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第5章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象
新课导入
许多事物都是动态变化的，我们可以感受它们的变化.早晨,太阳从东方冉冉升起;气温随时间悄悄地改变;小树随着时间的变化不断长高……在这些变化的现象中都存在着两个变量,当一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化.这两个变量之间存在着函数关系.
学习目标
1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素,并会判断两个函数是否为同一个函数.
2.会求一些简单函数的定义域和值域.
3.理解函数图象的含义并会画简单的函数图象.
4.能利用图象研究函数的值域.
第1课时 函数的概念
新知学习 探究
一 函数的概念
思考．对于坐标平面内的点,若,,是否是的函数
提示 不是.
［知识梳理］
概念 一般地，给定两个①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 和,如果按照某种对应关系,对于集合中的②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,在集合中都有③_ _ _ _ 的实数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数
记法 ④_ _ _ _ _ _ _ _ ,
定义域 叫作自变量,集合叫作函数的定义域
值域 若是函数的定义域,则对于中的每一个（输入值）,都有一个（输出值）与之对应.我们将所有输出值组成的集合,称为函数的⑤_ _ _ _
【答案】非空实数集合； 每一个实数； 唯一； ； 值域
编辑作答空间顺序
［例1］
（1） （多选）下列集合到集合的对应是函数的是（ ）
A. ,0,，，中的数平方
B. ，,0,，中的数开平方
C. ，，中的数取倒数
D. ，，中的数取绝对值
（2） 下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】（1） AD
（2） D
【解析】
（1） 按照函数的概念，选项 中，集合 中的元素1对应集合 中的元素，不符合函数概念中一个自变量的值对应唯一的函数值的要求；选项 中，集合 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数概念中集合 中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项 和 符合函数的概念.
（2） 对于，取，两个函数值分别为 和1，不是相同函数；
对于，两个函数定义域不同，不是相同函数；
对于，的定义域为，的定义域为，不是相同函数；
对于，的定义域为，可化简为，的定义域为，是相同函数.
（1）判断所给对应关系是否为函数的方法
①先观察两个实数集合,是否为非空集合；
②验证对应关系,集合中的任意性,集合中的存在性与唯一性.
（2）根据图形判断对应关系是否为函数的步骤
①任取一条垂直于轴的直线；
②在定义域内平行移动直线；
③若直线与图形有且只有一个交点,则是函数；若在定义域内没有交点或有两个及以上的交点,则不是函数.
（3）判断两个函数是否为同一个函数的步骤
［跟踪训练1］．
（1） 设，，对于下列四个图象，能表示集合到集合的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 下列各组函数中表示同一个函数的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】（1） B
（2） B
【解析】
（1） 选.由题图知 的定义域不是，不符合题意；符合函数的定义，符合题意；中，集合 中有的元素在集合 中对应两个值，不符合函数定义；中，当 时，有两个值与之对应，不符合函数定义.故选.
（2） 选.中，的定义域为，的定义域为，故不是同一个函数；
中，与 定义域都为，且解析式相同，故是同一个函数；
中，的定义域为，的定义域为，故不是同一个函数；
中，与 解析式不同，故不是同一个函数.
二 求函数的定义域
［例2］ （对接教材例2）求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 【解】函数 的定义域为.
（2） 要使函数式有意义,自变量 的取值必须满足
解得 且,
即函数的定义域为.
（3） 要使函数式有意义,自变量 的取值必须满足 解得 且,
即函数的定义域为.
（4） 要使函数式有意义，自变量 的取值必须满足 解得.即函数的定义域为.
母题探究．在本例（4）条件下,求函数的定义域.
解：因为函数 的定义域为,
则由 得，
所以函数 的定义域为.
（1）求函数定义域的常用方法
①若是分式,则分母不为零；
②若是偶次根式,则被开方数大于或等于零；
③若是指数幂,则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；
④若是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个部分定义域的交集；
⑤若是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.
（2）复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的.
［跟踪训练2］．
（1） 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知函数，则的定义域为
A. B. C. D.
【答案】（1） C
（2） C
【解析】
（1） 选.函数 有意义，
则
解得 且，
所以函数 的定义域为.
（2） 选.要使函数 有意义，则 得，
即 定义域为，令，则，即 的定义域为.
三 求函数值和值域
［例3］ 求下列函数的值域.
（1） ;
（2） ,,,0,1,2,；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 【解】，所以 的值域为.
（2） 因为,,0,1,2,,把 代入 得,6,3,2,所以 的值域为.
（3） ,显然,所以,故函数的值域为.
（4） 设,则,且,所以,由,结合函数的图象可得原函数的值域为.
（1）求函数值的方法
①已知函数的表达式时,只需用替换表达式中的，即得的值；
②求函数的值应遵循由里向外的原则.
（2）求函数值域的常用方法
①观察法：对于一些比较简单的函数,值域可通过观察得到；
②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出值域的方法；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域；
④换元法：即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.
［跟踪训练3］．
（1） 若，则（ ）
A. 0 B. 3 C. 15 D. 30
（2） 函数的值域为 （ ）
A. , B. C. , D. ,
【答案】（1） A
（2） C
【解析】
（1） 选.令，
解得，
所以.
（2） 选.令，，
则，所以函数，因为，
所以函数 的值域为,.
培优点 抽象函数、复合函数的定义域
1.抽象函数的定义
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.
2.复合函数的概念
若函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，则当时，称函数为与在上的复合函数，其中称为自变量,为中间变量，叫作内层函数，叫作外层函数.
3.抽象函数或复合函数的定义域
（1）函数的定义域是自变量的取值范围，比如：函数的定义域是指的取值范围，函数的定义域也是指的取值范围，而不是的取值范围.
（2），，，四个函数中的，，，在对应关系下的范围相同，在同一对应关系作用下，括号内整体的取值范围相同.
［典例］
（1） 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 因为函数 的定义域为，
所以，即，
解得，即 的定义域是.
（2） 由函数 的定义域为，可得，则函数 的定义域为.
抽象函数定义域的求法
（1）已知的定义域为，求的定义域时，不等式的解集即为定义域.
（2）已知的定义域为，求的定义域时，求出在上的范围（值域）即为定义域.
［练习1］．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意得，解得，由，解得，故函数 的定义域是.
［练习2］．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为，所以，即函数 的定义域为，则，解得 或，所以函数 的定义域为.
课堂巩固 自测
1．函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.要使函数 有意义，需满足 解得 且，即函数的定义域为.
2．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】AC
【解析】选 中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；中两函数对应关系不同；中两函数的定义域、对应关系相同，所以是同一个函数；中两函数对应关系不同.
3．函数,,0,的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，函数,的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】
因为，，，所以 的值域为，1，；由 的图象（如图），可得函数 的值域为.
4．函数的值域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】令，则，
所以，
结合 的图象（图略）可知函数 的值域为，
即函数 的值域是.
1.已学习：函数的概念; 函数关系的判断.
2.须贯通：（1）函数的定义域；（2）函数的值域；（3）同一函数的判断.
3.应注意：函数符号“”是数学中抽象符号之一，“”表示是的函数，也不一定是解析式，还可以是图表或图象.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列各组函数是相同函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】选 选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数；
选项，，所以两个函数是相同函数；
选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数.
选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数.
2．若函数，则的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 14
【答案】C
【解析】选.由,得,所以.故选.
3．函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由 有意义，则，
该不等式等价于 解得.
4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为 的定义域为，对于函数，则 解得，
因此，函数 的定义域为.
5．下列函数中，值域是的是（ ）
A. B. ,
C. , D.
【答案】D
【解析】选.对于，当 时，，即值域中有元素0，故 错误；
对于，因为，即值域中没有元素1，故 错误；
对于，函数的定义域为，所以函数的值域不连续，故 错误.
对于，因为 的取值范围是，所以函数的值域为，故 正确.
6．[（2025·盐城月考）]（多选）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】选.方法一：选项 中函数是集合 且 到 且 的函数，故 错误；
选项 中函数是集合 且 到 且 的函数，故 错误；
选项 中函数是集合 且 到 且 的函数，故 正确；
选项 中函数是集合 且 到 且 的函数，故 正确.
方法二：选项 中函数图象与 轴有交点，设交点为，当 时按照选项 中的对应关系 对应函数值为0，而，故选项 错误；
选项 中函数图象在区间 上是连续的，所以函数在 处有意义，即 在定义域内，而，故选项 错误；而选项，中的函数的定义域和值域均符合题设要求.
7．已知函数,又，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】,解得.
8．已知，且，，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】；
因为，
所以.
9．若，，，则函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，，
所以,,
所以函数的值域为.
10．（13分）已知函数.
