tk+1=x5-k=(-a)kx5-2k,其中k=0,1,2,3,4,5,令5-2k=-1,解得k=3,所以展开式中含的项的系数为(-a)3=-80,解得a=2.故选B.
7.C　的展开式的通项为Tr+1=(2x)n-r·(0≤r≤n,r∈N),由题可得∶=2∶5,即5=2,故5n=n(n-1),解得n=6(n=0舍去),所以Tr+1=26-r(-1)r,令6-r=3,解得r=2,所以x3的系数为26-2(-1)2=15×16×1=240,故选C.
8.答案　-516
解析　(1+2x)6=x(1+2x)6-(1+2x)6,因为(1+2x)6的通项为Tk+1=(2x)k=2kxk(0≤k≤6,k∈N),所以(1+2x)6的展开式中含x3的项为x·22x2-·25x5=-516x3.故(1+2x)6的展开式中含x3的项的系数为-516.
9.解析　(1)的展开式的通项为Tr+1=·()n-r=(0≤r≤n,r∈N).
因为展开式中的第5项为常数项,
所以当r=4时,有=0,解得n=8.
(2)由(1)知n=8,故展开式的通项为Tr+1=·(0≤r≤8,r∈N),令=2,解得r=1,
故所求系数为=-4.
(3)由题意得
所以r可取1,4,7,对应的有理项分别为T2=-4x2,T5=,T8=-,
故展开式中所有的有理项为-4x2,,-.
10.A　由题可得2n=256,解得n=8,故其展开式的通项为Tr+1=()8-r=(0≤r≤8,r∈N),
令r=2,5,8,得其展开式中各有理项系数之和为++=85,故选A.
11.A　令x=1,则=M,即4n=M,易知+++…+=2n=N,由M-N=992,得4n-2n=992,令2n=t,则t2-t-992=0,解得t=32(负值舍去),即2n=32,故n=5,则=,其展开式的通项为Tr+1=xr=35-r(0≤r≤5,r∈N),令r=3,则展开式中含x2的项的系数为35-3=10×9=90,故选A.
12.答案　1 024
解析　由题图得最后一行各数之和为+++…+=210=1 024.
13.AD　由题意知=,∴n=10,∴=,令x=1,则(1+a)10=210=1 024,∴a=1.
对于A,展开式中各偶数项的二项式系数和为×210=512,故A正确;对于B,∵n=10,∴展开式中共有11项,中间项为第6项,该项的二项式系数最大,该项的系数也是其二项式系数,故B错误;对于C,展开式的通项为Tr+1=··x10-r=·(0≤r≤10,r∈N),令10-r=0,得r= Z,故展开式中不存在常数项,故C错误;对于D,令10-r=4,得r=4,故展开式中含x4的项的系数为=210,故D正确.故选AD.
14.答案　-
解析　因为仅有第6项的二项式系数取得最大值,所以=6-1,即n=10,故=,
其展开式的通项为Tr+1==·(-2)r,令5-r=,解得r=3,∴展开式中含的项的系数为··(-2)3=-.
15.答案　6
解析　由题意知x=,y=,又13x=7y,所以13=7,即13·=7·,
则13=7×,所以13×(n+1)=7×(2n+1),解得n=6.
16.解析　由题意知,第5项的系数为·(-2)4,第3项的系数为·(-2)2,则=10,
化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故该式为.
(1)令x=1,得各项系数的和为(1-2)8=1.
(2)展开式的通项为Tr+1=()8-r·=(-2)r,令4-=,得r=1,故展开式中含的项为T2=-16.
(3)展开式中的第r项,第(r+1)项,第(r+2)项的系数的绝对值分别为·2r-1,·2r,·2r+1,设第(r+1)项的系数的绝对值最大,
则解得5≤r≤6(r∈N+).
又第6项的系数为负,所以系数最大的项为T7=1 792x-11.
由n=8知第5项的二项式系数最大,即T5=1 120x-6.
能力提升练
1.A　(x-2+y)6=[x+(y-2)]6,其展开式的通项为Tr+1=·x6-r·(y-2)r(0≤r≤6,r∈N),而(y-2)r的展开式的通项为Tk+1=·yr-k·(-2)k(0≤k≤r,k∈N),令r=4,k=2,可得x2y2的系数为(-2)2=360.故选A.
2.B　由条件可知2n-1=64,所以n=7,则(1-2x)n·=(1-2x)7=(1-2x)7+,易知(1-2x)7的展开式的常数项是17=1,的展开式的常数项是·16·(-2)=-14,所以原式的展开式中的常数项是1-14=-13.故选B.
3.ACD　令x=1,有a0+a1+a2+…+a2 021=-1①,令x=-1,有a0-a1+a2-a3+…+a2 020-a2 021=32 021②.A:展开式中所有项的二项式系数的和为++…+=22 021,正确;B:由①-②可得a1+a3+a5+…+a2 021=-,错误;C:由①+②可得a0+a2+a4+…+a2 020=,正确;D:令x=0,有a0=1,令x=,有a0+++…+=0,故++…+=-1,正确.故选ACD.
