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专题15 导数的概念及运算-高考数学一轮复习讲义（新高考专用）
一、单选题
1．（2023·全国甲卷）曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
2．当时，函数取得最大值，则（　　）
A． B． C． D．1
3．（2021·新高考Ⅰ）若过点（a，b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（　　）
A．eb二、多选题
4．已知函数的图像关于点中心对称，则（　　）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
5．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 则（　　）
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
三、填空题
6．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　 　.
7．曲线过坐标原点的两条切线的方程为　 　，　 　．
8．（2022·全国乙卷）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是　 　．
9．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是　 　．
10．（2022·疏勒模拟）曲线在点处的切线方程为　 　．
四、单选题
11．已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024高二下·南海期末）函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
五、多选题
13．（2024高二下·东阳月考）已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．点为图象的一个对称中心
C．若在上有两个实数根，则
D．若的导函数为，则函数的最大值为
14．已知函数有3个不同的零点，且，则（　　）
A．
B．的解集为
C．是曲线的切线
D．点是曲线的对称中心
六、填空题
15．已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆分别切于、两点，则点的纵坐标为　 　.
16．（2024·徐汇模拟）已知函数，则　 　．
七、单选题
17．（　　）
A．72 B．12 C．8 D．4
18．与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为（　　）
A． B． C． D．
八、多选题
19．已知函数的图象关于对称，则（　　）
A．函数为奇函数
B．在区间有两个极值点
C．是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
20．直线是曲线的切线，则实数的值可以是（　　）
A．3π B．π C． D．
九、填空题
21．在平面直角坐标系中，已知曲线的一条切线与轴、轴分别交于，两点，则的面积的最大值为　 　．
22．已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为　 　．
十、单选题
23．斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
24．若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
十一、多选题
25．已知函数，则（　　）
A．的值域为
B．直线是曲线的一条切线
C．图象的对称中心为
D．方程有三个实数根
26．已知函数，，则（　　）
A．恒成立的充要条件是
B．当时，两个函数图象有两条公切线
C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则
十二、填空题
27．已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则　 　，切线方程为　 　.
28．曲线在处的切线与直线平行，则　 　.
十三、单选题
29．利用导数的定义计算值为（　　）
A．1 B． C．0 D．2
30．已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（　　）
A． B． C．1 D．2
31．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
32．函数在处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
十四、多选题
33．已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
34．（2023高三上·金华模拟）已知函数，则（　　）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
35．（2021高二下·武汉期中）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（　　）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.
十五、填空题
36．过原点作曲线的切线l，并与曲线交于，两点，若，则　 　．
37．已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则　 　．
38．已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为　 　.
十六、解答题
39．（2024高三下·湖北模拟） 已知函数，其中为常数.
（1）过原点作图象的切线，求直线的方程；
（2）若，使成立，求的最小值.
40．设函数，
（1）求、的值；
（2）求在上的最值．
十七、单选题
41．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
十八、多选题
42．已知定义域为的函数满足，则（　　）
A．
B．
C．是奇函数
D．存在函数以及，使得的值为
十九、填空题
43．若两个函数和存在过点的公切线，设切点坐标分别为，则　 　.
二十、解答题
44．已知函数．
（1）求的极值；
（2）证明：．
二十一、单选题
45．已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二十二、多选题
46．已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的有（　　）
A． B．
C． D．
二十三、填空题
47．（2024·南昌模拟）如图，有一张较大的矩形纸片，，分别为，的中点，点在上，将矩形按图示方式折叠，使直线被折起的部分经过点，记上与点重合的点为，折痕为过点再折一条与平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线曲线在点处的切线与交于点，则的面积的最小值为　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】，
，
即此时该切线方程的斜率为，
曲线在点处的切线方程为，即
故选：C
【分析】利用导数求出在的值，即为点处切线的斜率，由直线点斜式方程得出答案.
2．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数定义域为，依题可知，，，
而，所以，即，
所以，因此函数在上递增，在上递减，
当时取最大值，满足题意，即有．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出a，b的值，则得出函数的解析式，从而得出导函数的解析式，再由代入法得出导函数的值.
3．【答案】D
【知识点】极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意易知，当x趋近于-∞时，切线为y=0，当x趋近于+∞时，切线为x=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.
故答案为：D
【分析】利用极限，结合图象求解即可.
4．【答案】A,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由题意得：，所以，，
即，
又因为，所以，当时，，故．
对于A，当时，，
由正弦函数图象知在上是单调递减，则A正确；
对于B，当时，，
由正弦函数图象知只有1个极值点，
由，解得，即为函数的唯一极值点，则B错误；
对于C，当时，，，直线不是对称轴，则C错误；
对于D，由得：，
解得或，
从而得：或，
所以，函数在点处的切线斜率为，
则切线方程为：，即，则D正确.
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件和正弦型函数的对称性，再结合的取值范围，从而得出的值，进而得出函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，从而判断出选项A；利用x的取值范围和不等式的基本性质，再由正弦函数图象知只有1个极值点，从而得出函数在区间的极值点个数，从而判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，从而得出函数f(x)的对称轴，则判断出选项C；利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出函数的切线方程，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
5．【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，
当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；
又所以f(x)只有一个零点，故B错误；
由f(x)+ f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y= f(x)的对称中心，故C正确；
曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.
故选：AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.
6．【答案】a＞0或a＜-4
【知识点】导数的几何意义；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0 ，
可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，
可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 (※)，
又切线有两条， 即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.
故答案为：a<-4或a>0.
【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.
7．【答案】；
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：方法一： 因为，当时，
设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以，切线方程为，即；
当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
故答案为：；.
方法二：当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即；
因为是偶函数，其图象为：
所以，当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
方法三：因为，当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即；
当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
故答案为：；.