（1） 求函数的定义域；（4分）
（2） 求，的值；（4分）
（3） 当时，求，的值.（5分）
【答案】（1） 解：使根式 有意义的实数 的取值范围是，使分式 有意义的实数 的取值范围是，所以这个函数的定义域是.
（2） ，
.
（3） 因为，故，有意义.
，.
B 能力提升
11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. ， C. D.
【答案】C
【解析】选.由函数 的定义域为，得，
所以，
所以.
即函数 的定义域为.
12．（多选）下列函数中,满足的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】选.在 中,,,满足；在 中,,满足；在 中,,,不满足；在 中,,满足.
13．[（2025·徐州期末）]已知函数的定义域是，满足，且对于定义域内的任意，都有成立，那么_ _ _ _ ，_ _ _ _ .
【答案】6； 0
【解析】由题意，令，则，令，则，得.
14．（15分）试求下列函数的定义域与值域.
（1） ,,0,1,2,;（3分）
（2） ;（3分）
（3） ;（4分）
（4） .（5分）
【答案】（1） 解：函数的定义域为,0,1,2,,当 时,,同理可得,,,,所以函数的值域为.
（2） 函数的定义域为,因为,所以函数的值域为.
（3） 函数的定义域是,,所以函数的值域为.
（4） 要使函数式有意义,需,即,故函数的定义域是.设,则,则.又,故，所以函数的值域是，.
C 素养拓展
15．（15分）已知函数.
（1） 求与，与的值；（4分）
（2） 由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系吗？证明你的发现；（5分）
（3） 求的值.（6分）
【答案】
（1） 解：由，
得，
.
，
.
（2） 由（1）中求得的结果发现.
证明如下：
.
（3） 由（2）知，
所以，，
， ，
，
所以.
第2课时 函数的图象
新知学习 探究
一 函数图象的作法
［例1］ （对接教材例4）作出下列函数的图象：
（1） ，，0，1，2，；
（2） ;
（3） 且.
【答案】
（1） 【解】列表：
0 1 2 3
0 0 2 6 12
描点得该函数的图象如图1所示.
（2） ,故函数图象的对称轴为直线，顶点为.又因为，图象如图2所示.
（3） 图象如图3所示.
作函数 的图象分两种类型
（1）若是已学过的基本初等函数，则通过描出的图象上的一些关键点作出的图象.
（2）若不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表、描点、连线，这些基本步骤作出的图象.
注意 描点法作图时所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应该是关键点.
［跟踪训练1］．作出下列函数的图象：
（1） 且；
（2） ,.
【答案】
（1） 解：因为 且,
所以,,0,1,.
所以图象为几个孤立的点.
（2） 列表：
0 1 2
0 0 3 8
当时,图象是抛物线的一部分.
二 由函数图象比较函数值的大小
［例2］ 用描点法画出函数的图象，并根据图象处理下列问题：
（1） 比较,,的大小；
（2） 若,比较与的大小.
【答案】
［例2］ 【解】 因为函数 的定义域为，列表：
… 0 1 2 3 4 …
… 0 3 4 3 0 …
描点，连线，得函数图象如图.
（1） ,,,
所以.
（2） 根据图象，容易发现当时，有.
母题探究．把本例（2）中的“若”改为“”，比较与的大小.
比较函数值的大小：比较函数值的大小可通过图象中对应点的位置求解.
解：此时要对，所处的范围分情况讨论.
根据例3解析图象，
若，则；
若，则；
若，
①当 时，则；
②当 时，则；
③当 时，则.
函数图象可以直观形象地表达函数性质，在解题过程中常用来帮助理解函数的数学本质，直观地寻求问题的解决思路和要点.
［跟踪训练2］．已知二次函数.不直接计算函数值，比较与的大小.
解：函数 的图象开口向下，且对称轴方程为，所以离对称轴越近，函数值越大.又，
所以.
三 由函数图象求函数值域
［例3］ 作出下列函数的图象并求出其值域.
（1） ,；
（2） ,.
【答案】
（1） 【解】列表：
0 1 2
1 2 3 4 5
当时，函数的图象是一次函数图象的一部分，观察图象可知，其值域为.
（2） 列表：
2 3 4 5 …
1 …
当时，函数的图象是反比例函数图象的一部分，观察图象可知，其值域为.
（1）数形结合法求函数值域时要注意找函数图象的最高点与最低点，并注意定义域的影响.
（2）求二次函数在上值域的步骤：
①配方，找对称轴；
②判断对称轴与区间的关系；
③借助图象求值域.
［跟踪训练3］．先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域：
（1） ,；
（2） ,;
（3） ,为正实数.
【答案】
（1） 解：如图1，值域是.
（2） 如图2，值域是，.
（3） 如图3，值域是.
课堂巩固 自测
1．已知函数的图象如图所示,则的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由题图知函数 的定义域为.故选.
2．已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示的曲线，其中，，，则（ ）
1 2 3
2 3 0
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】选.由题图知，
所以.故选.
3．（教材 练习（2）改编）已知函数.
（1） 画出图象的简图；
（2） 根据图象写出的值域.
【答案】
（1） 解：图象的简图如图所示.
（2） 观察 的图象可知，图象上所有点的纵坐标的取值范围是，
则 的值域是.
1.已学习：函数图象的概念及应用.
2.须贯通：（1）常见函数的作图 ;（2）利用图象求函数的值域；（3）比较函数值的大小.
3.应注意：（1）作图时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式.（2）在作图象时，注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点.
课后达标 检测
A 基础达标
1．函数的图象是（ ）
A. 一条射线 B. 一条线段 C. 两条射线 D. 一条直线
【答案】A
【解析】选.函数 为一次函数，图象为直线，但是当 时，所得到的图象为一条射线.
2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程为时间，则与故事情节相吻合的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.中是同时到达；中乌龟到达时，兔子还没到；中乌龟到达时，兔子还在睡觉；中兔子先到，乌龟后到.
3．已知,点,,都在二次函数的图象上,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为,所以,即三点都在二次函数对称轴 的左侧,又图象开口向上，所以.故选.
4．函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.的定义域为，排除，;当 时，，排除.故选.
5．如图所示，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别为正方形的顶点，且它们的各边与正方形各边平行或垂直.若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.根据题意和图形可知,，所以 与 之间函数关系的大致图象如选项 所示.故选.
6．（多选）已知函数的值域为，则的定义域可以是（ ）
A. B. C. D. ,0,
【答案】AB
【解析】选.画出 的图象如图所示，由，解得，
依题意，结合选项，由图可知，的定义域可以是，.故选.
7．如图，函数的图象是曲线，其中点，，的坐标分别为，，，则_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题意知，，
所以.
8．已知函数，的图象如图所示，其中曲线从左至右逐渐上升且与直线无限接近，但永不相交.观察图象可知函数的值域是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】根据题图可知，函数 的值域为.
9．已知函数,若,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 的图象的对称轴为直线,又,所以,所以.
10．（13分）已知函数的图象如图所示.求：
（1） 函数的定义域；（4分）
（2） 函数的值域；（4分）
（3） 取何值时,有唯一的值与之对应.（5分）
【答案】（1） 解：由题图知，图象上所有点的横坐标的取值范围是 或,则函数 的定义域为.
（2） 由题图知，值域为.
（3） 由题图知,当 时,有唯一的 值与之对应.
B 能力提升
11．（多选）已知函数的定义域为，值域为，则实数对可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】选.画出 的图象如图所示，
由图可知，，，
根据选项可知，当 的定义域为，值域为 时，实数对 可能为，，.
12．若函数的定义域和值域都为，则的值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由一次函数、二次函数的图象知，为一次函数，则满足
解得.
13．（15分）画出函数的图象，根据图象回答下列问题.
（1） 比较，，的大小；（4分）
（2） 若函数的定义域为，求函数的值域；（5分）
（3） 若，比较与的大小.（6分）
【答案】13．解：函数 的图象如图所示.
（1） 由图象知.
（2） 当 时，由图象知 的值域为.
（3） 当 时，有.
14．（15分）已知函数，是否存在实数，使得函数的定义域和值域都是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
解：存在.理由如下：
的图象的对称轴为直线，顶点，且开口向上.
因为，所以当 时，函数图象是二次函数 图象的一部分，
所以由函数的图象可得，要使 的定义域和值域都是，则有
所以，即，
所以 或（舍去），
所以存在实数 满足条件.
C 素养拓展
15．（多选）定义,,为,,中的最大值，设,,，则的函数值可以取（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】CD
【解析】选.在同一平面直角坐标系内分别作出,,的图象，
可得 的图象（图中实线部分），
所以 的值域为，
结合选项可知，正确，，错误.
