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第4章 指数与对数
4.1 指 数
4.1.1 根 式
新课导入
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线的长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生.
学习目标
1.理解次方根和根式的概念，掌握根式的性质.
2.能利用根式的性质对根式进行运算.
新知学习 探究
一次方根的概念
思考1．由和，我们可得到9的平方根是什么？由以及我们可以得到125和的立方根分别是什么？
提示 9的平方根是3和，125的立方根是5，的立方根是.
思考2．实数的平方根都是互为相反数吗？立方根呢？
提示 当实数时，没有平方根，当实数时，平方根是0，当实数时，有一对互为相反数的平方根；任何实数都有唯一的立方根.
［知识梳理］
概念 一般地,如果,那么称为的①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
性质 是奇数 仅有一个值,记为②_ _ _ _ _ _ _ _
是偶数 有两个值,且互为相反数,记为③_ _ _ _ _ _ _ _
在实数范围内不存在
【答案】 次方根； ；
［例1］
（1） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 16的平方根为_ _ _ _ _ _ ，的5次方根为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） ；
【解析】
（1） 因为，所以 是2的10次方根.又因为10是偶数，所以2的10次方根有两个，且互为相反数.所以.
（2） 因为，所以16的平方根为 的5次方根为.
次方根概念的注意点
（1）方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.
（2）符号：的符号由根指数的奇偶性及被开方数的符号共同确定.
①当为偶数，且时，为非负实数；
②当为奇数时，的符号与的符号一致.
［跟踪训练1］．
（1） （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 16的4次方根是2
B. 的运算结果是
C. 当为大于1的奇数时，对任意都有意义
D. 当为大于1的偶数时，只有当时才有意义
（2） 若有意义，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） CD
（2）
【解析】
（1） 选. 16的4次方根应是，，故，错误；由 次方根的概念及性质知，正确.
（2） 因为 有意义，所以，所以，即实数 的取值范围是.
二 根式的概念和性质
［知识梳理］
1．概念：式子①_ _ _ _ _ _ _ _ 叫作根式,其中叫作②_ _ _ _ _ _ ,叫作③_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； 根指数； 被开方数
2．性质：对于，，
当为奇数时，④_ _ _ _ _ _ ；
当为偶数时，
【答案】； ； -
［例2］ （对接教材例1）求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1） 【解】.
（2） .
（3）
正确区分 与
（1）已暗含了有意义,依据的奇偶性可知的取值范围.
（2）中的可以是全体实数,的值取决于的奇偶性.
［跟踪训练2］．化简下列各式：
（1） ;
（2） .
【答案】（1） 解：原式.
（2）
三 有限制条件的根式的化简
［例3］ 若，化简 .
【解】
，
当 时，
原式.
当 时，
原式.
综上，原式
母题探究．将本例中条件“”改为“”,则结果又是什么？
解：原式.
因为,
所以,,
所以原式.
有限制条件的根式的化简
（1）有限制条件的根式的化简是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.
（2）有限制条件的根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
［跟踪训练3］．
（1） 当有意义时，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
（2） 若，则 的化简结果是_ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） 1
【解析】
（1） 选.当 有意义时，满足,解得.
所以,.
所以
.
（2） 原式，因为，所以原式.
课堂巩固 自测
1．已知是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．（教材（1）改编）若，则 的化简结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，所以.所以.
3．若,则使成立的条件可能是（ ）
A. , B. , C. , D. ,
【答案】B
【解析】选.因为,所以.
又因为,所以.故选.
4．若,则的化简结果是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】原式,
因为,所以,
所以原式.
5．使等式成立的实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
，
要使 成立，
需 解得.
1.已学习：（1）次方根的概念、表示与性质；
（2）根式的概念和性质.
2.须贯通：正确运用根式的概念及运算性质，化简求值.
3.应注意：（1）注意与的区别；
（2）一个数到底有没有次方根，要分为奇数或偶数这两种情况讨论.
课后达标 检测
A 基础达标
1．若，则（ ）
A. B. 8 C. 4 D. 2
【答案】D
【解析】选.因为，所以.则，故选.
2．当时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题设得，因为,所以.故.故选.
3．下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选,故 错误；
，故 错误；
，故 错误；
由根式的性质可知，显然成立，故 正确.
4． （ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】选.原式.
5．（多选）若，，则下列四个式子中有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】选 选项中，，则 恒成立，式子有意义；选项中，为奇数，则，式子无意义；选项中，，式子有意义；选项中，当 时，式子无意义.故选.
