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第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
新课导入
同学们，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出 范围的角，而且旋转的方向也不相同.为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围.
学习目标
1.理解任意角的概念,能区分各类角.
2.理解象限角的概念,掌握终边相同的角的意义与表示.
新知学习 探究
一 任意角的概念
思考1．在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
提示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是 ．
思考2．小明要将射线绕着端点旋转到位置.请问有几种旋转方向？
提示 两种，分别为顺时针方向与逆时针方向.
思考3．小明要将射线绕着端点旋转到位置.请问旋转的角度确定吗？
提示 不确定，旋转的角度可以相差周角的整数倍.
［知识梳理］
1．任意角
（1） 角的表示
如图,射线绕端点,按箭头所示方向旋转到便形成角 .点是角 的①_ _ _ _ ,射线和分别是角 的②_ _ _ _ 和③_ _ _ _ .
（2） 角的分类
按旋转方向,角可以分为三类：
名称 定义 图示
正角 按④_ _ _ _ _ _ 方向旋转所形成的角
负角 按⑤_ _ _ _ _ _ 方向旋转所形成的角
零角 射线没有作任何旋转形成的角
【答案】（1） 顶点；始边；终边
（2） 逆时针；顺时针
2．两角的和与差
对于两个任意角 , ,将角 的终边旋转角 （当 是正角时,按逆时针方向旋转；当 是负角时,按顺时针方向旋转；当 是零角时,不旋转）,这时终边所对应的角称为 与 的和,记作⑥_ _ _ _ _ _ .射线绕端点分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为⑦_ _ _ _ _ _ _ _ .角 的相反角记为 ,于是有⑧_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； 互为相反角；
［例1］
（1） 若挂钟时针走过3个小时，则时针转过的角度为（ ）
A. B. C. D.
（2） （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 小于 的角是钝角、直角或锐角
B. 始边和终边重合的角是零角
C. 钟表的时针旋转而成的角是负角
D. 零角的始边和终边重合
【答案】（1） C
（2） CD
【解析】
（1） 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为 .
（2） 对于， 角是小于 的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故 不正确；对于，始边和终边重合的角相差 的整数倍，可能是零角，也可能不是零角，故 不正确；对于，钟表的时针是按顺时针方向旋转的，因而所成的角是负角，故 正确；对于，零角的始边未做任何旋转，因而和终边重合，故 正确.
处理与角的概念有关问题的关键
正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外,需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
［跟踪训练1］．
（1） 若射线绕端点逆时针旋转 到达位置,由位置顺时针旋转 到达位置,则（ ）
A. B. C. D.
（2） 经过2个小时，钟表的分针转过的角度为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 选.各角和的旋转量等于各角旋转量的和,所以 .故选.
（2） 钟表的分针是顺时针旋转，因此转过的角度是负的，而 ，故钟表的分针转过的角度是 .
二 终边相同的角
思考．如图所示， 角的终边是 ， 角的终边与 角的终边有什么关系？如何表示与 角终边相同的角？
提示 相同..
［知识梳理］
一般地,与角 终边相同的角的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ,
［例2］ （对接教材例1）已知 ，在与 终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1） 最小的正角；
（2） 最大的负角；
（3） 在 到 范围内的角.
【答案】
［例2］ 【解】 因为 ，
即 角与 角的终边相同，
所以与角 终边相同的角的集合是 ,},
（1） 最小的正角为 .
（2） 最大的负角为 .
（3） 之间的角分别是 ， ， .
（1）写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在 到 范围内相应的角；
②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
③根据条件能合并的一定合并,使结果简洁.
（2）终边相同的角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差 的整数倍；
②终边在同一直线上的角之间相差 的整数倍；
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 的整数倍.
［跟踪训练2］．
（1） 下列角的终边与 角的终边在同一直线上的是 （ ）
A. B. C. D.
（2） （多选）已知角 与 角的终边相同，则角 可以是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） D
（2） ABD
【解析】
（1） 选.与 角的终边在同一直线上的角可表示为 ,,当 时， .
（2） 选.与 角的终边相同的角的集合为 ,,
当,1,3时， ， , ,故选.
三 象限角
［知识梳理］
以角的顶点为坐标原点,角的始边为①_ _ _ _ 轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样,角的②_ _ _ _ （除端点外）在第几象限,就说这个角是第几③_ _ _ _ _ _ ；如果角的终边在④_ _ _ _ _ _ 上,称这个角为轴线角.
【答案】； 终边； 象限角； 坐标轴
点拨 象限角的条件是角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 轴正半轴重合.轴线角不属于任何一个象限.
［例3］
（1） 若 是第三象限角，则是（ ）
A. 第一象限角 B. 第一或第二象限角
C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四象限角
（2） 如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A.
B.
C. ,
D. ,
【答案】（1） C
（2） C
【解析】
（1） 因为 是第三象限角，则 ,，
故 ,，
当 为偶数时，在第三象限；
当 为奇数时，在第一象限.
（2） 在 到 的范围内，
题图中阴影部分区域表示的角的范围是 .
所以终边在阴影部分区域的角的集合为 ,.
母题探究．若将本例（2）改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ，
【解析】由题图可知满足题意的角的集合为 ， ， ， ， ，，
即所求的集合为 ，.
（1）给定一个角判断它是第几象限角的思路
判断角 是第几象限角的常用方法是将 写成 （其中, 在 到 范围内）的形式,观察角 的终边所在的象限即可.
（2）表示区域角的3个步骤
①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的在 到 范围内的角 和 ,写出最简区间,其中 ;
③起始、终止边界对应的角 , 再加上 的整数倍,即得区域角集合.
［跟踪训练3］．
（1） 若 是第四象限角,则下列角中是第一象限角的是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知集合 ,，则角 的终边落在阴影处（包括边界）的区域是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） D
（2） B
【解析】
（1） 选.因为 是第四象限角,所以可令 ,结合选项可知, 为第一象限角；将 代入其他选项知均不正确，故选.
（2） 选.令，则 ，故 选项符合.
课堂巩固 自测
1．已知角，则 的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】选.因为 , ，所以 的终边在第二象限.
2．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A. 是第二象限角
B. 第三象限角大于第一象限角
C. 若角 为第三象限角，那么为第二象限角
D. 若角 与角 的终边在一条直线上，则
【答案】AD
【解析】选.对于, , ，是第二象限角，故 正确；对于， 是第三象限角， 是第一象限角，但 ，故 错误；对于， 是第三象限角，但 是第四象限角，故 错误；对于，若角 与角 的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差 的整数倍，故 正确.故选.
3．[（2025·盐城期末）]终边在直线上的角 的集合_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】 ，
【解析】在 范围内，终边在直线 上的角有两个，即 ， （如图），
所以终边在直线 上的角的集合是
， ，}
， ， ，.
4．已知角 的终边在如图阴影表示的范围内（不包含边界），那么角 的集合是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ,
1.已学习：（1）任意角的概念.（2）终边相同的角与象限角.（3）区域角的表示.
2.须贯通：利用数形结合判断角所在的象限、表示区域角；对含的式子，必要时进行分类讨论.
3.应注意：（1）锐角与小于 角的区别.（2）终边相同的角表示中漏掉.
课后达标 检测
A 基础达标
1．与 角终边相同的最小正角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为 ,
所以与 角终边相同的最小正角的度数是 .
2．与 角的终边相同的角的集合是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】选.因为 ，所以 角与 角的终边相同，所以与 角的终边相同的角的集合为 ，.故选.
3．“ 为三角形的一个内角”是“ 为第一、二象限角”的 （ ）
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】选.因为 为三角形的一个内角，取，此时 不是第一、二象限角，故“ 为三角形的一个内角”推不出“ 为第一、二象限角”；当 为第一、二象限角时，不妨取，此时 不是三角形的一个内角，故“ 为第一、二象限角”推不出“ 为三角形的一个内角”；故“ 为三角形的一个内角”是“ 为第一、二象限角”的既不充分又不必要条件.故选.
4．已知角 与角 的终边关于轴对称，则 与 的关系为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】选.方法一（特值法）：令 ， ，则角 与角 的终边关于 轴对称，且 .
方法二（直接法）：因为角 与角 的终边关于 轴对称，所以 ，，即 ，.
5．已知 为第三象限角，则为（ ）
A. 第二或第四象限角 B. 第三或第四象限角
C. 第一或第二象限角 D. 第二或第三象限角
【答案】A
【解析】选.因为 ，，所以 ，，
当 时， ,，所以 为第二象限角；
当 时， ，所以 为第四象限角.
综上，为第二或第四象限角.故选.