故选.
5.2 函数的表示方法
新课导入
利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示.医生看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果.这就是本节我们学习的函数的表示方法，除了用图象法表示函数,还有哪些表示法呢
学习目标
1.掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
2.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象.
3.能在实际问题中列出分段函数的表达式，并能解决有关问题.
第1课时 函数的表示方法
新知学习 探究
一 函数的三种表示方法
思考1．在初中我们学习了函数的哪些常用表示方法？
提示 解析法、列表法、图象法.
思考2．举例说明，任何函数都能用解析法表示吗？
提示 不一定，如某人的身高与年龄的关系.
［知识梳理］
类别 定义 优点
列表法 用①_ _ _ _ 来表示两个变量之间函数关系的方法 不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值是多少
解析法 用②_ _ _ _ 来表示两个变量之间函数关系的方法 便于研究函数性质
图象法 用③_ _ _ _ 表示两个变量之间函数关系的方法 从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况
【答案】列表； 等式； 图象
点拨 函数的三种表示方法各有优、缺点，并非所有函数都可以用三种表示方法表示.如函数 无法用图象表示；对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.
［例1］ （对接教材例1）某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一位参与者的得分与答错题目道数之间的函数关系.
【解】 该函数关系用列表法表示为
道 0 1 2 3 4 5
分 50 40 30 20 10 0
该函数关系用图象法表示，如图所示.
该函数关系用解析法表示为，，1，2，3，4，.
理解函数表示法的三个要点
（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是用哪种方法表示函数，都必须满足函数的概念.
（2）列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
（3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以同时用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
［跟踪训练1］．将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和与其中一段铁丝长的函数关系.
解：这个函数的定义域为，.
①解析法：.
将上式整理得，，.
②列表法：
其中一段铁丝长 1 2 3 4 5 6 7 8 9
两个正方形的面积之和
③图象法：
二 求函数的解析式
角度1 用待定系数法求函数解析式
［例2］ 已知是一元二次函数,且,求的解析式.
【解】 设,则,
所以 所以
所以.
角度2 用换元法（或配凑法）求函数解析式
［例3］ 已知,求的解析式.
【解】 方法一（配凑法） 因为,
所以.
方法二（换元法） 令,
则,
所以.
所以.
角度3 用消元法（或解方程组法）求函数解析式
［例4］ 已知函数满足，则函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，①
所以，②
得，
即.
求函数解析式的常用方法
（1）待定系数法：若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程（组）,通过解方程（组）求出待定系数,进而求出函数解析式.
（2）换元法（或配凑法）已知函数的解析式求的解析式可用换元法（或配凑法）,即令,反解出,然后代入中求出,从而求出.
（3）消元法（或解方程组法）在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于这两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式.
［跟踪训练2］．
（1） 已知，且，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
（2） 已知函数满足，则函数的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（3） 若函数，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
（3）
【解析】
（1） 选.令，则，所以，所以函数 的解析式为，又因为，所以，解得.
（2） 由，
用 代替，可得，
联立方程组
解得.
（3） 函数，令，则，所以，
则函数化为,，
所以.
课堂巩固 自测
1．已知函数,则的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.方法一：令,
则.
所以.
所以.
方法二：因为,
所以.
2．一个面积为的等腰梯形，上底长为，下底长为上底长的3倍.设它的高为，则关于的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.依题意得，，即，又，所以.故选.
3．[（2025·宿迁期末）]（多选）已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选.令，则，
因为，
所以，
所以，所以，.故选.
4．已知函数如表所示，则_ _ _ _ .
1 2 3 4
3 2 4 1
【答案】1
【解析】由题设给出的表知，
则.
1.已学习：函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法.
2.须贯通：求函数解析式的三种常用方法：
待定系数法、换元法（或配凑法）及消元法（或解方程组法）.
3.应注意：函数的三种表示方法各有优缺点，并非每个函数都能用三种表示方法表示;换元法求解析式时忽视新元的范围致误.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知函数的图象如图所示，其中点，的坐标分别为，，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 0 D. 3
【答案】C
【解析】选.结合题图可得,则.
2．已知，则的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.方法一（换元法） 设，则.
因为，
所以，
所以 的解析式是.
方法二（配凑法） 因为，所以，
所以 的解析式是.
3．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于的每一个值,总有一个完全确定的值与之对应,那么是的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则,使得取值范围中的每一个值,都有一个确定的值与之对应就行了,不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数如表所示,则的值为（ ）
1 2 3
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】选.因为,所以,
所以,所以.
又因为,所以.故选.
4．已知,则函数的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.令,，则，从而得,其中,则.
5．（多选）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）
A. B. 当时，
C. 函数的定义域是 D. 函数的值域是
【答案】AD
【解析】选.对于，由题图可得，
所以，正确；
对于，当 时，的值有两个，错误；
对于，由题图可得函数的定义域为,错误；
对于，由题图可得函数的值域为，正确.故选.
6．（多选）已知，则（ ）
A. 定义域为 B.
C. ， D. 值域为
【答案】BC
【解析】选.由解析式知，函数 的定义域为，，
，，
当 时，，故，不正确，，正确.
7．已知函数，且此函数的图象过点，则实数的值为_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】因为函数 的图象过点，所以，解得.
8．[（2025·常州月考）]已知，若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】令，则，
所以，
因为，所以,解得.
9．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量（单位：）与其运费（单位：元）由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为_ _ _ _ .
【答案】19
【解析】设一次函数解析式为
,
代入点 与点，
得
解得 即,
若要免费，则，所以.
故乘客可免费携带行李的最大重量为.
10．（13分）画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题.
（1） 比较，,的大小；（6分）
（2） 求函数的值域.（7分）
【答案】
10．解：的图象如图所示.
（1） ，，,
所以.
（2） 由图象可知，函数 的值域为.
B 能力提升
11．如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度和时间之间的关系，其中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.对于正方体，水面的高度 的增加应是均匀的，因此 不正确，,,均正确.
12．（多选）设,则下列结论正确的有（ ）
A. B. ，
C. ， D.
【答案】BD
【解析】选.因为,
所以,故 错误，正确；
，，故 正确；
，，故 错误.
13．（15分）
（1） 已知是一次函数，且满足，求的解析式；（7分）
（2） 已知，求的解析式.（8分）
【答案】
（1） 解：设,
则，
所以，，所以.
（2） 因为，所以.
14．（15分）已知二次函数满足条件，且.
（1） 求函数的解析式；（7分）
（2） 在区间上，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：由题意设，，因为，所以，
又因为，所以，
即，所以 解得
所以.
（2） 由（1）得，，因为 的图象恒在 的图象上方，
所以 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，
令，则.
结合 的函数图象（图略）可知，
，即，
所以实数 的取值范围是.
C 素养拓展
15．[（2025·镇江期末）]对于函数，若，使得成立，则称为的不动点.若二次函数有两个不相等的不动点,，且,，求的最小值为_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】二次函数 有两个不相等的不动点,，且,.
则方程 有两个不相等的正实数根，
即方程 有两个不相等的正实数根，
所以，且,,解得，可得，
所以
，
当且仅当，即 时等号成立，
所以 的最小值为6.
第2课时 分段函数
新知学习 探究
一 分段函数的概念
某村电费收取方案如下：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取.
思考．已知老王家九月份交电费35元，问老王家该月用电多少度？
【答案】思考 提示 通过计算可知老王家该月用电60度.
［知识梳理］
在定义域内不同部分上，有不同的_ _ _ _ _ _ _ _ ，像这样的函数，通常叫作分段函数.
【答案】解析表达式
点拨 （1）分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数的相关问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.
（2）分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围.
（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.
［例1］ （对接教材例2）已知函数
（1） 求，，；
（2） 若，求实数的值.
【答案】
（1） 【解】由，，，知，
，
.
（2） 当 时，，
解得，不符合题意，舍去；
当 时，，
解得，符合题意；
当 时，，
解得，符合题意.
综上可得，当 时，的值为 或2.
（1）分段函数求函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一区间段.
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现的形式时，应从内到外依次求值.
（2）已知函数值求字母取值的步骤
①先对字母的取值范围分类讨论；
②然后代入不同的解析式中；
③通过解方程求出字母的值；
④检验所求的值是否在所讨论的区间内.
［跟踪训练1］．
（1） 已知函数则（ ）
A. B. C. 35 D. 53
（2） 已知函数若，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） 或10
【解析】
（1） 选.由题意知，所以.
（2） 当 时，，即，所以 或（舍去）；
当 时，，
所以.
综上可知，或.
二 分段函数的图象及应用
［例2］ 给定函数,，用表示函数,中的较大者，即,，作出函数的图象.