6．（多选）下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】CD
【解析】选，故 错误；，故 错误；，故 正确；当 时，，所以.故 正确.
7．若，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】因为，所以原式.
8．若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以，所以，.所以.
9．若，，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】 ，，
所以.
10．（13分）
（1） 化简：;（6分）
（2） 已知，，，化简：.（7分）
【答案】（1） 解：因为，所以.所以.
（2） 当 为奇数时，原式.当 为偶数时，因为，所以，，所以原式.
所以.
B 能力提升
11．下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选，，故 错误；，故 错误；因为,，所以当 为奇数时，；当 为偶数时，，故 错误；成立，故 正确.
12．计算： _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
13．已知，，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】.将,代入上式，得原式.
14．（13分）计算：
（1） ；（6分）
（2） .（7分）
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式
.
C 素养拓展
15．（15分）计算：
（1） ；（7分）
（2） .（8分）
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
4.1.2 指数幂的拓展
新课导入
牛顿是大家所熟悉的物理学家，在数学史上也有杰出的贡献.他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将，，， 写成，，， ，所以可将，，， 写成，，， ，将，，， 写成，，， ”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程.
学习目标
1.理解分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化.
2.掌握实数分数指数幂的运算性质并能对代数式进行化简或求值.
新知学习 探究
一 分数指数幂的意义
思考．观察下列各式，你能得出什么结论？
①；
②.
提示 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
［知识梳理］
分数指数幂 正分数指数幂 规定：①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
负分数指数幂 规定：②_ _ _ _ _ _ _ _
0的分数指数幂 0的正分数指数幂为③_ _ _ _ ,0的负分数指数幂④_ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ； 0； 没有意义
［例1］ （对接教材例3）用分数指数幂的形式表示下列各式:
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】（1） 【解】.
（2） .
（3） .
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数分数指数的分母，
被开方数（式）的指数分数指数的分子.
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
［跟踪训练1］．用分数指数幂表示下列各式
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1） 解：.
（2） .
（3） .
编辑作答空间顺序
二 有理数指数幂的运算性质
［知识梳理］
（1）①_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）②_ _ _ _ _ _ _ _ .
（3）③_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； ；
［例2］ 计算下列各式（式中字母都是正数）
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】（1） 【解】原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
（1）进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算顺序.
（2）在明确根指数的奇偶性（或具体次数）时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算.
（3）对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示.
［跟踪训练2］．计算：
（1） ;
（2） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式
.
三 整体代换法求分数指数幂
［例3］ 已知，求值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 【解】，两边平方得，所以.
（2） 设，两边平方得，
因为，所以，即.
母题探究1．本例的条件不变，求的值.
解：由 平方可得，所以.
母题探究2．本例的条件不变，求的值.
解：设，两边平方得，
因为，所以，即.
所以，.
利用整体代换法求分数指数幂
（1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
（2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
［跟踪训练3］．已知，求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：由题意，所以.
（2） 由题意，
所以原式
.
课堂巩固 自测
1．下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选；；；.故选.
2．（多选）已知，则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】AB
【解析】选.令,所以,所以,所以.故选.
3．已知，将化为分数指数幂的形式为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】原式.
4．若,,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】.
1.已学习：（1）分数指数幂的意义；
（2）分数指数幂的运算性质.
2.须贯通：（1）对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律；
（2）解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”.
3.应注意：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列各式中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.对于，，而 无意义，故 错误；对于，无意义，故 错误；
对于，根据分数指数幂的定义,只有当 时，才有意义,故 错误；
对于，，故 正确.
2．若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. B. ,,
C. , D. ,
【答案】D
【解析】选.将分数指数幂化为根式，可知需满足，解得.
3．的化简结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.原式.
4．若，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，则，所以.故选.
5．（多选）下列各式中一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选 中，，不成立；中，，成立；中，当 时，不成立；中，，成立.故选.
6．（多选）已知实数,满足等式，则下列关系式可能成立的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】选.因为，所以.对于 和，当,时，，只能，选项 不正确，选项 正确；对于，当,时，，只能，选项 正确；对于，当 时，且，只能，等式 成立，选项 正确.故选.
7．化简：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】原式
.
8．设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】.
9．化简：_ _ _ _ .
【答案】7
【解析】
.
