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第2章 常用逻辑用语
2.1 命题、定理、定义
新课导入
《道德经》有云：“道可道，非常道；名可名，非常名.无名，天地之始；有名，万物之母.……”
由概念（名）判断命题，由命题构成推理，由推理完成证明.
学习目标
1.理解命题、定理、定义的概念，并会判断一个语句是否为命题及命题的真假.
2.了解命题的构成形式,能将命题改写为“若,则”的形式.
新知学习 探究
一 命题、定理、定义的概念
“红豆生南国，春来发几枝 愿君多采撷，此物最相思!”这是唐代诗人王维的《相思》一诗.
思考1．在这4句诗中，哪几句是疑问句？哪几句是陈述句？
思考2．疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？
【答案】思考1 提示 第2句是疑问句,第1句是陈述句.
思考2 提示 疑问句、祈使句、感叹句不能作为命题.
［知识梳理］
1．在数学中，我们将可①_ _ _ _ _ _ _ _ 的②_ _ _ _ _ _ 叫作命题.
【答案】判断真假； 陈述句
2．在数学中，有些已经被证明为③_ _ _ _ 的命题可以作为推理的依据而④_ _ _ _ _ _ _ _ ，一般称之为定理.
【答案】真； 直接使用
3.定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.
［即时练］
1．下列语句为命题的是（ ）
A. 0是自然数吗？ B. 请你过来！
C. 这道数学题真难啊！ D. 只有一组解
【答案】D
【解析】选.可以判断真假的陈述句叫作命题.根据定义可知，只有 选项符合题意.
2．下列语句中是命题的有_ _ _ _ ,是真命题的有_ _ _ _ .（填序号）
①这幅画真漂亮！ ②求证是无理数.
③两个数的和是偶数吗？ ④所有的人都喜欢苹果. ⑤若，则.
【答案】④⑤； ⑤
【解析】①是感叹句，不是命题.②是祈使句，不是命题.③是疑问句，不是命题.④是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是假命题.⑤是命题，当 时，，可以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题.
判断语句是否为命题的策略
（1）命题是可以判断真假的陈述句，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；
（2）对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.
二 命题的结构形式和真假判断
［知识梳理］
数学中，许多命题可表示为“如果，那么”或“若，则”的形式，其中叫作命题的①_ _ _ _ ，叫作命题的②_ _ _ _ .
【答案】条件； 结论
［例1］ （对接教材例2、例3）将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假.
（1） 同位角相等的两条直线平行；
（2） 当或时，；
（3） 空集是任何非空集合的真子集；
（4） 已知，为非零自然数，当时，，.
【答案】（1） 【解】若两条直线的同位角相等，则这两条直线平行，真命题.
（2） 若 或，则,真命题.
（3） 若一个集合是空集,则这个集合是任何非空集合的真子集，真命题.
（4） 已知，为非零自然数，若，则，，假命题.
（1）将命题改写为“若，则”形式的方法及原则
（2）命题真假的判定方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据；要判断一个命题是假命题,可以通过构造一个反例否定命题的正确性.
［跟踪训练1］．
（1） 下面给出的四个命题中，是真命题的为（ ）
A. 等角的余角相等 B. 一个角的补角-定大于这个角
C. 矩形的对角线互相垂直 D. 0是最小的正整数
（2） 把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假.
① 奇数不能被2整除；
② 当时，；
③ 两个相似三角形是全等三角形;
④ 当时，.
【答案】（1） A
（2） ① 解：若一个数是奇数，则它不能被2整除，真命题.
② 若，则，真命题.
③ 若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，假命题.
④ 若，则,真命题.
【解析】
（1） 选.由等式的性质可知，等角的余角相等，故 正确；当这个角为直角时，显然直角的补角与直角相等，故 不正确；只有当矩形的邻边相等时，对角线才互相垂直，故 不正确；最小的正整数是1，故 不正确.
三 由命题的真假求参数
［例2］
（1） 若集合，，，则成立是真命题，则实数的取值集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知集合,，若 是假命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1） 因为集合，，，成立是真命题，所以 或 或，所以 或 或.
（2） 方法一：若 是真命题，则,所以当 是假命题时，.
方法二：若 是假命题，则 是真命题，即集合，有公共元素，在数轴上表示出两个集合，由图易知.
由命题的真假求参数的基本步骤
第一步，明确命题的条件和结论；
第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件；
第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围.
注意 若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集.
［跟踪训练2］．
（1） 已知不等式的解集是，若是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2） 若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 选.因为，所以，又因为 是假命题，即，所以.
（2） 由题意得，且，解得 且.
课堂巩固 自测
1．下列语句中不是命题的是（ ）
A.
B. 二次函数的图象不一定关于轴对称
C.
D. 对任意,总有
【答案】C
【解析】选.选项,,中均为陈述句,且能够判断真假,故均为命题,选项虽然是陈述句，但无法判断真假,故不是命题.故选.
2．下列说法正确的是 （ ）
A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B. 语句“当时，方程有实根”不是命题
C. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D. “时，”是真命题
【答案】D
【解析】选.命题“直角相等”写成“若，则”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项 错误；语句“当 时，方程 有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项 错误；对角线互相垂直的四边形有可能是梯形，所以选项 错误；代入验证可知选项 正确.
3．（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A. 所有质数都是奇数
B. 若，则
C. 对任意的，都有成立
D. 方程有实根
【答案】BC
【解析】选.选项 错误，因为2是偶数也是质数；选项 正确；选项 正确，不论 取 内的任何数，恒成立；选项 错误，因为，所以方程 无实根.
4．如果“若，则”为假命题，那么实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，解得，又“若，则”为假命题，则，得，故实数 的取值范围是.
1.已学习：（1）命题的概念、结构、真假.
（2）定理.（3）定义.
2.须贯通：（1）判断命题的真假的两种方法.
①判断真命题的推理法.
②判断假命题的反例法.
（2）利用命题真假求参数的取值范围.
3.应注意：含变量的语句是不是命题的判断.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列语句中是命题的是（ ）
A. B.
C. 求证是无理数 D. 今天天气真好啊！
【答案】B
【解析】选 不能判断真假，是祈使句，是感叹句，都不是命题.
2．命题“质数都是奇数”写成“若，则”的形式为（ ）
A. 若一个数是质数，则它一定是奇数
B. 任何一个质数都是奇数
C. 若一个实数是奇数，则它一定是质数
D. 所有的奇数都是质数
【答案】A
【解析】选.命题“质数都是奇数”写成“若,则”的形式为若一个数是质数，则它一定是奇数.
3．下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】A
【解析】选.对于，若，可能不属于，故 错误；对于，若，则 是集合 和 的公共元素，那么，故 正确；对于，若，则，故 正确；对于，若，则，故 正确.
