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勾股定理 单元同步真题检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．6，9，12 B．2，3，4 C．5，12，13 D．，，
3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，△DEC可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，且CE∥AB，连接BD，则BD的长为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．5
5．如图，在中，，点，，，为上一动点，连接，，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，中，，于点，于点，，AD与BE交于点F，连结CF．若．则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
7．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边为（　　）
A．5 B． C．5或 D．不能确定
8．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则△正方形E的边长是（　　）
A．18 B．8 C．2 D．3
9． 已知M，N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB=1，以点A 为圆心，AN长为半径画弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC，BC，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
10．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，.下列结论中正确的是（　　）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是等边三角形，，是靠近点的三等分点，是直线上一动点，以线段为边，在其右边构造等腰直角三角形，，连接．当点运动时，则最小值为　 　．
12．若直角三角形的两边长分别为6和8，则斜边上的高长为　 　．
13．小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是　 　．
14．如图在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为　 　．
15．如图，分别以的三边为边长在直线的同侧作等边、等边、等边．若，，，四边形的面积是　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是　 　.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示，甲、乙两轮船于上午点时同时从码头分别向北偏东和北偏西的方向出发，甲轮船的速度为海里时，乙轮船的速度为海里时，则上午时两轮船相距多少海里？
18．如图1，△ACB为等腰直角三角形，△EDF为非等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且AB=EF.
（1）如图2，将两个直角三角形按如图2将斜边重叠摆放.当AB=EF=6，DB= 时.
①DA=　 　；
②求DC的长.　 　
（2）若将题中两个直角三角形的斜边重叠摆放，那么线段CD、AD、BD之间存在怎样的数量关系？请直接写出答案.
19．如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若点D是的中点，求的长．
20．已知在中，是CD的中点，是AD延长线上的一点，连结BC，AP.
（1）如图1，若求BC的长.
（2）过点D作，交AP的延长线于点，如图2所示.若AC，求证：.
（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.
21．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）边AC，AB，BC的长；
（2）点C到AB边的距离；
（3）求△ABC的面积.
22．如图，四边形 为某街心公园的平面图，经测量 米， 米，且 .
（1）求 的度数；
（2）若 为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点 处安装一个监控装置来监控道路 的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？
23．已知：如图，在中，于点为上一点，且．
（1）求证：；
（2）已知，求的长．
24．如图1，在中，，．
（1）求的面积．
（2）若P是边上的一点（不与点A，B重合），过点P作于点D，于点E，得到图2，移动点P的位置，的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．
25．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE.请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 .
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　 　.
（3）【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【初步运用】
如图2，
AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF.若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长.
（4）【灵活运用】
如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论.
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勾股定理 单元同步真题检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：，，，
，
由旋转所得，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求出长，然后根据旋转得到，再利用线段的和差解题即可．
2．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．6，9，12 B．2，3，4 C．5，12，13 D．，，
【答案】C
3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题可得：
，
，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】观察图形，用割补法求得的面积，根据网格图的特征用勾股定理求出的长，再用等面积法可得关于AD的方程，解方程即可求解．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，△DEC可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，且CE∥AB，连接BD，则BD的长为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：延长DC交AB于F，如图，
∵△DEC可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，
∴CD＝CA，∠DCE＝∠ACB＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠CFA＝∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△ACF中，∵∠CAF＝30°，
∴CF＝AC＝，
∴BF＝，
在Rt△BDF中，DF＝DC+CF＝2+＝3，
∴BD＝．
故答案为：B．
【分析】 延长DC交AB于F，利用旋转的性质可证得CD＝CA，∠DCE＝∠ACB＝90°，利用平行线的性质可证得∠CFA=∠DCE=90°，在Rt△ACB中，利用含30°角直角三角形的性质可求出AC的长；在Rt△ACF中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CF的长，利用勾股定理求出BF的长，即可求出DF的长；然后在Rt△BDF中，利用勾股定理求出BD的长.
5．如图，在中，，点，，，为上一动点，连接，，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
6．如图，中，，于点，于点，，AD与BE交于点F，连结CF．若．则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
7．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边为（　　）
A．5 B． C．5或 D．不能确定
【答案】C
8．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则△正方形E的边长是（　　）
A．18 B．8 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：由勾股定理得，正方形E的面积＝正方形A的面积＋正方形B的面积+正方形C的面积＋正方形D的面积＝22+32+12+22＝18，
∴正方形E的边长=3 .
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理分别求出正方形A，B，C，D的面积，进而即可求解.
9． 已知M，N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB=1，以点A 为圆心，AN长为半径画弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC，BC，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意画图如下，
∵AM=MN=2，
∴AC=AN=AN+MN=4，
∵NB=1，
∴BC=BM=MN+NB=3，
∴AB=AM+MN+NB=2+2+1=5，
∵AC2+BC2=42+32=25，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故答案为：B.
