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专题强化练14　用赋值法解决二项式系数问题
1.设(-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,那么(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.0　　　　B.-1
C.1　　　　D.
2.已知(x2+1)(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a2+a4+a6+a8=(　　)
A.10 935　　　　B.5 546
C.5 467　　　　D.5 465
3.(多选)已知(x-3)8=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a8(x-2)8,则下列结论中正确的有(　　)
A.a0=1
B.a6=-28
C.++…+=-
D.a0+a2+a4+a6+a8=128
4.(多选)(a-x)(1+x)6的展开式中,x的奇数次幂项的系数之和为64,则下列结论中正确的是(　　)
A.a=3
B.展开式中常数项为3
C.展开式中x4的系数为30
D.展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64
5.若(1+2x)2 020=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a2 020(x+2)2 020,x∈R,则a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=　　　　.
6.若x2+x8=a0+a1(x+1)+…+a7(x+1)7+a8(x+1)8,则a0+a1+2a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=　　　　.
7.已知实数a,m满足(x+a+m)7=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a7(x+1)7,且(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2=37,当a=2m时,m=　　　　.
答案与分层梯度式解析
1.C　令x=1,得(-1)10=a0+a1+a2+a3+…+a10,令x=-1,得(+1)10=a0-a1+a2-a3+…+a10,所以(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+a3+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10)=(-1)10×(+1)10=[(-1)×(+1)]10=110=1,故选C.
2.D　令x-1=t,则(t2+2t+2)(1+2t)7=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,令t=0,则a0=2,令t=1,则a0+a1+a2+…+a9=10 935,令t=-1,则a0-a1+a2-…-a9=-1,
所以a0+a2+a4+a6+a8==5 467,所以a2+a4+a6+a8=5 467-a0=5 467-2=5 465.故选D.
3.ACD　对于A,令x=2,得a0=1,A正确;对于B,(x-3)8=[-1+(x-2)]8,其展开式中的第7项为·(-1)2(x-2)6=28(x-2)6,即a6=28,B不正确;对于C,令x=,得a0+++…+==,则++…+=-a0=-,C正确;对于D,令x=3,得a0+a1+a2+a3+…+a7+a8=0,令x=1,得a0-a1+a2-a3+…-a7+a8=(-2)8=256,两式相加得2(a0+a2+a4+a6+a8)=256,即a0+a2+a4+a6+a8=128,D正确.故选ACD.
4.ABD　设(a-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,
令x=1,则a0+a1+a2+…+a7=64(a-1)①,
令x=-1,则a0-a1+a2-…-a7=0②,由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=64(a-1),所以2×64=64(a-1),解得a=3,即(a-x)(1+x)6=(3-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,令x=0,可得a0=3,即展开式中常数项为3,
由①+②得2(a0+a2+a4+a6)=64×2,所以a0+a2+a4+a6=64,即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64,易得展开式中x4的系数为3×-1×=25.故选ABD.
5.答案　1-32 020
解析　令x=-2,则(1-4)2 020=a0,即a0=32 020,令x=0,则12 020=a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020,
即a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1,故a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1-a0=1-32 020.
6.答案　29
解析　令x=0,则02+08=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0,又因为x2+x8=[(x+1)-1]2+[(x+1)-1]8,∴a2=(-1)0+(-1)6=29,
∴a0+a1+2a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a2=29.
7.答案　-或1
解析　令x=0,得(a+m)7=a0+a1+a2+…+a7,
令x=-2,得(-2+a+m)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7,
又因为(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7)(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)
=(a+m)7(a+m-2)7=37,
所以当a=2m时,得m=-或m=1.
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