【解】 令，
即，
解得 或；
令,
即，
解得；
则
作出 的图象（图中实线部分），
母题探究．本例条件不变,求函数的最小值.
解：函数 的最小值即为函数 图象上最低点的纵坐标,
由本例解析图可知，的最小值为.
分段函数图象的画法
（1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
（2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
［跟踪训练2］．
（1） 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选.由
结合选项可知 正确.
（2） 由题意作出函数图象,如图所示,由图象可以得到,函数的值域为.
三 分段函数的实际应用
［例3］ 某市有,两家羽毛球俱乐部，两家俱乐部的设备和服务都很好，但收费方式不同，俱乐部每块场地每小时收费6元；俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时.
（1） 设在俱乐部租一块场地开展活动小时的收费为元，在俱乐部租一块场地开展活动小时的收费为元，试求与的解析式；
（2） 问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
【答案】
（1） 【解】由题意，，
（2） ①当 时，令，
解得，即当 时，；
当 时，；
当 时，.
②当 时，.
故当 时，选A俱乐部合算，
当 时，两家俱乐部一样合算，
当 时，选B俱乐部合算.
分段函数应用问题的两个关注点
（1）应用情境：日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数.
（2）注意问题：求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理.
［跟踪训练3］．下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）.
阶梯 每户年用水量（立方米） 水价 包含费用
自来水费 水资源费 污水处理费
第一阶梯 （含） 5.00 2.07 1.57 1.36
第二阶梯 （含） 7.00 4.07
第三阶梯 260以上 9.00 6.07
若某户居民一年交水费1 040元，则其中水资源费为_ _ _ _ 元；污水处理费为_ _ _ _ 元.
【答案】314； 272
【解析】设年用水量为 立方米，对应水费为 元.依题意得，
即
依题意得,若，则，解得,不合题意，舍去；若，则，解得,符合题意；若,则，解得,不合题意,舍去.故该用户当年用水量为200立方米.因此，水资源费为（元）,污水处理费为（元）.
课堂巩固 自测
1．函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由，知图象过点，排除，，.
2．已知函数则（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】D
【解析】选..
3．已知某停车场的收费标准：停车时间在3小时内（包括3小时），车主需交费5元，若停车时间超过3小时，则每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为（ ）
A. 16元 B. 17元 C. 18元 D. 20元
【答案】D
【解析】选.7小时20分钟需按8小时计算，所以停车费为（元）.
4．函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】定义域为各段自变量取值区间的并集，即.
当 时，;
当 时,，
所以函数的值域为.
5．已知函数则不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时，,解得,当 时，,解得,所以不等式 的解集为.
1.已学习：分段函数.
2.须贯通：分段函数的求值和应用.
3.应注意：分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值时，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.
课后达标 检测
A 基础达标
1．设函数则（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，所以.
2．已知函数则（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】选.因为 所以.
3．[（2025· 常州月考）]函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.当 时，；当 时，；当 时，，所以函数的值域为.故选.
4．定义运算则函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由
作出函数图象如图.故选.
5．已知函数的图象，如图所示,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题图可知,函数 的解析式为
所以,
所以.
6．（多选）已知函数则（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 不等式的解集为
【答案】BC
【解析】选.，错误；
，
所以，正确；
当 时，由 得，不符合题意，
当 时，由 得 或（舍去），正确；
等价于 或
解得，错误.
7．[（2024·上海卷）]已知函数则_ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 故.
8．已知函数的图象如图所示，则的解析式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题图可知，当 时，设,将，代入解析式，则 所以 即；当 时，设,将 代入，则，即.综上,
9．设函数若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，得 或
解得.
10．（13分）已知函数
（1） 画出函数的简图（不必列表）;（4分）
（2） 求的值;（4分）
（3） 当时，求的取值集合.（5分）
【答案】
（1） 解：由分段函数可知，函数 的简图如图.
（2） 因为,
所以.
（3） 当 时,;
当 时，；
当 时，.
综上,的取值集合为.
B 能力提升
11．[（2025·镇江期末）]已知函数,，则的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.作出函数 的图象如图实线部分所示，由 得,，此时，即,则函数 的值域为.故选.
12．（多选）已知函数则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A. 的值域为 B.
C. 若,则的值是 D. 的解集为
【答案】AC
【解析】选.当 时,的取值范围是，当 时，的取值范围是，因此 的值域为，故 正确；,故 错误；当 时，由,解得（舍去），当 时，由,解得 或（舍去），故 正确；当 时，由,解得,当 时，由，解得,因此 的解集为，故 错误.故选.
13．已知实数,函数若,则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时，,,
所以,
解得（舍去）.
当 时，,,
所以,
解得.
14．（15分）已知函数.
（1） 写出的分段解析式;（7分）
（2） 画出的图象，并写出值域.（8分）
【答案】
（1） 解：当 时,；
当 时,,
所以
（2） 根据题意画出 的图象如图所示.
当 时，，
所以函数 的值域为.
C 素养拓展
15．（15分）水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水中释放的浓度（单位：克/升）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，其中若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4克/升时，它才能有效.
（1） 若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？（7分）
（2） 若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求的最小值.（8分）
【答案】
（1） 解：因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为
当 时，，解得；
当 时，，解得.
综上,，所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续6天.
（2） 设从第一次投放起，经过 天后，浓度为.
因为，
所以，，
所以,
即，
所以
，
当且仅当，即 时，等号成立，所以，为使接下来的4天中，营养液能够持续有效的 的最小值为2.
阶段提升（六） 函数的概念及其表示（范围：5.1~5.2）
题型一 函数的概念与表示法
1．（多选）下列所给图形可以是函数图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】选.由函数的概念可知，
对于，当 时，每一个 的值对应两个不同的 值，因此不是函数图象；
对于，当 时，有两个值，因此不是函数图象；
对于,，每一个 的值对应唯一的 值，因此是函数图象.
2．已知下列表格表示的是函数，则_ _ _ _ .
0 2
3 2 1 0
【答案】0
【解析】依题意，有.
3．如图，函数的图象为折线段，则不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函数 的图象为折线段，且,,，
故可设 且,,，所以，，
所以
当 时，不等式 可化为，
即，解得（舍去），
当 时，不等式 可化为，
即，解得.
所以不等式 的解集是.
4．
（1） 已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2） 已知，求函数的解析式.
【答案】
（1） 解：设,，
则，
所以 解得 所以.
（2） 对题中等式用 代替，并联立
可得 可得，
故.
函数是两个数集之间的一种确定的对应关系，当函数的定义域、对应关系确定时，函数唯一确定.分段函数在自变量不同取值范围内对应关系不同，分段函数是一个而不是几个函数.
题型二 函数的定义域、值域
1．函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意
解得 且.
2．写出一个定义域为，值域为的函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为 的定义域为，值域为，图象关于 对称，
所以定义域为，值域为 的一个函数为.
3．若函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为，所以，，所以函数 的定义域为，
所以要使函数 有意义，则有 解得，
所以函数 的定义域为.
4．求下列函数的值域.
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 解：由题意得，即，所以函数定义域为，由二次函数性质可得，
所以 的值域为.
（2） 因为，
所以，当且仅当，即 时，等号成立.
故函数的值域为.
函数的定义域、值域的关注点
（1）函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围，实际问题还要注意自变量的实际意义.
（2）函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用不等式的性质或函数的图象求值域.
题型三 函数的图象变换
角度1 平移变换
［例1］ 用平移图象的方式作出的图象，并说明函数的值域.
【解】 首先作出 的图象，如图1，向右平移1个单位得到 的图象，如图2，再向上平移2个单位得到 的图象，如图3，
从图3可以看出 的值域为.
角度2 对称变换
［例2］ 已知函数定义在上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 【解】函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，函数 的图象如图：
（2） 函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，函数 的图象如图：
角度3 翻折变换
［例3］ 已知，请作出，的图象，并说明是怎么作出的.
【解】 当 时，，此时 的图象为函数 图象在 轴及右侧图象，
当 时，，此时 的图象为函数 在 轴右侧图象关于 轴对称而得，则函数 的图象如图，
当 时，，此时 的图象为函数 图象在 轴及上方图象，
当 时，，此时 的图象为函数 在 轴下方图象关于 对称而得，则函数 的图象如图.
作函数图象的方法
（1）描点法：求定义域、化简、列表、描点、连线.
（2）变换法：熟知函数图象的平移、伸缩、对称、翻转变换.