4.答案　1 330
解析　(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)20中,x2的系数为+++…+=+++…+=++…+====1 330.
5.A　由题意得+1=6,解得n=10,
∴=x+10.
∵展开式的所有项的系数和为0,
∴令x=1,得(1+a)10=0,∴a=-1.
∴=,其展开式的通项为Tr+1=x10-r=(-1)rx10-2r(0≤r≤10,r∈N),
令10-2r=6,解得r=2,∴展开式中含x6的项的系数为(-1)2==45.故选A.
6.AB　因为的展开式中各二项式系数之和为64,所以2n=64,解得n=6,所以该式为,其展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r·=26-r(0≤r≤6,r∈N).对于A,令x=1,可得展开式中各项系数之和为36,所以A正确;对于B,第4项的二项式系数最大,此时r=3,则展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3·=160,所以B正确;对于C,令6-r=0,得r=4,所以展开式中的常数项为T5=26-4=60,所以C错误;对于D,令第(r+1)项的系数最大,则解得≤r≤,因为r∈N,所以r=2时,所对应的项的系数最大,即展开式中系数最大的项为T3=24x3=240x3,所以D错误.故选AB.
7.解析　(+x2)2n的展开式的各二项式系数之和为22n,(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和为2n+1-1=2n.
由题意得22n-2n=992,解得n=5,
所以=.
(1)的展开式中二项式系数最大的项为第51项,即(2x)50=250.
(2)的展开式的通项为Tr+1=(2x)100-r·=·2100-r·(-1)r·x100-2r(0≤r≤100,r∈N),其系数的绝对值为·2100-r,设系数的绝对值最大的项是第(k+1)项,
则解得≤k≤,
易知k≤100,k∈N,∴k=33,
∴系数的绝对值最大的项为第34项,即T34=·2100-33·(-1)33·x100-2×33=-·267·x34.
8.D　22 021=4×22 019=4×8673=4×(7+1)673=4(·7673+·7672+…+·7+),由于·7673+·7672+…+·7+中,除了,其余各项都能被7整除,故整个式子除以7的余数为4=4,故经过22 021天后是星期六,故选D.
9.BD　a=+×3+×32+…+×320,则由二项式定理可得a=(1+3)20=420=(5-1)20,则a=·520-·519+…-·5+,因为·520-·519+…-·5能被5整除,所以a=·520-·519+…-·5+除以5的余数为1,又因为a≡b(mod 5),所以b除以5的余数为1,结合选项知,选BD.
10.C　原式=7n+7n-1+7n-2+…+7=(7n·10+7n-1·1+7n-2·12+…+7·1n-1+70·1n)-70·1n=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1=[9n·(-1)0+9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1+90·(-1)n]-1,
因为n为正奇数,所以上式可化简为9n+9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-2=9n+9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-9+7,所以该式除以9的余数为7.故选C.
2(共18张PPT)
1.公式(a+b)n= an+ an-1b+…+ an-rbr+…+ bn称为二项式定理. (其中0≤r≤n,r
∈N,n∈N+)叫作二项式系数,在定理中,令a=1,b=x,则得到公式(1+x)n= + x+ x2
+…+ xr+…+ xn.
2.二项展开式的通项为Tr+1= an-rbr,它是(a+b)n展开式的第(r+1)项.
4.4　二项式定理
1 | 二项式定理及相关概念
1.对称性
　　在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 =
.
2.单调性和最大值
　　二项式系数从两端向中间逐渐增大,当n为偶数时,中间一项的二项式系数
最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系数 , 相等,且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和
(1) + +…+ =2n;
(2) + + +…= + + +…=2n-1.
2 | 二项式系数的有关性质
1.二项式(a+b)n和(b+a)n的展开式相同吗
相同.虽然二者展开式相同,但展开式中项的排列顺序是不同的,(a+b)n展开式中的
第(r+1)项是 an-r·br,(b+a)n展开式中的第(r+1)项是 bn-rar.
2.(a-b)n与(a+b)n的展开式中二项式系数和项的系数都相同吗
二项式系数相同,项的系数不相同.二项式系数只与项数有关,与a,b的值无关,而项
的系数指项中除变量外的常数部分,不仅与项数有关,还与a,b的值有关.
3.令f(r)= (0≤r≤n,且r∈N),则f(r)的图象关于直线r= 对称吗
对称.
知识辨析
1.对于常数项,隐含的条件是字母的指数为0.
2.对于有理项,一般先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于整
数.求解时必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数
的整除性来求解.
3.对于整式项,其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数,求解方式与求有理
项一致.
1 求二项展开式中的特定项(项的系数)
典例 (1) x- n(n∈N+)的展开式中,第5项是常数项,则常数项为 (　 )
A.-270　 B.-240　
C.240　 D.270
(2) 的展开式中的有理项共有 (　 )
A.4项　　B.5项　
C.6项　　D.7项
(3)(x- )n(n∈N+)的展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,则含x2的项为
　　12x2　 .
