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专题强化练13　排列与组合的综合应用
1.甲、乙等5人去北京天安门游玩,在天安门广场排成一排拍照留念,则甲和乙相邻且都不站在两端的排法有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.12种　　　　B.24种
C.48种　　　　D.120种
2.某城市有3 个演习点同时进行消防演习,现将5 个消防队分配到这3 个演习点,若每个演习点至少安排1 个消防队,则不同的分配方案种数为(　　)
A.150　　　　B.240
C.360　　　　D.540
3.给如图所示的5块区域A,B,C,D,E涂色,要求同一区域用同一种颜色,有公共边的区域使用不同的颜色,现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择,则不同的涂色方法有(　　)
A.120种　　　　B.720种
C.840种　　　　D.960种
4.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相,好评不断.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会,某学校决定派小明和小李等6名志愿者将两个吉祥物模型安装在学校的体育广场里,若小明和小李必须安装同一个吉祥物模型,且每个吉祥物模型都至少有2名志愿者安装,则不同的安装方案种数为(　　)
A.18　　　　B.20
C.22　　　　D.24
5.某大学暑期将开展“贫困山区留守儿童支教”活动,学校打算安排3名老师和4名学生分别去甲、乙、丙三个山区支教,其中1名老师和2名学生去甲地支教,另外2名老师和2名学生分成两组(每组老师和学生各1人),分别去乙、丙两地支教,则所有不同的安排方案有(　　)
A.36种　　B.48种　　C.72种　　D.144种
6.从2个不同的红球,2个不同的黄球,2个不同的蓝球共6个球中任取2个,放入红、黄、蓝色的三个袋子中,每个袋子至多放入1个球,且球的颜色与袋子的颜色不同,则不同的放法有　　　　种.
7.用1,2,3,4,5,6,7组成无重复数字的七位数,求满足下述条件的七位数各有多少个.
(1)偶数不相邻;
(2)偶数一定在奇数位上;
(3)1和2之间恰有一个奇数,没有偶数;
(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.
答案与分层梯度式解析
1.B　将甲、乙捆绑在一起看成一个元素,有种排法,其中甲、乙相邻且在两端的有种,故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有-=24(种).故选B.
2.A　把5个消防队分成三组,可分为1,1,3和1,2,2两类:(1)分为1,1,3,共有=10种分法;
(2)分为1,2,2,共有=15种分法.将这三组分配到三个演习点,共有(10+15)×=150种不同的分配方案,故选A.
3.D　解法一:A有5种颜色可选,B有4种颜色可选,D有3种颜色可选,C有4种颜色可选,E有4种颜色可选,故共有5×4×3×4×4=960种不同的涂色方法.
解法二:当使用5种颜色时,有=120种涂色方法;当使用4种颜色时,必有两块区域同色,可以是A,C或B,C或A,E或B,E或C,E,共有5=600种涂色方法;当使用3种颜色时,只能是A,C同色且B,E同色,或A,E同色且B,C同色,或A,C,E同色,或B,C,E同色,共有4=240种涂色方法.所以共有120+600+240=960种不同的涂色方法.故选D.
4.C　分三类:小明和小李安装同一个吉祥物模型,剩余4人安装另一个,共有2种方案;小明、小李和另外1人安装同一个吉祥物模型,剩余3人安装另一个,共有2=8种方案;小明、小李和另外2人安装同一个吉祥物模型,剩余2人安装另一个,共有2=12种方案.故不同的安装方案种数为2+8+12=22,故选C.
5.C　先从3名老师中选1人,4名学生中选2人组成一组去甲地,有=18种方法,再把剩下的2名老师分到乙、丙两地各1人,有=2种方法,最后把剩下的2名学生分到乙、丙两地各1人,有=2种方法,由分步乘法计数原理可得共有18×2×2=72种不同的安排方案,故选C.
6.答案　42
解析　根据题意,分两种情况:①取出的2个球同色,有3种可能,取出球后只能将两球放在不同色的袋子中,则有种方法,故不同的放法有3=6(种).②取出的两球不同色,有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种取法,由于球不同,因此取球的方法有3=12(种);将两球放在袋子中,有3种方法,所以不同的放法有12×3=36(种).综上,不同的放法有6+36=42(种).
7.解析　1,2,3,4,5,6,7中有4个奇数,3个偶数.
(1)分两步:
①将4个奇数排好,有种排法,
②排好后,有5个空位可选,从中任选3个,安排3个偶数,有种排法,
则有=1 440个符合题意的七位数.
(2)分两步:
①将3个偶数安排在4个奇数位上,有种排法,
②剩下的4个数字安排在剩下的4个数位上,有种排法,
则有=576个符合题意的七位数.
(3)分两步:
①在1和2之间安排一个奇数,有3种安排方法,
②将三个数字看成一个整体,与其他4个数字全排列,有种排法,
则有3=720个符合题意的七位数.
(4)分两步:
①在7个数位中任选3个,将三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列,有种排法,
②剩下的4个数字安排在剩下的4个数位上,有种排法,
则有=840个符合题意的七位数.
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