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平面直角坐标系 单元能力提升卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．点关于y轴对称点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知点P（a+1，2a-3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线 上，则m的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
5．小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标是（　　）
A．(5，30) B．(8，10) C．(9，10) D．( 10，10)
6．在平面直角坐标系中，若点P（m﹣1，m+2）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＞1 C．m＞﹣2 D．﹣2＜m＜1
7．将点 向左平移2个单位，再关于 轴对称得到点B，点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，若在第四象限，则的值为（　　）
A．9 B． C．1 D．
9．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（，1），第2次接着运动到点（，0），第3次接着运动到点（，2），…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2022，0） B．（，0）
C．（，1） D．（，2）
10．已知坐标平面内一点A(2，1)，O为原点，B是x轴上一个动点，如果以点B，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点B的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，测第70次旋转结束时，点D的坐标为　 　．
12．若点与点关于坐标原点对称，则的值为　 　．
13．在平面直角坐标系中，点轴，当线段最短时，则此时的面积为　 　．
14．如果将点A（1，3）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后，得到点B ，那么点B的坐标是　 　．
15．已知一平面直角坐标系内有点，点，点，若在该坐标系内存在一点D，使轴，且，点D的坐标为　 　．
16．若点与点关于原点对称，则的值为　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为
（1）若 经过平移后得到 ，已知点 的坐标为 ，直接写出顶点 的坐标
（2）求 的面积
18．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．
（1）填空： ， ；
（2）若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积；
（3）在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标．
19．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，在方格纸中的位置如图所示，已知点，．
（1）请在方格纸中建立平面直角坐标系，画出轴，轴的位置，并写出点的坐标；
（2）请在图中作出关于y轴对称的图形；
（3）写出，，的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，5），B（1，0），C（3，1），连接BC.
（1）在图中画出点A关于y轴的对称点 ，连接 ，并直接写出点 的坐标；
（2）在（1）的基础上，试判断△ 的形状，并说明理由.
21．已知点P（2x﹣6，3x＋1），求下列情形下点P的坐标.
（1）点P在y轴上；
（2）点P到x轴、y轴的距离相等，且点P在第二象限；
（3）点P在过点A（2，﹣4）且与y轴平行的直线上.
22． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，0）．
（1）如图1所示，平移线段AB到线段DC，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（-2，4），则点D的坐标为　 　；、
（2）平移线段AB到线段DC，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示，若△BCD的面积为7，求点C、D的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使△PBD与△BCD的面积之比为12∶7？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接BO，设点C的纵坐标为m.
（1）求点B的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求线段BO长度的最小值.
24．已知在平面直角坐标系中有 ， ， 三点．请回答下列问题：
（1）在坐标系内描出点A，B，C的位置．
（2）D点与C关于 轴对称，点D的坐标是　 　，E点与C关于 轴对称，点E的坐标是　 　．
25．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以5个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．
（1）求线段的长．
（2）连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
（3）已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为（如图2），在整个运动过程中，若点恰好落在内部（不含边界），请直接写出的取值范围．
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平面直角坐标系 单元能力提升卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．点关于y轴对称点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
2．在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】【解答】解：∵x=-4<0，y=5>0，
∴点A(-4，5）在第二象限，
故答案为：B.
【分析】平面直角坐标系内各个象限内的点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-），据此分别判断即可.
3．已知点P（a+1，2a-3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：点P（a＋1，2a 3）关于x轴对称的点为（a＋1， 2a＋3）在第二象限，
故 ，
解得：a＜ 1．
故答案为：C
【分析】本题考查关于x轴对称点的性质，解一元一次不等式组.根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可求出点P的坐标，再根据第二象限点的坐标特点可列出不等式组
，解不等式组可求出a的取值范围．
4．如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线 上，则m的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵点A关于x轴对称点B的坐标为（3，-m），
∴-m=-3+1=-2，
∴m=2.
故答案为：C.
【分析】根据关于x轴对称点坐标的特点，先求出B点坐标，由于B点在直线上，再把B点坐标代入函数式求出m即可.
5．小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标是（　　）
A．(5，30) B．(8，10) C．(9，10) D．( 10，10)
【答案】C
【解析】【解答】如图，过点C作CD⊥y轴于D，
则CD=50÷2-16=9，
OA=OD-AD=40-30= 10，
∴P(9，10)．
故答案为：C．
【分析】先求出CD=9，OA=10，再求点P的坐标即可。
6．在平面直角坐标系中，若点P（m﹣1，m+2）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＞1 C．m＞﹣2 D．﹣2＜m＜1
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，得： ，
解得 ，
故答案为：D．
【分析】根据平面直角坐标系中第二象限的坐标，横坐标<0，纵坐标>0，可得出m的取值范围。
7．将点 向左平移2个单位，再关于 轴对称得到点B，点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】点B的横坐标为1 2= 1，再关于 轴对称，
所以点B的坐标是(-1，-3)，
故答案为：A.