C
C
解析 (1)∵ x- n的展开式的通项为Tr+1= ·xn-r· - r=(-2)r · ,令r=4,则n
- ×4=0,解得n=6.∴展开式中的常数项为T5=(-2)4 =240.故选C.
(2) 的展开式的通项为Tr+1= ·2r· (r=0,1,2,…,10),令20- 为整数,可
得r=0,2,4,6,8,10,则有理项共有6项,故选C.
(3)(x- )n(n∈N+)的展开式中第二项与第四项分别为T2= xn-1·(- )=- nxn-1,T4=
xn-3·(- )3=-2 xn-3.依题意得 = ,即n2-3n-4=0且n≥3,解得n=4.故(x-
)n=(x- )4,其展开式的通项为Tr+1= x4-r(- )r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x-
)4的展开式中含x2的项为T3= x2(- )2=12x2.
求三项式中特定项的方法
(1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分
别展开.
(2)逐层展开法:先将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的展开.
(3)利用组合知识:把三项式(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的
构成,注意最后把各个同类项合并.
2 三项展开式问题
典例 的展开式中x2的系数为　800 .
解析 解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5.
(1+x)5的展开式的通项为Tr+1= xr,(2+x)5的展开式的通项为Tk+1= ·25-kxk,
所以 的展开式的通项为Tr+1,k+1= 25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N.
令r+k=2,可得 或 或
因此, 的展开式中x2的系数为 · ·23+ · ·24+ · ·25=800.
解法二: = ,且它的展开式的通项为Tk+1= (x2+3x)5-k2k(k=0,1,
2,…,5), 的展开式的通项为Tr+1= (x2)5-k-r(3x)r= ·3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N),
所以Tk+1= 2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,0≤r≤5-k,r∈N),
令10-2k-r=2,得k=3,r=2或k=4,r=0.
当k=3,r=2时,x2的系数为 · ·23·32=720;当k=4,r=0时,x2的系数为 · ·24·30=80.
综上, 的展开式中x2的系数为720+80=800.
　　赋值法是解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方法.要根
据所求,灵活地对字母赋值,通常赋的值为0,-1或1.
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,常令x=1;对形如(ax+by)n
(a,b∈R,n∈N+)的式子,常令x=y=1.
(2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系
数之和为f(1);奇数项系数之和为a0+a2+a4+…= ;偶数项系数之和为a1+a
3+a5+…= .
3 赋值法求展开式中的系数和
典例 (1)已知(2x-1)n的展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则
+ + +…+ 的值为 ( B )
A.28　　　　　　　　　B.28-1
C.27　　 D.27-1
(2)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=　364　 .
解析 (1)设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和
为B,则A=a1+a3+a5+a7+…,B=a0+a2+a4+a6+…,
由已知可得B-A=38.
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,
即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,
∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.
故 + + +…+ =2n- =28-1.
(2)令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,①
令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,②
,得a0+a2+a4+…+a12= .
令x=0,则a0=1.故a2+a4+…+a12= -1=364.
1.求展开式中二项式系数最大的项时,可直接根据性质求解.
2.求二项展开式中系数的最值问题有两种思路:(1)看成关于n的函数,结合函数的
单调性判断系数的增减性,从而求出系数的最值;(2)在系数均为正值的前提下,求
它们的最大值只需比较相邻两个系数的大小,根据其展开式的通项列出不等式
(组)即可.
3.根据二项式系数的性质求参数时,关键是正确列出与参数有关的式子,然后解此
关系式即可.必要时,需检验所求参数是否符合题目要求.
4 二项式系数的性质及应用
典例　在 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.
(1)求项数n;
(2)求展开式中二项式系数最大的项;
(3)求展开式中所有系数的绝对值的和.
解析 (1) 的展开式的通项为Tr+1=
= - r ,
因为前三项系数的绝对值成等差数列,
所以2 · = + ,
化简得n2-9n+8=0,
解得n=8或n=1,
因为n≥2,
所以n=8.
(2)由(1)知n=8,二项式的展开式共9项,故二项式系数最大的项为第5项,即T5= ·
=70× = .
(3)展开式中所有系数的绝对值的和为 + +…+
= = .
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

5 杨辉三角问题
典例 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,若第n(n∈N)行中从左至右
第14与第15个数的比为2∶3,则n的值为(　 )
第0行　　　　　　　　 1
第1行　　　　　　　 1 1
第2行　　　　　　 1 2 1
第3行　　　　　 1 3 3 1
第4行　　　　 1 4 6 4 1
第5行　　 　 1 5 1010 5 1
……　　　　　　　 ……
A.32　　B.33　
C.34　　D.35
C
解析 (1)由题意知 ∶ =2∶3,
所以3 =2 ,
即
= ,
得 = ,所以n=34.
故选C.

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