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苏教版2019高一数学（必修一）第一章 集合
2.2 充分、必要、充要条件
学习目标
1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.
(数学抽象)
2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
(数学运算)
3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.
(逻辑推理)
情景导入
著名童话《爱丽丝漫游奇境记》的作者,
英国牛津大学数学讲师卡罗尔曾提出如下趣题:
请判断:我是否可以看玛丽的信
结论是什么呢
如果已经知道以下信息:
①室内所有有日期的信都是用蓝纸写的;
②玛丽写的信都是以“亲爱的”开头的;
③除了查理以外没有人用黑墨水写信;
④我可以看到的信都没有收藏起来;
⑤只有一页信纸的信中,没有一封没注明日期;
⑥未作记号的信都是用黑墨水写的;
⑦用蓝纸写的信都收藏起来了;
⑧一页以上信纸的信中,没有一封是做记号的;
⑨以“亲爱的”开头的信,没有一封是查理写的.
学习了本节内容后,运用充分、必要条件的知识进行逻辑推理就容易判断结果了.
1.命题真假与推出关系
新知探究
一般地，当命题“若p，则q”为真命题时，
我们就说“由p可以推出q成立”，
记作“p>q”，读作“p推出q”；
如果命题“若p，则q”为假命题，
就说“由p不能推出q成立”，
记作“p q”，读作“p不能推出q".
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
文字表述 由p可以推出q成立 由p不能推出q成立
符号表示 _____ ______
读法 p推出q p不能推出q
传递性 如果 p q，q s，那么 _______
p q
p q
p s
概念归纳
例如：
(1) x＝y x2＝y2，但 x2＝y2 x＝y；
(2) x＞1 x2＞1，但 x2＞1 x＞1；
这里，“x＞1”表示“x是大于1的实数”；
“S△ABC”表示“△ABC的面积”.
(3) △ABC ≌ △A′B′C′ S△ABC＝ S△A′B′C′，
但 S△ABC ＝ S△A′B′C′ △ABC ≌ △A′B′C′.
● 如果“p＝q”，那么 p，q 之间有怎样的关系
分析(1)(2)(3)，可以发现，“p q”的含义是：
一旦 p 成立，q 一定也成立.
即 p 对 q 的成立是充分的.
也可以这样说：如果 q 不成立，那么p一定不成立.
即q对p的成立是必要的.
● 如果“p＝q”，那么 p，q 之间有怎样的关系
2.充分条件、必要条件的定义
新知探究
如果“p q”，那么称p是q的充分条件;
也称q是p的必要条件.
推出关系 p q
条件关系 p是q的__________条件，
q是p的__________条件.
充分
必要
课本例1
下列所给的各组 p，q中，p 是 q 的充分条件的有哪些
解：因为p q，所以 p 是 q 的充分条件.
(1) p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
(2) p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形.
解：因为p q，所以 p 不是 q 的充分条件.
(3) p：同位角相等，q：两条直线平行；
(4) p：四边形是平行四边形，
q：四边形的对角线互相平分.
解：因为p q，所以 p 是 q 的充分条件.
解：因为p q，所以 p 是 q 的充分条件.
课本例1
下列所给的各组 p，q中，p 是 q 的充分条件的有哪些
下列所给的各组 p，q 中，p 是 q 的必要条件的有哪些
(1) p：∣x∣＝1，q：x＝1；
(2) p：两个直角三角形全等，
q：两个直角三角形的斜边相等；
解：因为 q p，所以 p 是 q 的必要条件.
解：因为 q p，所以 p 不是 q 的必要条件.
课本例2
(3) p：同位角相等，q：两条直线平行；
(4) p：四边形是平行四边形，
q：四边形的对角线互相平分
解：因为 q p，所以 p 是 q 的必要条件.
解：因为 q p，所以 p 是 q 的必要条件.
下列所给的各组 p，q 中，p 是 q 的必要条件的有哪些
课本例2
观察例1 (3) 和 例2 (3)、例1 (4) 和 例2 (4)，
可以发现，其中既有 p q，也有q p.
一般地，
如果p=q，且q→p，那么称p是q的充分且必要条件，
简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p.