6．（多选）已知 是锐角，则（ ）
A. 是第三象限角 B. 是小于 的正角
C. 是第一或第二象限角 D. 是锐角
【答案】ABD
【解析】选.由题知，因为 是锐角，所以 ，对于， ，故 正确；对于，， ，故 正确，错误；对于， ，故 正确.故选.
7．终边在坐标轴上的角的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ，
【解析】终边在 轴上的角的集合为 ，，终边在 轴上的角的集合为 ，，所以终边在坐标轴上的角的集合为 ，.
8．若角 , 的终边互为反向延长线,且,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ,
【解析】先求出 的一个角为 ,再由终边相同的角的概念知 ,.
9．[（2025·南京月考）]如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ，
【解析】由题图知，与阴影部分下侧终边相同的角为 且，与上侧终边相同的角为 且，所以题图中阴影部分（包括边界）的角 的集合为，．
10．（13分）已知角 .
（1） 把 改写成的形式，并指出它是第几象限角；（6分）
（2） 求 ,使 与 终边相同，且 .（7分）
【答案】
（1） 解：由 除以 ，得商为5，余数为 .
所以取, ,则 .
又 是第三象限角，所以 为第三象限角.
（2） 与 终边相同的角为.
令，
解得.
所以,,.
将 的值代入 中，得角 的值为 ， ， .
B 能力提升
11．设 为小于 的角， 为第一象限角，则（ ）
A. 为锐角}
B. 为小于 的角}
C. 为第一象限角}
D.
【答案】D
【解析】选. 为小于 的角， 为第一象限角，
则.
12．（多选）下列条件中，能使 和 的终边关于轴对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选.假设 ， 为 内的角，如图所示，因为 ， 的终边关于 轴对称，所以 ，所以 满足条件;结合终边相同的角的概念，可得，所以 满足条件，，都不满足条件．
13．已知角 的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么 的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ,
【解析】已知阴影部分为对顶角区域，角 的终边在图中阴影所表示的范围为 ,.
14．（13分）在集合 ，中，
（1） 有几种终边不相同的角？（4分）
（2） 有几个在 到 范围内的角？（4分）
（3） 写出其中的第三象限角.（5分）
【答案】（1） 解：由，，，，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.
（2） 由 ，，
得，，
故，，，，0，1，2，3.
所以在 到 范围内的角共有8个.
（3） 其中的第三象限角为 ，.
C 素养拓展
15．（13分）如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点按逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过 角,黑蚂蚁每秒爬过 角（其中）,如果两只蚂蚁都在第14秒回到点,并且在第2秒时均位于第二象限,求 , 的值.
解：根据题意可知 , 均为 的整数倍,故可设 ,, ,.
由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,又由 ,知 ,
进而知 , 都是钝角,
即 ,
即 ,
所以 ,,
,,
所以,,,,
因为 ,所以,
所以,,
所以 , .
7.1.2 弧度制
新课导入
弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度，世界才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵……而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变．
学习目标
1.理解弧度制的概念，掌握角度与弧度之间的互化.
2.能用弧度制表示终边相同的角.
3.掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式.
新知学习 探究
一 弧度制
思考1．在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？
提示 1度的角等于周角的.
思考2．射线绕端点旋转到形成角 ，在旋转过程中，射线上的两点，（不同于点）形成的轨迹的长度为，，其中，，在旋转过程中，弧长与半径的比值和弧长与半径的比值有何关系？
提示 相等.设 ，因为，所以.同理，故.
［知识梳理］
1．度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 周角的①_ _ _ _ _ _ _ _ 为1度的角,记作
弧度制 定义 用弧度作为角的单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于②_ _ _ _ _ _ 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作（可省略不写）
【答案】； 半径长
2.弧度数的计算
3．角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
③_ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _
⑤_ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _
度
度数弧度数 弧度数度数
【答案】； ； ；
［例1］
（1） 下列说法中不正确的是（ ）
A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位
B. 的角是周角的,的角是周角的
C. 根据弧度的定义, 一定等于 弧度
D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关
（2） （对接教材例3、例4）将下列角度与弧度进行互化：
① ；
② ；
③ ；
④ .
【答案】（1） D
（2） ① 【解】.
② .
③ .
④ .
【解析】
（1） 选.根据角度制和弧度制的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小与圆的半径长短无关,只与弧长与半径的比值有关,故 不正确.
（1）圆心角 所对的弧长与半径的比值与圆的半径无关,只与角 的大小有关,可用这个比值来度量圆心角.
（2）角度制与弧度制的互化原则和方法
原则：牢记,充分利用和进行换算.
方法：设一个角的弧度数为 ,角度数为,则；.
注意 在表示角的时候,角的单位要统一,角度制与弧度制不能混用.
［跟踪训练1］．
（1） 在大小不同的圆中,的圆心角所对的（ ）
A. 弦长相等 B. 弧长相等
C. 弦长等于所在圆的半径 D. 弧长等于所在圆的半径
（2） 已知 ，，, ,,则 ， ， , , 的大小关系依次为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 选.由弧度制的定义,1弧度的角就是所对弧长与半径之比等于1的角,所以 的圆心角所对的弧长等于所在圆的半径.故选.
（2） 方法一（角度化为弧度），,因为,所以 .
方法二（弧度化为角度） ， , ,因为 ,所以 .
二 用弧度制表示角
［例2］ 用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：
（1）
（2）
【答案】
（1） 【解】边界对应射线所在终边的角分别为，，,
所以终边在阴影部分的角的集合为
.
（2） 边界对应射线所在终边的角分别为 ，， ，，,
所以终边在阴影部分的角的集合为
.
根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
（1）仔细观察图形；
（2）写出区域边界作为终边时角的表示；
（3）用不等式表示区域范围内的角；
（4）按逆时针方向书写.
［跟踪训练2］．
（1） 用弧度制表示与 角终边相同的角 的集合为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 用弧度表示顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边在图中阴影部分（包括边界）的角 的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） ,
【解析】
（1） 选.,故与 角终边相同的角 的集合为.
（2） 化成弧度为， 化成弧度为，所以终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合为 ,.
三 扇形的弧长与面积公式
［知识梳理］
（是扇形所在圆的半径,为扇形的圆心角）
公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式
角度制
弧度制 ①_ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ；
［例3］ 已知一扇形的圆心角为 ，半径为，弧长为．
（1） 若 ,,求扇形的弧长；
（2） 已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角.
【答案】（1） 【解】由题意知，所以弧长．
（2） 由题意得 解得 （舍去）或 故扇形的圆心角为．
母题探究．若扇形的周长为，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解：由题意知，
所以，
所以当 时，取得最大值，最大值为，此时，．
扇形的弧长和面积的求解策略
（1）记公式：弧度制下扇形的面积公式是（其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形圆心角的弧度数,）.
（2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程（组）求解.
［跟踪训练3 ］．已知扇形的圆心角为，半径为．
（1） 若,,求扇形的周长和面积；
（2） 若扇形的面积是定值，求扇形的周长最小时，圆心角 的值．
【答案】（1） 解：由题意可得扇形的周长，面积．
（2） 由题意可得，则，则扇形周长为，
当且仅当，即 时等号成立，
此时．
即扇形的周长取最小值 时，．
课堂巩固 自测
1．与 终边相同的角可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.选项,中角的表示混合用到了角度制和弧度制,不符合要求；选项 错误,故选.
2．（多选）下列转化结果正确的是（ ）
A. 化成弧度是 B. 化成角度是
C. 化成弧度是 D. 化成角度是
【答案】ACD
【解析】选. 化成弧度是，选项正确；
化成角度是 ，选项错误；
化成弧度是，选项正确；
化成角度是 ，选项正确．故选.
3．用弧度制表示终边落在轴上方的角 的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】若角 的终边落在 轴上方,则.
4．[（2025·常州期末）]工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】由题意可知，扇环的面积为．
1.已学习：（1）弧度制的概念.（2）弧度与角度的相互转化.（3）扇形的弧长与面积的计算.
2.须贯通：能灵活进行角度与弧度的互化，使用弧度制表示角与角的集合.
3.应注意：（1）弧度与角度不能混用.
（2）弧长和扇形面积公式使用的前提条件是在弧度制下.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知扇形的圆心角为，其弧长为 ，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由弧度制定义，该扇形的半径为，所以该扇形的面积为 .
2．角的终边所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】选，是第一象限角，故 是第一象限角.
3．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.当 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线 左上部分（包含边界）；当 为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线 的右下部分（包含边界）.
4．如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为.若一个扇形的圆心角为 ，弧长为10，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题图可知，，又已知扇形的弧长，则该扇形的半径,故扇形的面积.
5．半径为，面积为的扇形的圆心角为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.设扇形的圆心角为，
由题意可知，，即，解得，所以半径为，面积为 的扇形的圆心角为.
