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第一章　有理数（单元测试A）
一、单选题
1．下列各数中，是负数的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，数轴的单位长度为，如果点表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（　　）
A． B． C． D．
3．我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若 其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果向北走 5 步记作+5 步，那么向南走 7 步记作（　　）
A．+7 步 B．-7 步 C．+12 步 D．-12 步
4．如果零上15℃记作+15℃，那么零下5℃应记作（　　）.
A．-5℃ B．-20℃ C．+5℃ D．+20℃
5．下列说法：①互为相反数的两个数的绝对值相等；②一个数的绝对值等于它本身，这个数是正数；③若，④若，其中正确的个数有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在记录某水库的水位时，将80 m作为标准水位，水位为85.3 m记为+5.3 m，则水位为 76.8 m 应记为（　　）
A．+76.8 m B．-76.8 m C．+3.2 m D．-3.2 m
7．把数轴上表示数2的点移动5个单位后，表示的数为（　　）
A．7 B．3 C．7或3 D．7或－3
8．数轴上表示整数的点称为整点。某数轴的单位长度是1 cm，若在这个数轴上随意画出一条长为 2024 cm的线段 AB，则线段AB盖住的整点的个数是 (　　)
A．2023 B．2024 C．2023或2024 D．2024或2025
9．等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和．若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点B所对应的数为1，则连续翻转2023次后点B所对应的数是（　　）
A．不对应任何数 B．2021
C．2022 D．2023
10．-2和2对应的点将数轴分成3段，如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中之一段，那么n的最小值是 。
A．5 B．6 C．7 D．8
11．如图，数轴上E、F、G、H四点对应着四个连续整数，分别是e、f、g、h，且 ，那么原点的位置应该是（　　）
A．点E B．点F C．点G D．点H
二、填空题
12．小红和小明从同一个地方相背而行，如果小红向南走20米，记作米；那么小明向北走33米，记作　 　米．
13． 小聪有一本账册， 如果小聪把收入 100 元记为 +100 元， 则支出 80 元记为 　 　元.
14．某项科学研究以45分钟为一个时间单位，并把每天上午10时记为0，10时以前记为负，10时以后记为正.例如：上午9：15 记为-1，上午10：45 记为 1.依此类推，上午 7：45 应记为　 　，中午12：15应记为　 　.
15．列出下列各数：，1.010010001，，0，，，．其中有理数的个数是　 　．
16．数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离相等，则称该点是其他两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”。已知点A，B表示的数分别为-2，2，点C为数轴上一动点(不与点A，B重合)。若A，B，C三点满足“中点关系”，则点C表示的数为　 　。
17．数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c.其中AB＝2017，BC＝1000，如图所示.
（1）若以B为原点，则a+b+c=　 　.
（2）若原点O在A，B两点之间，则|a|+|b|+|b﹣c|=　 　.
18．将下列有理数填入适当的集合内：，5，，，，，0，，8，．
正有理数集合：{____________…}；
整数集合：{____________…}；
负分数集合：{____________…}；
非负整数集合：{____________…}．
三、解答题
19．在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离．
（1）若，则_______， ________；
（2）若，则_______；
（3）若，且x的值为整数，则x值为_______；
20．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础和载体．例如，表示3与1之差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；再如，表示3与之差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）数轴上表示与3的两点之间的距离是______，数轴上表示数x与的两点之间的距离可以表示为_______．
（2）若数轴上某点对应的整数x满足，请直接写出所有整数x的值．
（3）已知数轴上某点对应的数x满足，借助数轴求出x的值．
21．高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：km）
，，，，，，，，，
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车耗油量为，则这次养护共耗油多少升？
22．如图，在数轴上点A表示的数是，点B在点的右侧，且到点的距离是18；点在点与点之间，且到点的距离是到点距离的2倍．
（1）点表示的数是______；点表示的数是______；
（2）若点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点之间的距离为8？
（3）在（2）的条件下，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数：若不存在，请说明理由．
23．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．理解与实践：
（1）数轴上点代表的数是，数轴上表示9的点到点之间的距离是______（用含的式子表示）；
（2）可表示为点到表示数______的距离；若，则______；
（3）代数式的最小值是______；
（4）若，则的最大值是______．
拓展与延伸：
数轴上三个不重合的点，若三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数．
24．自主学习数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，即：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为.
例：如图，点A、B在数轴上分别对应的数为，2，则.