10．（13分）计算：
（1） ；（6分）
（2） .（7分）
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
B 能力提升
11．（多选）已知，，则下列式子的值为整数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】选.因为,，
所以,,,.故选.
12．（多选）已知，下列各式中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.对于,，故 正确；
对于,，故 错误；
对于,，故 正确；
对于,因为，所以,
故 错误.故选.
13．已知,,且,则的值为_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】因为
所以 得,所以.
将 代入②得,
所以,所以.
14．（13分）已知，是方程的两根，且，求的值.
解：因为，是方程 的两根，
所以，且.
所以.
因为，所以，所以，
所以.
C 素养拓展
15．（15分）对于正整数，，和非零实数，，，有，且，求，，的值.
解：因为 且，为非零实数，
所以，所以.
同理可得，，
即.
，，均为正整数，
所以，
又，，为正整数且，
所以，，.
4.2 对 数
4.2.1 对数的概念
新课导入
16世纪，随着天文、航海等领域的发展，人们在进行大量的数值计算时遇到了巨大困难.当时的数学家们开始思考如何简化计算，对数的思想在此背景下逐渐萌芽.正如天文学家拉普拉斯所言，对数的发明“以其节省劳力而使天文学家的寿命延长了一倍”.
学习目标
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念，掌握对数的性质.
2会进行对数式与指数式的互化，能利用对数的概念和性质解方程.
新知学习 探究
一 指数式与对数式的互化
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个再分裂成4个,……
思考1．分裂多少次得到的细胞个数为8和256
思考2．依次类推,假如1个这样的细胞分裂次得到的细胞个数为,如何表示它们间的关系？
思考3．对于，，等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？
【答案】思考1 提示 因为,，所以分裂3次得到8 个细胞，分裂8次得到256个细胞.
思考2 提示.
思考3 提示 用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解.
［知识梳理］
1．对数的概念
一般地,如果,那么就称是①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,记作②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,其中,叫作对数的③_ _ _ _ ,叫作④_ _ _ _ .
【答案】以 为底 的对数； ； 底数； 真数
2．常用对数与自然对数
通常将以⑤_ _ _ _ _ _ 为底的对数称为常用对数，如，等.为了方便起见，对数简记为⑥_ _ _ _ _ _ _ _ .
在科学技术中，常常使用以⑦_ _ _ _ _ _ 为底的对数，这种对数称为自然对数 是一个无理数.正数的自然对数一般简记为⑧_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； ； ；
3.对数与指数的关系
指数式与对数式的互化其中,,
［例1］ （对接教材例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 【解】由，得.
（2） 由，得.
（3） 由，得.
（4） 由，得.
指数式与对数式互化的思路
［跟踪训练1］．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 解：.
（2） .
（3） .
（4） 且.
二 对数的性质
思考1．由，，化成对数式，你能发现什么结论？
提示 ，，结论为1的对数为0.
思考2．由，，化成对数式，你能发现什么结论？
提示 ，，结论为底数的对数为1.
思考3．把改写为对数式后，真数的值能是0或负数吗？
提示 真数的值不能为0或负数.
［知识梳理］
（1）①_ _ _ _ .
（2）②_ _ _ _ .
（3）零和负数③_ _ _ _ _ _ .
（4）对数恒等式：④_ _ _ _ _ _ ；⑤_ _ _ _ .
【答案】0； 1； 无对数； ；
［例2］ 求下列各式中的值：
（1） ;
（2） ;
（3） .
【答案】
（1） 【解】因为,
所以,所以.
（2） 因为,
所以,所以.
（3） .
利用对数的性质求值的方法
（1）求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求的值,先求的值,再求的值.
（2）已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“”后再求解.主要是利用对数式逐步转化为指数式求解.
［跟踪训练2］．
（1） 若,则_ _ _ _ .
（2） 若,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 13
（2）
【解析】
（1） 由题知,解得.
（2） 由题知,,得.
三 对数的计算
［例3］
（1） （多选）下列各式正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则.
（2） _ _ _ _ .
（3） 已知，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） AB
（2） 8
（3） 或2
【解析】
（1） 对于，因为，所以 正确；
对于，因为，所以 正确；
对于，因为，
所以，所以 错误；
对于，因为，
所以，所以 错误.
（2） .
（3） 设，
则有，
解得 或，
所以 或.
解得 或.
求对数式 的值的步骤
（1）设;
（2）将写成指数式;
（3）将写成以为底的指数幂,则,即.