4．给出命题：方程没有实数根，则使该命题为真命题的的一个值可以是（ ）
A. 4 B. 2 C. 0 D.
【答案】C
【解析】选.方程无实数根，则，故 时符合条件.
5．（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 命题“相等的两角为对顶角”是真命题
B. 命题“对角线互相垂直平分的四边形是正方形”是真命题
C. 命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”是真命题
D. “三条边都相等的三角形是等边三角形”是真命题
【答案】CD
【解析】选.两个角相等，这两个角不一定是对顶角，所以选项 错误；对角线互相垂直平分的四边形还可能是菱形，不是真命题，所以选项 错误；选项，正确.
6．（多选）下列四个命题中，是真命题的有（ ）
A. 空集没有子集
B. 空集是任何集合的一个真子集
C. 空集的元素个数为0
D. 任何非空集合至少有两个不同的子集
【答案】CD
【解析】选.空集的子集是它本身，故 是假命题；空集是任何非空集合的一个真子集，故 是假命题；空集的元素个数为0，故 是真命题；是真命题.
7．下列命题：
①；
②若，都是无理数，则是无理数；
③若集合，则；
④.
其中是真命题的序号是_ _ _ _ .
【答案】③④
【解析】①中，，是假命题;②中，设，，则,都是无理数，而 不是无理数，是假命题；③中，若，即 是 的子集，故，是真命题；④是真命题.
8．能说明“若,则”为假命题的一组,的值依次为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1,（答案不唯一）
【解析】当 时,不成立.故取,,满足题意.
9．“不是矩形的四边形的对角线不相等”这一命题的条件是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，结论是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】一个四边形不是矩形； 这个四边形的对角线不相等
10．（13分）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假.
（1） 偶数能被2整除；（4分）
（2） 当时，无实根；（4分）
（3） 当时，且且.（5分）
【答案】（1） 解：若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题.
（2） 若，则 无实根，真命题.
（3） 若，则 且 且，假命题.
B 能力提升
11．（多选）如果命题“非空集合中的元素都是集合中的元素”是假命题，那么下列命题为真命题的是（ ）
A. 中的元素都不是的元素 B. 中有不属于的元素
C. 中有属于的元素 D. 中的元素不都是的元素
【答案】BD
【解析】选.根据命题“非空集合 中的元素都是集合 中的元素”是假命题，可得 不是 的子集.则有以下两种情况：与 有公共元素，且 中至少有一个元素不在 中；与 没有公共元素.由①知，错误；由②知，错误；由①②知，，正确.
12．命题“集合是集合的子集，所以是集合的子集”.写成“若，则”形式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，是_ _ _ _ 命题（填“真”或“假”）.
【答案】若集合是集合的子集，则是集合的子集； 假
【解析】若，2，，，3，，则，2，3，，，，不妨取，，则 不是 的子集，故是假命题.
13．已知命题“若,则”为真命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设,,由题知，,则 解得,故实数 的取值范围是.
14．（13分）已知，，，，五名学生参加某次数学单元检测，在未公布成绩前他们对自己的数学成绩进行了猜测.
A说：“如果我得优，那么也得优”；
B说：“如果我得优，那么也得优”；
C说：“如果我得优，那么也得优”；
D说：“如果我得优，那么也得优”.
成绩揭晓后，发现他们都没说错，但只有三个人得优.请问：得优的是哪三位同学
解：如果 得优，可依次推出，，，均得优，这与“只有三个人得优”相矛盾，故 不可能得优；如果 得优，可依次推出，，也得优，这与“只有三个人得优”相矛盾，故 也不可能得优.所以可以判定，，三位同学得优.
C 素养拓展
15．（15分）是否存在整数，使得对任意，是真命题？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
解：假设存在整数，使得对任意，是真命题.
因为对任意，
，
所以，
所以.
又因为 为整数，
所以.
所以存在整数,满足题意，.
2.2 充分条件、必要条件、充要条件
新课导入
“有之则必然，无之则未必不然”，
“无之则必不然，有之则未必然”.
这两句话蕴含什么逻辑关系呢 这就是本节我们所要探讨的内容.
学习目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.
2.结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法.
3.会利用充分条件、必要条件、充要条件求参数（范围）.
新知学习 探究
一 充分条件与必要条件
有如图所示的电路图.
思考．开关闭合时灯一定亮吗？从数学的角度如何描述这种关系？
提示开关闭合时灯一定亮；开关闭合是灯亮的充分条件.
［知识梳理］
命题真假 “若,则”为真命题 “若,则”为假命题
推出关系 ①_ _ _ _ ②_ _ _ _
条件关系 是的③_ _ _ _ 条件 是的④_ _ _ _ 条件 不是的⑤_ _ _ _ 条件 不是的⑥_ _ _ _ 条件
【答案】； ； 充分； 必要； 充分； 必要
［例1］ （对接教材例1、例2）下列各题中，哪些是的充分条件？哪些是的必要条件？
（1） 四边形为菱形，四边形为平行四边形；
（2） ，;
（3） ,.
【答案】
（1） 【解】因为四边形 为菱形 四边形 为平行四形，即，
所以 是 的充分条件.
因为四边形 为平行四边形 四边形 为菱形，即，
所以 不是 的必要条件.
（2） 因为,即,
所以 是 的充分条件.
因为,即，
所以 不是 的必要条件.
（3） 若，则,
所以，
所以 不是 的充分条件.
若，则，所以，
所以 是 的必要条件.
充分条件与必要条件的判断方法
（1）判断是的什么条件，主要判断若成立时，能否推出成立，反过来，若成立时，能否推出成立.若为真，则是的充分条件，若为真，则是的必要条件.
（2）除了用定义判断外，还可以利用集合间的关系判断，由构成的集合为，由构成的集合为，若，则是的充分条件;若，则是的必要条件.
［跟踪训练1］．
（1） 已知，，是实数，下列命题结论正确的是（ ）
A. “”是“”的充分条件
B. “四边形为菱形”是“四边形的对角线垂直”的必要条件
C. “”是“”的充分条件
D. “”是“”的必要条件
（2） “”是“”的_ _ _ _ 条件，“”是“”的_ _ _ _ 条件.（用“充分”“必要”填空）
【答案】（1） C
（2） 必要；充分
【解析】
（1） 选.对于，当，时，满足，但是，所以充分性不成立；对于，四边形的对角线垂直不能推出该四边形为菱形，所以必要性不成立；对于，由 得，则 成立，所以充分性成立；对于，当，时，满足，但是，所以必要性不成立，故“”不是“”的必要条件.故选.