【分析】让点A的横坐标减2，再关于 轴对称，即可得到B点的坐标．
8．已知，若在第四象限，则的值为（　　）
A．9 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴m=4或-4，n=5或-5，
∵在第四象限 ，
∴m＞0，n＜0，
∴m=4，n=-5，
∴m+n=-1；
故答案为：D.
【分析】根据平方根及绝对值的性质可得m=4或-4，n=5或-5，再利用第四象限内点的符号为正、负，可确定m=4，n=-5，然后代入计算即可.
9．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（，1），第2次接着运动到点（，0），第3次接着运动到点（，2），…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2022，0） B．（，0）
C．（，1） D．（，2）
【答案】B
10．已知坐标平面内一点A(2，1)，O为原点，B是x轴上一个动点，如果以点B，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点B的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
①OA为等腰三角形底边，作OA的中垂线，交x轴于B2，即符合条件的动点B，有一个；②OA为等腰三角形一条腰，以O为圆心，以OA为半径画圆，交x轴于B1、B3，以A为圆心，以OA为半径交x轴于B4，即符合条件的动点B有三个；
综上所述，符合条件的动点B有四个，
故答案为：C．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，测第70次旋转结束时，点D的坐标为　 　．
【答案】(3，﹣10)
12．若点与点关于坐标原点对称，则的值为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：由题意可知，a-1=-1，解得a=2，
故答案为：2.
【分析】本题主要考察原点对称的点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标规律是： 若两点关于原点对称，则横、纵坐标都互为相反数 ，在本题中，利用该规律建立等式求解a的值.
13．在平面直角坐标系中，点轴，当线段最短时，则此时的面积为　 　．
【答案】6
14．如果将点A（1，3）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后，得到点B ，那么点B的坐标是　 　．
【答案】（3，0）
【解析】【解答】由题意得点B坐标为（3,0）.
故填（3,0）.
【分析】向右平移得到横坐标为1+2=3，向下平移得到纵坐标为3-3=0，即可得到点B的坐标.
15．已知一平面直角坐标系内有点，点，点，若在该坐标系内存在一点D，使轴，且，点D的坐标为　 　．
【答案】或
16．若点与点关于原点对称，则的值为　 　．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为
（1）若 经过平移后得到 ，已知点 的坐标为 ，直接写出顶点 的坐标
（2）求 的面积
【答案】（1）
（2）解：如图所示，
【解析】【解答】解：（1）由 到 的平移方式为：先向右平移5个单位，再向下平移4个单位
∴点 经过上述平移方式后，得到
点 经过上述平移方式后，得到 ；
【分析】根据点的平移规律和三角形的面积公式进行作答即可。
18．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．
（1）填空： ， ；
（2）若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积；
（3）在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标．
【答案】（1），3
（2）解：∵，∴，，
∴，
∵，且M在第三象限，
∴，
∴的面积；
（3）解：当时，则，，
∵的面积的面积的2倍，
∵的面积的面积的面积，
解得：，
∵，
∴，
当点P在点C的下方时，，即；
当点P在点C的上方时，，即；
综上所述，点P的坐标为或．
【解析】【解答】解：（1）∵a、b满足，
∴，且，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据偶次根式和偶次方的非负形，得到，且，求得a和b的值，即可得到答案；
（2）根据题意，利用三角形面积公式，结合的面积，即可求解；
（3）当时，得到，且，根据的面积是的面积的2倍，列出方程，求得的长，得出，分点P在点C的下方和点P在点C的上方，两种情况讨论，进而求得点P的坐标，得到答案.
19．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，在方格纸中的位置如图所示，已知点，．
（1）请在方格纸中建立平面直角坐标系，画出轴，轴的位置，并写出点的坐标；
（2）请在图中作出关于y轴对称的图形；
（3）写出，，的坐标．
【答案】（1）解：如图所示坐标系即为所求，点C的坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由题意得，，．
【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标直接建立平面直角坐标系即可；
（2）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）根据平面直角坐标系直接写出，，的坐标即可。
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，5），B（1，0），C（3，1），连接BC.
（1）在图中画出点A关于y轴的对称点 ，连接 ，并直接写出点 的坐标；
（2）在（1）的基础上，试判断△ 的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：如图，由点A（﹣1，5）易得 （1，5），
连接 ；
（2）解：△ 是直角三角形，理由如下：
由（1）易得 ，
， ，
∵ ，
∴△ 是直角三角形.
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点y值不变，x值互为相反数得出点A'的坐标，先画出点A关于y轴的对称点 ，连接 ；
（2）由图可以判断△ 是直角三角形，根据点的坐标计算线段的长，再根据勾股定理逆定理计算验证即可.
21．已知点P（2x﹣6，3x＋1），求下列情形下点P的坐标.
（1）点P在y轴上；
（2）点P到x轴、y轴的距离相等，且点P在第二象限；
（3）点P在过点A（2，﹣4）且与y轴平行的直线上.