［跟踪训练3］．
（1） 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知，，则_ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） 72
【解析】
（1） 选.由题得,所以,所以.
（2） 因为，所以，
所以.
课堂巩固 自测
1． （ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】选.故选.
2．在中,实数的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】选.要使对数有意义,则真数大于0,底数大于0且不等于1,
所以
解得 或.
3．若,，则_ _ _ _ .
【答案】33
【解析】由,得,
由,得,
所以.
4．计算：_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】原式.
1.已学习：（1）对数的概念.（2）自然对数、常用对数.（3）指数式与对数式的互化.（4）对数的性质.
2.须贯通：正确运用对数式的概念及性质，化简求值.
3.应注意：易忽视对数式中底数与真数的范围.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列对数式中，与指数式等价的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.根据指数式和对数式的关系,等价于.
2．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，所以.
所以.故选.
3．设，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选..
4．方程的根为（ ）
A. B. 3 C. 或3 D. 1或
【答案】B
【解析】选.由，得 即 解得，
所以方程 的根为3.
5．（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】AC
【解析】选.依题意，由 且 可得，
对于，，故 正确；
对于，，故 错误；
对于，，故 正确；
对于，，故 错误.故选.
6．（多选）下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 使有意义的的取值范围是
【答案】AD
【解析】选，故 正确；若，则，故 错误；若，则，故 错误；
要使 有意义，需
所以 所以 正确.
7．已知,,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,所以.
因为,
所以.
8．计算：_ _ _ _ .
【答案】7
【解析】.
9．已知,,若,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由,则,,所以.
10．（13分）求下列各式中的值.
（1） ；（3分）
（2） ；（3分）
（3） ；（3分）
（4） .（4分）
【答案】
（1） 解：由，得，
所以.
（2） 由，得，
所以.
（3） 由，得.
所以.
（4） 由，得，
即，则，
所以.
B 能力提升
11．若，则的值为（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】A
【解析】选.因为,所以,所以.同理,.所以.故选.
12．若，则称的数量级为，已知宇宙中某星球的质量为，且满足，则的数量级为_ _ _ _ .
【答案】985
【解析】因为，所以，因为，故 的数量级为985.
13．（13分）设实数，，为正数，且满足，，，求实数，，的值.
解：由 得，即，由 得，又，所以，，.
14．（15分）已知，，.
（1） 求，的值；（7分）
（2） 解不等式：.（8分）
【答案】（1） 解：由 可得，代入 得，又因为，所以，.
（2） 由（1）得，，所以不等式，即，令，，得，解得，即，解得，所以不等式的解集为.
C 素养拓展
15．已知不等式的解集为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为不等式 的解集为，
可知，为方程 的两根，
且，
则，
所以.
4.2.2 对数的运算性质
新课导入
从对数定义知道，对数式与指数式是可以相互转化的，我们已经学习了指数幂的运算性质与法则，那么对数的运算是否存在类似的性质与法则呢？这节课我们就从指数与对数的关系及指数幂的运算性质，来研究相应的对数的运算性质.
学习目标
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.
2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
3.能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数.
4.能灵活运用对数的运算性质及换底公式解决对数运算问题.
第1课时 对数的运算性质（一）
新知学习 探究
一 对数的运算性质
思考．计算下列三组对数运算式,观察各组结果,你能猜想对数的运算性质吗
（1） ,;
（2） ,;
（3） ,.
【答案】（1） 提示 ；，猜想.
（2） ；，猜想.
（3） ；，猜想.
［知识梳理］
（1） ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（3） ③_ _ _ _ _ _ _ _ .
其中,,,,.
【答案】（1）
（2）
（3）
点拨 （1）性质的逆运算仍然成立；
（2）公式成立的条件是，，而不是，比如式子 有意义，而 与 都没有意义；
（3）性质（1）可以推广为：，其中,,且,,, ,均大于0.
［例1］
（1） （多选）以下运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） （对接教材例4）计算_ _ _ _ ,
_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ABC
（2） 19；
【解析】
（1） 选项，，正确；
选项，，正确；
选项，，正确；
选项，，错误.
（2） ;.
对数式化简求值的基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
［跟踪训练1］．
（1） 下面给出的四个式子中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 求值:_ _ _ _ ;_ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） 0；7
【解析】
（1） 选.由对数的运算性质得当，，，时，成立，选项正确；当，时，，，选项错误.