推出关系 p q，且 q p，记作_______称为“p与q等价”或“p等价于q”.
条件关系 p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件
p q
3.充要条件的定义
新知探究
充要条件的本质：
p是q的充分必要条件，也常说成p成立当且仅当q成立.
充要条件的应用：
充要条件是数学中非常重要的概念，
应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容.
概念归纳
“ ”和“ ”都具有传递性，即
例：如果 p q，q s，那么 p s；
如果 p q，q s，那么 p s.
命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类
答： ① 充分必要条件(充要条件)，即 p q且q p.
② 充分不必要条件，即p q且q p.
③ 必要不充分条件，即p q且q p.
④ 既不充分又不必要条件，即p q且q p.
归纳总结
(1) p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等；
解：根据三角形全等的性质，得出两个三角形的对应角相等，所以 p q.
反过来，由两个三角形的对应角相等，不能得出两个三角形全等.
指出下列命题中，p 是 q 的什么条件：
课本例3
例如，两个等腰直角三角形，它们对应的角相等，但对应边不相等，这两个三角形就不全等. 所以 q p.
因此，p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.
(2) p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形；
解：根据等边三角形的定义，可知三边相等的三角形是等边三角形，
所以 p q.
反过来，根据等边三角形的定义，可知等边三角形的三边相等.
所以 q p.
因此，p q，即p是q的充要条件.
指出下列命题中，p 是 q 的什么条件：
课本例3
(3) p：a2 ＝ b2，q：a ＝ b；
解：a2－b2 a2－b2＝0 (a－b)(a＋b)＝0
a－b＝0或 a＋b＝0 a＝－b或a＝b，
所以 p q.
反过来，a＝b a－b＝0 (a－b)(a＋b)＝0
a2－b2＝0 a2＝b2，
所以 q p.
指出下列命题中，p 是 q 的什么条件：
课本例3
因此，q p，但 p q，即p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.
还可以通过举反例来说明，
如 42＝(－ 4)2，但 4≠－4.
概念归纳
(4) p：x ＞ y，q：x2＞y2.
解：取 x＝1，y＝－2，
此时，x＞y，但 x2＜y2，所以 p q.
反过来，取 x＝－2，y＝－1，
此时，x2＞y2，但 x＜y，所以q p.
因此，p 不是q 的充分条件， q也不是p的必要条件.
4.性质定理、判定定理和数学定义
新知探究
判定定理是指对象只要具有某具体的特征，
就一定有该对象的所有特征.
例：判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”表明，只要四边形具有“对角线互相平分”这个特征，就一定具有“平行四边形”的所有特征1，2，3，4….
这时，我们看到，判定定理具有“充分性”，“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充分条件.
进一步，我们看到，
“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件，
即“四边形对角线互相平分”与“四边形是平行四边形”等价，
这与平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形”也等价，
因此，“对角线互相平分的四边形”也可以作为“平行四边形”的定义.
同样地，下列三个命题：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
其中的任何一个命题都可以作为平行四边形的定义.
性质定理、判定定理和数学定义
(1) 性质定理是指某类对象具有的具体特征.
性质定理具有“_____________”.
(2) 判定定理是指对象只要具有某具体的特征，
就一定有该对象的所有特征.
判定定理具有“_____________”.
(3) 数学定义既具有必要性也具有充分性.
必要性
充分性
概念归纳
题型一　充分条件的判断
【例1】　指出下列哪些题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠15，q：x≠5或y≠10.
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.
解　(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)对于实数x，y，因为x＝5且y＝10 x＋y＝15，
所以由x＋y≠15 x≠5或y≠10
故p是q的充分条件.
(3)由x＝1 (x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分条件.
故(1)(2)(3)题中p是q的充分条件.
典例剖析
要判断p是不是q的充分条件，就是看p能否推出q，即判断“若p，则q”这一命题是否为真命题.
1.下列各题中，p是q的充分条件的是________(填序号).
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
(2)p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根.
解析　(1)∵(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分条件.
(2)∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，
∴p不是q的充分条件.
(3)∵m<－2，∴12＋4m<0，
∴方程x2－x－m＝0无实根，
∴p是q的充分条件.