【分析】首先根据AM=MN=2，NB=1，即可求得AN，BM，再由作图可知：AC=AN，BC=BM，最后由勾股定理的逆定理即可判定.
10．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，.下列结论中正确的是（　　）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意知，，，
为等边三角形，，②正确，
又 ，，
，
①正确，，
又，
在中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以 为直角三角形
= ，③错误.
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示：
同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，
∴，故④正确；
故答案为：B.
【分析】易得AP=AP'，∠PAP'=60°，故△APP'是等边三角形，得PP'=PA=3，据此可判断②；易得∠BAP=∠CAP'=60°，用SAS证△ABP≌△AP'C，根据旋转的性质可判断①；由全等三角形性质得P'C=PB=4，利用勾股定理的逆定理判断出△PP'C是直角三角形，根据结合三角形面积计算公式计算可判断③；将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，进而根据结合三角形面积计算公式进行计算可判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是等边三角形，，是靠近点的三等分点，是直线上一动点，以线段为边，在其右边构造等腰直角三角形，，连接．当点运动时，则最小值为　 　．
【答案】
12．若直角三角形的两边长分别为6和8，则斜边上的高长为　 　．
【答案】或
13．小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是　 　．
【答案】或
14．如图在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为　 　．
【答案】或
15．如图，分别以的三边为边长在直线的同侧作等边、等边、等边．若，，，四边形的面积是　 　．
【答案】6
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴
根据题意，DE垂直平分AB，
∴AD=BD
∴D是AB的中点，
∴
故答案为：.
【分析】利用勾股定理可得AB的值，根据题意可得DE垂直平分AB，则AD=BD，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AB，据此计算.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示，甲、乙两轮船于上午点时同时从码头分别向北偏东和北偏西的方向出发，甲轮船的速度为海里时，乙轮船的速度为海里时，则上午时两轮船相距多少海里？
【答案】海里
18．如图1，△ACB为等腰直角三角形，△EDF为非等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且AB=EF.
（1）如图2，将两个直角三角形按如图2将斜边重叠摆放.当AB=EF=6，DB= 时.
①DA=　 　；
②求DC的长.　 　
（2）若将题中两个直角三角形的斜边重叠摆放，那么线段CD、AD、BD之间存在怎样的数量关系？请直接写出答案.
【答案】（1）；解：②在AD上截取AE=BD，连接CE，如图 ∵∠ACB=∠ADB=90° ∴∠CAE+∠CFA=∠DBA+∠DFB ∵∠CFA=∠DFB ∴∠CAE=∠DBC 在△ACE和△BCD中 ∴△ACE≌△BCD（SAS） ∴∠ACE=∠BCD，CE=CD ∵∠ACE+∠ECB=90° ∴∠ECD=∠ECB+∠BCD=∠ACE+∠ECB=90° 在Rt△CDE中，由勾股定理，得 DE= ∴CD （AD-AE）=
（2）解：AD=BD+ CD，
理由：在AD上截取AE=BD，如图，连接CE，
由（1）题②中可知DE= CD，
∴AD=AE+DE=BD+ CD，
即AD=BD+ CD.
【解析】【解答】解：（1）①在Rt△ABD中，∠ADB=90°，由勾股定理，得AD=
故答案为：
【分析】（1）①在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD的长；②在AD上截取AE=BD，连接CE，结合已知条件易证△ACE≌△BCD，利用全等三角形的性质，可知∠ACE=∠BCD，CE=CD，再证明∠ECD=90° ，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出DE=CD，即可求出CD的长。
（2）在AD上截取AE=BD，如图，连接CE，由②中可知DE= CD，再根据AD=AE+DE，就可证得CD，AD，BD的关系。
19．如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若点D是的中点，求的长．
【答案】（1）证明：，
；
（2）解：点是的中点
．
【解析】【分析】（1）结合题意根据勾股定理即可求解；
（2）先根据题意求出CD，进而根据勾股定理即可求解。
20．已知在中，是CD的中点，是AD延长线上的一点，连结BC，AP.
（1）如图1，若求BC的长.
（2）过点D作，交AP的延长线于点，如图2所示.若AC，求证：.
（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：
是等边三角形，
∵ P是CD的中点，
在 中，
（2）证明： 连接BE，
在△CPA和△DPE中
，
∴△CPA≌△DPE(AAS)，
∵BD=AC，
∴BD=DE，
又∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠CAD=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD=BE， ∠EBD=60°，
∵BD=AC，
∴AC=BE，
在△CAB和△EBA中
，
∴△CAB≌△EBA(SAS)，
∴AE=BC，
∴BC=2AP，

（3）存在这样的m，
理由如下： 作DE∥AC交AP延长线于E， 连接BE，
由 (2) 同理可得DE=AC，
∠EDB=∠CAD =45°， AE=2AP，
当 时，
作BF⊥DE于F，
∵∠EDB =45°，
∴DE=DF，
∴点E， F重合，
∴∠BED =90°，
∴∠EBD=∠EDB=45°，
∴BE=DE=AC，
同 (2) 可证： △CAB≌△EBA(SAS)，
∴BC=AE=2AP，
∴存在 使得BC =2AP，
【解析】【分析】(1)证 是等边三角形，P为CD中点，通过等边三角形三线合一，得到. 解 三角形即可；
(2)连接BE，根据中点和平行，可证得 得出再证明 即可得出结论；
(3)作DE∥AC交AP延长线于E， 连接BE，由(2) 总结的解题方法延伸到图3中，类比解决问题.