【分析】利用三种方法求解.方法一：利用绝对值的定义，将函数化为分段函数，再分和两种情况，当时，设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时，同理可得出切线方程；方法二：根据函数的对称性，数形结合
8．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解： ，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当 时， ，当 时， ，
若 时，当 时， ，则此时 ，与前面矛盾，
故 不符合题意，
若 时，则方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，
则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
综上所述， 的范围为 .
【分析】由 分别是函数 的极小值点和极大值点，可得 时， ， 时， ，再分 和 两种情况讨论，方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，构造函数 ，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：由题意得，则，
所以点A(x1，1-ex1)，点B(x2，ex2-1)，KAM=-ex1，KBN=ex2
所以-ex1·ex2=-1，x1+x2=0， 所以AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，
所以，
同理
所以
故答案为：（0，1）
【分析】根据导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线方程及两点间距离公式求解即可.
10．【答案】5x-y+2=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题，当
时，
，故点在曲线上．
求导得：
，所以
．
故切线方程为5x-y+2=0．
故答案为：5x-y+2=0．
【分析】由导数的几何意义即可求解。
11．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由可得，
要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切，
设切点坐标为，由，可得，
则切线方程为，即，
故需使.
由可得，解得.
故答案为：A.
【分析】利用函数的零点的定义，得出要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切，设切点坐标为，令，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由点斜式得出切线方程，则需使，再由得出的取值范围.
12．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数，
若函数在区间上是减函数，则在恒成立，
即在恒成立，
由对勾函数性质可知在单调递减，
故，所以.
故答案为：C.
【分析】先求出导函数，利用求导的方法判断函数的单调性，则在恒成立，再由对勾函数的单调性，从而得出对勾函数的值域，由不等式恒成立问题求解方法，则得出实数a的取值范围．
13．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由题意可得，故A正确；
因为，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；
令，由得，
根据题意，可转化为直线与曲线，有两个交点，
由数形结合可得，故C正确；
设为的导函数，
则，
其中，当且仅当时，
即当且仅当时等号成立，故D正确，
故答案围：ACD．
【分析】直接由正弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，则判断出函数的对称性，从而判断出选项B；画出函数的图象和直线的图象，再利用方程的根与函数与直线的图象的交点的横坐标的等价关系，则由数形结合结合已知条件得出实数a的取值范围，则判断出选项C；利用函数和其导函数得出函数的解析式，再结合辅助角公式和正弦型函数求最值的方法，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
14．【答案】A,C
【知识点】其他不等式的解法；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于A，因为有3个不同的零点，
所以，不妨设，
易知展开式中的常数项为，故，
又因为，所以，解得，
所以，解得，故A正确；
对于B，因为，
令，即，
利用数轴穿根法，解得或，故B错误；
对于C，易得，
当切线斜率为时，令，解得或，
当时，，
此时切线为，即，故C正确；
对于D，因为，又，
所以，所以点是曲线的对称中心，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件和函数的零点与方程的根的等价关系，再结合二项式定理求常数项的方法，从而得出的值，再由代入法和函数的解析式，从而得出实数a的值，则判断出选项A；利用数轴穿根法得出不等式的解集，从而判断出选项B；利用导数的几何意义得出切线的斜率再由点斜式得出曲线的切线，从而判断出选项C；利用代入法和函数的解析式以及图象的对称性，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
15．【答案】
【知识点】导数的几何意义；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由，则，所以，
设，则，
所以，切线方程为，即，
又因为直线与圆相切，
所以，解得或（舍去），
所以，即点的纵坐标为.
故答案为：.
【分析】设出切点，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线方程，根据直线与圆相切位置关系判断方法，从而由点到直线的距离公式与圆半径的关系，进而得出点P的纵坐标.
16．【答案】
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】因为 ，所以，则，解得，
所以，则.
故答案为：．
【分析】对f（x）求导，再代入x=3，从而求得，进而得到，计算f(1)即可.
17．【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：令，根据导数的概念，则
，
因为，所以.
故答案为：B．
【分析】令，根据导数的定义和函数的求极限的关系，从而得出答案.
18．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：在曲线上任取一点，
对函数求导得，则，
若曲线的法线的纵截距存在，则，
所以，曲线在点处的法线方程为，
即，所以，曲线在点处的法线的纵截距为，
令，令，其中，
则，令，可得，
当时，，此时，函数单调递减，
当时，，此时，函数单调递增，
所以，.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义，从而得出切线的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出曲线在某点处的法线的斜率，再由点斜式得出曲线在点处的法线方程，则得出
曲线在点处的法线的纵截距为，令，令，其中，再利用求导的方法判断出函数的单调性，从而得出函数的最小值.
19．【答案】A,C,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数的图象关于对称，
所以，则，即，
因为，所以，则.
对于A，由得，定义域为R，且，
所以函数为奇函数，所以A正确；
对于B，当时，则，
由正弦函数图象知只有1个极值点，
由，解得，
即为函数的唯一极值点，所以B错误；
对于C，当时，，，
所以是曲线的对称中心，所以C正确；
对于D，由，得，
解得或，
从而得或，
所以，函数在点处的切线斜率为，
此时切线方程为，即，
即直线是曲线的切线，所以D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和正弦型函数的图象的对称性和，从而得出的值，则得出正弦型函数的解析式.由得，定义域为R，再结合奇函数的定义判断出函数为奇函数，则判断出选项A；利用x的取值范围和不等式的基本性质，则由正弦函数图象知只有1个极值点，从而得出函数的唯一极值点，则判断出选项B；利用已知条件和换元法以及正弦函数的图象的对称性，从而判断出正弦型函数的对称中心，则判断出选项C；由导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出曲线的切线，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
20．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，∵直线恒过定点，
，∴，
∴，∴，
∵，∴可取，
由导数的几何意义知，，
则，则，
所以，
∴当时，；当，，故A，B正确，C，D不正确.
故答案为：AB.
【分析】设出切点坐标，再结合直线恒过定点的方法和导数的几何意义，从而得出a与k的关系式，再结合赋值法得出实数a可以的值.