6．[（2025·淮安月考）]（多选）若角 的终边与角的终边关于轴对称，且，则 的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】选.因为角 的终边与角 的终边关于 轴对称，所以 ,，
又因为，所以当 时,；当 时，．故选．
7． 化为弧度为_ _ _ _ _ _ _ _ ，化为度为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】 ；
.
8．已知扇形的面积为，圆心角为 ，则该扇形的弧长为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，由题意可得，所以，，解得.
9．分别以边长为1的正方形的顶点，为圆心，1为半径作圆弧，交于点，则曲边三角形的周长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，连接,，得 为正三角形，所以.
又，
所以曲边三角形 的周长为.
10．（13分）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界）．
（1）
（2）
【答案】（1） 解：以 为终边的角为；以 为终边的角为，所以题图1中阴影部分内的角的集合为 ，.
（2） 以 为终边的角为；以 为终边的角为．
不妨设题图2中右边阴影部分所表示的集合为，左边阴影部分所表示的集合为，
则 ，，
，．
所以题图2中阴影部分内的角的集合为
或 ，.
B 能力提升
11．如图所示，已知的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从顺时针旋转到所形成的角 的弧度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.设 的半径为，劣弧 的长为,过圆心 作 于点，则 为 边的中点．
因为， ,，
所以边长，
所以劣弧 的长．
又 是负角，
所以.故选.
12．（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 终边在轴上的角的集合是 ,}
B. 终边在第二象限的角的集合为 ,
C. 终边在轴上的角的集合是,
D. 终边在直线上的角的集合是,
【答案】ABC
【解析】选 显然正确；
对于，，终边在 轴上的角的集合为 ,},终边在 轴上的角的集合为，故，正确；
对于，终边在直线 上的角的集合为
或，
其并集为，故 不正确.
13．（13分）已知角 ．
（1） 将 改写成的形式，并指出 是第几象限角；（6分）
（2） 在区间上找出与 终边相同的角．（7分）
【答案】
（1） 解：，
又 ，所以 ，
所以 与 的终边相同，又，
因此 是第三象限角．
（2） 与 终边相同的角可以写成 ,，又，
所以当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
所以在区间 上与 终边相同的角为 , , .
14．（15分）如图，动点，从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转，点按顺时针方向每秒钟转，求，第一次相遇时所用的时间及，点各自走过的弧长.
解：如图，设，第一次在 点相遇，相遇时所用的时间是 秒，则 ，解得,
即，第一次相遇时所用的时间为4秒.
P点走过的弧长为，
Q点走过的弧长为.
C 素养拓展
15．密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省略不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，478密位写成“”，1周角等于6 000密位，记作1周角，1直角，如果一个半径为3的扇形的面积为 ，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.依题意，设扇形的圆心角为 ， 所对的密位为，
则 ，解得 ，
由题意可得，
解得，
因此该扇形圆心角用密位制表示为．
7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数
新课导入
江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然.若把水车放在坐标系中，则水车上的点就可以用水车转动的角度及水车的半径来表示.
学习目标
1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.
2.掌握各象限角的三角函数值的符号规律.
3.理解有向线段的概念，注意有向线段与有向线段的数量的区别.
4.能利用三角函数线探求三角函数的定义域、值域和单调性等简单的性质.
第1课时 任意角的三角函数（一）
新知学习 探究
一 任意角的三角函数的定义
在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，如图所示.
定义，
，.
思考1．定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变（相似变化），其三角函数值是否改变？
思考2．如图，如果一个锐角 的终边与单位圆的交点是，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点的坐标表示 ， ， ？
【答案】思考1 提示 不变.
思考2 提示 ，，.
［知识梳理］
前提 如图,对任意角 ，在平面直角坐标系中,设 的终边上异于原点的任意一点的坐标为,点到原点的距离为
定义 正弦 比值①_ _ _ _ _ _ 叫作 的正弦,记作 ,即②_ _ _ _ _ _
余弦 比值③_ _ _ _ _ _ 叫作 的余弦,记作 ,即④_ _ _ _ _ _
正切 比值⑤_ _ _ _ _ _ 叫作 的正切,记作 ,即⑥_ _ _ _ _ _
三角函数 , , 都是 的函数 , , 分别叫作角 的正弦函数、余弦函数、正切函数,以上三种函数都称为 的三角函数
【答案】； ； ； ； ；
［例1］ （对接教材例1）已知角 的终边过点，其中，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，点 到原点的距离,所以.
母题探究．本例中，将条件“”改成 “”，其他条件不变，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】点 到原点的距离,所以.
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
（1）若已知角 终边上一点是单位圆上的点（有时此点的坐标需求出）,则,,;
（2）若已知角 终边上一点不是单位圆上的点,则首先求,则,,.
［跟踪训练1］．
（1） 已知角 的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 的正弦、余弦和正切值分别为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） ,，
【解析】
（1） 选.因为角 的终边过点，所以 到原点的距离，由三角函数的定义知.故选．
（2） 在直角坐标系中，作，易知 的终边与单位圆的交点坐标为,，所以，，.
二 三角函数值的符号
［知识梳理］
（1）如图所示：
正弦：第①_ _ _ _ 象限正,第②_ _ _ _ 象限负；
余弦：第③_ _ _ _ 象限正,第④_ _ _ _ 象限负；
正切：第⑤_ _ _ _ 象限正,第⑥_ _ _ _ 象限负.
（2）口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
【答案】一、二； 三、四； 一、四； 二、三； 一、三； 二、四
［例2］
（1） 当为第四象限角时，则（ ）
A. 1 B. 0 C. 2 D.
（2） （多选）（对接教材例4）下列选项中，符号为负的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） D
（2） ABD
【解析】
（1） 当 为第四象限角时，，.
则.
（2） 角在第三象限，故; 角在第二象限，故; ,在第三象限，故;.
已知角判断其三角函数值的符号的一般步骤
（1）判断已知角是第几象限角；
（2）依据各象限内角的三角函数值的正负判断所求三角函数值的符号.
［跟踪训练2］．
（1） 已知角 终边上有一点,，则 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
（2） 已知点是第二象限内一点，则 的终边位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】（1） C
（2） B
【解析】
（1） 选.因为 是第二象限角，所以，,所以点 在第四象限，即角 为第四象限角，所以 为第一象限角，所以 为第三象限角.
（2） 选.因为点 在第二象限，所以，，所以 为第二象限角，则 的终边位于第二象限.
三 利用已知条件求参数或三角函数值
［例3］
（1） 已知角 终边经过点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知角 的终边落在射线上，求 ， 的值.
【答案】（1） C
（2） 【解】设射线 与单位圆的交点为，则
解得 即,，
所以，.
【解析】
（1） 选.因为角 终边经过点，所以，所以 解得.
母题探究．本例（2）中条件“角 的终边落在射线上”变为“角 的终边落在直线上”,其他条件不变,其结论又如何呢？
解：①若 终边在第一象限内,解答过程同本例（2）.
②若 终边在第三象限内,
设点 是其终边上一点,
所以,
则,,综上可知,,或,.
（1）终边在已知直线（射线）上,可以在直线（射线）上取两个（一个）点,再利用定义求解.
（2）参数问题：若点的坐标、角的三角函数值中含有字母,则需要注意字母是否需要分类讨论.
［跟踪训练3］．
（1） 已知角 终边上一点，且，则（ ）
A. B. C. 4 D.
（2） 已知角 的终边经过点，且.则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.由题意得，点 在角 的终边上，且，
所以，
解得，（舍去），故 正确.
（2） 由于角 的终边经过点，所以，得,
所以.
课堂巩固 自测
1．若角 是第三象限角,则点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】选.由 是第三象限角知,,因此点 在第四象限,故选.
2．（多选）已知角 的终边与单位圆交于点,，则 的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】选.由题意可得，解得．
当 时，；
当 时，．
故，正确，，错误．故选.
3． _ _ _ _ 0.（填“ ”“ ”或“”）
【答案】
【解析】因为3是第二象限角，4是第三象限角，所以,,
所以.
4．已知角 的终边在直线上，则的值为_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】由题知,
设角 的终边上一点为，
则.
当 时，，
，
，
.
当 时，，，，
.
综上，所求值为0.
1.已学习：（1）三角函数的定义及求法.
（2）特殊角的三角函数值.
（3）三角函数值在各象限内的符号.
2.须贯通：利用三角函数的概念求一些特殊角的三角函数值，准确判断三角函数值的符号.
3.应注意：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知角 的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为角 的终边经过点，所以，
，所以
.
2．已知命题 为钝角，命题，则是的（ ）
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】选.若 为钝角，则 必为第二象限角，则，所以 是 的充分条件；
若，则 可能为第二或第四象限角，未必就是钝角，所以 不是 的必要条件；综上，是 的充分且不必要条件.