尝试应用数轴上A、B两点对应的数分别为a、b且a、b满足.
（1）直接写出：　 　，　 　；
（2）在数轴上有一点P对应的数为x.
①点P到点A的距离可表示为 ▲ ；点P到A、B两点的距离和可表示为 ▲ .（用含x的代数式表示）
②当点P到A、B两点的距离和为8时，求x的值.
（3）拓展探究已知A、B、C三点都在数轴上原点O右边（前后顺序不定），所对应的数分别为x，y，z（），P、Q也在数轴上，其中，P为A、C的中点（即），Q为O、B中点（即），若，求的最小值.
25．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
（1）已知点，，表示的数分别为1，，-3．观察数轴，与点的距离为3的点表示的数是____，，两点之间的距离为_____．
（2）数轴上，点关于点的对称点表示的数是_____．
（3）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是_____；若此数轴上，两点之间的距离为2019(在的左侧)，且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是_____，点表示的数是_____；
（4）若数轴上，两点间的距离为 (在左侧)，表示数的点到，两点的距离相等，将数轴折叠，当点与点重合时，点表示的数是_____，点表示的数是_____(用含，的式子表示这两个数)．
26．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（　 　，　 　），B→C（　 　，　 　），C→　 　（+1，﹣2）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？
27．观察、理解与应用．
题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在处，B点在2处，C点在原点处．
（1） ，表示的意义是 ；
（2），，即用字母表示线段长，，猜想： ，设P、Q在数轴上分别表示的数为和220，则线段 ；
（3）归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为，，则线 ；
（4）应用：若动点P，Q分别从点和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问：
①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答）
②t为 秒时P，Q两点之间的距离为2？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】A、∵，∴A不是负数，不符合题意；
B、∵，∴B不是负数，不符合题意；
C、∵，∴C是负数，符合题意；
D、∵，∴D不是负数，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】先将各数分别化简，再根据负数的定义逐项判断即可.
2．【答案】B
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵向北走5步记作+5步，
∴向南走7步记作 7步.
故答案为：B.
【分析】由于正数和负数可以表示具有相反意义的量，故只要弄情况正数所表示的量，即可得出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】∵零上15℃记作+15℃，
∴零下5℃可记作-5℃．
故答案为：A．
【分析】根据题干中的规定及有理数的正负数的定义求解即可。
5．【答案】B
6．【答案】D
【解析】【解答】根据题意， 水位为85.3 m记为+5.3 m
水位为 76.8 m 应记为 -（80-76.8）=-3.2m
故选：D
【分析】先判定标准水位即0点，再根据正负数表示相反意义的量得到所求的负数。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：把数轴上表示数2的点移动5个单位后，表示的数为7或 3．
故答案为：D．
【分析】根据数轴上两点之间的距离公式求解即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：当线段AB的端点在整点时，
则线段AB盖住的整数点有2024+1=2025(个)，
当线段AB的端点不在整点时，
则线段AB盖住的整数点有2024个，
∴线段AB盖住的整数点有2023或2024个；
故答案为：D.
【分析】根据题意，分两种情况讨论：线段AB的两端点是整数点，线段AB的两端点不是整数点，分别求出线段AB盖住的整点的个数是多少即可.
9．【答案】D
10．【答案】C
【解析】【解答】解：将数轴上的3段看成3个抽屉，先考虑相反的情况，得到的结果再取反即为答案。令每个抽屉之多有2个点，则最多有6个点。故。
【分析】本题可以用抽屉原理解决。解决的时候可以先考虑相反的情况。
将数轴上的3段看成3个抽屉，先考虑相反的情况，得到的结果再取反即为答案。令每个抽屉之多有2个点，则最多有6个点。故。
11．【答案】C
【解析】【解答】解：由数轴可得，
若原点在E点，则 ＝6，
若原点在F点，则 ＝2，
若原点在G点，则 ，
若原点在H点，则 ＝ ，
∵数轴上E、F、G、H四点对应的整数分别是 ，且有 ，
∴原点应是点G，
故答案为：C．
【分析】根据数轴可以分别假设原点在E、F、G、H，然后分别求出 的值，从而可以判断原点在什么位置，本题得以解决.
12．【答案】
13．【答案】-80
【解析】【解答】解：∵收入和支出具有相反意义
∴收入100元和支出80元是一组具有相反意义的量
∴ 支出 80 元记为-80元
故答案为：-80.