(3)
练一练
题型二　必要条件的判断
【例2】　判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？
(1)p：ac＝bc，q：a＝b.
(2)p：x＝y，q：x2＝y2.
解　(1)因为a＝b ac＝bc，所以p是q的必要条件.
(3)p：a＋5是无理数，q：a是无理数.
(3)由a是无理数 a＋5是无理数，所以p是q的必要条件.
典例剖析
“若p，则q”为真，即p q，则q是p的必要条件，
若q p，则p是q的必要条件.
2.判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
解　(1)∵两个三角形全等 两个三角形相似，即q p.
∴p是q的必要条件.
(2)四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，
∴p不是q的必要条件.
练一练
∴p不是q的必要条件.
(3)p：A B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
解　(3)∵A∩B＝A A B，即q p，
∴p是q的必要条件.
(4)∵c的正负不确定，
练一练
题型三　充分条件、必要条件的应用
【例3】　已知p：实数x满足3aq：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.
解　p：3aq：－2≤x≤3，设集合B＝{x|－2≤x≤3}.
因为p q，所以A B，
典例剖析
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
归纳总结
3.(1)若“x2或x<1”的充分条件，求实数m的取值范围.
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，且p是q的必要条件，求实数a的取值范围.
解　(1)由已知条件知{x|x2或x<1}.
∴m≤1，即m的取值范围为(－∞，1].
(2)由已知条件得{x|x>a} {x|x<－3或x>1}，
∴a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞).
练一练
题型四　充要条件的判断
【例4】　指出下列各题中，p是q的什么条件：
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：|x|>1，q：x2>1；
∴p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.
(2)∵p q，q p，
∴p是q的充要条件.
典例剖析
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
∴p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，
∴|ab|＝ab不能推出ab＞0，
∴p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.
典例剖析
判断p是q的什么条件，
关键是判断p q及q p这两个命题是否成立.
4.判断下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：ab>0，q：a，b中至少有一个不为零；
(2)p：x>1，q：x≥0；
(3)p：A∩B＝A，q： UB UA.
∴p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.
∴p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.
(3)∵A∩B＝A A B UB UA，
∴p是q的充要条件.
练一练
题型五　充分条件、必要条件的探求
B
典例剖析
(2)设a∈R，则a＞4的一个必要条件但不是充分条件是(　　)
A.a＞1 B.a＜1
C.a＞5 D.a＜5
A
典例剖析
探求充分条件、必要条件的方法
(1)寻求q的充分条件p，即求使结论q成立的条件p，从集合的角度看，是找q对应集合的子集，得出子集对应的条件p；
(2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含条件q对应的集合，得出集合对应的结论p.
归纳总结
5. (1)0＜x＜2的一个必要条件但不是充分条件是(　　)
A.0＜x＜2 B.x≥－1
C.0＜x＜1 D.1＜x＜3
(2)函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.
解析　(1)令0＜x＜2的一个必要条件但不是充分条件对应集合M，
则(0，2)?M，故B符合.
练一练
B
m＝－2
题型六　充要条件的证明
【例6】　已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明　先证必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.∴必要性成立.
再证充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
设关于a的二次函数y＝a2－ab＋b2，其中Δ＝(－b)2－4b2＝－3b2<0，∴a2－ab＋b2≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1，∴充分性成立.
综上所述，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
典例剖析
一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p q.
归纳总结
6.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
练一练
题型七　充要条件的应用
【例7】　已知p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m]，若p是q的必要条件但不是充分条件，求实数m的取值范围.
解　p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m].
因为p是q的必要条件，但不是充分条件，
所以[1－m，1＋m]?[－2，10]，
又1－m<1＋m，所以m>0，
所以实数m的取值范围为(0，3].
典例剖析
应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)的一般步骤.
(1)根据条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
归纳总结
7.已知p：x＜－2或x＞3，q：4x＋m＜0.若p是q的必要条件但不是充分条件，
求实数m的取值范围.
即m≥8，故m的取值范围为[8，＋∞).
练一练
1.下列所给的各组 p，q中，p是q的充分条件的有哪些
(1) p：三角形有一个内角是 60°，
q：三角形是正三角形；
因为三角形有一个内角是60° 三角形是正三角形即 p q.