3．若角 的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由角 的终边经过点，可得，
可得，而 的符号不确定.
4．已知是大于0的实数，角 的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为 是大于0的实数，角 的终边经过点，所以.
5．已知角 的终边过点，则 是 （ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】D
【解析】选.由已知角 的终边过点，
因为 ，所以,，
故角 的终边在第四象限，所以 是第四象限角.
6．[（2025·扬州期末）]（多选）已知角 的终边经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABD
【解析】选.由，得
，解得（负值已舍去），则 正确;
由，得,
，则，正确;
由，得，解得，则 错误.故选.
7．已知，且，则角 是第_ _ _ _ 象限角.
【答案】三
【解析】因为，所以 是第二象限角或第三象限角，或终边在 轴的非正半轴，
当 时， 是第一象限角或者第三象限角，综上， 是第三象限角.
8．已知角 的终边经过点，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由三角函数的定义可得，
，,所以.
9．若角 的终边经过点，且，则_ _ _ _ ．
【答案】1
【解析】因为角 的终边经过点，所以，解得（负值已舍去）.
10．（13分）已知角 的终边在直线上,求 的值.
解：在角 的终边上任取一点,
则.
当 时，,
；
当 时，,
.
综上，或.
B 能力提升
11．已知点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A. , B. ，
C. ， D. ,
【答案】A
【解析】选.由题意知，则 的终边与单位圆的交点 的坐标为，，即,.故选.
12．（多选）函数的值可能为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 3
【答案】AD
【解析】选.当 是第一象限角时，;
当 是第二象限角时，;
当 是第三象限角时，;
当 是第四象限角时，.
故函数 的值可能为 或3.故选.
13．（13分）已知角 终边上一点，且，能否求出 ， 的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由.
解：能求出 ， 的值.因为角 的终边过点，
所以.
因为，所以 或.
①当 时，点 的坐标为，角 为第一象限角，
此时，；
②当 时，点 的坐标为，角 为第二象限角，此时，.
14．（15分）如图，在平面直角坐标系中，单位圆与轴的正半轴及负半轴分别交于点，，角 的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于轴下方一点．
（1） 若 ，求点的坐标；（7分）
（2） 若点的横坐标为，求 的值．（8分）
【答案】
（1） 解：过点 作 于点，
若 ，
则 ，
又，则,，
由题意点 在第四象限，所以点 的坐标为,.
（2） 由题意设,，因为点 在单位圆 上，且在 轴下方，所以，且，解得，
所以.
C 素养拓展
15．（多选）已知 是第一象限角，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】选.由 是第一象限角， ,,得 ,, 的终边在 轴上方，则， 的正负不确定；
又因为 ，,所以 是第一或第三象限角，则，的正负不确定.
第2课时 任意角的三角函数（二）
新知学习 探究
一 三角函数线
思考．角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？能否用几何方式来表示三角函数呢？
提示 是一个图形概念.可以用几何方式来表示三角函数.如图，设角 为第一象限角，其终边与单位圆的交点为，则，都是正数.
［知识梳理］
1．有向线段
规定了①_ _ _ _ （即规定了起点和终点）的线段称为有向线段.规定了正方向的直线称为有向直线.若有向线段在有向直线上或与有向直线平行,根据有向线段与有向直线的方向相同或相反,分别把它的长度添上正号或负号,这样所得的数,叫作有向线段的②_ _ _ _ ,记为.
【答案】方向； 数量
2．三角函数线
如图,设单位圆与轴的正半轴交于点,与角 的终边交于点.过点作轴的垂线,垂足为,过作单位圆的切线交的延长线（或反向延长线）于点.单位圆中的有向线段③_ _ _ _ _ _ ,④_ _ _ _ _ _ ,⑤_ _ _ _ _ _ 分别叫作角 的正弦线、余弦线、正切线.
记作：⑥_ _ _ _ _ _ ,⑦_ _ _ _ _ _ ,⑧_ _ _ _ _ _ .
【答案】； ； ； ； ；
点拨 正弦线、余弦线、正切线都是有向线段,并且正弦线、余弦线、正切线只能用有向线段,,表示,不能随意改变字母的顺序.
［例1］ （对接教材）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线：
（1）；（2）.
【解】 如图，有向线段，，分别表示各角的正弦线、余弦线、正切线.
（1）作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线.
（2）作正切线时,应从点引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点,即可得到正切线.
［跟踪训练1］．
（1） 如图，在单位圆中，角 的正弦线、正切线完全正确的是（ ）
A. 正弦线为，正切线为 B. 正弦线为，正切线为
C. 正弦线为，正切线为 D. 正弦线为，正切线为
（2） 如图，角 的顶点为原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于点.过点作轴的垂线，垂足为，则有向线段表示的实数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） C
（2） A
【解析】
（1） 选. 为第三象限角，故正弦线为，正切线为，正确.
（2） 选.由题意，易得有向线段 表示的实数是 .
二 利用三角函数线比较大小
［例2］ 利用三角函数线分别比较和,和,和的大小.
【解】 如图,
,,,
,
,.
显然,符号皆正,
所以；
,符号皆负,
所以；
,符号皆负,
所以.
利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步：
（1）角的位置要“对号入座”;
（2）比较三角函数线的长度;
（3）确定有向线段的正负.
［跟踪训练2］．下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，
有，
所以.
三 利用三角函数线解不等式（组）
［例3］ 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围,并由此写出角 的集合.
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 【解】作直线 交单位圆于,两点,连接,,则 与 围成的区域（如图1所示的阴影部分,包括边界）即为角 的终边的范围.故满足要求的角 的集合为,.
（2） 作直线 交单位圆于,两点,连接,,则 与 围成的区域（如图2所示的阴影部分,包括边界）即为角 的终边的范围.故满足条件的角 的集合为,.
利用单位圆中的三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用.
［跟踪训练3 ］．若 ，且，.利用三角函数线，得到 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,,
【解析】利用三角函数线得 的终边落在如图所示 区域内（不包括边界），所以 的取值范围是,,.
课堂巩固 自测
1．角和角有相同的（ ）
A. 正弦线 B. 余弦线 C. 正切线 D. 余弦值
【答案】C
【解析】选.因为角 和角 的终边互为反向延长线，故由三角函数线的定义知两角有相同的正切线.
2．已知角的正弦线、余弦线的长度相等,且正弦、余弦值符号相异,那么 的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】选.由题意可知角 的终边在第二、四象限的角平分线上.又 ,所以 或.
3．若角 的余弦线长度为，且方向与轴负方向相同，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为角 的余弦线方向与 轴负方向相同，所以，所以.
4．函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】由题可知，利用三角函数线可得.
1.已学习：（1）有向线段.（2）三角函数线.
2.须贯通：利用三角函数线比较三角函数值的大小，利用三角函数线解一些简单的三角不等式.
3.应注意：三角函数线是用有向线段表示的，是有方向的.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知角 的正弦线是单位长度的有向线段，那么角 的终边（ ）
A. 在轴上 B. 在直线上
C. 在轴上 D. 在直线或上
【答案】C
【解析】选.由题意可知，因此，角 的终边在 轴上.故选.
2．若和分别是角的正弦线和余弦线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.在单位圆中画出角 的正弦线 和余弦线，如图所示，则.故选.
3．，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.在单位圆中，作出角 的正弦线、余弦线和正切线如图所示，则，，，其中左边的虚线表示的是角 的终边，因为，则，即.故选.
4．已知是的一个内角,且,则的取值范围是（ ）
A. , B. , C. D.
【答案】A
【解析】选.因为,所以,令,又 ,所以,在单位圆中,作角 的正切线,如图所示.由图可得,当 时,,所以,即 的取值范围是.
5．（多选）下列说法错误的有（ ）
A. 正弦线也可写成
B. 三角函数线表示的值都只能是非负值
C. 当角 的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在
D. 当角 的终边在轴上时，正弦线、正切线都变成点
【答案】AB
【解析】选.三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒，故 错误.三角函数线表示的值也可取正值、负值、0，故 错误,正确.
6．（多选）下列选项中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选.如图1所示，根据三角函数线，可得 的函数值为正，的函数值为负，可得，故 不正确；
如图2所示，依据三角函数线，可得 和 的三角函数线长度相等，方向一样，
可得，故 正确；
如图3所示，因为，依据三角函数线，
可得，故 不正确；
如图4所示，依据三角函数线，可得，故 正确.故选.
7．若,则 的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图所示,分别作出 和 的正弦线,,
可得.
8．在 ，上，满足的的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ,]
【解析】如图所示，因为，
所以满足 的 的取值范围为.
9．把，，，由小到大排列为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用“ ”连接）
【答案】
【解析】如图可知，，
，，.