①平移（其中，）
②对称
（3）翻折变换
①下翻上：；
②右翻左：
［跟踪训练］．
（1） 若函数的图象如图所示，函数的图象为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知的图象为图1，把经过适当的变换得到，其图象为图2，那么用可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） C
（2） C
【解析】
（1） 选.函数 的图象关于 对称可得函数 的图象，再向右平移2个单位得函数，即 的图象.
（2） 选.的图象关于原点对称，的图象关于 轴对称，而图1到图2 y轴左边的没有变化，右边的是图象沿 轴翻折得到的，故.
阶段小测（六）
（时间：120分钟 满分：100分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列可以作为集合到集合的一个函数的是 （ ）
A. ,,
B. ,,
C. ,,
D. ,,
【答案】D
【解析】选.对于，当 为负数时，中没有元素与之对应，故 不正确；对于，当 为零时，中没有元素与之对应，故 不正确；对于，一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故 不正确；对于，多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故 正确.
2．函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D. 且
【答案】D
【解析】选.依题意可得 解得 且，则定义域为 且.
3．已知函数，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，
所以 的图象与 的图象关于 轴对称，
由 解析式，作出 的图象如图，
从而可得 的图象为 选项.
4．函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为函数 图象的对称轴为直线，
则当 时，，
当 时，，即.
5．已知函数，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题可知 的定义域为，
为使 有意义，
得 解得，
所以 的定义域为.
6．若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.根据函数图象可知 和 不在函数 的定义域内，
因此 和 是方程 的两根，
可得，
又易知，可得，
即，所以.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
7．某工厂12年来某产品总产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示，下列四个选项中正确的是（ ）
A. 前三年总产量增长的速度越来越快
B. 前三年总产量增长的速度越来越慢
C. 第3年后至第8年这种产品停止生产了
D. 第8年后至第12年间总产量匀速增加
【答案】BCD
【解析】选.观察图象知，前三年总产量增长速度越来越慢，即 错误，正确；第 年总产量未发生变化，即停止生产，正确；第 年体现为匀速增长（直线模型），正确.
8．设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”.下列函数中，为“循环函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.若，
则，得 为“循环函数”，故 正确；
若，则，得 不是“循环函数”，故 错误；
若，则，得 为“循环函数”，故 正确；
若，则，
得 为“循环函数”，故 正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.）
9．设函数，若，则实数的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，，解得.
10．若函数的最小值为2，则函数的最小值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由于 的图象是由 的图象向右平移2 025个单位所得，所以 的最小值即是 的最小值为2.
11．设，令,，若存在实数，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】易知函数，的值域为，
若函数 的值域为，存在实数，则 的值域不为，
则函数，的值域为 的真子集.
利用二次函数性质可知当 或 时，函数值为0，如图：
所以根据图象可知，即 的取值范围为.
四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
12．（本小题满分13分）求下列函数的解析式.
（1） 已知函数，求；（6分）
（2） 已知函数是一次函数，若，求.（7分）
【答案】（1） 解：令，则，由于,所以，则，所以.
（2） 设，则，
即 解得 或
所以 或.
13．（本小题满分15分）某企业生产某种产品的年固定成本为1 000万元，每生产千件，需另投入生产成本（单位：万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（年利润年总收入-生产成本-固定成本）
（1） 写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式；（7分）
（2） 当年产量为多少千件时，企业所获得的年利润最大？最大年利润是多少？（8分）
【答案】
（1） 解：当 时，，
当 时，，
所以
（2） 当 时，，
所以当 时，利润 取最大值300，
当 时，
，
当且仅当，即 时等号成立，此时利润 取最大值330，
因为，所以该企业年产量为120千件时，所获得的年利润最大，为330万元.
14．（本小题满分15分）已知函数
（1） 求，，的值；（4分）
（2） 若，求的值；（5分）
（3） 作出函数的大致图象，并求时，的值域.（6分）
【答案】
（1） 解：由题知，
，
.
（2） 当 时，，
所以；
当 时，，所以；
当 时，，所以 或（舍去）.
综上所述，的值为 或1或.
（3） 函数 的图象，如图所示：
当 时，，
当 时，，
综上所述，结合图象可得当 时，的值域为.
5.3 函数的单调性
新课导入
德国著名的心理学家艾宾浩斯对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律.此曲线从左至右是逐渐下降的，我们如何用数学观点进行解释 这就是本节所讲的内容.
学习目标
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会用定义证明函数的单调性.
2.理解函数的单调区间的概念并会求函数的单调区间，会判断函数单调性.
3.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值.
第1课时 函数的单调性
新知学习 探究
一 单调性与单调区间
如图，气温 是关于时间的函数，记为.观察这个气温变化图.
思考．怎样用数学语言刻画上述某一时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征？
提示 从4时到14时这一时间段内，图象呈上升趋势，气温逐渐升高.也就是说，对于区间这段图象上的任意两点，， 当时，都有.
［知识梳理］
前提条件 设函数的定义域为,区间
条件 如果对于区间内的任意两个值,,当时
都有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 都有②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
图象
结论 在区间上单调递增,称为的③_ _ _ _ _ _ .特别地，当函数在它的定义域上④_ _ _ _ _ _ _ _ 时，称是⑤_ _ _ _ _ _ 在区间上单调递减,称为的⑥_ _ _ _ _ _ .特别地，当函数在它的定义域上⑦_ _ _ _ _ _ _ _ 时，称是⑧_ _ _ _ _ _
如果函数在区间上⑨_ _ _ _ _ _ _ _ 或⑩_ _ _ _ _ _ _ _ ,那么称函数在区间上具有单调性.增区间和减区间统称为 _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ； 增区间； 单调递增； 增函数； 减区间； 单调递减； 减函数； 单调递增； 单调递减； 单调区间
点拨 （1）区间 是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性.
（2）单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域，则只能开.
［例1］ （对接教材例2）设函数，利用函数单调性的定义，证明：函数在上单调递增.
【证明】 任取，，
且，
则
，
因为，所以，，，
故，所以 在 上单调递增.
用定义法证明或判断函数单调性的步骤
［跟踪训练1］．用函数单调性的定义证明在区间上单调递增.
证明：任取,，且，则.
显然，
又,，
所以,,
可得，
即，
则 在区间 上单调递增.
二 求函数的单调区间
［例2］ 已知函数.
（1） 画出的图象；
（2） 请根据图象指出函数的增区间与减区间.（不必证明）
【答案】
（1） 【解】因为
所以函数 的图象如图所示.
（2） 由图象可知，函数 的增区间是，减区间是.
（1）求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出单调区间.
（2）利用函数单调性的定义求单调区间，一定要注意所给函数的定义域，若题目没有给出，要先求出函数的定义域.
注意 单调区间必须是函数定义域的子集，当函数在多个单调递增（或递减）区间端点处不满足单调递增（或递减）时，单调区间之间不能用“ ”连接，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接.
［跟踪训练2］．
（1） 如果函数的图象如图所示，那么此函数的减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知函数则函数的增区间是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
（1） 由题图可得，此函数的减区间为，.
（2） 当 时，单调递增；当 时，单调递减，
所以 的增区间为.
三 函数单调性的应用
［例3］
（1） 若函数
在定义域上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知函数是上的增函数，且，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 要使 在 上是减函数，需满足
解得，
所以实数 的取值范围为.
（2） 由题意得，，解得.
所以实数 的取值范围为.
母题探究．将例3 （2） 的条件改为“是定义在区间上的增函数，且”，求实数的取值范围.
解：由题意得，
解得，
所以实数 的取值范围为,.
（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
（2）已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
［跟踪训练3］．
（1） （多选）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件的是（ ）
A. , B. , C. D.
（2） 若函数是定义在上的减函数，则不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） CD
（2） ,
【解析】
（1） 选.由命题 函数 在 上单调递减，可得 或 解得，由必要不充分条件的定义知,选项符合.故选.
（2） 依题意得
解得.
培优点 复合函数的单调性
若函数在内单调，在内单调，且集合,.
（1）若是增函数，是增（减）函数，则是增（减）函数，
（2）若是减函数，是增（减）函数，则是减（增）函数.
习惯上，我们称为外层函数，为内层函数.
［典例］ 已知函数，.
（1） 判断的单调性；
（2） 求的单调区间.
【答案】
（1） 【解】的定义域为，设,,且,则，所以，
即 在 上单调递增.
（2） 由题意，，令，解得 或，而函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又函数 在 上单调递增，因此函数 的增区间是，减区间是.
解决此类问题遵循以下步骤：
第一步：求函数的定义域；
第二步：令内层函数为，借助函数单调性定义或其图象，确定其函数的单调性；
第三步：借助函数单调性定义或其图象，判断外层函数的单调性；
第四步：利用结论同增异减判断.
