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全书综合测评
注意 事项 1.全卷满分150分,考试用时120分钟. 2.考试范围:第1章~第4章.
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.过点P(,-2)且倾斜角为135°的直线方程为(　　)
A.3x-y-5=0 B.x-y+=0
C.x+y-=0 D.x+y+=0
2.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-3)2+(y+4)2=36,则两圆的位置关系为(　　)
A.相离 B.相交
C.内切 D.外切
3.“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、三角垛等.现有100根相同的圆柱形铅笔,某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛,要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根,并使得剩余的圆柱形铅笔根数最少,则剩余的铅笔的根数是(　　)
A.9 B.10
C.12 D.13
4.过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),|AB|=|AC|,则△ABC的欧拉线方程为(　　)
A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0
C.4x-2y-3=0 D.2x+4y-3=0
6.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作斜率为的直线l,与抛物线C在第一象限交于点P,若|PF|=4,则点P的横坐标是(　　)
A.3 B. C. D.2
7.在乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别,同时又为了接待方便,将其中的五个参会国的人员安排入酒店住宿,这五个参会国人员要在a,b,c三家酒店选择一家,各参会国人员不分住不同的酒店且每家酒店至少有一个参会国的人员入住,则这样的安排方法共有(　　)
A.96种 B.124种
C.130种 D.150种
8.已知数列{an}中,a1=2,且an+an-1=+2(n≥2),则数列的前2 021项和为(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.设F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,且|F1F2|=4,则下列结论正确的有(　　)
A.m=2
B.当n=0时,C的离心率是2
C.F1到渐近线的距离随着n的增大而减小
D.当n=1时,C的实轴长是虚轴长的两倍
10.对于任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9,则下列结论成立的是(　　)
A.a2=-144
B.a0=1
C.++…+=1
D.a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=-39
11.已知数列{an}满足a1=1,an+2=2an+1-an(n∈N+),其前n项和为Sn,则下列说法正确的是(　　)
A.{Sn}的通项公式可以是Sn=n2-n+1
B.若a3,a7为方程x2+6x+5=0的两根,则a6-a7=-
C.若=2,则=4
D.若S4=S8,则使得Sn>0的正整数n的最大值为11
12.过直线x+y=4在第一象限上一点P作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与x,y轴分别交于点M,N,则下列说法正确的是(　　)
A.点O恒在以线段AB为直径的圆上
B.四边形PAOB面积的最小值为4
C.|AB|的最小值为2
D.|OM|+|ON|的最小值为4
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2=3,a7a8=27,则a4a5=　　　　.
14.已知直线l:(2a-1)x+(a-3)y+4-3a=0与圆(x-2)2+y2=9相交于A,B两点,则|AB|的最小值为　　　　;此时a=　　　　.
15.某学校组织学生到某农场参加劳动实践活动,其中有4名男生和2名女生参加,活动结束后,农场主人与6名同学站成一排合影留念,则2名女生互不相邻,且农场主人站在中间的概率为　　　　.(用数字作答)
16.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为　　　　.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)从①Sn=n;②S2=a3,a4=a1a2;③a1=2,a4是a2,a8的等比中项这三个条件中任选一个,补充到下面横线上,并解答.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d不等于零,　　　　.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=-,数列{bn}的前n项和为Wn,求Wn.
18. (12分)已知(n∈N+).
(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于67,求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若n为满足819.(12分)已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),D(2,2),动点P满足·=k||2.
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;
(2)当k=2时,求直线DP斜率的取值范围.
20.(12分)已知数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1-2.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)若an=2n-5,设cn=|an|·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
21.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(2,1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点P作两直线l1与l2,分别交椭圆C于A,B两点,若直线l1与l2的斜率互为相反数,求|AB|的最大值.
22.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(2,1)是抛物线内一点,若该抛物线上存在点E,使得|AE|+|EF|有最小值3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线l:2x-y+4=0,点B是l与y轴的交点,过点A作与l平行的直线l1,过点A的动直线l2与抛物线相交于P,Q两点,直线PB,QB分别交直线l1于点M,N,证明:|AM|=|AN|.