而，
所以，
所以.
10．（13分）在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边.
（1） ;（6分）
（2） .（7分）
【答案】
（1） 解：作直线 交单位圆于，两点，连接，，则 与 即为角 的终边，如图1.
（2） 作直线 交单位圆于，两点，连接，，则 与 即为角 的终边，如图2.
B 能力提升
11．在平面直角坐标系中，,,,是单位圆上的四段弧（如图），点在其中一段上，角 以为始边，为终边，若 ，则所在的圆弧是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.如图所示，可知有向线段 为余弦线，有向线段 为正弦线，有向线段 为正切线.
对于，当点 在 上时，,，所以 ，故 错误；
对于，当点 在 上时，,，，
所以 ，故 错误；
对于，当点 在 上时，，，,所以 ，故 正确；
对于，点 在 上且 在第三象限，,,，故 错误.故选.
12．（多选）已知 ，那么下列命题成立的是 （ ）
A. 若 ， 是第一象限角，则
B. 若 ， 是第二象限角，则
C. 若 ， 是第三象限角，则
D. 若 ， 是第四象限角，则
【答案】BD
【解析】选.设，分别为单位圆与角 ， 终边的交点，则，，，.
由 ，可得.
若 ， 是第一象限角，如图1，此时，
即 ，所以 不正确；
若 ， 是第二象限角，如图2，,，观察可知，即 ，所以 正确；
若 ， 是第三象限角，如图3,此时，
即 ，所以 不正确；
若 ， 是第四象限角，如图4，,，则，即 ，所以 正确.故选.
13．不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，，且,所以不等式的解集如图所示（阴影部分）,
所以.
14．（13分）
（1） 确定的符号；（6分）
（2） 已知，且，试判断式子 的符号.（7分）
【答案】
（1） 解：因为弧度数为,5,8的角分别是第三、第四、第二象限角，所以,,.
所以.
（2） 若,如图所示，在单位圆中，
,，
所以.
若，则.
因为 ，且,
所以.所以,.
于是有.
C 素养拓展
15．（13分）当时,求证： .
证明：如图所示,在平面直角坐标系中作出单位圆, 的终边与单位圆交于点, 的正弦线、正切线分别为有向线段,,
则 , .
所以 ,
因为,
所以 ,
,
又,
所以 ,
即 .
7.2.2 同角三角函数关系
新课导入
设角 的终边与单位圆交于点，根据三角函数的定义知 ， ， .能否根据，的关系得到 ， ， 间的联系？它们之间到底有什么样的联系，就让我们一起去探索发现！
学习目标
1.理解同角三角函数基本关系式.
2.能正确运用同角三角函数的基本关系进行求值、化简和证明.
新知学习 探究
一 同角三角函数的基本关系
思考1．观察下表，你能发现什么？
0
0 1
1 0
0 1 不存在
提示 对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切，正弦与余弦的平方和等于1.
思考2．如图,设点是角 的终边与单位圆的交点.你能验证思考1的猜想吗？
提示 若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即；
因为点在单位圆上，则由勾股定理得，即.
［知识梳理］
类别 关系式 文字表述
平方关系 同一个角 的正弦、余弦的①_ _ _ _ _ _ 等于1
商数关系 , 同一个角 的正弦、余弦的②_ _ _ _ 等于角 的③_ _ _ _
【答案】平方和； 商； 正切
点拨 基本关系式的变形公式
［例1］ （对接教材例5、例6）
（1） 已知，并且 是第二象限角，求 和 ;
（2） 已知，求 和 的值．
【答案】
（1） 【解】 ，
又 是第二象限角，
所以，.
（2） 由，可得 .
又，故，解得.
又由，知 是第一或第三象限角．
当 是第一象限角时，则，；当 是第三象限角时，则，.
求三角函数值的方法
（1）已知 或 ,求 常用以下方法求解：
（2）已知 ,求 或 常用以下方法求解：
（3）在 ， ， 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系为 .
［跟踪训练1］．
（1） （多选）已知，，则下列等式正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
（2） 若，，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ABD
（2）
【解析】
（1） 选.因为，则.
对于，，可得，正确；
对于，由 选项可知，，则，所以，则，正确；
对于，联立
可得
则，不正确；
对于，，正确.故选.
（2） 由题意可得，
解得,又，所以，所以,,因此，故.
二 利用同角三角函数的关系式化简
［例2］ （对接教材例7）化简下列各式：
（1） ;
（2） .
【答案】（1） 【解】原式.
（2） 原式
.
三角函数式的化简技巧
（1）化切为弦,即把正切函数都化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
（2）对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的.
（3）对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造,以降低函数次数,达到化简的目的.
［跟踪训练2］．若 为第二象限角，则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 为第二象限角，所以，
原式
.
三 利用同角三角函数关系证明
［例3］ 求证：.
【证明】 方法一：
左边,
右边.
因为,
所以,
所以左边 右边.
所以原等式成立.
方法二：因为右边
左边,
所以原等式成立.
证明三角恒等式常用的方法
（1）从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等.
（3）比较法：即证左边-右边或证.
（4）综合法：即由一个已知成立的等式（如公式等）恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
［跟踪训练3］．求证：.
证明：左边
右边.
所以原等式成立.
课堂巩固 自测
1．已知，,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为,，故，则.
2．已知 是第三象限角，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,所以,即,又,解得.又 是第三象限角,所以,所以.故选.
3．化简_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】原式 .
4．已知，,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 得，
，
解得；
由 得，,
又因为,且,
所以,,即,
所以,
则.
1.已学习：同角三角函数基本关系式.
2.须贯通：同角三角函数关系的应用：化简、求值和证明.
3.应注意：若角 的范围无法确定，则一定要对 所在象限分类讨论.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，,，
所以，所以.
2．已知，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】选.依题意有，解得.
3．已知 是第二象限角，则（ ）
A. 1 B. C. 1或 D. 2
【答案】B
【解析】选.因为 是第二象限角，则，
所以原式.
4．若,，,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，故，即 ，所以，因为,，故，.故.
5．化简（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】选.原式.
6．[（2025·徐州月考）]（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. 为第二象限角 B. 是第一象限或第三象限角
C. D.
【答案】AD
【解析】选.因为，，所以 ， 为第二象限角，正确；由上知，，是第一象限角，错误；因为，，所以，所以，错误；由上知，，正确.故选.
7．若 是第三象限角且,则_ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ .
【答案】；
【解析】因为 是第三象限角且,
所以,
所以.
8．若，，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】0或
【解析】由已知可得，，
所以，整理可得，解得 或.
当 时，，，；当 时，，，.
综上所述，或.
9．已知，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因，，
则原式
.
10．（13分）在平面直角坐标系中，已知角 的终边经过点，其中.
（1） 求 的值；（6分）
（2） 若 为第二象限角，求的值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为,,所以 为坐标原点，当 时，；
当 时，，
综上，当 时，；
当 时，.
（2） 因为 为第二象限角，所以，，
则，
所以.
B 能力提升
11．（多选）下列计算或化简，结果正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】选.对于，，故 正确；
对于，
，故 正确；
对于，若，则，故 错误；
对于，若，则，故 正确.故选.
12．已知，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】，
.
13．（15分）
（1） 证明： ;（7分）
（2） 化简：.（8分）
【答案】
（1） 证明：左边
右边.
即原式成立.
（2） 解：原式
.
14．[（2025·常州月考）]（15分）已知 ， 是关于的一元二次方程的两根.
（1） 求 的值；（4分）
（2） 求的值；（5分）
（3） 若 ，求 的值.（6分）
【答案】
（1） 解：因为 ， 是关于 的一元二次方程 的两根，
所以.
（2） 由（1）得，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以.
（3） 由（2）可得，
，
因为 ，所以,，
所以
.
C 素养拓展
15．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，，若,，且，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意, ,且,可得,两边平方，可得
,
即，可得
，解得.
7.2.3 三角函数的诱导公式
新课导入
南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与单位圆是紧密联系的，它的基本性质是单位圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了单位圆中的某些线段之间的关系.单位圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
你能否利用这种对称性，借助单位圆中的三角函数线，探究终边具有特殊对称（坐标轴、原点）的两角的三角函数之间有什么本质的规律吗？
学习目标
1.理解诱导公式一～四的推导过程.
2.能利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简和证明.
3.掌握诱导公式五、六的推导过程.
4.能利用诱导公式解决简单的三角函数式求值、化简与证明问题.
第1课时 诱导公式一、二、三、四
新知学习 探究
一 诱导公式一～四
思考1．我们是如何定义三角函数的？
提示 三角函数定义的核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等.