（2） ;.
二 利用对数的运算性质化简求值
［例2］ 求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 【解】由题意可得，原式
.
（2） 原式.
利用对数运算性质解题的一般思路
（1）“收”：将同底的两个对数的和（差）合并为积（商）的对数，即公式逆用；
（2）“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两个对数的和（差），即公式的正用；
（3）“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用 ，进行计算或化简.
［跟踪训练2 ］．计算下列各式的值：
（1） ;
（2） .
【答案】
（1） 解：原式
.
（2） 原式
.
三 对数运算性质的综合应用
［例3］
（1） 若任何一个正数可以用科学计数法表示成（,为正整数），此时，当时，称的位数是.根据以上信息可知的位数是（参考数据：）（ ）
A. 27 B. 28 C. 29 D. 30
（2） 已知,,则用,表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） C
（2） A
【解析】
（1） ，则 的位数是.
（2） 因为,,所以,,则.故选.
母题探究1．本例（2）条件不变,求的值.
解：.
母题探究2．本例（2）条件“”变为“”.试用,表示.
解：因为,则,
所以，，所以.
（1）利用对数式解决一些实际问题,要正确建立实际问题的对数式模型，然后利用对数的运算性质进行求解;
（2）用代数式表示对数时，应做到：①统一化：所求为对数式，条件转为对数式；②用公式：会使用对数运算性质解决问题.
［跟踪训练3］．
（1） 在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为，则它们的音分差为.当音与音的频率比为时，音分差为，当音与音的频率比为时，音分差为，则（ ）
A. B.
C. D.
（2） 设，，则_ _ _ _ _ _ _ _ .（用，表示）
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.由题意可知，，
，
联立方程组 消去 可得，.
（2） .
课堂巩固 自测
1． （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】选.原式.
2．（多选）下列计算错误的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.对于 选项，，错误；
对于 选项，当 时，有意义，无意义，错误；
对于 选项，
，正确；
对于 选项，，错误.
3．根据有关资料可知，围棋的状态空间复杂度的上限约为，记.光在真空中的速度约为，记.则下列各数中与的值最接近的是（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选,，所以.故选.
4．求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 解：.
（2）
.
1.已学习：（1）对数的运算性质.
（2）利用对数的运算性质化简、求值.
（3）对数运算性质的运用.
2.须贯通：熟练利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算.
3.应注意：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则.
课后达标 检测
A 基础达标
1．计算（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】D
【解析】选.
2．下列计算正确的是（ ）
A. 且
B.
C. 且
D.
【答案】B
【解析】选.根据对数的运算性质,
所以，不正确；
由对数的运算性质，可得，所以 正确；
根据对数的化简，可得，
而 无意义，所以 不正确.
3．已知，则用表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，所以，
所以.
4．若，是方程的两个实根，则（ ）
A. 2 B. C. 100 D.
【答案】C
【解析】选.因为，是方程 的两个实根，
所以由根与系数的关系得，
所以，所以.
5．计算（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】选.因为，，所以.
6．（多选）下列运算正确的是（ ）
A.
B. （其中，，）
C.
D.
【答案】BC
【解析】选 中，，故 不正确；
中，因为，，，
所以，故 正确；
中，
，故 正确；
中，，故 不正确.
7．的值是_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】原式.
8．若，则_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】因为
，
所以
由，知，
所以 或.
又，且，
所以，则.
9．已知，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用含，的式子表示）
【答案】
【解析】.
10．（13分）计算下列各式的值：
（1） ；（6分）
（2） .（7分）
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
B 能力提升
11．已知，，，，，且，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题得，所以，
所以，即.
12． _ _ _ _ .
【答案】1
【解析】
.
13．（13分）已知，.
（1） 求，（用，表示）；（6分）
（2） 若，求的值.（7分）
【答案】
（1） 解：；
.
（2）
，
所以.
14．（15分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气温度是 ，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，10分钟后茶水的温度是.
（1） 求的值；（7分）
（2） 经验表明，当室温为时，该种普洱茶用的水泡制，自然冷却至时饮用，可以产生最佳饮用口感，那么，刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 （结果精确到）（8分）
（参考数据：,）
【答案】
（1） 解：根据题意，当,,,,
代入函数模型，整理得，
解得,.
（2） 假设自然冷却大约需要放置 才能达到最佳饮用口感，
则，代入，
得，
所以刚泡好的茶水在室温为 时自然冷却大约需要放置 才能达到最佳饮用口感.