【答案】（1）解：∵点P（2x﹣6，3x＋1），且点P在y轴上，
∴2x﹣6＝0，
∴x＝3，
∴3x＋1＝10，
∴点P的坐标为（0，10）；
（2）解：∵点P（2x﹣6，3x＋1），点P到x轴、y轴的距离相等，且点P在第二象限，
∴2x﹣6＝﹣（3x＋1），
∴2x﹣6＋3x＋1＝0，
∴x＝1，
∴2x﹣6＝﹣4，3x＋1＝4，
∴点P的坐标为（﹣4，4）；
（3）解：∵点P（2x﹣6，3x＋1）在过点A（2，﹣4）且与y轴平行的直线上，
∴2x﹣6＝2，
∴x＝4，
∴3x＋1＝13，
∴点P的坐标为（2，13）.
【解析】【分析】（1）根据y轴上的点的坐标特征“横坐标为0”可得关于x的方程，解方程可求解；
（2）根据 点P到x轴、y轴的距离相等且点P在第二象限可知点P的横纵坐标互为相反数，由互为相反数的两个数的和为0可得关于x的方程，解方程可求解；
（3）由题意可知点P与点A的横坐标相等，于是可得关于x的方程，解方程可求解.
22． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，0）．
（1）如图1所示，平移线段AB到线段DC，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（-2，4），则点D的坐标为　 　；、
（2）平移线段AB到线段DC，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示，若△BCD的面积为7，求点C、D的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使△PBD与△BCD的面积之比为12∶7？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：点在轴上，点在第二象限，
线段向左平移3个单位，再向上平移个单位，符合题意，
，，
连接，
，
，
，
（3）解：由（2）得
∵。 ，
∴
①当P在x轴上方时，如图1
OP=6
∴P(0，6)
②当P在x轴下方时，如图2
∴P(0，
存在点，其坐标为(0，6)或．
【解析】【解答】解：（1）∵点B平移后的对应点为点C
∴设3+a=-2，0+b=4，可得a=-5，b=4；
∴点A平移后的对应点D的坐标为（1-5，-2+4）即（-4，2）
故答案为：（-4，2）.
【分析】（1）根据平移的性质确定平移的单位和方向即可解题；
（2）根据平移的性质，设出平移单位，根据S△BCD=7建立方程求解即可；
（3）设点P的坐标，表示出PC，根据已知的面积之比例方程即可求解.
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接BO，设点C的纵坐标为m.
（1）求点B的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求线段BO长度的最小值.
【答案】（1）解：过点B作BH⊥y轴，垂足为点H，
∴∠BHC＝90°，
∴∠HCB+∠B＝90°，
∵线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，
∴∠BAC＝90°，CB＝CA，
∴∠HCB+∠ACO＝90°，
∴∠B＝∠ACO，
在△AOC和△CHB中，
∴△AOC≌△CHB（AAS），
∴HC＝OA，HB＝OC，
∵点C（0，m），点A（1，0），
∴点B的坐标为（m，m+1）
（2）解：∵点B的坐标为（m，m+1）；
B的运动轨迹是直线y＝x+1，
∵直线y＝x+1交x轴于E（﹣1，0），交y轴于F（0，1），
∴OE＝OF＝1，EF＝ ，
过点O作OT⊥EF于T.则OT＝ EF＝ ，
根据垂线段最短可知，当点B与点T重合时，OB的值最小，最小值为 .
【解析】【分析】（1）过点B作BH⊥y轴，垂足为点H，根据同角的余角相等得∠B=∠ACO，结合题意用角角边证明△AOC≌△CHB，由全等三角形的对应边相等可得HC＝OA，HB＝OC，结合点C、A的坐标即可求解；
（2））由题意可得点B的运动轨迹为直线y＝x＋1，然后根据垂线段最短即可求解．
24．已知在平面直角坐标系中有 ， ， 三点．请回答下列问题：
（1）在坐标系内描出点A，B，C的位置．
（2）D点与C关于 轴对称，点D的坐标是　 　，E点与C关于 轴对称，点E的坐标是　 　．
【答案】（1）解：A、B、C三点在坐标系中如图所示：
（2）；
【解析】【分析】(1)根据点的坐标特点，直接描出点即可；（2）关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此即可求解。
25．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以5个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．
（1）求线段的长．
（2）连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
（3）已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为（如图2），在整个运动过程中，若点恰好落在内部（不含边界），请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标是，
∴，
∴；
所以，线段的长为10．
（2）解：为等腰三角形，分三种情况：当时，过点作轴于点，轴于点，设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴＝5，
∵在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当时，过点轴于点，轴于点，过点于点，设，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或或.
（3）解：如图，当上时，过点轴于点，过点作，过点作轴于点，
∵点为的中点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点关于直线的对称点记为，
∴，
∴，
即，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍去）或，
当点运动到点重合，此时，解得，
∴当时，点恰好落在内部（不含边界）．
【解析】【分析】（1）先根据A、B两点的坐标，求得OA，OB，再根据勾股定理求解；
（2）分三种情况，分别讨论，分别求出M点的坐标；
（3）利用三角形面积相等求出，再利用t表示出BG，OG，PN，根据轴对称的性质得出，从而可用t表示出OP，利用勾股定理，列出关于t的方程求出t即可求解．
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