（2） 由于,所以“”是“”的必要条件，“”是“”的充分条件.
二 充要条件
给出下面两个“若，则”形式的命题：
（1）若，则；
（2）若，则.
思考1．能判断这两个命题的真假吗？
思考2．若，，则是的什么条件？
思考3．命题（1）与命题（2）有什么关系？
【答案】思考1 提示 （1）是真命题；（2）是真命题.
思考2 提示 由命题（1）知是的充分条件；由命题（2）知是的必要条件.
思考3 提示 互为逆命题.
［知识梳理］
1．充要条件
一般地,如果①_ _ _ _ _ _ _ _ ,且②_ _ _ _ _ _ ,那么称是的充分且必要条件,简称为是的③_ _ _ _ 条件，也称的充要条件是，记作④_ _ _ _ _ _ ,称为“与等价”，或“等价于”.
【答案】； ； 充要；
2．对充分条件和必要条件的进一步划分
条件与结论的关系 结论
,且 是的⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 条件
,且 是的⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 条件
,且,即 是的⑦_ _ _ _ 条件
,且 是的⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 条件
【答案】充分且不必要； 必要且不充分； 充要； 既不充分又不必要
角度1 充要条件的判断
［例2］ （对接教材例3）指出下列命题中，是的什么条件.
（1） ，，中至少有一个不为零；
（2） ，；
（3） ，；
（4） 是偶数，是偶数；是偶数.
【答案】
（1） 【解】因为，，
所以 是 的充分且不必要条件.
（2） 因为，，
所以，所以 是 的充要条件.
（3） 由，得 且，又，所以 是 的必要且不充分条件.
（4） 当 是偶数，是偶数时，是偶数，反之不成立，如，，，所以 是 的充分且不必要条件.
判断充要条件的三种方法
（1）定义法：直接判断“若，则”以及“若，则”的真假.
（2）集合法：即利用集合的包含关系判断.如果条件和结论相应的集合分别为和，那么若，则是的充分条件；若，则是的必要条件；若，则是的充要条件.
（3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由，可得；充要条件也有传递性.
角度2 充要条件的证明
［例3］ 求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.
【证明】（1）充分性：因为，所以方程 的判别式，且，
所以方程 有两个同号且不相等的实根.
（2）必要性：若方程 有两个同号且不相等的实根，分别设为，，
则有 解得.
综合 知，方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是.
充要条件的证明思路
在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时，要注意：若证明“的充要条件是”，那么“充分性”是，“必要性”是；若证明“是的充要条件”，则与之相反.
注意 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向.
［跟踪训练2］．
（1） 下列选项中，使成立的一个必要且不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知，，均为实数，证明“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件.
【答案】（1） B
（2） 证明：充分性：因为，所以，所以方程 为一元二次方程，且，所以 有两个不相等的实数根，分别设为，.因为，所以，所以，为一正一负，即 有一正根和一负根.
必要性：因为 有一正根和一负根，
所以，
所以方程 为一元二次方程.
设两个根分别为，，
则，所以.
综上知，“”是“关于 的方程 有一正根和一负根”的充要条件.
【解析】
（1） 选.不等式，解得，根据充分条件、必要条件的定义可知：
对于，是 成立的充要条件，错误；
对于，，则 是 成立的一个必要且不充分条件，正确；
对于，，则 是 成立的一个充分且不必要条件，错误；
对于，与 没有包含关系，则 是 成立的既不充分又不必要条件，错误.
三 由充分条件、必要条件求参数范围
［例4］ 已知,，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【解】 因为 是 的必要不充分条件，所以 是 的充分不必要条件，
即,
故有 或
解得.
又，所以实数 的取值范围为.
母题探究．本例中,不变，是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：不存在.理由如下：若 是 的充要条件，则 方程组无解.故不存在实数,使得 是 的充要条件.
由条件关系求参数的值（范围）的步骤
（1）根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系；
（2）根据集合端点,数形结合列方程或不等式（组）求解.
［跟踪训练3］．已知,.
（1） 当为何值时，是的充分不必要条件？
（2） 当为何值时，是充要条件？
【答案】
（1） 解：因为 是 的充分不必要条件，所以,且,所以.
所以当 时,是 的充分不必要条件.
（2） 因为 是 的充要条件，
所以,
所以.
所以当 时，是 的充要条件.
课堂巩固 自测
1．设，则“”是“”的（ ）
A. 必要且不充分条件 B. 充分且不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】选.“” “”，反之不成立.所以“”是“”的充分且不必要条件.故选.
2．（多选）已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】选.对于选项，若，则有，又当，有，所以选项 正确；
对于选项，若，则有，又当，有，所以选项 正确；
对于选项，若，则，可得到，但，得不出，即得不出，所以选项 不正确；
对于选项，，则有，得不出，所以选项 不正确.故选.
3．写出的一个必要且不充分条件:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由，得，
则 不能推出，能推出，
则 是 的必要且不充分条件，即 的一个必要且不充分条件是.
4．若“”是“”的充分且不必要条件，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为“”是“”的充分且不必要条件，所以，则,解得.
1.已学习：（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.
2.须贯通：（1）充分条件、必要条件、充要条件的判断方法:定义法、集合法、传递法；
（2）根据充分、必要条件求参数的值（范围）.
3.应注意：（1）充分条件、必要条件不唯一；
（2）求参数范围时，要注意能否取到端点值.
课后达标 检测
A 基础达标
1．“”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件 B. 既不充分又不必要条件
C. 充要条件 D. 必要且不充分条件
【答案】D
【解析】选.由 得，所以，所以 是 的必要且不充分条件.
2．“三角形有两边上的高相等”是“这个三角形为等腰三角形”的（ ）
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】选.当三角形两边上的高相等时，由三角形面积公式可得这两边也相等，所以这个三角形为等腰三角形，当三角形为等腰三角形时，同样由三角形的面积公式可知，两腰上的高相等，所以“三角形有两边上的高相等”是“这个三角形为等腰三角形”的充要条件.故选.
3．已知集合,，，3，，则“”是“”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充分条件又是必要条件
【答案】A
【解析】选.若,则有 且,所以 或，故当 时，有，而 时，不一定是1，故“”是“”的充分条件，不是必要条件.
4．使“”成立的一个充分且不必要条件是（ ）
A. B. 或
C. ，3， D. 或
【答案】C
【解析】选.选项中只有，3，是使“”成立的一个充分且不必要条件.
5．（多选）的一个必要且不充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】选.由于，而反之不成立；，反之不成立，故，是 的必要且不充分条件；经分析，选项，均不符合题意.故选.