答案与解析
1.D　 因为直线的倾斜角为135°,所以直线的斜率k=tan 135°=-1,所以直线方程为y+2=-(x-),即x+y+=0,故选D.
2.C　易知圆心C1(0,0),半径r1=1,圆心C2(3,-4),半径r2=6,所以|C1C2|==5=r2-r1,所以两圆内切,故选C.
3.A　设只能堆放n层,则从最上层往下,每层铅笔数组成首项为1,公差为1的等差数列,且余下的铅笔数小于n+1,于是≤100,且100-4.A　解法一:易知椭圆的焦点在x轴上,且坐标为(-,0),(,0),即c=,故可设所求的椭圆方程为+=1(a>0),将(3,-2)代入,得+=1,解得a2=3(舍去)或a2=15,∴所求椭圆方程为+=1,故选A.
解法二:设所求椭圆方程为+=1(λ>-4),将(3,-2)代入,得+=1,解得λ=6,故所求椭圆的标准方程为+=1.故选A.
5.D　因为B(-1,0),C(0,2),所以线段BC的中点的坐标为,线段BC所在直线的斜率kBC=2,则线段BC的垂直平分线的方程为y-1=-,即2x+4y-3=0,因为|AB|=|AC|,所以△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,所以△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0.
6.A　因为直线l的斜率为,所以直线l的倾斜角为60°,易知F,所以xP=+2,yP=2,将代入y2=2px(p>0)中,得(2)2=2p,即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去),故xP=3,故选A.
7.D　分2步进行分析:①把5个参会国人员按照1、1、3或1、2、2分成三组.当按照1、1、3分时,共有=10种方法;当按照1、2、2分时,共有=15种方法,则一共有10+15=25种方法;②将分好的三组对应三家酒店,有=6种对应方法,故安排方法共有25×6=150种,故选D.
8.B　因为an+an-1=+2(n≥2),所以--2(an-an-1)=n,整理得(an-1)2-(an-1-1)2=n,所以(an-1)2-(a1-1)2=n+(n-1)+…+2.因为a1=2,所以(an-1)2=,所以==2,所以数列的前
2 021项和为21-+-+…+-=2=,故选B.
9.AC　由双曲线方程可得c2=a2+b2=m+n+m-n=2m,因为2c=4,所以c=2,所以c2=2m=4,可得m=2,A正确;当n=0时,双曲线方程为-=1,此时a2=b2=2,c2=4,所以e==,B不正确;由A知m=2,故a2=2+n,b2=2-n,易知F1(-2,0),渐近线方程为y=±x,则F1到渐近线的距离d==b=,所以F1到渐近线的距离随着n的增大而减小,C正确;当n=1时,a=,b=1,所以实轴长为2,虚轴长为2,D不正确.故选AC.
10.ACD　(2x-3)9=[-1+2(x-1)]9,其展开式的通项为Tr+1=(-1)9-r·[2(x-1)]r=(-1)9-r2r(x-1)r,当r=2时,T3=(-1)722(x-1)2=-144(x-1)2,故a2=-144,A正确;当r=0时,T1=(-1)920(x-1)0=-1,故a0=-1,B错误;=(-1)9-r,则[(x-1)-1]9=+(x-1)+(x-1)2+…+(x-1)9,故当x=2时,+++…+=0,又a0=-1,则++…+=1,C正确;当x=0时,a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=(-3)9=-39,D正确.故选ACD.