C 素养拓展
15．在数学中连加符号是“ ”，例如：.设函数，将使为整数的定义为希望数，则在区间内，希望数的个数为（ ）
A. 9 B. 10 C. 512 D. 513
【答案】A
【解析】选.依题意，
，
要使 成为希望数，则，,而，则，即，
又，, ，,,则,3,4， ,，
所以在区间 内，希望数的个数为9.
第2课时 对数的运算性质（二）
新知学习 探究
一 换底公式
思考．假设，则，即，从而有，将其化为对数式得，从而有.若将对数的底数2换成，还成立吗？
提示 成立，证明如下：设，则，从而有，将其化为对数式得，从而有.
［知识梳理］
.
点拨 对数换底公式的重要推论
（1）;
（2）;
（3）,,,,且,,.
［例1］ （对接教材例8）利用对数的换底公式求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 【解】
.
（2）
.
利用换底公式求值的思想与注意点
［跟踪训练1］．计算：
（1） （ ）
A. B. C. 2 D. 4
（2） _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选.原式.
（2） 原式.
二 对数与指数的综合应用
［例2］
（1） 已知，，用，表示为（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知,则_ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） 1
【解析】
（1） 因为，所以，
.故选.
（2） 由已知，，
则，，
.
母题探究．本例（2）变为：若且,,且,且，则_ _ _ _ .
【答案】80
【解析】因为，所以,，
所以.解得.
（1）根据需要，利用指数式与对数式的关系对二者进行互化.
（2）不同底数的幂值相等时，经常设出幂的值，然后转化为对数式再进行化简求值.
（3）在幂的指数中含有对数时，一是运用对数恒等式化简计算，二是通过等式两边取对数的方法转化为对数式进行化简求值.
［跟踪训练2］．
（1） （多选）设,,都是正数，且，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 若，且，则_ _ _ _ .
【答案】（1） BCD
（2） 1
【解析】
（1） 选.令，则，,,所以,,，
对于，两边同除以 等价于，由上可知，，所以，正确；
对于，两边同除以 等价于，由上可知，，所以，错误；
对于，两边同除以 等价于，由上可知，，所以，错误；
对于，两边同除以 等价于，由上可知，，所以，错误.
（2） 由题意，设，
则,,，
所以
.
三 对数的运算性质在实际中的应用
［例3］ （对接教材例10）碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5 730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代.设生物体内的碳14的含量为，死亡年数为.
（1） 试将表示为的函数；
（2） 不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的，请推算该生物死亡的年代距今约多少年？（参考数据：）
【答案】
（1） 【解】已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设，由经过5 730 年衰减为原来的一半，可得，所以，
故碳14的含量 与死亡年数 的函数关系式为.
（2） 由已知，
所以，
即 ，
所以推算该生物死亡的年代距今约13 370年.
解决对数应用题的一般步骤
［跟踪训练3］．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意得，，则，即，所以.
课堂巩固 自测
1．的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】选.故选.
2．已知,,则的值为（ ）
A. 3 B. 8 C. 4 D.
【答案】A
【解析】选.因为,
所以,
又,
所以.
3．已知,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用,表示）
【答案】
【解析】由，得，
又，
所以.
4．设,且,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,
则,,
则，
所以.
5． _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】原式.
1.已学习：换底公式.
2.须贯通：对数的运算性质是相同底数的对数运算，可正用,可逆用，换底公式的作用是完成不同底数的对数式之间的转化，实现同底的目的，底数没有明确要求时，就以10为底.
3.应注意：（1）运用换底公式注意成立条件.
（2）根据不同问题选择公式的正用或逆用.
课后达标 检测
A 基础达标
1．若，则（ ）
A. 9 B. C. 25 D.
【答案】D
【解析】选.由题意知，所以，所以.
2．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由 得，，则.
3．已知，且，则实数的值为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
【答案】D
【解析】选.因为，
所以，，所以，.
因为，所以，所以.
4．设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选
.
5．（多选）下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】选.对于，原式，正确；
对于，原式，错误；
对于，原式，错误；
对于，原式，正确.故选.
6．（多选）实数，满足，则下列关系不正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】选.，，，故 正确;
，故 不正确;
，故，不正确.故选.
7．若，，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】1；
【解析】因为，所以，
所以，
.