6．（多选）下列说法中正确的有（ ）
A. “”是“”的必要条件
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “或”是“”的充要条件
D. “”是“”的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】选.对于，“”成立时，“”不一定成立，故 错误.对于，,或,所以“”是“”的充分不必要条件，故 正确.对于，的两个根为2，，故 正确.对于，取，，则,但,所以“”不能推出“”；取,,则,但,所以“”也不能推出“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故 错误.故选.
7．若“”是“”的必要且不充分条件，且，则的取值可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】2（答案不唯一，满足且均可）
【解析】因为“”是“”的必要且不充分条件，则，又，所以 且，故 可取2.
8．已知条件，，是的必要条件，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】已知条件，，设集合，.
因为 是 的必要条件，所以，
所以，解得.
9．“方程没有实数根”的充要条件是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为方程 没有实数根，所以，解得，因此“方程 没有实数根”的必要条件是.反之，若，则，方程 无实数根，从而充分性成立.故“方程 没有实数根”的充要条件是“”.
10．（13分）下列各题中，是的什么条件？
（1） ，；（4分）
（2） 三角形为等腰三角形，三角形存在两角相等.（4分）
（3） 为空集，与之一为空集.（5分）
【答案】
（1） 解：因为，
.
所以 是 的必要且不充分条件.
（2） 由三角形为等腰三角形等价定义可知,可互相推出，因此 为 的充要条件.
（3） 为空集，则，无公共元素，但不一定是空集，若，之一为空集，则 为空集，因此 为 的必要不充分条件.
B 能力提升
11．“函数的图象在轴的上方”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】选.因为函数 的图象在 轴的上方，所以,解得,由集合的包含关系可知选.
12．下列选项中，是“ 是集合,的真子集”成立的必要不充分条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.若“ 是集合,}的真子集”,则, ，所以方程 有实数解，当 时，由 可得，符合题意;当 时，由 可得，所以 且.综上所述，, 的充要条件为,即“ 是集合,}的真子集”成立的充要条件为.根据题意，即求 的必要不充分条件，故，，错误，正确.故选.
13．设，一元二次方程有整数根的充要条件是_ _ _ _ .
【答案】3或4
【解析】一元二次方程的根为，
因为 是整数，即 为整数，
所以 为整数，且，
又，取,2,3,4.
验证可得 或4，符合题意，
所以 或4时，可以推出一元二次方程 有整数根.
14．（13分）已知集合或,.
（1） 求实数的取值范围，使它成为的充要条件；（6分）
（2） 求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件.（7分）
【答案】
（1） 解：的充要条件是,所以实数 的取值范围是.
（2） 结合数轴可知 时符合题意，则实数 的取值范围是.
C 素养拓展
15．（15分）“关于的方程有实数根”是“”的什么条件？请证明你的结论.
解：必要不充分条件.证明如下：
先证充分性不成立：
取，,此时方程 有实数根，但此时，因此充分性不成立.再证必要性成立：
当 时，恒成立，所以方程 有实数根，即必要性成立.
所以“关于 的方程 有实数根”是“”的必要不充分条件.
2.3 全称量词命题与存在量词命题
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
新课导入
某位理发师的广告词是这样写的:“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸！”你们说他能不能给他自己刮脸呢 这就是著名的“罗素理发师悖论”问题！
学习目标
1.理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量词、存在量词命题的定义.
2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法.
新知学习 探究
一 全称量词命题与存在量词命题
学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演.这1 000名学生符合下列条件：
（1）所有学生都来自高二年级；
（2）有些学生来自高二（一）班；
（3）每一个学生都有固定表演路线.
思考1．上述问题中“所有”“每一个”的含义相同吗？
思考2．与上述问题中“有些”含义相同的短语有哪些？
【答案】思考1 提示 相同.
思考2 提示 “存在”“有的”“至少有一个”等.
［知识梳理］
类别 全称量词 存在量词
量词 所有、任意、每一个 存在、有的、有一个
符号
命题 含有①_ _ _ _ _ _ _ _ 的命题称为全称量词命题 含有②_ _ _ _ _ _ _ _ 的命题称为存在量词命题
命题形式 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】全称量词； 存在量词； ,； ,
［例1］ 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题.
（1） 自然数的平方大于或等于零；
（2） 有的实数不能写成小数形式；
（3） 对任意一个实数，都不小于零;
（4） 凸多边形的外角和等于 .
【答案】（1） 【解】全称量词命题.用量词符号表示为：，.
（2） 存在量词命题.用量词符号表示为：,不能写成小数形式.
（3） 全称量词命题.用量词符号表示为：，.
（4） 全称量词命题.用量词符号表示为：是凸多边形，的外角和等于 .
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
注意 全称量词命题可以省略全称量词.
［跟踪训练1］．判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题.
（1） 正方形的四条边相等；
（2） 至少有一个正整数是偶数；
（3） 正数的平方根不等于0；
（4） 有两个角为 的三角形是等腰直角三角形.
【答案】（1） 解：正方形的四条边相等可以改写为：所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题.
（2） 至少有一个正整数是偶数可以改写为：至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题.
（3） 正数的平方根不等于0可以改写为：所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题.
（4） 有两个角为 的三角形是等腰直角三角形可以改写为：所有的有两个角为 的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题.
二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
［例2］ （对接教材例1）判断下列命题的真假.
（1） 每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
（2） 至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
（3） 存在一个实数，使得方程成立；
（4） ，，.
【答案】（1） 【解】是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示.
（2） 是真命题，如有一个内角为 的直角三角形就不是等腰三角形.
（3） 是假命题，方程 的判别式，故方程无实数根.
（4） 是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立.
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
［跟踪训练2］．（多选）下列命题是真命题的为（ ）
A. 设，为两个集合，若，则对任意，都有
B. 设，为两个集合，若不包含于，则存在，使得
C. 是无理数，是有理数
D. 是无理数，是无理数
【答案】ABD
【解析】选.对于选项：根据 的定义可知，任意，都有，故 为真命题；
对于选项：若 不包含于，则存在，使得，故 为真命题；
对于选项： 是无理数，而 还是无理数，故 为假命题；
对于选项： 是无理数，而 还是无理数，故 为真命题.故选.
三 依据含量词命题的真假求参数范围
［例3］ 已知命题，.若为真命题，求实数的取值范围.
【解】 命题 为真命题，转化为 对任意 恒成立，因此，即.
母题探究1．本例中“”改为“”其他条件不变，求实数的取值范围.
解：由例题解析可得 对任意 恒成立，，但 没有最小值，所以.
母题探究2．本例中“ ”改为“ ”，其他条件不变，求实数的取值范围.
解：由题得命题，，命题 为真命题，转化为 在 上有解，因此，即
由含量词命题的真假求参数范围的策略
（1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数式恒等式，确定参数的取值范围；
（2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式知识解决.