［练习1］．函数的增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由，得.又因为 在 上是增函数，在定义域上是增函数，所以 的增区间是.
［练习2］．函数的增区间为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，
解得，二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线，
函数 在 上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，的增区间是.
课堂巩固 自测
1．（多选）（教材（2）改编）已知定义在区间上的函数的图象如图所示,则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数在区间上没有单调性
【答案】ABD
【解析】选.由题图可知，，正确；若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间,不能用“ ”连接，故 错误.故选.
2．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.函数 在 上单调递减，在 上单调递增；函数 在 上单调递减；函数 在 和 上单调递减；函数 图象的对称轴为直线,且开口向下，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.故选.
3．函数的增区间是（ ）
A. B. 和
C. D. 和
【答案】B
【解析】选.
作出其图象如图所示，
由图象可知，函数的增区间为 和.
4．已知函数,若,则_ _ _ _
.（填“ ”“ ”“”“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】因为，
所以 在 上单调递减.
又因为，所以.
5．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函数 的减区间为，，
又 在 上单调递减，所以.
1.已学习：函数的单调性.
2.须贯通：（1）证明函数的单调性的步骤：取值、作差变形、定号、下结论；
（2）结合图象理解、判断函数的单调性.
3.应注意：利用函数的单调性求参数的取值范围时不能忽略函数的定义域.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.对于,函数分别在 和 上单调递增,但存在,使,故 不符合题意；对于,函数分别在 和 上单调递增,但存在,使,故 不符合题意；对于,函数分别在 和 上单调递减,但存在,,使,故 不符合题意；显然 符合题意.故选.
2．已知函数在上的图象不间断，则“,”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分且不必要条件
C. 必要且不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】选.若 显然满足，，但 在 上不单调递增；
由题意，若 在 上单调递增，则，，
所以“，”是“在 上单调递增”的必要且不充分条件.
3．已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意及函数单调性的定义得，函数 是 上的增函数；函数 是 上的减函数；函数，的单调性无法判断.故选.
4．已知函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.由函数单调性的定义可知，，解得，所以实数 的取值范围是.故选.
5．[（2025·南通月考）]若函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.函数 图象的对称轴为直线，要想在 上不单调，则,解得.
6．（多选）下列说法中，正确的有（ ）
A. 若任意,,当时，,则在上单调递增
B. 函数在上是增函数
C. 函数在定义域上是减函数
D. 函数的单调区间是
【答案】AC
【解析】选.当 时，,
由 知，,
所以,则 在 上单调递增，正确；
作出函数 的图象（图略），可知其在定义域上是减函数，所以 正确；易知 和 错误.故选.
7．函数的减区间是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（写成开区间也正确）
【解析】由 得，又 在 上单调递减，在 上是增函数，所以 的减区间是.
8．已知是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，
【解析】由题意，得
解得，故实数 的取值范围是，.
9．己知函数在区间上单调，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函数 的对称轴为直线，
若函数 在区间 上单调，则 或，解得 或.
10．（13分）已知函数,是常数，且,.
（1） 求,的值；（6分）
（2） 当时，判断的单调性并用定义证明.（7分）
【答案】
（1） 解：因为,
.
联立解得
（2） 由（1）知,
在区间 上单调递增.证明如下：
设,
，
因为,
所以,
,
即，
所以,
即,
所以 在区间 上单调递增.
B 能力提升
11．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.,若 在区间 上单调递增，
则 故,故选.
12．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.画出 的图象（图略），可判断 在 上是增函数，
故由 得，解得.
13．[（2025·天津市西青区期末）]（15分）已知函数，不等式的解集为或.
（1） 求函数的解析式；（7分）
（2） 设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明.（8分）
【答案】
（1） 解：由题意得,3是 的两根，
故 解得，
所以.
（2） 在 上单调递增，证明如下：
，
任取，,且，
，
因为
所以，
又因为，,所以,
所以,
所以,所以,
所以 在区间 上单调递增.
14．（15分）设函数的定义域为，且满足条件,对于任意,，有，且当时，有.
（1） 求的值；（6分）
（2） 若，求的取值范围.（9分）
【答案】
（1） 解：因为对任意,,有,
所以令,得,
即,所以.
（2） 设,则由，得，即,所以 在 上为增函数.令,则,即.
所以,
所以,所以
解得,所以 的取值范围是.
C 素养拓展
15．[（2025·潍坊期中）]已知函数的定义域为，图象恒过点，对于上任意，都有，则关于的不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ,
【解析】因为，所以，
即，即 在 上单调递增.
又，所以.
由，即.所以.
第2课时 函数的最大、最小值
新知学习 探究
一 函数的最大值与最小值
［知识梳理］
1．函数的最大值
一般地,设的定义域为.如果存在,使得对于任意的,都有①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,那么称②_ _ _ _ _ _ _ _ 为的最大值,记为③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； ；
2．函数的最小值
一般地,设的定义域为.如果存在,使得对于任意的,都有④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,那么称⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 为的最小值,记为⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； ；
［例1］
（1） （多选）给定函数，，表示，中的较小者，记为,，则（ ）
A.
B. 函数的定义域为
C. 函数的值域为
D. 函数的单调区间有3个
（2） 已知函数，则函数的最大值是_ _ _ _ ，值域是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ABD
（2） 2；
【解析】
（1） 当 时，,，故 ，正确；作出函数，的图象，可得到 的图象如图所示（实线部分）.函数 的定义域为，正确；
函数 的值域为，错误；
函数 的单调区间有,,，正确.
故选.
（2） 函数 的图象如图所示.由图可知函数的最大值是2，值域是.
图象法求最值的一般步骤
［跟踪训练1］．已知函数
则函数的最大值为_ _ _ _ ,最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】2；
【解析】作出 的图象如图所示，
由图象可知，当 时，取最大值，最大值为2；当 时，
取最小值，最小值为.
二 利用函数的单调性求最值
［例2］ （对接教材例4）已知函数.
（1） 判断函数在区间上的单调性,并用定义证明你的结论；
（2） 求该函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】
（1） 【解】在区间 上单调递增,证明如下：
取,,且,
则
.
因为,
所以,,,
所以,
即,
所以 在区间 上单调递增.
（2） 由（1）知 在区间 上单调递增,
所以 的最小值为,
最大值为.
母题探究．对于本例中的函数,若在区间上的最小值为,求的值.
解：由例2解析知，在区间 上单调递增,
所以,
解得 或,
所以 的值为.
函数的最值与单调性的关系
（1）若函数在闭区间上单调递减,则在上的最大值为,最小值为.
（2）若函数在闭区间上单调递增,则在上的最大值为,最小值为.
［跟踪训练2］．
（1） 已知函数则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
（2） 函数在区间上的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 选.当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以,
当 时，函数 单调递减，
所以.
所以函数 的值域为.
（2） 在 上单调递增，故当 时，取得最小值，最小值为.
三 二次函数的最值
［例3］ 已知二次函数.
（1） 当时，求的最值;
（2） 当时，求的最小值.
【答案】［例3］ 【解】 ，则 的图象的对称轴为直线，且开口向上.
（1） 在 上单调递减，在 上单调递增，所以.又因为，所以.
（2） ①当 时，在 上单调递增，所以；
②当，即 时，；
③当，即 时，在 上单调递减，所以，
综上可得
母题探究1．已知二次函数，当时，求的最大值.
解：因为函数 的图象开口向上，对称轴为直线，所以区间 的端点离对称轴距离最大的取到最大值，当，即 时，
的最大值为；当，即 时，的最大值为.
综上，
母题探究2．若函数的定义域为，值域为,求实数的取值范围.
解：当 时，函数 在 上单调递减，，，由，解得，又因为，故；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则，，
，故，解得，故，
综上所述，实数 的取值范围为.
（1）求二次函数的最值，主要利用配方法，借助二次函数的单调性求解.
（2）对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
①区间固定，对称轴变动（含参数），求最值；
②对称轴固定，区间变动（含参数），求最值；
③区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
［跟踪训练3］．函数,，且的最大值是，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 的对称轴为直线，开口向上，
所以要使函数 在 处取得最大值，
只需
解得，
即实数 的取值范围是.
课堂巩固 自测
1．函数,的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.，，故函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，故函数 的最大值为，最小值为，故 的值域为.故选.
2．（多选）下列命题中是真命题的有（ ）
A. 函数在上单调递减，且最小值是
B. 函数在上单调递增，且最大值为
C. 函数在上先增后减，且最小值为0
D. 函数的定义域是，值域是
【答案】ABD
【解析】选.对于，函数 在 上单调递减，最小值是，故 是真命题；对于，函数 在 上单调递增，最大值为，故 是真命题；对于，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为，故 是假命题；对于，函数 的定义域是，当 时，，当 时，，即值域是，故 是真命题.故选.