11.BD　因为an+2=2an+1-an(n∈N+),所以an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列,设公差为d,则Sn=.对于A,若Sn=n2-n+1,则a2=S2-S1=3-1=2,a3=S3-S2=7-3=4,所以a3-a2≠a2-a1,数列{an}不是等差数列,与题意矛盾,故A错误;对于B,易求得a3+a7=-6,即2a1+8d=-6,解得d=-1,则an=2-n,所以a6=-4,a7=-5,则a6-a7=-4+=-,故B正确;对于C,==2,解得d=0,所以==2,故C错误;对于D,由S4=S8,得=,解得d=-,所以Sn=-n2+n,由Sn>0,即-n2+n>0,解得012.BCD　对于A,在四边形PAOB中,∠AOB不一定是直角,故A错误;对于B,连接PO,由题易知Rt△PAO≌Rt△PBO,所以四边形PAOB的面积S=2×|PA|·|OA|=2|PA|=2,又|PO|的最小值为点O到直线x+y=4的距离,即2,所以四边形PAOB面积的最小值为2=4,B正确;设P(a,b),则以线段OP为直径的圆的方程是x(x-a)+y(y-b)=0,与圆O的方程联立,得ax+by=4,即直线AB的方程为ax+by=4,因为点P在直线x+y=4上,所以a+b=4,则b=4-a,代入直线AB的方程,得ax+(4-a)y=4,即a(x-y)+4y-4=0,令x=y,则4y-4=0,得x=1,y=1,所以直线AB过定点C(1,1),所以|OC|=,数形结合可知|AB|的最小值为2=2,C正确;在ax+by=4中,分别令y=0,x=0,得M,N,所以|OM|+|ON|=+,因为点P(a,b)是直线x+y=4在第一象限上的点,所以a+b=4且013.答案　9
解析　由a1a7=,a2a8=,得=a1a7·a2a8=3×27=81,又因为各项均为正数,所以a4a5=9.
14.答案　2;
解析　∵直线l恒过定点(1,1),∴当圆心(2,0)与点(1,1)的连线与直线AB垂直时,|AB|最小.∵圆心(2,0)与点(1,1)间的距离为=,圆的半径为3,∴|AB|的最小值为2=2.∵圆心(2,0)与点(1,1)连线所在直线的斜率为=-1,∴当|AB|最小时,直线l的斜率为1,则-=1,解得a=.
15.答案　
解析　农场主人与6名同学站成一排,有=5 040种不同的站法.若农场主人站在中间,则有=720种不同的站法.若农场主人站在中间,且两名女生相邻,则有4=192种不同的站法.故2名女生互不相邻,且农场主人站中间有720-192=528种不同的站法,则所求概率P==.
16.答案　2
解析　双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.
∵·=0,∴F1B⊥F2B,
∴点B在☉O:x2+y2=c2上,不妨设点B在第一象限,如图所示.
由得点B(a,b).
∵=,∴点A为线段F1B的中点,∴A,
将其代入y=-x,得=×,即c=2a,故e==2.
17.解析　(1)选①.
易得a1=S1=1+,解得a1=2,即Sn=n2+n,
所以S2=a1+a2=6,即a2=4,故d=a2-a1=2,(3分)
所以an=2+2(n-1)=2n.(5分)
选②.
易得所以a1=d=2,(3分)
所以an=2+2(n-1)=2n.(5分)
选③.
易得=a2a8,即(2+3d)2=(2+d)(2+7d),解得d=2(d=0舍去),(3分)
所以an=2+2(n-1)=2n.(5分)
(2)由(1)知Sn=n2+n,
所以bn=-=(2n+1)2+2n+1-(2n)2-2n=3·4n+2n,(7分)
所以Wn=3(4+42+43+…+4n)+(2+22+23+…+2n)
=3·+=4n+1-4+2n+1-2=4n+1+2n+1-6.(10分)
18.解析　(1)由已知得++=++=+n+1=67,
整理得n2+n-132=0,即(n+12)(n-11)=0,解得n=11或n=-12(舍去),(2分)
则原式为,其展开式中二项式系数最大的项为第6项和第7项,
即T6=×x-6×25=231,(4分)
T7=×x-5×26x3=924x-2.(6分)
(2)的展开式的通项为Tr+1=x-(n-r)2r=22r-n·(r=0,1,…,n).
设第(r+1)项为常数项,则=0,即n=r.
因为8又r∈N,所以r=6或r=7.(9分)
当r=6时,n=9;当r=7时,n=(不合题意,舍去),所以n=9,
即当n=9时,展开式中有常数项,常数项为T7=×23=672.(12分)
19.解析　(1)设点P(x,y),
则=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y).