8．已知，则_ _ _ _ _ _ _ _ .（用表示）
【答案】
【解析】.
9．计算：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
10．（13分）
（1） 已知，求的值；（6分）
（2） 计算的值.（7分）
【答案】
（1） 解：由，
得，
所以.
所以
.
（2） 方法一：原式
.
方法二：原式
.
B 能力提升
11．已知,且,则实数的值为（ ）
A. 12 B. C. D. 6
【答案】D
【解析】选.由 得,,所以,,由,得,所以,又,所以.故选.
12．若，则_ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题得，
所以，
所以，又，所以.
13．（13分）物理学规定音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，其音量的大小 可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度）.人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的多少倍？
解：因为，
所以 声音的声波强度，声音的声波强度，
所以，
所以 声音的声波强度 是 声音的声波强度 的100倍.
14．[（2025·盐城月考）]（15分）对数的运算大大提高了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命.
（1） 设，是关于的方程的两个实数根，求的值；（7分）
（2） 已知，且，，若，，求的值.（8分）
【答案】（1） 解：因为，是关于 的方程 的两个实数根，所以由根与系数的关系得 由 得，则.由 得，所以，即，则.
（2） 由，得，由，得，则，所以，即，故.
C 素养拓展
15．[（2025·镇江月考）]若，是整数，则称数为“和谐数”，则在内“和谐数”的个数为_ _ _ _ .
【答案】8
【解析】依题意，,则，令，则，其中，因为，所以，即，解得，又因为，所以满足条件的 共有8个.
阶段提升（五） 指数与对数（范围：4.1~4.2）
题型一 根式的化简或求值
1．若，_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】因为，所以.
2．计算：_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】原式.
3．求值：.
解：要使原式有意义，则 所以，原式.
一组对象能构成集合的两个条件
（1）根式的化简与求值要使用根式的运算性质：
①当为任意正整数时，；
②当为奇数时，；
当为偶数时，
（2）解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.
题型二 指数运算
1．（多选）下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 已知,则
【答案】BC
【解析】选,故 错误;,故 正确;,故 正确;因为,所以,所以,故 错误.故选.
2．计算：
.
解：原式.
3．化简：.
解：原式.
指数幂运算的一般原则
（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.
（3）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数.
（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.
题型三 对数运算
1．（多选）已知且,下面四个等式中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】选.当,，时,,,故，错误;当 时,,,故 正确;当 且 时,成立,故 正确.故选.
2．19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则的值为（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】选.（14），，故.
3．化简下列各式：
（1） ;
（2） .
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
对数的运算性质是进行同底数对数运算的依据，若底数不同，用换底公式化为同底数.对于同底数的对数式，化简的常用方法：
（1）“合”，即逆用对数的运算法则，将同底对数的和（差）“合”成积（商）的对数，即一个对数式；
（2）“拆”，即正用对数的运算法则，将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）.
题型四 指数与对数的综合应用
1．已知,.
（1） 求的值;
（2） 求的值.
【答案】
（1） 解：由,得.
所以.
（2） 由,得,所以.
2．已知,,为正数,,且.
（1） 求的值;
（2） 求证：.
【答案】（1） 解：设,则,,.由,得.因为,所以.
（2） 证明：由（1）得.又因为,所以.
利用对数式与指数式互化求值的方法
（1）在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
（2）对于指数连等式,可令其等于，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
阶段小测（五）
（时间：120分钟 满分：100分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.故选.
2．若，则（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】选.故选.
3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据：）（ ）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【答案】C
【解析】选.因为,即，所以当 时，.故选.
4．设，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4
【答案】B
【解析】选.由，可得，即，所以.故选.
5．已知实数,满足，则的最小值是（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】选.由，当且仅当，即,时取等号，所以 的最小值为.故选.
6．已知正实数,满足，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】选.由，得，而,，则，当且仅当，即，时等号成立，所以 的最小值为2.故选.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
7．下列各式不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】选.对于，由，所以 不正确；
对于，由，所以 不正确；
对于，由对数的换底公式，可得，所以 不正确；
对于，由对数的换底公式，可得，所以 正确.故选.
8．下列各选项中,值为1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.对于 选项,根据 可知,选项符合题意.
对于 选项,原式,选项不符合题意.
对于 选项,原式,选项符合题意.
对于 选项,由于,选项不符合题意.故选.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.）
9．若，则的值为_ _ _ _ .
【答案】14
【解析】，两边平方得，即，解得.