21．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设切点，，求导得，
则切线方程，
由切线与轴、轴分别交于两点，
则，，
得到，
构造函数，，
求导，
令，，
所以，单调递增，，单调递减，
所以.
故答案为：.
【分析】设切点坐标和导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线方程，由切线与轴、轴分别交于两点得出点A，B的坐标，再根据三角形的面积公式，从而构造出函数，，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极大值，进而得出函数的最大值，即得出三角形的面积的最大值.
22．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意设切点，因为 ，
令，得，
由导数几何意义知：，
又因为，所以，
故曲线在处的切线方程为：，
整理得： .
故答案为：.
【分析】设切点坐标，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，则由点斜式得出曲线在处的切线方程.
23．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；直线与圆的位置关系；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】解：依题意得，设直线的方程为，
由直线和圆相切可得，，解得，
当时，和相切，
设切点为，根据导数的几何意义，，
又因为切点同时在直线和曲线上，即，解得，
即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
和仍会保持相切状态，即时，，
综上所述，或.
故答案为：A.
【分析】设出直线方程，再结合直线与圆相切位置关系判断方法和点到直线的距离公式得出b的值，再利用b的值和直线和相切，则设出切点坐标，再根据导数的几何意义和切点同时在直线和曲线上，从而建立方程组，再结合图象平移变换得出实数a的值.
24．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设过点的直线与曲线相切于点，
由，可得，所以切线的斜率，
整理得，
因为切线有2条，所以切点有2个，即方程有2个不等实根，
则，解得或，
所以的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】设过点的直线与曲线相切于点，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，从而得出，再根据切线有2条，则切点有2个，即方程有2个不等实根，则由判别式法得出实数m的取值范围.
25．【答案】B,D
【知识点】函数的值域；利用导数研究曲线上某点切线方程；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于A，当时，，当时等号成立，
当时，，当时等号成立，故A错误；
对于B，令，得，，
所以图象在点处的切线方程是，即，，
所以图象在点处的切线方程是，得，故B正确；
对于C，因为 的对称中心是，所以的对称中心是，
向右平移1个单位得，对称中心是，故C错误；
对于D，由 解得：或，
当时，得出，则，则有1个实根；
当时，得出或，则有2个实根，所以共有3个实根，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而得出函数的值域，则判断出选项A；利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由点斜式得出曲线的切线，从而判断出选项B；利用函数图象的对称性和图象的平移变换，从而判断出选项C；利用解方程的方法和分类讨论的方法，从而得出方程的实数根的个数，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
26．【答案】A,C,D
【知识点】充要条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于A，若恒成立，即恒成立，
而恒成立，
所以，解得，故A正确；
对于B，设切点，，，，，，
则，
将①代入②，可得，
当时，代入方程解得：，
，方程无解，即两个函数图象无公切线，故B错误；
对于C，当时，代入方程得：，
则，故，，
所以函数与的一条公切线为：，故C正确；
对于D，如图所示，不妨设切线与切于，与切于，
设，，，，，，，，，，
故
所以，，
，
同理，则中点即可中点，所以四边形是平行四边形，
则点处的切线方程为，
点处的切线方程为，
得出，即，结合可知， 是方程的根，
由选项C可知：是的两个切点，所以，也是方程的根，
所以，且，故，
则，，
，
，
令，则，
故，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用恒成立得出
恒成立，再由不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围，则判断出选项A；设切点，，，，再利用导数的几何意义和判别式法得出两个函数图象无公切线，从而判断出选项B；利用a的值和解方程的方法和导数的几何意义，由代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出函数与的一条公切线，从而判断出选项C；设切线与切于，与切于，再设出点A，B，C，D的坐标，再结合导数的几何意义和公切线斜率相等的性质、平行四边形的定义，从而判断出四边形是平行四边形，再由点斜式设出点处的切线方程和点处的切线方程，从而得出，即，再结合韦达定理和选项C可知：是的两个切点，所以，也是方程的根，再利用判别式法得出实数a的取值范围，则得出，再根据两点距离公式和韦达定理得出的值，令，再解一元二次方程得出t的值，从而得出a的值，则判断出选项D，进而找出正确的选项．
27．【答案】；
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设公共点为，则，即，
所以，所以，
由，，所以，，
又因为在公共点处有相同的切线，所以，即，
所以，则，，则，则，
所以，切线方程为，即.
故答案为：；.
【分析】设公共点为，再由代入法联立方程组，得出，再由导数的几何意义和两函数在公共点处有相同的切线，从而得出a的值，再由点斜式得出切线方程.
28．【答案】
【知识点】导数的几何意义；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：由题意，函数，可得，
可得，，
因为曲线在处的切线与直线平行，
可得，所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再由两直线平行斜率相等和代入法求切点纵坐标的方法，从而得出a，b的值，进而得出b-a的值.
29．【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】依题意，令函数，求导得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件，令函数，再利用基本初等函数的导数的公式和导数的定义与函数的极限的关系，从而计算出的值.
30．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：由得，
所以直线的斜率，
又因为，所以直线的方程为，
令，得，即在轴上的截距为.
故答案为：B.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出切线方程，再赋值得出直线在y轴上的截距.
31．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，得，
所以，又，
故曲线在点处的切线的方程为，即.
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
32．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，则，
当时，，则，
所以，
所以切点为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，得出函数的解析式，再结合导数的几何意义求出切线的斜率，则由代入法得出切点坐标，从而根据点斜式得出函数在处的切线方程.
33．【答案】A,B,D
【知识点】复合函数的单调性；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：由已知得，
，故A正确；
，故B正确；
，而，所以不成立，故C错误；
，故D正确：
故答案为：ABD.
【分析】利用导数的公式和复合函数的导数运算法则以及代入法，从而判断出选项A和选项C；利用代入法、导数的公式和复合函数的导数运算法则以及诱导公式判断出选项B和选项D，从而找出结论正确的选项.