因为·=k||2,所以x2+y2-1=k(1-x)2+ky2,
即(k-1)x2+(k-1)y2-2kx+k+1=0.(2分)
当k=1时,方程可化为x-1=0,此时动点P的轨迹为直线x=1;(4分)
当k≠1时,方程可化为x2+y2-x+=0,即+y2=,
此时动点P的轨迹是以点为圆心,为半径的圆.(6分)
(2)当k=2时,点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=1,此时点P的轨迹是以点(2,0)为圆心,以1为半径的圆.(8分)
设直线DP的斜率为t,则直线DP的方程为y-2=t(x-2),即tx-y+2-2t=0,则直线tx-y+2-2t=0与圆(x-2)2+y2=1有公共点,(10分)
所以≤1,解得t≤-或t≥.
故直线DP的斜率的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).(12分)
20.解析　(1)当n=1时,b1=S1=22-2=2;(2分)
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n.(4分)
经检验,b1=2满足bn=2n ,所以bn=2n(n∈N+).(5分)
(2)cn=|an|·bn=|2n-5|·2n.
当n=1或n=2时,an<0;当n≥3时,an>0.
当n=1时,T1=6;当n=2时,T2=10;(7分)
当n≥3时,Tn=10+1·23+3·24+…+(2n-7)·2n-1+(2n-5)·2n,①
2Tn=20+1·24+3·25+…+(2n-7)·2n+(2n-5)·2n+1,②
①-②,得-Tn=-10+8+2(24+25+…+2n)-(2n-5)·2n+1=-2+2·-(2n-5)·2n+1,化简可得Tn=34+(2n-7)·2n+1.(10分)
经检验,T1=6不满足Tn=34+(2n-7)·2n+1,T2=10满足Tn=34+(2n-7)·2n+1,
所以Tn=(12分)
21.解析　(1)由题意得解得
所以椭圆C的标准方程为+=1.(4分)
(2)设直线l1的方程为y=k(x-2)+1,则直线l2的方程为y=-k(x-2)+1.
联立消去y并整理可得(2k2+1)x2+(4k-8k2)x+8k2-8k-4=0,(6分)
则Δ=(4k-8k2)2-4(2k2+1)(8k2-8k-4)=16(k+1)2>0,解得k≠-1,
且xAxP=,则xA=,则yA=k(xA-2)+1=.
同理,可得xB=,yB=.(9分)
故|AB|2=(xA-xB)2+(yA-yB)2==≤=16,当且仅当k=±时取等号,所以|AB|的最大值为4.(12分)
22.解析　(1)过点E作抛物线C的准线的垂线,垂足为点D,
根据抛物线的定义可得|EF|=|ED|,于是|AE|+|EF|=|AE|+|ED|,
当A,E,D三点共线时,|AE|+|ED|有最小值2+,(2分)
所以2+=3,解得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.(4分)
(2)证明:在2x-y+4=0中,令x=0,得y=4,所以点B(0,4).
因为l1∥l,且l1过点A(2,1),所以直线l1的方程为2x-y-3=0.(5分)
当l2过原点时,不妨令P(0,0),则M为l1与y轴的交点,即M(0,-3),
此时l2的方程为y=x,
易得其与抛物线另一交点Q的坐标为(16,8),
则直线BQ的方程为y=+4,由得N(4,5),
∴MN的中点为A.
即|AM|=|AN|.(7分)
当l2不过原点时,设直线l2的方程为x-2=t(y-1),
联立得y2-4ty+4t-8=0,所以Δ=16(t2-t+2)>0.
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=4t-8,直线PB的方程为y=x+4,
直线QB的方程为y=x+4.
联立解得xM==,
同理,可得xN=,(10分)
所以xM+xN=+
=×7
==4,
因为xA=2,所以xM+xN=2xA,即A是线段MN的中点,即|AM|=|AN|.(12分)
综上,|AM|=|AN|.
10

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