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第4章　计数原理
(满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.计算++=(　　)
A. B. C. D.
2.北斗七星自古是人们辨别方向、判断季节的重要依据,北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光,其中玉衡最亮,天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测,则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等,则含x10项的系数是(　　)
A.-8 B.8 C.4 D.-4
4.某旅游公司为了推出新的旅游产品项目,派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点——“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点,每个景点至少有一名工作人员前往,其中工作人员甲、乙需要到同一景点调研,则不同的人员分配方案种数为(　　)
A.18 B.36 C.54 D.72
5.(1-x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
6.为了制作一期展示我国近年来航天成就的展板,某校科普小组的6名同学计划分“神舟飞天”“嫦娥奔月”“火星探测”3个展区制作展板,每人只负责一个展区,每个展区至少有一人负责,则不同的任务分配方案有(　　)
A.990种 B.630种
C.540种 D.480种
7.2025年4月22日是第56个世界地球日,今年的活动主题是“珍爱地球,人与自然和谐共生”.某校5名大学生到A,B,C三个社区做宣传,每个社区至少分配一人,每人只能去一个社区宣传.若甲、乙要求去同一个社区且不去A社区,则不同的安排方案共有(　　)
A.20种 B.24种 C.30种 D.36种
8.以长方体ABCD-A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出2个,则这2个三角形不共面的情况种数为(　　)
A.1 480 B.1 468 C.1 516 D.1 492
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列等式正确的是(　　)
A.= B.-=n2
C.=n D.n=+k
10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是(　　)
A.若任意选择三门课程,则选法种数为35
B.若物理和化学至少选一门,则选法种数为30
C.若物理和历史不能同时选,则选法种数为30
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,则选法种数为20
11.关于(-1)2 021及其二项展开式,下列说法正确的是(　　)
A.该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为22 021
B.该二项展开式中第8项为-x1 007
C.当x=100时,(-1)2 021除以100的余数是9
D.该二项展开式中不含有理项
12.下列说法正确的是(　　)
A.某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中各任选一类,不同的选法共有64种
B.用1,2,3三个数字可以组成9个三位奇数
C.从集合A={a,b,c,d}中任取2个元素组成集合B,则集合B中含有元素b的概率为
D.两个男生和两个女生随机排成一列,则两个女生不相邻的概率是
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大,则n=　　　　,展开式中的常数项为　　　　.
14.现有甲、乙等5名教师要带3个兴趣小组外出学习,要求每个兴趣小组都有带队教师,且带队教师至多2人,但甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有　　　　种.(用数字作答)
15.在(x2-x-2)5的展开式中,x3的系数为　　　　.
16.A,B,C,D,E五个人站成一排,A和C分别站在B的两边(可以与B相邻,也可以与B不相邻)的不同站法共有　　　　种.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A,B,C三个智力竞赛项目,每个人都要报名参加.分别求在下列情况下的不同报名方法的种数.
(1)甲、乙报同一项目,丙不报A项目;
(2)甲不报A项目,且B,C项目报名的人数相同.
18.(12分)设(x+1)=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.
(1)求a6的值;
(2)求a0+22a2+24a4+…+210a10的值.
19.(12分)已知(n∈N+)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3.
(1)求n的值;
(2)求展开式中各二项式系数的和以及各项系数的和;
(3)求展开式中系数绝对值最大的项.
20.(12分)某市8名医护人投入流感防控和治疗工作,其中3人安排到重症科室,其余5人安排到呼吸、感染、检验三个科室.
(1)从8名医护人员中选出3人到重症科室,共有多少种不同的选法
(2)将5名医护人员安排到呼吸、感染、检验三个科室,要求每个科室至少有1人,共有多少种不同的安排方法
(3)任务完成后,8名医护人员站成一排合影留念,A,B两人要站在相邻位置,且不站在队伍两端,共有多少种不同的站位方法
21.(12分)在高三一班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.
(1)当4个舞蹈节目接在一起时,有多少种不同的安排顺序
(2)当每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的安排顺序
(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗歌朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的安排顺序
22.(12分)从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,用这四个数字组成无重复数字的四位数,所有这些四位数构成集合M.
(1)求集合M中不含有数字0的元素的个数;
(2)求集合M中含有数字0的元素的个数;
(3)从集合M中随机选择一个元素,求这个元素能被5整除的概率.
答案与解析
1.A　因为+=,所以++=++=+==,故选A.