34．【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，
当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；
B、因为，，所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
C、因为，，所以函数在点处的切线方程为，即，故C正确；
D、由，函数图象如下图所示，
要使方程在区间上有两解，结合图形可得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用导数判断函数的单调性，即可判断AB；结合导数的几何意义即可判断C；画出函数大致图象，结合图象即可判断D.
35．【答案】A,C
【知识点】变化的快慢与变化率；导数的几何意义
【解析】【解答】在
时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A符合题意；
在
时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，但两曲线在此时的切线斜率不相同，因此瞬时变化率不相同，B不符合题意；
在
两个时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，因此在
这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C符合题意；
在
和
两个时间段内，时间差不多，但甲血管中药物浓度差前者小于后者，药物浓度的平均变化率不相同，D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此处切线的斜率，再结合图象逐一判断即可.
36．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，设切线与曲线相切于点，
则，切线过点，代入解得，
易知切线l的方程为，所以，
由，解得，所以，即．
故答案为：.
【分析】设出切点坐标，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式设出切线方程，则由代入法得出切点坐标，从而得出切线方程，再根据已知条件得出的值，进而得出t的值.
37．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，
所以，，
因为在公共点处有相同的切线，
所以即，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和导数的几何意义得出切线的斜率，再由公切线的斜率相等和代入法，从而得出a-b的值.
38．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：，设切点为，
则，解得，所以切点为，
故切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合两直线平行斜率相等的判断方法，从而得出切点坐标，再根据点斜式得出该切线方程.
39．【答案】（1）解：
设切点坐标为，则切线方程为，
因为切线经过原点，所以，解得，
所以切线的斜率为，所以的方程为.
（2）解：，，即成立，
则得在有解，
故有时，.
令，，，
令得；令得，
故在单调递减，单调递增，
所以，
则，故的最小值为.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）设切点，求导，写出切线方程，代入原点，即可求出切线方程；
（2）将已知条件转化为在上有解，只需求在上的最小值，利用导数分析单调性即可.
40．【答案】（1）解：因为，
所以，
取，则，即；
所以，
取，则，即．
故，．
（2）解：由（1）知，，
则，
所以、与，的关系如下表：
0 1 2
　 0 　
单调递增 极大值 单调递减
故，．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则和代入法得出的值，再利用代入法和函数的解析式，从而得出的值.
(2)由（1）得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极值和端点处的函数值，再根据比较法得出函数在上的最值．
41．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：在曲线上任取一点，对函数求导，得，
所以曲线在点处的切线方程为，
由题意可知，点在直线上，可得.
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，且当时，，当时，，
又因为直线与曲线的图象有两个交点，
所以的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出曲线的切线方程，由题意可知，点在直线上，可得，令，利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，再由函数的零点与两函数的交点的横坐标的等价关系，从而得出实数a的取值范围.
42．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由，
取，得，所以A正确．
取，得，解得．
取，得，
所以，所以B错误．
取，得，
所以是奇函数，所以C正确．
当时，在两边同时除以，
得，
令，则，
当时，，
所以，
所以，所以D正确．
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和赋值法得出函数的值，则判断出选项A和选项B；利用已知条件和赋值法以及奇函数的定义，则判断出选项C；当时，在两边同时除以，得，令，则，由绝对值的定义得出当时的函数的解析式，再结合导数的运算法则，从而得出存在函数以及，使得的值为，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
43．【答案】9
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，设切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，
将代入得，即.
，设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
将代入得，即，
又因为，可得，即，
，
所以.
故答案为：9.
【分析】设出切点坐标，利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出切线的方程，则由公切线的定义和斜率相等，从而得出的值.
44．【答案】（1）解：由题意得的定义域为，
则，
当时，，在上单调递增，无极值；
当时，令，则，令，则，
即在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值.
（2）证明：设，
，令，
则，即在上单调递增，
，
故，使得，即，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
故
即，即，则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件和分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，进而得出函数的极值.
（2）设，则得出其导函数，即，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而证出不等式.
45．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：将问题转化为方程有三个不等的实数根．
方法一：分离参数
因为，所以方程
有三个不等的实根等价于方程有两个不等的实根．
令，
则．
令，则，即单调递增．
又因为，所以当时，单调递减，且；
当时，单调递增，
且．
又因为当时，；当时，；当时，，
所以实数k的取值范围是．
故答案为：C．
方法二：分离函数
令，则，所以．
令，则，解得，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，有极小值；
而且，
所以方程有一解．
①当时，过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意；
②当时，过原点O作的切线，
设切点，则，
所以．
又因为，得，
所以，
所以．
故答案为：C．
【分析】将问题转化为方程有三个不等的实数根，再利用三种方法求解.方法一：利用已知条件和代入法，将有三个不等的实根等价于方程有两个不等的实根，令，则得出其导函数，则，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，再由函数求极限的方法得出实数k的取值范围；方法二：令，则，所以．令，利用求导的方法判断函数的单调性得出方程有一解，再由已知条件和分类讨论的方法以及直线的图象、导数求切线方程的方法，从而得出该直线的斜率的取值范围.
46．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由为奇函数，所以，
所以函数的图象关于对称，
由为偶函数，所以，
函数的图象关于对称，所以，故A正确；
由可得，
由可得，
所以函数的图象关于和对称，
所以，故B正确；
由可得：，
由可得：，所以，
即，所以，即，
由可得：，
由可得：，
所以，所以，
即，即，所以，
所以8为函数和的一个周期，，故错误；
因为，则
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和奇函数、偶函数的图象的对称性和偶函数的定义，从而得出，则判断出选项A；利用函数的图象的对称性得出，则判断出选项B；利用已知条件和周期函数的定义，从而得出函数和的一个周期，再由函数的周期得出，则判断出选项C；利用已知条件和函数的值求和，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
47．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：连接PQ，由题PQ与MQ关于对称，，
可知Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上，
如图，以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为轴，与AB垂直的直线为轴建立平面直角坐标系如图所示：
则，直线AB：，可知抛物线方程为：，
即，则，
设，则，
即切点坐标为，切线斜率为，
所以抛物线在Q点处切线方程为，
令，解得，即，
因为，
则，
构建，则，
构建，则对恒成立，
可知在内单调递减，且，
当时，；当时，；
即当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，可得，
所以的面积的最小值为.