［跟踪训练3］．若“，恒成立”是真命题，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为“，恒成立”为真命题，所以，其中，所以，所以.
课堂巩固 自测
1．下列语句是全称量词命题的是 （ ）
A. 有的无理数的平方是有理数 B. 有的无理数的平方不是有理数
C. 对于任意，是奇数 D. 存在，是奇数
【答案】C
【解析】选.因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项，，均为存在量词命题，选项 为全称量词命题.
2．下列命题中为假命题的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】选 中命题是全称量词命题，易知 恒成立，故是真命题；中命题是全称量词命题，当 时，，故是假命题；中命题是存在量词命题，当 时，，故是真命题；中命题是存在量词命题，当 时，，故是真命题.
3．命题“，”为真命题的一个充分且不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由，，即 在 上恒成立，
令，图象开口向上，对称轴为直线，则其最大值为，
则，则它的一个充分且不必要条件应该是.
4．命题“已知,都有”是真命题,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由已知,得,要使,都有 成立,只需.
1.已学习：（1）全称量词命题.
（2）存在量词命题.
2.须贯通：（1）全称量词命题、存在量词命题的真假判定；
（2）根据命题的真假求参数的值（范围）.
3.应注意：（1）有些全称量词命题不含全称量词，要根据命题的意义去判断；
（2）求参数范围时，要注意能否取到端点值.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A. , B. ,
C. 平行四边形的对边平行 D. 矩形的任一组对边相等
【答案】B
【解析】选 含有全称量词“ ”,为全称量词命题；含有存在量词“ ”,为存在量词命题，满足条件；省略了全称量词“所有”，为全称量词命题；省略了全称量词“所有”，为全称量词命题，故选.
2．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ）
A. 对任意的,,都有
B. 菱形的两条对角线相等
C. ,
D. 所有的等边三角形都相似
【答案】D
【解析】选 中含有全称量词“任意的”，因为,所以 是假命题；在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，因为菱形的对角线不一定相等，所以 是假命题；是存在量词命题；中含有全称量词“所有的”，且所有的等边三角形都满足相似定义，所以 是真命题.故选.
3．已知集合,集合,则以下命题为真命题的是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】A
【解析】选.由题可知，是 的真子集，所以,或,或,.只有 选项符合要求.
4．已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为 是假命题，
所以方程 没有实数根，
即，解得.
5．已知命题存在实数，使成立，若命题为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.满足题意时，应存在实数，使，令，则，所以.故选.
6．（多选）下列命题是真命题的有（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】ACD
【解析】选 项，因为，所以，故 正确；项，因为，所以当 时，与 矛盾，故 错误；项，当 时，，故 正确；项，当 时，，故 正确.
7．命题“存在实数，，使得”用符号表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，，
【解析】命题“存在实数，，使得”是存在量词命题，用符号表示为“，，”.
8．[（2025·连云港月考）]根据下述事实，写出一个含有量词的命题是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
，
，
,
，
…
【答案】，
【解析】由题知，一个含有量词的命题是，.
9．若命题“，使”为真命题，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意知方程 有实根，故，所以.
10．（13分）判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.
（1） 对所有的正实数，为正且；（3分）
（2） 存在实数，使得；（3分）
（3） 存在实数对，使得；（3分）
（4） 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.（4分）
【答案】（1） 解：全称量词命题，且为假命题，如取,则 不成立.
（2） 存在量词命题，且为真命题，因为判别式.
（3） 存在量词命题，且为真命题，如取实数对,则 成立.
（4） 全称量词命题，且为真命题.
B 能力提升
11．已知,命题“,”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.当该命题是真命题时，只需,.又 在 上的最大值是4，所以.因为,.故选.
12．（多选）下列命题是真命题的为（ ）
A. 存在,使
B. 对于一切，都有
C. 不存在实数,使
D. 已知,,对于任意,都有
【答案】ABC
【解析】选，显然为真命题；对于,恒成立，故 为真命题；已知,,当 时，,当 时，,,故 为假命题.
13．（13分）已知集合.
（1） 若命题“,”是真命题，求实数的取值范围；（6分）
（2） 若命题“,”是真命题，求实数的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：由题意得,解得,
所以实数 的取值范围是.
（2） 由题意得,即,
所以实数 的取值范围是.
14．[（2025·徐州期中）]（15分）已知非空集合，.
（1） 若，则，求实数的取值范围；（7分）
（2） 是否存在实数，使命题“，”是真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.（8分）
【答案】
（1） 解：由，则，可知 是 的子集，
又因为 ，则 解得.
所以实数 的取值范围是.
（2） 存在实数，使命题“，”是真命题，理由如下：
假设命题“，”是真命题，则 ，
因为 ，要使 ，则 或 解得 或，
所以当 时， ，此时，满足，，
即存在实数，使命题“，”是真命题.
C 素养拓展
15．（多选）已知取整函数：不超过的最大整数，如,,,以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（ ）
A. ，
B. ,，，则
C. ，
D. ,，
【答案】BC
【解析】选.当 时，,但,故 为假命题;设,则,,所以,故 为真命题；当 时，，故 为真命题；当,时，有,但，故 为假命题.故选.
2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
新课导入
“否定”是我们生活中经常使用的一个词，某文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要，一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强.”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思.
学习目标
1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.
2.能正确对含有一个量词的命题进行否定.
新知学习 探究
一 全称量词命题的否定
思考1．已知命题若，则，其否定是什么？两命题真假性有无关系？
提示 命题的否定为：若，则，命题为真命题，其否定为假命题，二者只能一真一假.
思考2．全称量词命题的否定，是只否定结论吗？
提示 不是，量词也要随之改变.
［知识梳理］
命题 命题的否定 结论
全称量词命题， ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 全称量词命题的否定是②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】，； 存在量词命题
点拨 （1）对于省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.
（2）常见的关键词的否定：
原词 等于 大于 小于 是 都是
否定词 不等于 不大于 不小于 不是 不都是
原词 至多一个 至少一个 任意 所有的
否定词 至少两个 一个也没有 某个 某些
［例1］ 写出下列全称量词命题的否定：
（1） 任何一个平行四边形的对边都平行；
（2） ，方程有实数根；
（3） 可以被5整除的整数，末位是0.
【答案】（1） 【解】该命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行.
（2） 该命题的否定：，方程 没有实数根.
（3） 该命题的否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
对全称量词命题否定的两个步骤
（1）改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词;
（2）否定结论：把原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.
［跟踪训练1］．命题“,”的否定是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】A
【解析】选.,的否定为：,.故选.