3．已知函数则的最大值为_ _ _ _ ,最小值为_ _ _ _ .
【答案】10； 6
【解析】当 时,单调递增,,当 时,单调递增,,故 的最小值为6,最大值为10.
4．已知函数在区间上有最大值9，最小值，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ .
【答案】； 0
【解析】因为，且，
所以 在区间 上单调递增，
所以
又，解得
1.已学习：函数的最大（小）值.
2.须贯通：（1）函数的最大（小）值概念中的两个关键词：一是存在，二是任意.（2）求函数最值的常用方法：图象法，函数的单调性法.（3）含参数的函数最值问题可结合图象进行分类讨论.
3.应注意：（1）最值一定是一个函数值，是值域中的一个元素.
（2）在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知函数在上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为（ ）
A. 3，0 B. 3，1 C. 3，无最小值 D. 3，
【答案】C
【解析】选.观察题中图象可知，图象的最高点坐标是，从而其最大值是3；图象无最低点，即该函数不存在最小值.故选.
2．函数的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】选.当 时,函数 单调递减,此时 在 处取得最大值,最大值为;当 时,函数 在 处取得最大值,最大值为.综上可得,的最大值为2.故选.
3．已知函数在上的最大值为1，则的值为（ ）
A. 1 B. C. 1或 D. 6
【答案】A
【解析】选.当 时，函数 在 上单调递减，所以，所以；当 时，函数 在 上单调递增，所以，解得，不符合题意.故选.
4．已知函数,,若有最小值,则的最大值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】选.因为,
所以函数 图象的对称轴为直线.
所以 在 上单调递增.
又因为 在 上的最小值为,
所以,即.
所以.
5．函数的最小值为（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】选.
由于 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递增，
又,，即分段处端点值相等，
故 在 处取得最小值，最小值为1.
6．[（2025·苏州期末）]（多选）已知函数，下列选项正确的是 （ ）
A. 若，则
B. 函数在定义域内是减函数
C. 若，则的值域是
D. 若，则函数有最小值也有最大值
【答案】AD
【解析】选.对于，由，可得，解得，故 正确；
对于，的定义域为，
所以 在 上单调递减，且，
在 上单调递减，且，
故 在 上不是单调函数，故 错误；
对于，由 可得，当 时，，
当 时，，所以 的值域是，
当 时，无意义，故 错误；
对于，当 且 时，，
当 且 时，，
所以若，则函数 有最小值也有最大值，故 正确.
7．函数在上的最大值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函数 在 上单调递增,函数 在 上单调递增,
所以函数 在 上单调递增.
当 时,.
8．已知函数则的最大值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】 的图象如图所示，
则 的最大值为.
9．已知函数在区间上的最大值是，则实数的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】由题意知函数 的对称轴方程为.
当，即 时，在 上单调递减，
则，解得 或.又，则；
当，即 时，在 上单调递增，
则，
解得 或.又，则 不存在；
当，即 时，
,
解得.综上，或.
10．（13分）已知函数.
（1） 求证：在上单调递增；（6分）
（2） 求函数的最大值和最小值.（7分）
【答案】
（1） 证明：任取，，且，
则
.
当 时，，，
所以，即，
所以 在 上单调递增.
（2） 解：当 时，
，，
所以，即，
所以 在 上单调递减.
结合（1）可知，的最大值为，无最小值.
B 能力提升
11．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意得 对 恒成立，
设，则 在 上单调递减，则，
所以.
12．[（2025·镇江月考）]规定，表示取，中的较大者，例如，，，，则函数，的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】选.根据定义，作出函数 和 的图象如图.由，解得，此时，则 的图象如图中实线所示，由图可知，当 时，有最小值2，即，的最小值为2.故选.
13．若函数在上的最大值为2，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设，，
，
因为函数 在 的最大值为2，
，
所以，解得，
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而,,,，
所以，且，即函数 在 上的最大值为2，符合题意；
当 时，函数 在 上单调递减，
所以，
而，所以函数 在 的最大值为2，符合题意.
综上，.
14．（15分）已知函数.
（1） 求在区间上的最小值；（7分）
（2） 求的最大值.（8分）
【答案】
（1） 解：，，，所以当，即 时，；当，即 时，
.
所以
（2） 当 时，单调递增，所以；
当 时，.
综上，的最大值为.
C 素养拓展
15．（15分）已知函数有如下性质：如果常数,那么该函数在上单调递减,在上单调递增.
（1） 已知,,利用上述性质,求函数的单调区间和值域；（6分）
（2） 对于（1）中的函数和函数,若对于任意的,总存在,使得成立,求实数的值.（9分）
【答案】
（1） 解：,
设,,
则,
故,.
由已知性质得,当,
即 时,单调递减；
当,
即 时,单调递增,
所以函数 的减区间为,增区间为.
由,,,得 的值域为.
（2） 由于,为减函数,故.
由题意知,的值域为 的值域的子集,从而
解得.
5.4 函数的奇偶性
新课导入
生活因对称而美丽，观看下图中的剪纸工艺品图片，感受剪纸艺术中的对称美吧.
而对称美在数学中更是体现得淋漓尽致，今天就让我们一起来探究函数图象中的对称美吧.
学习目标
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.能判断函数的奇偶性，运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.
3.会根据函数奇偶性求函数值、参数或函数的解析式.
4.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决简单的综合问题.
第1课时 函数奇偶性的概念
新知学习 探究
一 函数的奇偶性
思考1．二次函数的图象关于什么对称？
提示 轴.
思考2．反比例函数的图象关于哪一点对称？
提示 原点.
［知识梳理］
类别 偶函数 奇函数
前提 设函数的定义域为,如果对于任意的,都有①_ _ _ _ _ _ _ _
条件 ②_ _ _ _ _ _ _ _ ③_ _ _ _ _ _ _ _
定义域特征 关于④_ _ _ _ 对称
图象特征 关于⑤_ _ _ _ _ _ 对称 关于⑥_ _ _ _ 对称
【答案】； ； ； 原点； 轴； 原点
［例1］ （对接教材例1）判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） ,；
（3） ；
（4）
【答案】
（1） 【解】由题意得 的定义域为.
因为，
都有，
且
，
所以 是奇函数.
（2） 的定义域为，
当 时，，
所以,是非奇非偶函数.
（3） 由 得，即.
因此函数 的定义域为，，因为，，都有，，且，所以 既是奇函数又是偶函数.
（4） 当 时，，
则，
当 时，，
则，
所以 是偶函数.
（1）定义法判断函数奇偶性的步骤
注意 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据的取值范围选择相应的函数解析式.
（2）函数奇偶性定义的等价形式
是偶函数；
是奇函数.
［跟踪训练1］．
（1） （多选）下列函数是奇函数的有（ ）
A. B.
C. D.
（2） 如果是定义在上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） AD
（2） B
【解析】
（1） 选.选项,函数的定义域为,,,则函数 是奇函数；选项,函数的定义域不关于原点对称,则函数 为非奇非偶函数；选项,函数的定义域为,,则函数 为非奇非偶函数；选项,函数的定义域为,,则函数 是奇函数.
（2） 选.因为 是奇函数,
所以.
对于,,
所以 是奇函数.
对于,,
所以 是偶函数.
对于,,
所以 为非奇非偶函数.
对于,,
所以 是奇函数.
二 奇、偶函数的图象问题
［例2］ 已知定义在上的偶函数满足：当时，.
（1） 在平面直角坐标系中画出函数在上的图象，并根据图象写出减区间；
（2） 由图象写出不等式的解集.
【答案】
（1） 【解】根据题意作出 在 上的图象，如图所示.
观察图象知，的减区间是,.
（2） 或
由图象得 或，
所以不等式的解集为.
母题探究．若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
【答案】
（1）解：由题意作出函数图象如图所示.
由图可知，函数 的减区间是,.
（2）或
由图象得 或，
所以不等式的解集为.
（1）奇偶函数的对称性
（2）奇、偶函数图象的应用
①根据函数的奇偶性补全函数图象；
②奇、偶函数图象的对称性可以解决比较大小、解不等式等问题.
注意 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点关于原点对称的点为，关于轴对称的点为.
［跟踪训练2］．设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使函数值的的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为原函数是奇函数，所以 在 上的图象关于坐标原点对称.由 在 上的图象，知它在 上的图象，如图所示，由图象知，使函数值 的 的取值范围为.
三 利用函数的奇偶性求值
［例3］
（1） 已知是定义在上的偶函数，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
（2） 已知函数为奇函数，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】（1） C
（2） C
【解析】
（1） 因为 是偶函数，
所以定义域关于原点对称，
则，
解得.