故答案为：.
【分析】Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上，建系，可得抛物线方程为：，设，利用导数可得，进而得，构建，利用导数，即可得结果.
1 / 1专题15 导数的概念及运算-高考数学一轮复习讲义（新高考专用）
一、单选题
1．（2023·全国甲卷）曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】，
，
即此时该切线方程的斜率为，
曲线在点处的切线方程为，即
故选：C
【分析】利用导数求出在的值，即为点处切线的斜率，由直线点斜式方程得出答案.
2．当时，函数取得最大值，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数定义域为，依题可知，，，
而，所以，即，
所以，因此函数在上递增，在上递减，
当时取最大值，满足题意，即有．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出a，b的值，则得出函数的解析式，从而得出导函数的解析式，再由代入法得出导函数的值.
3．（2021·新高考Ⅰ）若过点（a，b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（　　）
A．eb【答案】D
【知识点】极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意易知，当x趋近于-∞时，切线为y=0，当x趋近于+∞时，切线为x=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.
故答案为：D
【分析】利用极限，结合图象求解即可.
二、多选题
4．已知函数的图像关于点中心对称，则（　　）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】A,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由题意得：，所以，，
即，
又因为，所以，当时，，故．
对于A，当时，，
由正弦函数图象知在上是单调递减，则A正确；
对于B，当时，，
由正弦函数图象知只有1个极值点，
由，解得，即为函数的唯一极值点，则B错误；
对于C，当时，，，直线不是对称轴，则C错误；
对于D，由得：，
解得或，
从而得：或，
所以，函数在点处的切线斜率为，
则切线方程为：，即，则D正确.
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件和正弦型函数的对称性，再结合的取值范围，从而得出的值，进而得出函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，从而判断出选项A；利用x的取值范围和不等式的基本性质，再由正弦函数图象知只有1个极值点，从而得出函数在区间的极值点个数，从而判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，从而得出函数f(x)的对称轴，则判断出选项C；利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出函数的切线方程，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
5．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 则（　　）
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，
当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；
又所以f(x)只有一个零点，故B错误；
由f(x)+ f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y= f(x)的对称中心，故C正确；
曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.
故选：AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.
三、填空题
6．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　 　.
【答案】a＞0或a＜-4
【知识点】导数的几何意义；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0 ，
可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，
可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 (※)，
又切线有两条， 即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.
故答案为：a<-4或a>0.
【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.
7．曲线过坐标原点的两条切线的方程为　 　，　 　．
【答案】；
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：方法一： 因为，当时，
设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以，切线方程为，即；
当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
故答案为：；.
方法二：当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即；
因为是偶函数，其图象为：
所以，当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
方法三：因为，当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即；
当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
故答案为：；.
【分析】利用三种方法求解.方法一：利用绝对值的定义，将函数化为分段函数，再分和两种情况，当时，设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时，同理可得出切线方程；方法二：根据函数的对称性，数形结合
8．（2022·全国乙卷）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解： ，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当 时， ，当 时， ，
若 时，当 时， ，则此时 ，与前面矛盾，
故 不符合题意，
若 时，则方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，
则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
综上所述， 的范围为 .
【分析】由 分别是函数 的极小值点和极大值点，可得 时， ， 时， ，再分 和 两种情况讨论，方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，构造函数 ，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.
9．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：由题意得，则，
所以点A(x1，1-ex1)，点B(x2，ex2-1)，KAM=-ex1，KBN=ex2
所以-ex1·ex2=-1，x1+x2=0， 所以AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，
所以，
同理
所以
故答案为：（0，1）
【分析】根据导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线方程及两点间距离公式求解即可.
10．（2022·疏勒模拟）曲线在点处的切线方程为　 　．
【答案】5x-y+2=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题，当
时，
，故点在曲线上．
求导得：
，所以
．
故切线方程为5x-y+2=0．
故答案为：5x-y+2=0．
【分析】由导数的几何意义即可求解。
四、单选题
11．已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由可得，
要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切，
设切点坐标为，由，可得，
则切线方程为，即，
故需使.
由可得，解得.
故答案为：A.
【分析】利用函数的零点的定义，得出要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切，设切点坐标为，令，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由点斜式得出切线方程，则需使，再由得出的取值范围.
12．（2024高二下·南海期末）函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数，
若函数在区间上是减函数，则在恒成立，
即在恒成立，
由对勾函数性质可知在单调递减，
故，所以.
故答案为：C.
【分析】先求出导函数，利用求导的方法判断函数的单调性，则在恒成立，再由对勾函数的单调性，从而得出对勾函数的值域，由不等式恒成立问题求解方法，则得出实数a的取值范围．
五、多选题
13．（2024高二下·东阳月考）已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．点为图象的一个对称中心
C．若在上有两个实数根，则
D．若的导函数为，则函数的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由题意可得，故A正确；
因为，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；
令，由得，
根据题意，可转化为直线与曲线，有两个交点，
由数形结合可得，故C正确；
设为的导函数，
则，
其中，当且仅当时，
即当且仅当时等号成立，故D正确，
故答案围：ACD．
【分析】直接由正弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，则判断出函数的对称性，从而判断出选项B；画出函数的图象和直线的图象，再利用方程的根与函数与直线的图象的交点的横坐标的等价关系，则由数形结合结合已知条件得出实数a的取值范围，则判断出选项C；利用函数和其导函数得出函数的解析式，再结合辅助角公式和正弦型函数求最值的方法，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
14．已知函数有3个不同的零点，且，则（　　）
A．
B．的解集为
C．是曲线的切线
D．点是曲线的对称中心
【答案】A,C
【知识点】其他不等式的解法；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于A，因为有3个不同的零点，
所以，不妨设，
易知展开式中的常数项为，故，
又因为，所以，解得，
所以，解得，故A正确；
对于B，因为，
令，即，
利用数轴穿根法，解得或，故B错误；
对于C，易得，
当切线斜率为时，令，解得或，
当时，，
此时切线为，即，故C正确；
对于D，因为，又，
所以，所以点是曲线的对称中心，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件和函数的零点与方程的根的等价关系，再结合二项式定理求常数项的方法，从而得出的值，再由代入法和函数的解析式，从而得出实数a的值，则判断出选项A；利用数轴穿根法得出不等式的解集，从而判断出选项B；利用导数的几何意义得出切线的斜率再由点斜式得出曲线的切线，从而判断出选项C；利用代入法和函数的解析式以及图象的对称性，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
六、填空题
15．已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆分别切于、两点，则点的纵坐标为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由，则，所以，
设，则，
所以，切线方程为，即，
又因为直线与圆相切，
所以，解得或（舍去），
所以，即点的纵坐标为.