二 存在量词命题的否定
思考1．命题“有些平行四边形是菱形”其否定是“没有一个平行四边形是菱形”，其否定用含量词的命题如何表示？
提示 每一个平行四边形都不是菱形.
思考2．存在量词命题的否定是全称量词命题，只改变量词吗？
提示 不是,不但把存在量词改为全称量词，还要否定结论.
［知识梳理］
命题 命题的否定 结论
存在量词命题， ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 存在量词命题的否定是②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】，； 全称量词命题
点拨 要否定存在量词命题“，”，需要验证对 中的每一个，均有 不成立，也就是命题“，”成立.
［例2］ 写出下列命题的否定，并判断其真假.
（1） 有些实数的绝对值是正数；
（2） 存在，函数随值的增大而减小；
（3） ,，使得.
【答案】（1） 【解】所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.
（2） 对任意，函数 不随 值的增大而减小,为假命题.
（3） ，,,为假命题.例如，时，.
对存在量词命题否定的两个步骤
（1）改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词;
（2）否定结论：把原命题中的“是”“成立”等更改为“不是”“不成立”等.
［跟踪训练2］．写出下列存在量词命题的否定，并判断原命题及其否定的真假.
（1） ,;
（2） 有一个奇数不能被3整除.
【答案】
（1） 解：原命题的否定是“,”,
原命题为假命题，其否定为真命题.
（2） 原命题的否定是“每一个奇数都能被3整除”.
原命题为真命题，其否定为假命题.
三 由命题的否定求参数
［例3］ [（2025·淮安月考）]已知命题，为假命题，实数的取值集合为.
（1） 求集合；
（2） 设非空集合，若,为真命题，求实数的取值集合.
【答案】
（1） 【解】由命题，为假命题，
得，为真命题，
当 时，，不符合题意；
当 时，，解得，
综上，实数 的取值集合.
（2） 若,为真命题，得，
又因为 ，
所以，
解得，
所以实数 的取值集合为.
（1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化;
（2）求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围.
［跟踪训练3］．
（1） 已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2） 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） D
（2） C
【解析】
（1） 选.由题得，，又 是真命题，即，恒成立，于是得.故选.
（2） 选.由题知原命题的否定“，”是真命题，
可得不等式 在 上有解，
设，，
可得，所以，
所以实数 的取值范围是.
课堂巩固 自测
1．命题“,”的否定是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】A
【解析】选.根据存在量词命题的否定形式可知，命题“，”的否定是“，”.故选.
2．（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且是真命题的是（ ）
A. ， B. 自然数都是正整数
C. ， D. 有的实数是无限不循环小数
【答案】AC
【解析】选.对于，命题的否定为，，是全称量词命题，且是真命题，故 正确；对于，命题的否定为存在一个自然数不是正整数，是存在量词命题，故 错误；对于，命题的否定为，，是全称量词命题，且是真命题，故 正确；对于，命题的否定为所有实数都不是无限不循环小数，是假命题，故 错误.
3．若命题“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由于命题“存在，使得”是假命题，因此其命题的否定“对任意,”是真命题，所以，所以实数 的取值范围是.
4．已知函数，，若，，使得，求实数的取值范围.
解：因为，，所以，.又因为，，使得，所以，即，所以.故实数 的取值范围为.
1.已学习：全称量词命题的否定、存在量词命题的否定.
2.须贯通：（1）全称量词命题与存在量词命题否定的步骤：改变量词、否定结论；
（2）利用命题的真假求参数.
3.应注意：（1）缺少量词的全称量词命题要先补上量词再否定；
（2）求参数范围时，要注意能否取到端点值.
课后达标 检测
A 基础达标
1．命题“,”的否定是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】D
【解析】选.全称量词命题的否定为存在量词命题,即“,”.
2．命题“,”的否定是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】A
【解析】选.将量词“ ”改为“ ”,结论“”改为“”.
3．设，集合是奇数集，集合是偶数集.若命题，，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】选.根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得，.
4．下列命题的否定中，是真命题的为（ ）
A. 有些实数的绝对值是正数
B. 所有平行四边形都不是菱形
C. 任意两个不全等的等边三角形都是相似的
D. 3是方程的一个根
【答案】B
【解析】选.对于，有些实数的绝对值是正数为真命题，其否定为假命题，故 错误；对于，所有平行四边形都不是菱形为假命题，其否定为真命题，故 正确；对于，任意两个不全等的等边三角形都是相似的为真命题，其否定为假命题，故 错误；对于，3是方程 的一个根为真命题，其否定为假命题，故 错误.
5．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.由 可得.因为，所以.若命题“存在，使得等式 成立”是假命题，则实数 的取值范围是.
6．（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A. ，
B. 所有的正方形都是矩形
C. ，
D. 至少有一个实数，使
【答案】AC
【解析】选.由题意可知，原命题为存在量词命题且为假命题，所以排除，；又因为，，所以，均为假命题.故选.
7．“有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，是_ _ _ _ 命题.（填“真”或“假”）
【答案】任意平行四边形的对角线相等； 假
【解析】“有一个平行四边形”中含有存在量词，因此这是一个存在量词命题，其否定应是全称量词命题，即“任意平行四边形的对角线相等”，原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题.
8．若命题“，”为假命题，则满足条件的自然数的值为_ _ _ _ .
【答案】0，1
【解析】因为，且命题“，”为假命题，所以该命题的否定“，”为真命题，所以.因为 为自然数，所以 为0，1.
9．已知是常数，命题存在实数，使得，若命题是假命题，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】命题 存在实数，使得 为假命题，所以它的否定：对任意实数，为真命题，所以 对任意实数 都成立，即，所以，故实数 的取值范围是.
10．（13分）写出下列命题的否定，并判断其真假.
（1） 不论取何实数，方程必有实数根；（4分）
（2） 存在一个实数，使得;（4分）
（3） 等圆的面积相等，周长相等.（5分）
【答案】
（1） 解：这一命题可以表述为“对所有的实数,方程 有实数根”，其否定为“存在实数,使得 没有实数根”.
当,即 时，一元二次方程没有实数根，所以 是真命题.
（2） 这一命题的否定是 对所有实数，都有.因为,所以 是真命题.
（3） 这一命题的否定是 存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等.由平面几何知识知，是假命题.
B 能力提升
11．（多选）下列叙述正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”的否定是“，或”
C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 命题“，”的否定是真命题
【答案】ABD
【解析】选 由，而 不一定有，即“”是“”的充分不必要条件，正确；“，”的否定是“，或”，正确；由 且，得，而 存在，满足要求，即“且”是“”的充分不必要条件，错误；“，”的否定是“，”，为真命题，正确.故选.
12．若“,”为假命题，则实数的最小值为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】命题“,”是假命题，
它的否定是“,”,是真命题，
即,恒成立，
所以,.