思考2．如图，设角 ， ， ， 的终边与单位圆的交点分别为，，，，则与，与，与的坐标有怎样的关系？
提示 点与的纵坐标、横坐标都互为相反数；与的横坐标相同，纵坐标互为相反数；与的横坐标互为相反数，纵坐标相同.
［知识梳理］
类别 终边关系 图示 公式
公式一 角与角 的终边相同 , ， ,其中
公式二 角 与角 的终边关于①_ _ _ _ _ _ 轴对称 ②_ _ _ _ _ _ _ _ , ③_ _ _ _ _ _ _ _ , ④_ _ _ _ _ _ _ _
公式三 角 与角 的终边关于⑤_ _ _ _ _ _ 轴对称 ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ , ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , ⑧_ _ _ _ _ _ _ _
公式四 角 与角 的终边关于⑨_ _ _ _ _ _ _ _ 对称 ⑩_ _ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ； ； ； ； ； ； ； 原点； ； ；
点拨 诱导公式的记忆方法与口诀
（1）记忆方法：， ， 的三角函数值等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
（2）记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.
“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设 是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如,若 看成锐角，则 在第三象限，正弦在第三象限取负值，故
［例1］ （对接教材例9）求下列三角函数值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 【解】 .
（2）
.
（3）
.
（4） 原式.
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
［跟踪训练1］．（多选）下列各式中，值为 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】选，符合题意；，符合题意；，不符合题意；，不符合题意.故选.
二 条件求值问题
［例2］
（1） 若，且,，则的值为（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知 为锐角，若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 由，得，而,，
于是
，
所以.故选.
（2） 因为，
所以.
母题探究．本例（2）条件不变，求_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 为锐角，
且，所以 也是锐角，
所以
.
.
解决条件求值问题的策略
（1）解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
（2）可以将已知式变形向所求式转化,或将所求式变形向已知式转化.
［跟踪训练2］．
（1） 已知，则的值为_ _ _ _ _ _ .
（2） 点在角 终边上，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）
.
（2）
,
由题设，并根据三角函数定义得，则.
三 化简求值问题
［例3］ 化简下列各式：
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 【解】 原式
.
（2） 原式
.
三角函数式化简的常用方法
（1）利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
（2）切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正、余弦函数.
（3）注意“1”的应用：.
［跟踪训练3］．已知,则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】选.因为,
所以原式
.
课堂巩固 自测
1． （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.
2．[（2025·连云港月考）]（多选）设，,，以下正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】选.因为，,，
所以
，
所以.故选.
3．已知角 的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题可得，根据三角函数的定义，可得，又由.
4．的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】原式
.
1.已学习：（1）特殊关系角的终边对称性.
（2）诱导公式一～四及其应用.
2.须贯通：利用诱导公式求值化简的三个步骤:负化正 大化小 化成锐角是终了.
3.应注意：公式要根据口诀理解记忆,切记不要搞错符号.
课后达标 检测
A 基础达标
1．的值是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】选.
2．已知 为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为 为锐角，且，所以 也是锐角，
所以.
.
3．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.
4．已知角 的终边与单位圆的交点为，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为角 的终边与单位圆的交点为，，所以，，则.故选.
5．（多选）已知角 和 的终边关于轴对称，则（ ）
A. , B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.因为角 和 的终边关于 轴对称，可得 ,.
，，正确；
,，，错误.故选.
6．（多选）已知，，则下列不等关系成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】选.因为，
所以，错误，正确；
因为，
所以，错误，正确，故选.
7．若是角 终边上一点，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意知，
原式
.
8．若， ，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得，由 ，则，故.
9．[（2025·无锡期末）]已知函数，且，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，
可得，
所以
，即.
10．（13分）化简下列各式.
（1） ；（6分）
（2） .（7分）
【答案】
（1） 解：原式
.
（2） 原式
.
B 能力提升
11．（多选）已知，则的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】BD
【解析】选.当,时，
；
当,时，
.
12．已知函数则的值为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】，，
所以.
13．（15分）已知.
（1） 化简;（5分）
（2） 若 是第三象限角，且,求的值；（5分）
（3） 若 ，求的值.（5分）
【答案】（1） 解： .
（2） 因为，
所以.又 是第三象限角，
所以.所以.
（3） 因为 ,
所以
.
14．（15分）在中，若，，求的三个内角．
解：由题意得，
，
平方相加得，所以，
又因为，所以 或.
当 时，，
所以，，
所以，均为钝角，不合题意，舍去．
所以，，
所以，所以.
综上所述，，，.
C 素养拓展
15．如图，单位圆被点，，， ，平均分成12份，以轴的正半轴为始边，为终边的角记为，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .（说明： 是一个连加符号，）
【答案】0；
【解析】由题意得，所以，所以.
单位圆 被平均分成12份，则 , , , ， , , ，所以.
第2课时 诱导公式五、六
新知学习 探究
一 诱导公式五、六
我们容易计算像0，，这样的角的三角函数值，对于求 与 的三角函数值，能否化为 的三角函数值计算？
思考．
（1） 与 的终边有什么关系？
（2） 如何求 的三角函数值？
【答案】（1） 提示 角 的终边与 的终边关于对称.
（2） ，
［知识梳理］
点拨 公式五、六的记忆方法与口诀:①记忆方法: 的正弦（余弦）函数值,分别等于 的余弦（正弦）函数值,前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号;②记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”.
［例1］
（1） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
（2） （对接教材例）已知，,，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） B
（2） D
【解析】
（1） .
（2） 因为,，故,，
则由，可得，
故.
（1）利用诱导公式进行化简求值时，要特别注意函数名称和符号的确定.
（2）解题的主要步骤：去负—脱周—化锐.
［跟踪训练1］．
（1） 若，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知 是第二象限角，且，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） A
（2） A
【解析】
（1） 选.因为，所以.
（2） 选.由 是第二象限角，得 ,，，则 ,，，又，所以，
所以.
二 利用诱导公式进行化简证明
［例2］
（1） 化简：
；
（2） 求证：
.
【答案】（1） 【解】原式 .
（2） 证明：左边
.
右边.
所以左边 右边.
故原等式成立.
利用诱导公式化简、证明的策略
（1）注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用.
（2）对式子进行化简或证明时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围.
［跟踪训练2］．化简：.
解：原式
.
三 诱导公式的综合应用
［例3］ 已知．
（1） 化简；
（2） 若 是第三象限角，且，求的值．
【答案】（1） 【解】 ．
（2） 因为 ，，
所以，又因为 是第三象限角，
所以 为第三象限角，所以，故．
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：化大为小；看角与角之间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式等.
［跟踪训练3］．在平面直角坐标系中，角 的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点,.
（1） 求的值和 ；
（2） 化简求值.
【答案】
（1） 解：终边经过点，故，
解得，.
（2）
.
课堂巩固 自测
1．已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，
且，
所以，
则.
2．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，
所以
.
3．（多选）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选，错误；
，正确；
，错误；
，正确.故选.
4．[（2025·宿迁月考）]已知角，，为的三个内角，求证：.
证明：在 中， ，则.所以
，
故原等式得证.
1.已学习：（1）诱导公式五、六:函数名改变,符号看象限;（2）利用诱导公式进行化简、求值与证明.
2.须贯通：诱导公式中的角可以是任意角，应用时要灵活探寻角与角之间的联系与构造.
3.应注意：搞清诱导公式的函数名称及符号变换规律.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.
2．化简：（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】选
.故选.
3．已知，则（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】选.由诱导公式可得，将 代入计算，可得原式.
4．已知 为第三象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为，
所以，又 为第三象限角，所以，
所以.
5．已知，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为 ，
所以，
所以，
所以.
6．[（2025·南京月考）]（多选）下列化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选 ，故 正确； ，故 错误； ，故 正确； ，故 错误.故选.
7．已知，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以，
又因为，
所以.
8．化简：_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】原式
.
9．已知，且，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由于，所以，而，所以，
所以.
10．（13分）已知 是第四象限角，且.求：
（1） 的值；（6分）
（2） 的值.（7分）
【答案】
（1） 解：因为 是第四象限角，且，
所以.
（2）
,
由（1）可知，，
所以原式的值为.
B 能力提升
11．[（2025·徐州期末）]（多选）若角,,是的三个内角，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.对于，，故 正确；对于，，故 错误；对于,，故 错误；对于,，故 正确.
12．已知函数，若，则_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】由题意，
,解得.
13．（15分）在；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
已知 ．
（1） 求的值；（7分）
（2） 当 为第三象限角时，求的值．（8分）
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
（1） 解：若选，则 ，即;
若选，则 ，
即 ，则.
因为，
将 代入，原式.
（2） 由（1）得，即 ，
由，则，解得，
因为 为第三象限角，所以，则，
.