2.B　玉衡和天权都没有被选中的概率为=,所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为1-=.故选B.
3.D　由条件可知=,所以n=12,的展开式的通项为Tr+1=x12-r·=x12-2r,令12-2r=10,解得r=1,所以含x10项的系数是·=-4,故选D.
4.B　若甲、乙到同一景点调研(无其他人),则有=18 种方法,若甲、乙与另一人到同一景点调研(三人一起),则有=18种方法,共有18+18=36种不同的人员分配方案,故选B.
5.C　(1-x)4=x(1-x)4-(1-x)4,x(1-x)4的展开式的通项为Tr+1=x(-x)r=(-1)rxr+1,(1-x)4的展开式的通项为Tk+1=-(-x)k=-(-1)kxk-1,令可得因此展开式中x3的系数为-=5.故选C.
6.C　分成三类:①一组1人,一组2人,一组3人,不同的分配方案有=360(种);②一组4人,其他两组各1人,不同的分配方案有··=90(种);③每组都是2人,不同的分配方案有·=90(种),故不同的分配方案共有360+90+90=540(种).故选C.
7.B　分2步进行分析:(1)安排甲和乙,有2种方法;(2)安排剩余的三人,可分为两类,①三个社区各安排一个,有种方法,②安排在其他两个社区,有种方法.故共有2(+)=24种不同的安排方案.故选B.
8.B　长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任意三个均不共线,故任取三个均可构成1个三角形,共有=56(个),从中任选两个,共有=1 540种情况.长方体有六个面,六个对角面,每个面(对角面)的四个顶点共确定4个不同的三角形,故随机取出2个,则这2个三角形不共面的情况共有1 540-12×=1 468(种),故选B.
9.BC　=·=·=≠,故A错误.-=-==n2,故B正确.n===,故C正确.+k=+k=+k=+k≠n,故D错误.故选BC.
10.ACD　对于A,选法种数为=35,故A正确.对于B,若物理和化学选一门,其余两门从剩余的五门中选,有=20种选法;若物理和化学都选,剩下一门从剩余的五门中选,有=5种选法.故共有20+5=25种选法,故B错误.对于C,物理和历史同时选,有=5种选法,故不同时选的选法种数为35-5=30,故C正确.对于D,只选物理,不选化学,则历史也不选,有=6种选法;只选化学,不选物理,有=10种选法;若物理、化学都选,则历史不选,有=4种选法.故共有6+10+4=20种选法,故D正确.故选ACD.
11.BC　偶数项的二项式系数之和为22 020,故A错误;展开式中第8项为T7+1=()2 014·(-1)7=-x1 007,故B正确;当x=100时,(-1)2 021=(10-1)2 021=·102 021-·102 020+…-·102+·101-=100(·102 019-·102 018+…-·100)+·101-1,∵·101-1=20 209=20 200+9,除以100的余数是9,∴当x=100时,(-1)2 021除以100的余数是9,故C正确;(-1)2 021的展开式的通项为Tr+1=·()2021-r(-1)r=(-1)r,当为整数,即r=1,3,5,…,2 021时,Tr+1为有理项,故D错误.故选BC.
12.CD　对于A,第1位同学可以从三类不同的图书中任选一类,有3种选法,同理,其他的3位同学也都各有3种选法,则不同的选法共有3×3×3×3=81(种),故A错误;
对于B,个位数字可以放1,3,十位数字和百位数字都可以放1,2,3,所以可以组成2×3×3=18个三位奇数,故B错误;
对于C,从集合A中任取2个元素可得到集合B的个数为,含有元素b的个数为,其概率P==,故C正确;
对于D,两个女生和两个男生随机排成一列,总的排法有=24(种),
两个女生不相邻的排法有=12(种),所以两个女生不相邻的概率P==,故D正确.故选CD.
13.答案　12;-1 760
解析　由二项式系数的性质可得+1=7,得n=12.的展开式的通项为Tr+1==(-2)r,令12-4r=0,得r=3,故常数项为T4=-1 760.
14.答案　54
解析　若甲教师和乙教师不带同一组,则共有=36种不同方案;若甲教师和乙教师带同一组,则共有=18种不同方案.由分类加法计数原理可得共有36+18=54种不同的带队方案.
15.答案　120
解析　(x2-x-2)5=(x+1)5(x-2)5,(x+1)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r,(x-2)5的展开式的通项为Tt+1=x5-t(-2)t,∴x3的系数为(-2)5+(-2)4+(-2)3+(-2)2=120.