令,则在 上，随 的增大而减小，在 上，随 的增大而增大，又当 时，，当 时，,所以，
所以,所以实数 的最小值为3.
13．（13分）已知命题，都有,命题，使成立,若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
解：由题意知命题,都是真命题.
由，都有，只需，即.
由，使 成立，只需，即,因为两者同时成立，故实数 的取值范围为.
14．[（2025·扬州期中）]（15分）已知关于的方程有实数根，关于的方程的解在内.
（1） 若是真命题，求的取值范围；（7分）
（2） 若和中恰有一个是真命题，求的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：由 解得，
所以，解得，
因为命题 是真命题，则命题 是假命题，
所以实数 的取值范围是 或.
（2） 由（1）知，若命题 是真命题，则，
若 为真命题，即关于 的方程 有实数根，
因此，解得，
则 为假命题时，.
当 真 假时，则 解得；
当 假 真时，则 解得.
综上，和 中恰有一个是真命题时，的取值范围为 或.
C 素养拓展
15．已知集合，集合，如果命题“， ”为假命题，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为命题“， ”为假命题，
所以命题“， ”为真命题；
因为集合，集合，
所以，当 时，即 时， 成立；
当 时，，
则 解得，
综上所述，实数 的取值范围为.
阶段提升（二） 常用逻辑用语
（范围：）
题型一 充分条件、必要条件与充要条件
1．设,,分别是的三条边，则“为直角三角形”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】选.当,,时，易知 是直角三角形，但，所以充分性不成立；根据勾股定理，由，得 是直角三角形，所以必要性成立.
2．（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】选.对于，“”是“”的一个必要不充分条件，故 错误；
对于，“”是“”的一个充分不必要条件，故 正确；
对于，“”是“”的一个充分不必要条件，故 正确；
对于，“”是“”的一个必要不充分条件，故 错误.
3．已知全集，集合,均为的子集，且，,,.
证明：“”是“”的充分不必要条件.
证明：依题意得，
由，得 或，
则，
所以.
先证充分性:
当 时，，则，
所以“”是“”的充分条件.
再证不必要性:
由，得.
当，即 时，，，
当 时，，，
则由，得 或，
所以“”不是“”的必要条件.
综上，“”是“”的充分不必要条件.
充分条件与必要条件的判断方法
（1）定义法
（2）集合法：写出,对应的集合，利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度.
题型二 全称量词命题与存在量词命题
1．下列命题中是存在量词命题并且是真命题的是 （ ）
A. , B. ，为奇数
C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数
【答案】B
【解析】选.对于，该命题是全称量词命题，错误；
对于，该命题是存在量词命题，取，为奇数，为真命题，正确；
对于，该命题是全称量词命题，错误；
对于，该命题是真命题，但不是存在量词命题，错误.
2．若命题有些三角形是锐角三角形，则（ ）
A. 是真命题，且的否定：所有的三角形都不是锐角三角形
B. 是真命题，且的否定：所有的三角形都是锐角三角形
C. 是假命题，且的否定：所有的三角形都不是锐角三角形
D. 是假命题，且的否定：所有的三角形都是锐角三角形
【答案】A
【解析】选.有些三角形是锐角三角形为真命题，根据存在量词命题的否定为全称量词命题，所以 的否定为所有的三角形都不是锐角三角形.
3．命题“，”的否定是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】由全称量词命题的否定可知，
“，”的否定是“,”.
全称量词命题与存在量词命题的关注点
（1）全称量词命题和存在量词命题的否定要把握两点:一是改量词，二是否结论.
（2）判定全称量词命题为真命题时，需要给出严格证明，为假命题时，只要找到一个反例就行；而判定一个存在量词命题为真命题时，只要找到满足条件的一个例子就可以了.
题型三 常用逻辑用语中的参数问题
［典例］ 已知命题,.当命题为假命题时，正实数的取值集合为.
（1） 求集合；
（2） 设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1） 【解】因为命题 为真命题，所以，解得，又,所以.
（2） 因为 是 的必要不充分条件，
所以，所以 解得，
故实数 的取值范围为.
常用逻辑用语中的参数问题的关注点
根据全称量词命题和存在量词命题的真假或充分条件、必要条件、充要条件等求参数的取值范围，一般把问题转化为不等式或集合问题解决.解题过程中要注意变量取值范围的限制.
［跟踪训练］．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，因此满足 对应的集合为 或，
因为 是 的必要不充分条件，
所以集合，是集合 或 的真子集，
于是有 或
解得 或.
阶段小测（二）
（时间：120分钟 满分：100分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列语句为命题的是（ ）
A. 对角线相等的四边形 B. 同位角相等
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为命题是能判断真假的陈述句，选项，，不能判断真假，选项 可以判断真假.
2．命题“，使得”的否定是（ ）
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
【答案】A
【解析】选.命题“，使得”的否定是“，使得”.
3．若，，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】选.由 可得,,，又，所以 是 的必要不充分条件.
4．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,为假命题,所以,为真命题，可得，
又,为真命题，可得，综上，只有 符合题意.
5．“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.“方程 至多有一个实数解”的充要条件为，解得，
结合选项可知，是 的充分不必要条件.
6．已知命题，都有，命题,，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】选.若 为真命题，则，又，所以，
所以，
若 为真命题，则 有解，所以，
解得，
所以当 与 全为真命题时，实数 的取值范围是，
又 与 不全为真命题，则实数 的取值范围是 或.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
7．下列命题是真命题的有（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】AD
【解析】选.对于，，只有当 时，，故 正确，错误；
对于，由，解得，所以不存在，使得，故 错误；
对于，因为，所以，所以，，故 正确.
8．已知集合，或，则 的必要不充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】选.因为 ，当 时，,解得，符合题意;当 时，解得.综上可得.
所以 的必要不充分条件可以是 或.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.）
9．命题“，”的否定是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
10．已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，可得，
由于命题 是命题 的充分不必要条件，故命题 是命题 的充分不必要条件，
故，所以，解得，
即实数 的取值范围是.
11．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为命题，为假命题，所以,是真命题，所以方程 有实数根，则,解得.
四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
12．（本小题满分13分）已知集合,}.
（1） 若，求实数的值；（6分）
（2） 若命题,为真命题，求实数的值.（7分）
【答案】（1） 解：因为，所以，解得.
（2） 因为命题,为真命题，所以方程组 有公共解，解得
当 时，经检验，符合题意，故实数 的值为0.
13．（本小题满分15分）已知，，或.
（1） 若命题是真命题，求实数的取值范围；（7分）
（2） 若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：因为命题 是真命题，所以命题 是假命题，即关于 的方程 无实数根.