又，
即，解得.
所以.
（2） 当 时，，
则，
，
即，
解得，，
可验证当 时，
对，,
也有，
故.
利用函数的奇偶性求值的常见类型
（1）求参数值：若解析式含参数，则根据或,利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
（2）求函数值：利用或求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
［跟踪训练3］．
（1） 若函数为偶函数,则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
（2） 已知函数,,，若，则_ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） 3
【解析】
（1） 选.因为 为偶函数,
所以 对于任意 都成立.
所以,即,解得.故选.
（2） 因为,
所以，
则,
令，得，
又，
所以.
课堂巩固 自测
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.根据函数的奇偶性的概念，并结合选项知只有 选项符合题意.
2．下列函数中，是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.对于，定义域为，，故不是奇函数；
对于，定义域为，，故不是奇函数；
对于，函数 的定义域为，
，故是奇函数；
对于，定义域为，，故不是奇函数.故选.
3．已知定义在上的偶函数满足：当时，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】.
4．已知函数是奇函数,则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】因为 为奇函数,
所以,
即,故.
1.已学习：（1）函数奇偶性的概念.（2）奇函数、偶函数的图象特征.
2.须贯通：（1）判断函数奇偶性的两种方法：定义法和图象法.（2）根据函数的奇偶性补齐图象,根据函数奇偶性求函数值.
3.应注意：只有定义域关于原点对称的函数才可能具有奇偶性.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知函数为定义在上的偶函数，则实数（ ）
A. B. 1 C. 0 D. 无法确定
【答案】C
【解析】选.因为 为定义在 上的偶函数，
所以，
解得.
2．函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.当 时，函数，排除，；
又，即函数 为奇函数，排除.故选.
3．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. 4 D. 12
【答案】C
【解析】选.由题意得，.
4．已知为定义在上的奇函数,且当时,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为 为奇函数,所以.又因为,所以.故选.
5．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意得，在 上单调递减，且，
作出简图，如图所示，
当 时，由 得，即；
当 时，由 得，即；
当 时，不合题意，
所以满足不等式 的 的取值范围是.
故选.
6．[（2025·镇江期末）]（多选）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是偶函数
【答案】BD
【解析】选.因为两个函数的定义域都是，所以选项中函数的定义域都关于原点对称.
对于，因为 且
，
所以 既不是奇函数也不是偶函数，故 错误；
对于，因为，所以 是奇函数，故 正确；
对于，因为，所以 是奇函数，不是偶函数，故 错误；
对于，因为，
所以 是偶函数，故 正确.
7．已知是奇函数，当时，，且，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】5；
【解析】因为 是奇函数，
所以，
所以，解得.
.
8．能说明“若是奇函数,则的图象一定过原点”是假命题的一个函数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】若，则 的定义域为，且 为奇函数，图象不过原点.
9．已知是定义在上的奇函数,当时,的图象如图所示,那么的值域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】利用奇函数图象的性质可以得到函数 在 上的图象,如图所示,利用图象得到函数 的值域为.
10．（13分）已知函数.
（1） 求的定义域；（4分）
（2） 判断的奇偶性，并说明理由;（4分）
（3） 求证：.（5分）
【答案】（1） 解：由 得，即，即函数 的定义域为.
（2） 由（1）可知，函数 的定义域关于原点对称，
因为，所以函数 为偶函数.
（3） 证明：因为，
所以，
所以.
B 能力提升
11．（多选）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 在上单调递增 D. 的解集为
【答案】AB
【解析】选.是定义在 上的偶函数，且，
所以，正确；
又 时，.
根据偶函数的对称性可知，
的最大值为，正确；
当 时，，故当 时，
，在 上不单调，错误；
当 时，令，
得.
从而在 上，的解集为，错误.
12．写出同时满足下列条件①②③的一个函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
是二次函数；是奇函数；在上单调递减.
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为 是二次函数，
所以令，满足条件①；
令，
，故满足条件②；
令，，在 上单调递减，满足条件③.
13．（13分）定义域为的奇函数在上的图象如图所示.
（1） 画出的图象；（6分）
（2） 解不等式.（7分）
【答案】
（1） 解：先描出，关于原点的对称点，，连线可得 的图象如图.
（2） 由题意并结合（1）中图象可知，
即 或
即 或，故 的解集是.
14．（15分）已知函数的定义域为.
（1） 求证：函数为上的偶函数；（5分）
（2） 求证：函数为上的奇函数；（5分）
（3） 试判断：函数能否表示为一个奇函数和一个偶函数的和.（5分）
【答案】
（1） 证明：因为函数 的定义域为.所以函数 的定义域为，关于原点对称，又，
所以函数 为 上的偶函数.
（2） 证明：因为函数 的定义域为.所以函数 的定义域为，关于原点对称，又，
所以函数 为 上的奇函数.
（3） 解：因为函数 的定义域为.令，，则，
又由（1）得 为 上的偶函数，由（2）得 为 上的奇函数，且，
所以函数 可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.
C 素养拓展
15．[（2025·苏州期中）]通过研究发现：函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为（ ）
参考公式：
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.设函数 图象的对称中心为点，
则 是奇函数，
则，
代入整理得，
比较系数可得 解得
所以对称中心为.
第2课时 函数奇偶性的应用
新知学习 探究
一 利用奇偶性求函数的解析式
角度1 定义法求函数解析式
［例1］ （对接教材）已知函数是定义在上的奇函数，且时，.求函数的解析式.
【解】 当 时，，则
，
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以，
所以当 时，.
又当 时，，
故
母题探究1．在本例条件下，不求函数解析式, 求的值.
解：因为,函数 是定义在 上的奇函数，所以.
母题探究2．将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当时，函数的解析式.
解：当 时，，
，
因为函数 是偶函数，所以，
所以，
故当 时，.
角度2 方程组法求函数解析式
［例2］ 设是偶函数，是奇函数，且，求函数，的解析式.
【解】 因为 是偶函数，是奇函数，
所以,,
由,①
用 代替，
得，
所以，②
，得；
，得.
利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；
（2）转化到已知区间上，代入已知的解析式；
（3）利用的奇偶性写出或，从而解出.
（4）已知函数，的组合运算与奇偶性，把换为，构造方程组求解.
注意 若函数的定义域关于原点对称，，则为偶函数，为奇函数.
［跟踪训练1］．
（1） 设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A. B. C. D.
（2） 设是偶函数，是奇函数，且，则函数_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） ；
【解析】
（1） 选.为奇函数，当 时，，则当 时，，.
（2） 因为 是偶函数，是奇函数，
所以，，
由，①
用 代替，得，
所以，②
，得；
，得.
二 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
［例3］
（1） 上的函数满足以下条件：，②对任意,，当时都有，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知函数是偶函数，对于任意，，当时，都有恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） D
（2） A
【解析】
（1） 因为 为 上的偶函数, 且对任意,，当 时都有，所以对任意,，当 时都有，因为 ,所以,,所以.
（2） 由题意得，在 上单调递增，则，又函数 是偶函数，，，，所以.
（1）函数的奇偶性与单调性
①若为奇函数且在区间上单调递增，则在上单调递增，即在对称区间上单调性一致（相同）.
②若为偶函数且在区间上单调递增，则在上单调递减，即在对称区间上单调性相反.
（2）比较大小的求解策略
①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.
②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
［跟踪训练2］．
（1） 已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则_ _ _ _ .（填“ ”或“ ”）
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 选.因为函数 为奇函数，且 在区间 上单调递增，所以 在 上单调递增，
所以.
（2） 因为 为偶函数，所以，而函数 在 上单调递减，所以，所以.
三 利用单调性与奇偶性解不等式
［例4］
（1） 已知函数是定义在上的奇函数,，对,，且有，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） ，
【解析】
（1） 依题意，令，因为 是定义在 上的奇函数，所以，所以函数 是定义在 上的偶函数，由题意得，在 上单调递增，所以当 时，，当 时，则有，所以，即，又，所以 在 上单调递增，因为 是定义在 上的偶函数，所以 在 上单调递减，因为，所以，所以由，得，则，所以，解得.
（2） 因为 是奇函数且 在 上单调递减，所以 在 上单调递减.所以不等式 等价于 解得.所以实数 的取值范围为，.
利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类：
（1）利用图象解不等式.
（2）转化为简单不等式求解.
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“”转化为简单不等式（组）求解.
提醒 列不等式（组）时不要忽略函数定义域.
［跟踪训练3］．
（1） 已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知函数是奇函数，定义域为，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选.因为 是偶函数，且，，所以，又 在 上单调

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