14．（15分）是否存在角,角,使等式,同时成立？若存在,求出 , 的值；若不存在,请说明理由.
解：由题意得
,得,
所以,.
又,所以 或.
将 代入②,得,
又,所以,代入①可知符合条件,
将 代入②,得,
又,所以,代入①可知不符合条件.
综上可知,存在,满足条件.
C 素养拓展
15．在平面直角坐标系中，已知角 的终边经过点，若角 的终边与角 的终边关于轴对称，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】已知角 的终边经过点，则,.
若角 的终边与角 的终边关于 轴对称，
则，,
则.
阶段提升（九） 三角函数及诱导公式
（范围：7.1~ 7.2）
题型一 任意角与弧度制
1．已知 与 角的终边关于轴对称，则是（ ）
A. 第二或第四象限角 B. 第一或第三象限角
C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角
【答案】B
【解析】选.由 与 角的终边关于 轴对称，可得 ,，所以 ,，取,1可确定 是第一或第三象限角.
2．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合是（ ）
A. ,
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】选.由题图得终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合是
．
3．与 角终边相同的最小正角是_ _ _ _ _ _ ；最大负角是_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】；
【解析】因为与 角终边相同的角是，所以当 时，与 角终边相同的最小正角是 .当 时，与 角终边相同的最大负角是 .
4．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面大致为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，，则扇环的面积为_ _ _ _ .
【答案】192
【解析】由题意得，，如图，设扇环所在圆的圆心为，，的弧度数为 ，则 解得
则扇环的面积.
关于任意角与弧度制
（1）与 终边相同的角都可以用或的形式表示；
（2）表示区域角时按逆时针方向找到区域的起始边界和终止边界，加上 或 的整数倍；
（3）确定与 终边所在象限的方法是用不等式表示出所求角的范围，然后根据的范围分类讨论；
（4）解决扇形的面积或周长等最值问题的关键是运用函数与方程或不等式思想.
题型二 三角函数的概念
1．已知角 的终边经过点，且，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由三角函数的定义可得
，解得，
所以.
2．若是角 终边上一点，则的值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 是角 终边上一点，则点 到原点的距离是，所以，则.
3．已知是圆心在原点，半径为2的圆上一点，点从开始，在圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为，则时点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】记点 是角 终边上的一点，则，，则；经过，记点 是角 终边上的一点，由题意，则，，即点 的坐标为.
关于三角函数概念的应用
解决与三角函数概念相关的问题，要特别注意两点，一是三角函数定义，二是诱导公式的应用.
题型三 同角三角函数的关系
1．若， 为第四象限角，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由，可得，可得，又 为第四象限角，所以，即.
2．已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.因为 ，则,，故原式
.
3．已知 ， 是关于的方程的两根，则实数_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由方程 有两根，得，解得，依题意得，，则，解得，符合题意，所以实数.
关于同角三角函数基本关系的应用
解决与同角三角函数基本关系有关的问题，要特别注意三点，一是正弦、余弦、正切的互化，二是公式的灵活变形应用，如“1”的代换，三是利用平方关系求值时要注意角所在的象限.
题型四 诱导公式
1．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.
2．（多选）已知角 的终边与单位圆相交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.根据三角函数的定义得，，，故 正确；，故 错误；，故 正确；，故 错误.
3．已知，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，
所以 且，
所以原式
.
4．若，则的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得.
诱导公式的应用
（1）应用口诀：奇变偶不变，符号看象限；
（2）基本步骤：负化正，大化小，小化锐，锐求值；
（3）化角技巧：观察已知角与所求角的关系.
阶段小测（九）
（时间：120分钟 满分：100分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1． （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由诱导公式得.
2．若扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.设扇形 的半径为，弧长为，则 解得
3．已知角 满足，，且，则角是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】B
【解析】选.由，，得出 为第四象限角，所以 ,,
所以 ,，则 为第二象限角或第四象限角，又因为，所以，则 为第二象限角.
4．已知角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A. 或 B. C. D. 1
【答案】B
【解析】选.由三角函数的定义可得，则，整理可得，因为，解得.
5．已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由 得，则.
.
6．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示，记直角三角形较小的锐角为 ，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.设大正方形的边长为，则直角三角形的两直角边分别为 , ，故,，则，所以，又 为锐角，则,，所以.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
7．已知，下列式子中成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.对于，, ，故，故 成立；对于，，故 成立；对于，，而，故，故 不成立；对于，，故 成立.
8．定义：角 与 都是任意角，若满足 ，则称 与 “广义互余”．已知，则下列角 中，可能与角 “广义互余”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.因为，
所以，
若 ，则 ，
故，故 满足；
,故 不满足；
若，即 ，
又，
故，故 满足，不满足．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．）
9．把 写成的形式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以.
10．已知角 的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】 ,
，故原式 ，由题意设点 在角 的终边上，故，故原式．
11．如图，在平面直角坐标系内，角 的始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点,.若线段绕点逆时针旋转得，则点的纵坐标为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
【解析】因为角 的终边与单位圆交于点,，所以，，设点 为角 的终边与单位圆的交点，则，所以，所以点 的纵坐标为.
四、解答题（本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
12．（本小题满分13分）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，．
（1） 若，，求该扇形环面展台的周长；（6分）
（2） 若该扇形环面展台的周长为，布置该展台的平均费用为500元/，求布置该扇形环面展台的总费用．（7分）
【答案】（1） 解：的长度，的长度，所以扇形环面展台周长为.
（2） 设 ，，则 的长度，的长度 ，因为该扇形环面的周长为，所以，即，整理得，则该扇形环面展台的面积，所以布置该扇形环面展台的总费用为（元）.
13．（本小题满分15分）已知角 的终边经过点,且 为第二象限角.
（1） 求的值；（6分）
（2） 若，求
的值.（9分）
【答案】
（1） 解：由三角函数定义可知,解得.
因为 为第二象限角，所以.
（2） 由（1）知,
又,
所以
.
14．（本小题满分15分）如图，在平面直角坐标系中，锐角 的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点,过点作圆的切线，分别交轴、轴于点与．
（1） 若，求点的坐标；（3分）
（2） 若的面积为2，求 的值；（6分）
（3） 求的最小值．（6分）
【答案】
（1） 解：由题意得，
所以,，即,.
（2） 由题意得 为锐角，故 在第一象限，则,分别在,轴正半轴上，由题意可知，所以，得,又 ,所以，得，由 的面积为2，得，所以,又因为，所以，所以，解得.
（3） 由题意 是锐角，则,,所以
,
当且仅当，
即,，时取等号，
所以 的最小值为16.
7.3 三角函数的图象和性质
7.3.1 三角函数的周期性
新课导入
生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习.我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象.
学习目标
1.掌握并理解周期函数的定义，会判断函数是否为周期函数.
2.会求，，（其中为， ， 为常数，且，）的最小正周期.
新知学习 探究
一 周期函数
［知识梳理］
1．函数的周期性
设函数的定义域为.
如果存在一个①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,使得对于任意的,都有,并且②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,那么函数就叫作周期函数,③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫作这个函数的周期.
对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个④_ _ _ _ _ _ _ _ ,那么,这个最小的正数就叫作的最小正周期.
【答案】非零的常数； ； 非零常数； 最小的正数
2．函数及（其中, , 为常数,且,）的周期为⑤_ _ _ _ _ _ _ _ ,函数（其中, , 为常数,且,）的周期为⑥_ _ _ _ _ _ .
【答案】；
点拨 （1）关键词“任意的”体现了对定义域中每一个值都得成立.
（2）周期函数的周期不唯一，任何 的非零整数倍都是函数的周期.
（3）三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可.
（4）若不加特殊说明，一般求三角函数的周期问题，求的是函数的最小正周期.
［例1］ （对接教材例2）求下列函数的周期：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】
（1） 【解】方法一：设 的周期为，则,即 对任意的 均成立.即,
其中.因为 的周期为 ，所以 ,所以 ,所以 的周期为 .
方法二：因为 ，所以
的周期为 .
（2） 利用周期函数的定义，因为,所以,所以 的周期为 .
（3） 因为，对于定义域内的所有 恒成立，所以 是函数 的周期.
求三角函数周期的方法
（1）定义法：即利用周期函数的定义求解.
（2）公式法：对形如或， ， 是常数，，的函数，；对形如， ， 是常数，，的函数，.
［跟踪训练1］．
（1） （多选）下列函数中，最小正周期为 的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 函数的最小正周期不小于3，则正整数的最大值为_ _ _ _ .
【答案】（1） AD
（2） 2
【解析】
（1） 选.由周期公式知，中的函数周期为 ；
中，的周期为 ；
中，因为，
所以 的周期为 .
（2） 由周期公式知，
所以，又，所以 的最大值为2.