10．已知,，若,，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可知，则，所以 的取值范围是.
11．于1898年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的常数大约为_ _ _ _ .
【答案】1.5
【解析】由题意可得
所以，所以，
所以.
四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
12．（本小题满分13分）求下列各式的值：
（1） ;（6分）
（2） .（7分）
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
13．（本小题满分15分）已知,.
（1） 分别求和；（7分）
（2） 若，且，求.（8分）
【答案】
（1） 解：.
，所以,.
（2） 由，得,，
且，则,,
故，
所以.
14．（本小题满分15分）地震的强烈程度通常用里氏震级表示，这里是距离震中处所测量地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅.
（1） 若一次地震测得，，该地震的震级是多少？（计算结果精确到，参考数据：）；（7分）
（2） 计算里氏9级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的多少倍.（8分）
【答案】（1） 解：.因此，该地震的震级约为里氏4.4级.
（2） 设里氏9级地震的最大振幅为，里氏5级地震的最大振幅为，则，，所以，所以，即里氏9级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的10 000倍.
章末综合检测（四）
（时间：120分钟,满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．化简 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.
2．方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，所以，所以.
3．计算：的值为（ ）
A. 17 B. 18 C. 6 D. 5
【答案】B
【解析】选.原式.
4．若,则的值为（ ）
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
【答案】D
【解析】选.由,可得,所以.故选.
5．若，则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 8
【答案】D
【解析】选.由，得，解得，由，得，解得，所以.故选.
6．已知,且,则的值为（ ）
A. 36 B. 6 C. D.
【答案】D
【解析】选.根据题意，,
则有,,
则,
所以,解得,
因为，
所以.故选.
7．设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.，
，
所以，，
所以
.
8．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实际上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.，
，
所以 所在的区间为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列运算中正确的是（ ）
A. 当时，
B.
C. 若，则
D.
【答案】AD
【解析】选.对于，当 时，，故 正确；
对于，，故 错误；
对于，由于，所以，所以，故 错误；
对于，，故 正确.
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.因为，所以,，
即，故，故 正确；
因为，，，
则,
所以 成立，故 正确；
，
故，故 错误；
成立，故 正确.
11．已知,均为正实数,若,,则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】AD
【解析】选.令,则,所以,即,
所以 或,所以 或,所以 或.①
因为,代入①得 或,
所以 或.故选.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．计算： _ _ _ _ .
【答案】1
【解析】原式
.
13． _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】原式
.
14．某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按此规律，2024年的耕地面积为，则5年后的耕地面积为2024年耕地面积的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 倍.
【答案】
【解析】设耕地面积每年减少的百分率为，由题意得，，所以，
由2024年的耕地面积为，得5年后的耕地面积为.
此时，
即5年后的耕地面积为2024年耕地面积的 倍.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
（1） 求值：；（6分）
（2） 已知，求的值.（7分）
【答案】（1） 解：原式.
（2） 由，得，
故.
16．（本小题满分15分）计算：
（1） ；（7分）
（2） .（8分）
【答案】（1） 解：原式.
（2） 原式.
17．（本小题满分15分）已知,,求,的值.
解：
.
,即.
令,
所以,解得（舍去）或.
即,解得.
故,.
18．（本小题满分17分）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙,飞往繁殖地产卵.科学家经过测量发现候鸟的飞行速度（单位：）可以表示为函数,其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据：,,）
（1） 若,候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时,它的飞行速度大约是多少？（5分）
（2） 若,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量约为多少个单位？（5分）
（3） 若雄鸟的飞行速度为,雌鸟的飞行速度为,那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？（7分）
【答案】
（1） 解：将,代入函数式,可得.
故此时候鸟的飞行速度大约为.
（2） 将,代入函数式,可得
,
即.
所以,即.
故候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量约为466个单位.
（3） 设雄鸟每分钟的耗氧量为,雌鸟每分钟的耗氧量为,依题意可得
两式相减可得,即.
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍.
19．（本小题满分17分）已知，，为实数，.
（1） 求证:；（7分）
（2） 若不等式，对任意实数，，均成立，求实数的取值范围.（10分）
【答案】
（1） 证明：令 且，
则，，，
所以，
，
故 得证.
（2） 解：由（1）知，，
即，
所以，
当且仅当 时，即 时等号成立，
由 恒成立知，恒成立，
即，解得，
所以实数 的取值范围为.
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