故答案为：.
【分析】设出切点，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线方程，根据直线与圆相切位置关系判断方法，从而由点到直线的距离公式与圆半径的关系，进而得出点P的纵坐标.
16．（2024·徐汇模拟）已知函数，则　 　．
【答案】
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】因为 ，所以，则，解得，
所以，则.
故答案为：．
【分析】对f（x）求导，再代入x=3，从而求得，进而得到，计算f(1)即可.
七、单选题
17．（　　）
A．72 B．12 C．8 D．4
【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：令，根据导数的概念，则
，
因为，所以.
故答案为：B．
【分析】令，根据导数的定义和函数的求极限的关系，从而得出答案.
18．与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：在曲线上任取一点，
对函数求导得，则，
若曲线的法线的纵截距存在，则，
所以，曲线在点处的法线方程为，
即，所以，曲线在点处的法线的纵截距为，
令，令，其中，
则，令，可得，
当时，，此时，函数单调递减，
当时，，此时，函数单调递增，
所以，.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义，从而得出切线的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出曲线在某点处的法线的斜率，再由点斜式得出曲线在点处的法线方程，则得出
曲线在点处的法线的纵截距为，令，令，其中，再利用求导的方法判断出函数的单调性，从而得出函数的最小值.
八、多选题
19．已知函数的图象关于对称，则（　　）
A．函数为奇函数
B．在区间有两个极值点
C．是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】A,C,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数的图象关于对称，
所以，则，即，
因为，所以，则.
对于A，由得，定义域为R，且，
所以函数为奇函数，所以A正确；
对于B，当时，则，
由正弦函数图象知只有1个极值点，
由，解得，
即为函数的唯一极值点，所以B错误；
对于C，当时，，，
所以是曲线的对称中心，所以C正确；
对于D，由，得，
解得或，
从而得或，
所以，函数在点处的切线斜率为，
此时切线方程为，即，
即直线是曲线的切线，所以D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和正弦型函数的图象的对称性和，从而得出的值，则得出正弦型函数的解析式.由得，定义域为R，再结合奇函数的定义判断出函数为奇函数，则判断出选项A；利用x的取值范围和不等式的基本性质，则由正弦函数图象知只有1个极值点，从而得出函数的唯一极值点，则判断出选项B；利用已知条件和换元法以及正弦函数的图象的对称性，从而判断出正弦型函数的对称中心，则判断出选项C；由导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出曲线的切线，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
20．直线是曲线的切线，则实数的值可以是（　　）
A．3π B．π C． D．
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，∵直线恒过定点，
，∴，
∴，∴，
∵，∴可取，
由导数的几何意义知，，
则，则，
所以，
∴当时，；当，，故A，B正确，C，D不正确.
故答案为：AB.
【分析】设出切点坐标，再结合直线恒过定点的方法和导数的几何意义，从而得出a与k的关系式，再结合赋值法得出实数a可以的值.
九、填空题
21．在平面直角坐标系中，已知曲线的一条切线与轴、轴分别交于，两点，则的面积的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设切点，，求导得，
则切线方程，
由切线与轴、轴分别交于两点，
则，，
得到，
构造函数，，
求导，
令，，
所以，单调递增，，单调递减，
所以.
故答案为：.
【分析】设切点坐标和导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线方程，由切线与轴、轴分别交于两点得出点A，B的坐标，再根据三角形的面积公式，从而构造出函数，，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极大值，进而得出函数的最大值，即得出三角形的面积的最大值.
22．已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意设切点，因为 ，
令，得，
由导数几何意义知：，
又因为，所以，
故曲线在处的切线方程为：，
整理得： .
故答案为：.
【分析】设切点坐标，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，则由点斜式得出曲线在处的切线方程.
十、单选题
23．斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；直线与圆的位置关系；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】解：依题意得，设直线的方程为，
由直线和圆相切可得，，解得，
当时，和相切，
设切点为，根据导数的几何意义，，
又因为切点同时在直线和曲线上，即，解得，
即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
和仍会保持相切状态，即时，，
综上所述，或.
故答案为：A.
【分析】设出直线方程，再结合直线与圆相切位置关系判断方法和点到直线的距离公式得出b的值，再利用b的值和直线和相切，则设出切点坐标，再根据导数的几何意义和切点同时在直线和曲线上，从而建立方程组，再结合图象平移变换得出实数a的值.
24．若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设过点的直线与曲线相切于点，
由，可得，所以切线的斜率，
整理得，
因为切线有2条，所以切点有2个，即方程有2个不等实根，
则，解得或，
所以的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】设过点的直线与曲线相切于点，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，从而得出，再根据切线有2条，则切点有2个，即方程有2个不等实根，则由判别式法得出实数m的取值范围.
