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专题强化练15　形如“(a+b)n·(c+d)m”及“(a+b+c)n”的问题
1.在的展开式中,常数项为(　　)
A.28　　B.-28　　C.-56　　D.56
2.(x-2y)4的展开式中,x2y3的系数为(　　)
A.-24　　B.-40　　C.24　　D.-30
3.若(x+a)2(a>0)的展开式中x4的系数为3,则a=(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.2
4.(x2+2)3·的展开式中的常数项是(　　)
A.15　　B.-15　　C.7　　D.-7
5.(x2+3x+2)5的展开式中,x3的系数是　　　　.
6.(2x2+x-2)5的展开式中,x5的系数为　　　　.
7.已知(1+x+x2)·的展开式中没有常数项,n∈N+,且2≤n≤7,则n=　　　　.
答案与分层梯度式解析
1.A　因为x3-2x+==,所以=,又因为(x2-1)8的展开式中x4的系数为(-1)6=28,所以所求常数项为28,故选A.
2.B　因为(x-2y)4=x(x-2y)4+(x-2y)4, (x-2y)4=[x+(-2y)]4=x4(-2y)0+x3(-2y)1+x2(-2y)2+x1(-2y)3+x0(-2y)4=x4-8x3y+24x2y2-32xy3+16y4,所以(x-2y)4的展开式中含x2y3的项为x·(-32xy3)+·(-8x3y)=-40x2y3,故x2y3的系数为-40,故选B.
3.C　易得(x+a)2=·(x2+2ax+a2)(a>0),的展开式的通项为Tr+1=·(-1)r·x6-2r(0≤r≤6,r∈N),故·(x2+2ax+a2)的展开式中x4的系数为+2a×0+a2×(-)=15-6a2=3,则a=,故选C.
4.B　易得(x2+2)3=x6+6x4+12x2+8,的展开式的通项为Tr+1=··(-1)r=·(-1)r·x2r-14(0≤r≤7,r∈N).令2r-14=-6,得r=4,故T5=·(-1)4·x-6=35x-6,令2r-14=-4,得r=5,故T6=·(-1)5·x-4=-21x-4,令2r-14=-2,得r=6,故T7=·(-1)6·x-2=7x-2,令2r-14=0,得r=7,故T8=·(-1)7·x0=-1,所以(x2+2)3·的展开式中的常数项为35×1+(-21)×6+7×12+(-1)×8=-15,故选B.
5.答案　1 560
解析　(x2+3x+2)5=(1+x)5(2+x)5,因为(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=xr(0≤r≤5,r∈N),(2+x)5的展开式的通项为Tk+1=25-kxk(0≤k≤5,k∈N),所以的展开式中,x3的系数是25+24+23+22=320+800+400+40=1 560.
方法总结
　　求三项式的展开式中特定项的系数时,可按照以下两种思路进行:(1)通过合并其中的两项或进行因式分解,将三项式转化成两个二项式,再利用二项式定理求解;(2)根据组合的方法“凑”出所求项,再根据要求求解.
6.答案　401
解析　∵(2x2+x-2)5表示五个(2x2+x-2)的乘积,∴当有一个因式取2x2,有三个因式取x,另一个因式取-2时可得含x5的项;或者当有两个因式取2x2,有一个因式取x,另两个因式取-2时也可得含x5的项;或者当五个因式都取x时也可得含x5的项,故展开式中含x5的项为(2x2)1x3(-2)1+(2x2)2x(-2)2+x5=401x5,所以x5的系数为401.
7.答案　5
解析　由题意知的展开式中没有常数项,没有含x-1的项,没有含x-2的项,∵的展开式的通项为Tr+1=xn-r=xn-4r(0≤r≤n,且r∈N),∴n-4r不能为0,-1,-2.
若n=4,则n-4r可以为0;
若n=3或n=7,则n-4r可以为-1;
若n=2或n=6,则n-4r可以为-2;
只有当n=5时,n-4r不能为0,-1,-2,故n=5.
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