当 时，方程有解，不符合题意；
当 时，，解得.
故实数 的取值范围是.
（2） 由（1）知若命题 是真命题，则，
因为命题 是命题 的充分不必要条件，所以 或，
则有，所以实数 的取值范围是.
14．（本小题满分15分）设集合是一个点集，对定义一个新运算 ，若集合中的元素与满足，，则.
（1） 求；（7分）
（2） 已知，若“”是“对于任意元素 ， 都成立”的充要条件，求 .（8分）
【答案】（1） 解：.
（2） 设，由必要性可知，
若 ，
则，
即 则，
若，则,；
若，则，，.
由充分性可知，
若，则满足 的只能是，不符合任意性；
若，此时 ，即为 恒成立.
综上，.
章末综合检测（二）
（时间：120分钟,满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．“”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】选.，所以“”是“”的充分且不必要条件.
2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A. ，
B. 至少有一个，使能同时被2和3整除
C. 有的三角形没有外接圆
D. 有的矩形的对角线互相垂直
【答案】C
【解析】选 选项，满足题意，是真命题；
选项，满足题意，是真命题；选项，所有的三角形都有外接圆，是假命题；选项，当矩形的邻边相等，变成正方形时，对角线互相垂直，是真命题.故选.
3．设,,是三个集合,则“”是“”的 （ ）
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】选.由 不一定得到,但由 一定可得.
所以“”是“”的必要且不充分条件.
4．三个实数，，不全为零的充要条件是（ ）
A. ，，都不为零 B. ，，中至多有一个为零
C. ，，中只有一个为零 D. ，，中至少有一个不为零
【答案】D
【解析】选.三个实数,,不全为零的充要条件是,,中至少有一个不为零.故选.
5．已知命题实数的平方是非负数,则下列结论正确的是（ ）
A. 命题是真命题
B. 命题是存在量词命题
C. 命题是全称量词命题
D. 命题既不是全称量词命题也不是存在量词命题
【答案】C
【解析】选.命题 实数的平方是非负数,是真命题,故 是假命题,命题 是全称量词命题.故选.
6．命题“关于的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.关于 的方程 的根为正实数，则需满足 或
解得，
因此设“关于 的方程 的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件为，
则，结合选项可知 满足题意.
7．已知命题,,命题,.若命题和命题都是真命题,则实数的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】选.若“,”为真命题,则在 上,,所以.若“,”为真命题,则,解得 或.因为命题 和命题 都是真命题,所以 即.
8．已知函数,,若,,使得,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.当 时，易得,当 时，易得.因为,,使得,所以,所以 解得.
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．命题“对于任意,”是真命题的充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】选.当命题是真命题时,只需当 时,.因为当 时,的最大值是9,所以.
结合选项知,,,
,.故选.
10．下列命题中为真命题的是（ ）
A. “”是“”的充要条件
B. “”是“”的必要且不充分条件
C. “”是“”的必要且不充分条件
D. “，”是“”的充分且不必要条件
【答案】CD
【解析】选.由，不能得到，如，则，故充分性不满足；
由 可得，故必要性满足；
即“”是“”的必要且不充分条件，故 错误；
若，则可得，故充分性满足；
反之，若，不一定能得到，故必要性不满足；
即“”是“”的充分且不必要条件，故 错误；
若，则 且，故必要性满足；
若，则不一定有，故充分性不满足；
即“”是“”的必要且不充分条件，故 正确；
若，，则可得，故充分性满足；
反之，由 得不到，，如，，故必要性不满足；
即“，”是“”的充分且不必要条件，故 正确.故选.
11．取整函数:不超过的最大整数,如,,.取整函数在现实生活中有着广泛的应用,如停车收费、出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的.则下列命题是真命题的有（ ）
A. ,
B. ,
C. ,,若,则
D. ,,
【答案】BC
【解析】选.根据取整函数的概念知 不一定成立,如 取,,,故 是假命题;取1,,,故 是真命题;设,,若,则,因此,故 是真命题;取,取,,,故 是假命题.故选.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知,,若是的充要条件，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得,,因为 是 的充要条件，所以,即.
13．能够说明“存在两个不相等的正数,，使得”是真命题的一组有序实数对为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，（答案不唯一）
【解析】由 得出,取,得，所以满足题中条件的一组有序实数对可以是，.
14．已知或.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】依题意，，，
又 是 的必要不充分条件，所以
且等号不同时成立，解得，即实数 的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假：
（1） ,与3的和不等于0；（4分）
（2） 三角形的三个内角都为 ；（4分）
（3） 存在一个实数,使.（5分）
【答案】（1） 解：是全称量词命题，否定为：,与3的和等于0，假命题.
（2） 是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为 ，真命题.
（3） 是存在量词命题，否定为：每一个实数，都满足,假命题.
16．（本小题满分15分）已知,命题;命题,使得成立.若命题和命题有且仅有一个为真命题,求实数的取值范围.
解：因为命题,使得 成立,
所以在 上,,即.
所以命题 为真命题时,.
因为命题 和命题 有且仅有一个为真命题,
所以当 真 假时,解得;
当 假 真时,解得.
综上,实数 的取值范围为.
17．（本小题满分15分）已知，，；，使得.
（1） 若是真命题，求的最大值；（5分）
（2） 若，一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围.（10分）
【答案】（1） 解：要使 为真命题，只需，即 的最大值为1.
（2） 若 为真命题，则，解得.
当 真 假时，只需 所以；
当 假 真时，只需 所以，
所以 或.
综上，的取值范围为 或.
18．（本小题满分17分）设集合，非空集合.
（1） 若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围；（8分）
（2） 若中只有一个整数，求实数的取值范围.（9分）
【答案】
（1） 解：若“”是“”成立的必要条件，
则，因为,
且 ，则
解得.
所以，实数 的取值范围是.
（2） 因为,
所以，或,
因为 中只有一个整数，则,解得，
所以，实数 的取值范围是.
19．（本小题满分17分）已知集合,,}.
（1） 判断5,12,14,21是否属于；（5分）
（2） 集合,，判断“”是“”的什么条件（充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件或既不充分也不必要条件），并说明理由；（5分）
（3） 写出集合中的所有偶数.（7分）
【答案】
（1） 解：因为，，，所以，，.
假设，，，则，
因为,,
所以,的奇偶性一致，故 要么为奇数，要么为4的倍数，
故 无整数解，故.
（2） “”是“”的必要不充分条件，理由如下：
集合,，恒有，
所以，即必要性成立；
又因为，，
所以充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
（3） 由（1）知，中元素要么为奇数，要么为4的倍数，
又对于任意，总有，故，
综上，集合 中的所有偶数为，.
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