21．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）边AC，AB，BC的长；
（2）点C到AB边的距离；
（3）求△ABC的面积.
【答案】（1）解：AC= = ，
AB= = ，
BC= = ；
（2）解：S△ABC=3×3﹣ ×3×1﹣ ×2×1﹣ ×2×3=3.5，
设点C到AB边的距离为h，则 ×h×AB=3.5，
解得：h= .
即点C到AB的距离是 ；
（3）解：由（2）可知△ABC的面积=3.5.
【解析】【分析】(1) 根据勾股定理可求出AC，AB，BC的长；（3）利用正方形的面积减去三角形三个顶点上三角形的面积即可；(2)先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出点C到AB的距离.
22．如图，四边形 为某街心公园的平面图，经测量 米， 米，且 .
（1）求 的度数；
（2）若 为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点 处安装一个监控装置来监控道路 的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？
【答案】（1）解： ∵ ， ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴ ，∠CAB=45°，
∵ ，
在△ACD中，有
，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴ ；
（2）解： 过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图，
由轴对称的性质，得DF=DA=100，AE=EF，
由（1）知，∠BAD=135°，
∴∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE，
在Rt△ADE中，有 ，
解得： ，
∴ ；
∴被监控到的道路长度为 米.
【解析】【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，则∠CAD=90°，即可得到答案；
（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，由轴对称的性质，得到DF=DA=100，则只要求出AF的长度，即可得到答案.
23．已知：如图，在中，于点为上一点，且．
（1）求证：；
（2）已知，求的长．
【答案】（1）证明：∵于点，
∴，
在与中，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义即可得到，进而根据三角形全等的判定（HL）即可求解；
（2）先根据三角形全等的性质即可得到，进而根据勾股定理即可求出BD，再结合题意即可求解。
24．如图1，在中，，．
（1）求的面积．
（2）若P是边上的一点（不与点A，B重合），过点P作于点D，于点E，得到图2，移动点P的位置，的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，过点C作，垂足为D，
，
，
在中，，，
，
，
∵，
∴是等腰三角形，
，
的面积为．
（2）解：不会变化，理由如下：
连接，
，
，
，
，
的值不会变．
【解析】【分析】（1）过点C作，垂足为D，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD=BC=2，由勾股定理求BD=2，根据等腰三角形的性质可得AB=2BD=4，再利用三角形的面积公式计算即可；
（2）不会变化，理由：根据 = 4，可求出PD+PE=2，即可判断.
25．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE.请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 .
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　 　.
（3）【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【初步运用】
如图2，
AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF.若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长.
（4）【灵活运用】
如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）B
（2）2＜AD＜10
（3）【初步运用】延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AE＝EF.EF＝3，
∴AC＝5，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即BF＝5；
（4）证明：如图3，延长ED到点G，使DG＝ED，连结GF，GC，
∵ED⊥DF，
∴EF＝GF，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，
∴Rt△CFG中，CF2+GC2＝GF2，
∴BE2+CF2＝EF2.
【解析】【解答】解：（1）在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：B；
（ 2 ）解：∵△ADC≌△EDB，
∴EB=AC=8，
在△ABE中，
AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴2＜AD＜10，
故答案为：2＜AD＜10；
【分析】（1）利用SAS可以判断出 △ADC≌△EDB ；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出EB=AC=8，在△ABE中，根据任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即可得出AD的取值范围；
（3） 延长AD到M，使DM＝DA，连接BM， 首先利用SAS判断出 △ADC≌△MDB， 根据全等三角形的性质得出 BM＝AC，∠CAD＝∠M， 根据等边对等角得出 ∠CAD＝∠AFE， ，根据对顶角相等得出 ∠AFE＝∠BFD， 故 ∠BFD＝∠CAD＝∠M， 再根据等角对等边得出 BF＝BM＝AC ；
（4） 线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2 ，理由如下： 如图3，延长ED到点G，使DG＝ED，连结GF，GC， 根据题意DF是线段EG的中垂线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 EF＝GF， 然后利用SAS判断出 △BDE≌△CDG ，根据全等三角形的对应边相等得出 BE＝CG， ∠B＝∠GCD， 根据直角三角形的两锐角互余及等量代换即可得出 ∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°， Rt△CFG中，根据勾股定理得CF2+GC2＝GF2， 所以 BE2+CF2＝EF2.
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