十一、多选题
25．已知函数，则（　　）
A．的值域为
B．直线是曲线的一条切线
C．图象的对称中心为
D．方程有三个实数根
【答案】B,D
【知识点】函数的值域；利用导数研究曲线上某点切线方程；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于A，当时，，当时等号成立，
当时，，当时等号成立，故A错误；
对于B，令，得，，
所以图象在点处的切线方程是，即，，
所以图象在点处的切线方程是，得，故B正确；
对于C，因为 的对称中心是，所以的对称中心是，
向右平移1个单位得，对称中心是，故C错误；
对于D，由 解得：或，
当时，得出，则，则有1个实根；
当时，得出或，则有2个实根，所以共有3个实根，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而得出函数的值域，则判断出选项A；利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由点斜式得出曲线的切线，从而判断出选项B；利用函数图象的对称性和图象的平移变换，从而判断出选项C；利用解方程的方法和分类讨论的方法，从而得出方程的实数根的个数，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
26．已知函数，，则（　　）
A．恒成立的充要条件是
B．当时，两个函数图象有两条公切线
C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则
【答案】A,C,D
【知识点】充要条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于A，若恒成立，即恒成立，
而恒成立，
所以，解得，故A正确；
对于B，设切点，，，，，，
则，
将①代入②，可得，
当时，代入方程解得：，
，方程无解，即两个函数图象无公切线，故B错误；
对于C，当时，代入方程得：，
则，故，，
所以函数与的一条公切线为：，故C正确；
对于D，如图所示，不妨设切线与切于，与切于，
设，，，，，，，，，，
故
所以，，
，
同理，则中点即可中点，所以四边形是平行四边形，
则点处的切线方程为，
点处的切线方程为，
得出，即，结合可知， 是方程的根，
由选项C可知：是的两个切点，所以，也是方程的根，
所以，且，故，
则，，
，
，
令，则，
故，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用恒成立得出
恒成立，再由不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围，则判断出选项A；设切点，，，，再利用导数的几何意义和判别式法得出两个函数图象无公切线，从而判断出选项B；利用a的值和解方程的方法和导数的几何意义，由代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出函数与的一条公切线，从而判断出选项C；设切线与切于，与切于，再设出点A，B，C，D的坐标，再结合导数的几何意义和公切线斜率相等的性质、平行四边形的定义，从而判断出四边形是平行四边形，再由点斜式设出点处的切线方程和点处的切线方程，从而得出，即，再结合韦达定理和选项C可知：是的两个切点，所以，也是方程的根，再利用判别式法得出实数a的取值范围，则得出，再根据两点距离公式和韦达定理得出的值，令，再解一元二次方程得出t的值，从而得出a的值，则判断出选项D，进而找出正确的选项．
十二、填空题
27．已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则　 　，切线方程为　 　.
【答案】；
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设公共点为，则，即，
所以，所以，
由，，所以，，
又因为在公共点处有相同的切线，所以，即，
所以，则，，则，则，
所以，切线方程为，即.
故答案为：；.
【分析】设公共点为，再由代入法联立方程组，得出，再由导数的几何意义和两函数在公共点处有相同的切线，从而得出a的值，再由点斜式得出切线方程.
28．曲线在处的切线与直线平行，则　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：由题意，函数，可得，
可得，，
因为曲线在处的切线与直线平行，
可得，所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再由两直线平行斜率相等和代入法求切点纵坐标的方法，从而得出a，b的值，进而得出b-a的值.
十三、单选题
29．利用导数的定义计算值为（　　）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】依题意，令函数，求导得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件，令函数，再利用基本初等函数的导数的公式和导数的定义与函数的极限的关系，从而计算出的值.
30．已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：由得，
所以直线的斜率，
又因为，所以直线的方程为，
令，得，即在轴上的截距为.
故答案为：B.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出切线方程，再赋值得出直线在y轴上的截距.
31．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，得，
所以，又，
故曲线在点处的切线的方程为，即.
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
32．函数在处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，则，
当时，，则，
所以，
所以切点为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，得出函数的解析式，再结合导数的几何意义求出切线的斜率，则由代入法得出切点坐标，从而根据点斜式得出函数在处的切线方程.
十四、多选题
33．已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】复合函数的单调性；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：由已知得，
，故A正确；
，故B正确；
，而，所以不成立，故C错误；
，故D正确：
故答案为：ABD.
【分析】利用导数的公式和复合函数的导数运算法则以及代入法，从而判断出选项A和选项C；利用代入法、导数的公式和复合函数的导数运算法则以及诱导公式判断出选项B和选项D，从而找出结论正确的选项.
34．（2023高三上·金华模拟）已知函数，则（　　）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，
当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；
B、因为，，所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
C、因为，，所以函数在点处的切线方程为，即，故C正确；
D、由，函数图象如下图所示，
要使方程在区间上有两解，结合图形可得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用导数判断函数的单调性，即可判断AB；结合导数的几何意义即可判断C；画出函数大致图象，结合图象即可判断D.
35．（2021高二下·武汉期中）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（　　）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.
【答案】A,C
【知识点】变化的快慢与变化率；导数的几何意义
【解析】【解答】在
时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A符合题意；
在
时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，但两曲线在此时的切线斜率不相同，因此瞬时变化率不相同，B不符合题意；
在
两个时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，因此在
这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C符合题意；
在
和
两个时间段内，时间差不多，但甲血管中药物浓度差前者小于后者，药物浓度的平均变化率不相同，D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此处切线的斜率，再结合图象逐一判断即可.
十五、填空题
36．过原点作曲线的切线l，并与曲线交于，两点，若，则　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，设切线与曲线相切于点，
则，切线过点，代入解得，
易知切线l的方程为，所以，
由，解得，所以，即．
故答案为：.
【分析】设出切点坐标，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式设出切线方程，则由代入法得出切点坐标，从而得出切线方程，再根据已知条件得出的值，进而得出t的值.
37．已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，
所以，，
因为在公共点处有相同的切线，
所以即，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和导数的几何意义得出切线的斜率，再由公切线的斜率相等和代入法，从而得出a-b的值.
38．已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：，设切点为，
则，解得，所以切点为，
故切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合两直线平行斜率相等的判断方法，从而得出切点坐标，再根据点斜式得出该切线方程.