二 周期函数在实际问题中的应用
［例2］ 若单摆中小球相对于静止位置的位移单位：随时间单位：的变化而周期性变化,如图所示.
（1） 求单摆运动的周期；
（2） 从点算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如果从点算起呢？
（3） 当时,求单摆小球相对于静止位置的位移.
【答案】（1） 【解】从题图可以看出,单摆运动的周期是.
（2） 若从 点算起,到曲线上的 点表示完成了一次往复运动；若从 点算起,到曲线上的 点表示完成了一次往复运动.
（3） ,所以经过，小球相对于静止位置的位移是.
结合周期函数图象的变化规律,确定函数的周期,然后根据周期函数的性质,求出对应的函数值.
［跟踪训练2］．若钟摆的高度单位：与时间单位：之间的函数关系如图所示.
（1） 求该函数的周期;
（2） 求时钟摆的高度.
【答案】
（1） 解：由题图可知,,
所以,所以函数的周期为.
（2） ,
即 时钟摆的高度为.
三 由函数周期性求值（解析式）
［例3］
（1） 设的定义域为且.若时,则（ ）
A. B. 0 C. D. 1
（2） 设是周期为2的奇函数，当时，，则当时，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 由于,所以 的周期是,所以.
（2） 当 时，，则.因为当 时，，所以.
因为 是周期为2的奇函数，
所以.
周期函数求值的常用方法
如果一个函数是周期函数,求与之有关的函数值,可研究函数在一个周期内的取值情况,然后加以推广,进而得出其在研究范围内的取值.
［跟踪训练3］．已知,求的值.
解：因为 的周期,且,所以.
课堂巩固 自测
1．函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选. .
2．下列函数中,最小正周期是的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.的最小正周期为,不符合题意；的最小正周期为 ,不符合题意；的最小正周期为,不符合题意；的最小正周期为，符合题意.故选.
3．设，若函数的最小正周期为，则_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】，所以.
4．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是 ，且当时，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】
.
1.已学习：（1）周期函数的概念.（2）三角函数的周期.（3）周期函数的实际应用.
2.须贯通：求函数的最小正周期的两种方法：
定义法：即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使成立的.
公式法：一般地，函数其中， ， 为常数，，，的周期.
3.应注意：不要忽视函数周期性中定义域内的任意性.
课后达标 检测
A 基础达标
1．函数，的最小正周期为 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 6
【答案】D
【解析】选.由题意.
2．周期为 的函数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.的周期是,不符合；的周期是 ,不符合；的周期是,不符合；的周期是 ，符合.故选.
3．设函数满足,,则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由,得 是偶函数,
图象关于 轴对称,排除,；
由,得 的周期为2,排除.故选.
4．函数与函数的最小正周期相同,则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】选.因为函数 与函数 的最小正周期相同,因此,所以.
5．三角函数是定义在上且周期为4的奇函数，且，则（ ）
A. 3 B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】选.由已知得，所以.
6．（多选）下列函数中最小正周期为 ，且为偶函数的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选 中，，函数周期为 ，非奇非偶函数，不符合题意；
中，，函数周期为 ，偶函数，符合题意；
中，不满足周期函数，不符合题意；
中，，函数周期为 ，偶函数，符合题意.故选.
7．函数的最小正周期为_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】 的最小正周期.
8．写出一个同时具有性质；的函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .注：不是常数函数
【答案】（答案不唯一）
【解析】由 知函数的周期是 ，则 满足条件，
因为，所以 满足条件.
9．若函数的最小正周期为，且，则正整数 的最大值为_ _ _ _ .
【答案】6
【解析】因为，，，则 .
所以正整数 的最大值为6.
10．（13分）求下列函数的最小正周期.
（1） ；（6分）
（2） ,.（7分）
【答案】
（1） 解：方法一（定义法） 因为
，
即 ，
所以函数 的最小正周期 .
方法二（公式法） 因为，所以.
又最小正周期 ，
所以函数 的最小正周期 .
（2） 的最小正周期为.
B 能力提升
11．设函数是以 为最小正周期的周期函数，且当时，;当,时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为 且当,时，，所以.
12．设是定义域为且最小正周期为 的函数，且有则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】选.由题可得.故选.
13．若，则_ _ _ _ _ _ ；
_ _ _ _ .
【答案】；
【解析】由，
得，
函数 的最小正周期为.
因为，
所以
.
14．（13分）已知弹簧振子相对于平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示.
（1） 求该函数的周期；（6分）
（2） 求时弹簧振子相对于平衡位置的位移.（7分）
【答案】（1） 解：由题图可知，该函数的周期为.
（2） 设位移与时间的函数关系为，因为，所以.故 时弹簧振子相对于平衡位置的位移为.
C 素养拓展
15．（15分）已知函数.
（1） 求函数的定义域并判断函数的奇偶性；（7分）
（2） 求函数的最小正周期.（8分）
【答案】
（1） 解：由，得 ，，所以函数 的定义域为 ，，
.因为，且函数 的定义域关于坐标原点对称，故函数 为偶函数.
（2） 因为，
所以 的最小正周期为 .
7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
新课导入
同学们，我国著名数学家华罗庚教授曾经写到：“数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”的角度研究三角函数．
学习目标
1.了解利用正弦线作正弦函数图象的方法，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.
2.会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单的问题.
新知学习 探究
一 正弦函数、余弦函数的图象
思考1．绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在上任取一个值，如何借助单位圆确定正弦函数值，并画出点
提示 如图，在上任取一个值，根据正弦函数的定义可知点的纵坐标，此时弧的长度为，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点.
思考2．根据函数，的图象，你能想象，的图象吗？
提示 根据诱导公式一，把的图象不断向左、向右平移（每次移动 个单位长度），得，的图象.
［知识梳理］
函数
图象
曲线 正弦曲线：正弦函数的图象 余弦曲线：余弦函数的图象
图象画法 五点法 五点法
关键五点 ①_ _ _ _ _ _ _ _ ,, ②_ _ _ _ _ _ _ _ ,, ③_ _ _ _ _ _ _ _ ,④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , , ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,
【答案】； ； ； ,； ,
点拨 将,的图象向左平移 个单位长度得到,的图象，因此,与,的图象形状相同，只是在同一平面直角坐标系中的位置不同.
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1） 正弦函数的图象关于轴对称．（ ）
（2） 将余弦曲线向右平移个单位长度就得到正弦曲线．（ ）
（3） 直线与函数，的图象有两个交点．（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） √
2．（多选）下列叙述中正确的有（ ）
A. ,的图象关于点成中心对称
B. ，的图象关于直线 成轴对称
C. ,的图象在 时到达最高点
D. 正弦、余弦函数的图象不超过直线和所夹的范围
【答案】ABD
【解析】选.由函数 和 的图象（图略），易知,,均正确.
3．已知函数的部分图象如图所示，完成下列各题.
（1） 点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1）
（2） ；
【解析】
3．根据题图特征，易知， .
.
解决正弦、余弦函数图象问题的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，要知道两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
二 “五点法”作函数的图象
［例1］ （对接教材例3）用“五点法”作出下列函数的简图.
（1） ,；
（2） ，.
【答案】
（1） 【解】 列表：
0
0 1 0 0
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来，如图.
（2） 列表：
0
0 2 0
1 3 5 3 1
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
作形如 （或 ）,的图象的三个步骤
［跟踪训练1］．利用“五点法”作出函数的简图.
解：列表：
0
1 0 0 1
3 2 1 2 3
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来，如图.
三 正弦、余弦函数图象的简单应用
角度1 零点（或方程解）的个数问题
［例2］
（1） 函数,的图象在区间 ，的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
（2） 若函数，的图象与仅有两个不同的交点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 分别作出，在区间 上的图象，如图所示，
由图象可知，，的图象在区间 的交点个数为3.故选.
（2）
画出函数的图象如图所示，
又函数 的图象与 仅有两个不同交点，则 的取值范围是.
（1）函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线,求得参数的取值范围.
（2）作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件.
角度2 利用函数图象解三角不等式
［例3］ 在内,不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】画出,的草图如下.
因为,所以,.即在 内,满足 的 的值为 或.可知不等式 在 内的解集是.
解三角不等式时，如果不限定范围，一般先利用图象求出范围内的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集.
［跟踪训练2］．
（1） 函数的零点个数为_ _ _ _ .
（2） 当时，不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 6
（2） ，
【解析】
（1） ，故，画出 和 的图象，两函数交点个数即为 的零点个数，
由图象可得，共6个交点，所以 的零点个数为6.
（2） 作出余弦函数，的部分图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的 的集合为，.
课堂巩固 自测
1．满足在区间上的的值有 （ ）
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
【答案】B
【解析】选.根据 在 上的图象

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