16.答案　40
解析　按A和C中间人数分三种情况:(1)A和C中间站1人,必是B,则3人捆绑,与其他2人全排列,共有=12(种);(2)A和C中间站2人,一人是B,再选一人,最后一人在最左或最右,故共有×2=16(种);(3)A和C中间站3人,共有=12(种).综上,不同的站法有12+16+12=40(种).
17.解析　(1)把甲、乙看成一个整体.甲、乙在三个项目中任选一个,有=3种选法;(2分)
丁在三个项目中任选一个,有=3种选法;(3分)
丙在除A项目外的项目中任选一个,有=2种选法.(4分)
故共有3×3×2=18种报名方法.(5分)
(2)若B,C项目各有一人,有=6种报名方法;(7分)
若B,C项目各有两人,有=6种报名方法.(9分)
所以报名方法共有6+6=12(种).(10分)
18.解析　(1)由题意知a6是(x+1)(2x2-1)5的展开式中x6的系数.
的展开式的通项为Tr+1=(-1)r=(-1)r25-rx10-2r(r=0,1,…,5),(2分)
令10-2r=5,得r=,舍去;令10-2r=6,得r=2.(4分)
故a6=(-1)2×23×=80.(6分)
(2)令x=2,得3×75=a0+2a1+22a2+…+211a11,①(8分)
令x=-2,得-75=a0-2a1+22a2-…-211a11,②(10分)
由得a0+22a2+24a4+…+210a10==75.(12分)
19.解析　(1)由题意得∶=1∶3,n∈N+,解得n=7.(2分)
(2)由(1)得原式为,
所以展开式中各二项式系数的和为27=128.(4分)
令x=1,得展开式中各项系数的和为=1.(6分)
(3)的展开式的通项为Tr+1=(3x)7-r=×37-r×(-2)r×,(8分)
设第(r+1)项的系数的绝对值最大,
设f(r)=×37-r×2r,则
即(10分)
解得≤r≤,又r∈N+,所以r=3.
故展开式中系数绝对值最大的项为T4=×37-3×(-2)3=-22 680.(12分)
20.解析　(1)由题意得共有=56种不同的选法.(2分)
(2)5个人按3,1,1分成3组,共有=10种分法,再分到三个科室,有=6种方法,此时共有10×6=60种安排方法;(4分)
5个人按2,2,1分成3组,共有=15种分法,再分到三个科室,有=6种方法,此时共有15×6=90种安排方法.(6分)
故共有60+90=150种不同的安排方法.(7分)
(3)将A,B两人看成一个整体,且A,B不在两端,共有5=10种方法,(9分)
剩下6人全排列,有=720种方法,(11分)
则共有10×720=7 200种不同的站位方法.(12分)
21.解析　(1)分两步:第一步,将4个舞蹈节目捆绑,与6个演唱节目全排列,有=5 040种方法;(2分)
第二步,将4个舞蹈节目全排列,有=24种方法.
根据分步乘法计数原理,共有5 040×24=120 960种不同的安排顺序.(4分)
(2)分两步:第一步,将6个演唱节目排成一排(如图中的“□”),一共有=720种方法.
×□×□×□×□×□×□×(6分)
第二步,将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置),相当于7个“×”选4个来排,一共有=840种方法.
根据分步乘法计数原理,共有720×840=604 800种不同的安排顺序.(8分)
(3)若所有节目没有顺序要求,全排列,则有种排法,(10分)
但原来的节目已定好顺序,所以共有=132种不同的安排顺序.(12分)
22.解析　(1)①从1,3,5,7中任取2个数字有=6种取法,
②从2,4,6,8中任取2个数字有=6种取法,
③四个数字全排列,有=24(种),(3分)
∴集合M中不含有数字0的元素有6×6×24=864(个).(4分)
(2)①从1,3,5,7中任取2个数字有=6种取法,
②从2,4,6,8中任取1个数字有=4种取法,
③四个数字全排列,排除0在第一位的情况,有-=18(种),(7分)
∴集合M中含有数字0的元素有6×4×18=432(个).(8分)
(3)由(1)(2)知M中共有864+432=1 296个元素,(9分)
能被5整除的元素,即个位数字为0或5,
①个位数字为0的元素有=144(个),
②个位数字为5的元素有+=156(个),
∴能被5整除的元素有144+156=300(个),(11分)
∴从集合M中随机选择一个元素能被5整除的概率为=.(12分)
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