十六、解答题
39．（2024高三下·湖北模拟） 已知函数，其中为常数.
（1）过原点作图象的切线，求直线的方程；
（2）若，使成立，求的最小值.
【答案】（1）解：
设切点坐标为，则切线方程为，
因为切线经过原点，所以，解得，
所以切线的斜率为，所以的方程为.
（2）解：，，即成立，
则得在有解，
故有时，.
令，，，
令得；令得，
故在单调递减，单调递增，
所以，
则，故的最小值为.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）设切点，求导，写出切线方程，代入原点，即可求出切线方程；
（2）将已知条件转化为在上有解，只需求在上的最小值，利用导数分析单调性即可.
40．设函数，
（1）求、的值；
（2）求在上的最值．
【答案】（1）解：因为，
所以，
取，则，即；
所以，
取，则，即．
故，．
（2）解：由（1）知，，
则，
所以、与，的关系如下表：
0 1 2
　 0 　
单调递增 极大值 单调递减
故，．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则和代入法得出的值，再利用代入法和函数的解析式，从而得出的值.
(2)由（1）得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极值和端点处的函数值，再根据比较法得出函数在上的最值．
十七、单选题
41．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：在曲线上任取一点，对函数求导，得，
所以曲线在点处的切线方程为，
由题意可知，点在直线上，可得.
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，且当时，，当时，，
又因为直线与曲线的图象有两个交点，
所以的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出曲线的切线方程，由题意可知，点在直线上，可得，令，利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，再由函数的零点与两函数的交点的横坐标的等价关系，从而得出实数a的取值范围.
十八、多选题
42．已知定义域为的函数满足，则（　　）
A．
B．
C．是奇函数
D．存在函数以及，使得的值为
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由，
取，得，所以A正确．
取，得，解得．
取，得，
所以，所以B错误．
取，得，
所以是奇函数，所以C正确．
当时，在两边同时除以，
得，
令，则，
当时，，
所以，
所以，所以D正确．
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和赋值法得出函数的值，则判断出选项A和选项B；利用已知条件和赋值法以及奇函数的定义，则判断出选项C；当时，在两边同时除以，得，令，则，由绝对值的定义得出当时的函数的解析式，再结合导数的运算法则，从而得出存在函数以及，使得的值为，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
十九、填空题
43．若两个函数和存在过点的公切线，设切点坐标分别为，则　 　.
【答案】9
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，设切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，
将代入得，即.
，设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
将代入得，即，
又因为，可得，即，
，
所以.
故答案为：9.
【分析】设出切点坐标，利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出切线的方程，则由公切线的定义和斜率相等，从而得出的值.
二十、解答题
44．已知函数．
（1）求的极值；
（2）证明：．
【答案】（1）解：由题意得的定义域为，
则，
当时，，在上单调递增，无极值；
当时，令，则，令，则，
即在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值.
（2）证明：设，
，令，
则，即在上单调递增，
，
故，使得，即，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
故
即，即，则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件和分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，进而得出函数的极值.
（2）设，则得出其导函数，即，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而证出不等式.
二十一、单选题
45．已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：将问题转化为方程有三个不等的实数根．
方法一：分离参数
因为，所以方程
有三个不等的实根等价于方程有两个不等的实根．
令，
则．
令，则，即单调递增．
又因为，所以当时，单调递减，且；
当时，单调递增，
且．
又因为当时，；当时，；当时，，
所以实数k的取值范围是．
故答案为：C．
方法二：分离函数
令，则，所以．
令，则，解得，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，有极小值；
而且，
所以方程有一解．
①当时，过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意；
②当时，过原点O作的切线，
设切点，则，
所以．
又因为，得，
所以，
所以．
故答案为：C．
【分析】将问题转化为方程有三个不等的实数根，再利用三种方法求解.方法一：利用已知条件和代入法，将有三个不等的实根等价于方程有两个不等的实根，令，则得出其导函数，则，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，再由函数求极限的方法得出实数k的取值范围；方法二：令，则，所以．令，利用求导的方法判断函数的单调性得出方程有一解，再由已知条件和分类讨论的方法以及直线的图象、导数求切线方程的方法，从而得出该直线的斜率的取值范围.
二十二、多选题
46．已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由为奇函数，所以，
所以函数的图象关于对称，
由为偶函数，所以，
函数的图象关于对称，所以，故A正确；
由可得，
由可得，
所以函数的图象关于和对称，
所以，故B正确；
由可得：，
由可得：，所以，
即，所以，即，
由可得：，
由可得：，
所以，所以，
即，即，所以，
所以8为函数和的一个周期，，故错误；
因为，则
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和奇函数、偶函数的图象的对称性和偶函数的定义，从而得出，则判断出选项A；利用函数的图象的对称性得出，则判断出选项B；利用已知条件和周期函数的定义，从而得出函数和的一个周期，再由函数的周期得出，则判断出选项C；利用已知条件和函数的值求和，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
二十三、填空题
47．（2024·南昌模拟）如图，有一张较大的矩形纸片，，分别为，的中点，点在上，将矩形按图示方式折叠，使直线被折起的部分经过点，记上与点重合的点为，折痕为过点再折一条与平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线曲线在点处的切线与交于点，则的面积的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：连接PQ，由题PQ与MQ关于对称，，
可知Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上，
如图，以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为轴，与AB垂直的直线为轴建立平面直角坐标系如图所示：
则，直线AB：，可知抛物线方程为：，
即，则，
设，则，
即切点坐标为，切线斜率为，
所以抛物线在Q点处切线方程为，
令，解得，即，
因为，
则，
构建，则，
构建，则对恒成立，
可知在内单调递减，且，
当时，；当时，；
即当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，可得，
所以的面积的最小值为.
故答案为：.
【分析】Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上，建系，可得抛物线方程为：，设，利用导数可得，进而得，构建，利用导数，即可得结果.
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