【分析】根据相反意义的量可得结果.
14．【答案】-3；3
【解析】【解答】解：∵10时以前记为负，10时以后记为正，且以45分钟为1个时间单位，
∴上午7：45与10时相隔135分，即3个单位，应记为-3；
∴中午12：15与10时相隔135分，即3个单位，应记为3；
故答案为：-3；3.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
15．【答案】5
16．【答案】0或±6
【解析】【解答】解：①点C在A，B之间时，C到A，B两点的距离相等，则点C表示的数为-2+2=0；
②点C在B点的右边时，点B到A，C两点的距离相等，则点C表示的数为2+4=6；
③点C在A点的左边时，点A到B，C两点的距离相等，则点C表示的数为-2-4=-6；
故答案为：0或±6.
【分析】根据题意，分三种情况讨论：①点C是点A和点B的中点；②点A是点C和点B的中点；③点B是点A和点C的中点.
17．【答案】（1）-1017
（2）3017
【解析】【解答】解：（1）∵点B为原点，AB=2017，BC=1000
∴点A表示的数为a=-2017，点C表示的数是c=1000，
∴a+b+c=-2017+0+1000=-1017.
故答案为：-1017.
（ 2 ）∵原点在A，B两点之间，
∴|a|+|b|+|b-c|=AB+BC=2017+1000=3017，
故答案为：3017.
【分析】（1）数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数，可表示出A、C所对应的数；
（2）原点O在A，B两点之间，|a|+|b|=AB，|b-c|=BC，进而求出结果.
18．【答案】5，，，8；，5，0，，8；，；5，0，8．
19．【答案】（1）
（2）5或
（3）
20．【答案】（1）8，
（2）所有整数x的值为，0，1，2
（3）x的值为9或
21．【答案】（1）养护小组最后到达的地方在出发点的东边，距出发点15千米远
（2）17千米
（3）升
22．【答案】（1）；
（2）或
（3）点表示的数为1或
23．【答案】（1）；（2）；或；（3）8；（4）4；拓展与延伸：点表示的数为或1或7或31
24．【答案】（1）2；
（2）解：①；；
②依题意：当点P在A点和B点之间时，此时，不成立
当点P在A点右侧时，结合图形可知：
当点P在B点左侧时，结合图形可知：
答：x的值为3或
（3）解：依题意：，化简得：
令，得
①在数轴上当m对应的在y对应点右侧，即，
则有：，得（舍）
②在数轴上当m对应的在y对应点左侧，即
则有，得
则，结合图形可知：
当时，有最小值为1
【解析】【解答】解：（1）依题意得：
，即：，
，即：，
解得：，
故答案为：2；．
(2) ①∵点P表示的数是x，点A表示的数是2，
∴ 点P到点A的距离可表示为；
∵点P表示的数是x，点A表示的数是2，点B表示的数是-4，
∴ 点P到A、B两点的距离和可表示为，
故答案为：；；
【分析】（1）根据非负数原理得：a-2=0，b+2a=0，求解即可．
（2）①利用数轴上两点之间的距离公式直接求解；②分类讨论：当点P在A点和B点之间时，当点P在A点右侧时，当点P在B点左侧时，进而可求解．
拓展探究：当P为A、C的中点时，根据中点的性质表示P表示的数为：，当Q为O、B中点时，Q表示的数为：，再表示2QA，由已知可得2PQ=OA+OB+OC-4，进而可得，令m=x+z，分两种情况：在数轴上当m对应的在y对应点右侧，在数轴上当m对应的在y对应点左侧，分别建立关于m的方程，求解即可．
25．【答案】（1）-2或4；；（2）；（3）；；；（3）；
26．【答案】（1）+3；+4；+2；0；D
（2）解：P点位置如图1所示；
（3）解：如图2，根据已知条件可知：
A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）；
则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10
（4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），
所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2，
所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，
所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）
【解析】【解答】解：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；
故答案为：（+3，+4），（+2，0），D；
【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负确定数据即可；
（2）根据所给的路线确定点的位置即可；
（3）根据表示的路线确定长度相加可得结果；
（4）观察点的变化情况，根据（1）即可确定点走了格数，从而确定结论.
27．【答案】（1）3，数轴上表示的点到原点的距离
（2）5，320
（3）
（4）①3；②3或7
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