所以 p 不是 q 的充分条件.
课本练习
(2) p：两个角相等，q：两个角是对顶角；
因为两个角相等，这两个角有可能是内错角或同位角，故两个角相等 两个角是对顶角，即 p q ，所以 p 不是q 的充分条件；
(3) p：四边形是平行四边形，
q：四边形的对角线互相平分；
因为平行四边形的对角线互相平分故四边形是平行四边形 四边形的对角线互相平分，即 p q，
所以 p是q的充分条件；
(4) p：x ＞ 2，q：x ＞ 1.
因为 x＞2 x＞1，
所以 p是q的充分条件；
所以p是q的充分条件的有(3) (4)
2. 下列所给的各组 p，q中，p是q的必要条件的有哪些
(1) p：两条直线平行，q：同位角相等；
(2) p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
解：q p，p是q的必要条件；
解：q p，p是q的必要条件；
(3) p：a ＝ b，q：∣a∣＝ ∣b∣ ；
(4) p：x2 ＝ l，q：x ＝ 1.
解：q p，p不是q的必要条件；
解：q p，p是q的必要条件；
3. 从符号“ ”“ ”“ ”中选择适当的一个填空：
(1) x2＞1 _______ x＞1；
(2) a，b 都是偶数 _______ a＋b是偶数；
(3) x2＝1 ______ ∣x∣ ＝ 1；
(4) n 是偶数 _______ n 是4 的倍数.




1. 下列所给的各组 p，q中，p是 q 的充分条件的有哪些
p是q的必要条件的有哪些 p是q的充要条件的有哪些
(1) p：两个三角形全等，q：两个三角形的面积相等；
解：由p：两个三角形全等能推出 q： 两个三角形的面积相等，
故p是q的充分条件；
由q：两个三角形的面积相等不能推出 p：两个三角形全等，
故p不是q的必要条件.
从而p不是q的充要条件；
习题1.2
感受·理解
(2) p：三角形是直角三角形，q：三角形的两个锐角互余；
解：由 p：三角形是直角三角形能推出q：三角形的两个锐角互余，
故p是q的充分条件；
由 q：三角形的两个锐角互余能推出 p：三角形是直角三角形，
故p是q的必要条件.
从而p是q的充要条件；
(3) p：m≤1，q：关于的方程 x2＋2x＋m＝0有实数解；
解：∵关于x的方程 x2＋2x＋m＝0 有实数解，
∴Δ＝22－4m＞0，解得：m≤1，
故由 p：m＜1能推出 q：关于的方程 x2＋2x＋m＝0有实数解，
故p是q的充分条件；
由q：关于x的方程 x2＋2x＋m＝0有实数解能推出 p：m≤1，
故p是q的必要条件.
从而p是q的充要条件；
(4) p：ab＝0，q：a＝0.
解：由 p：ab＝0 不能推出q：a＝0，故p不是q的充分条件；
由 q：a＝0能推出 p：ab＝0，故p是q的必要条件.
从而p不是q的充要条件.
综上知：p是q的充分条件的有(1)(2)(3)，
p是q的必要条件的有(2)(3)(4)，
p是q的充要条件有(2)(3).
2. 从符号“ ”“ ”“ ”中选择适当的一个填空：
(1) x∈A ______ x∈A∩B
(2) x A∪B _____ x∈A∩B；
(3) x∈ U(A∪B) _____ x∈( UA ) ∩ ( UB )；
(4) x∈ U(A∩B) ______ x∈( UA)∪( U B).




3. 下列所给的各组 p，q 中，p 是 q 的什么条件
(1) p：△ABC中，∠BAC＞∠ABC，
q： △ABC 中，BC ＞ AC；
充要条件
思考·运用
(2) p：a2 ＜ 1，q：a ＜ 2；
充分不必要条件
既不充分也不必要条件
(4) p：m ≤ 1，
q：关于的方程 mx2＋2x＋1＝0有两个实数解.
必要不充分条件
4. 设 a，b，c ∈R，求证：关于x 的方程 ax2＋bx＋c＝0有一个根是 1 的充要条件为 a＋b＋c＝0.
证明：(1) 必要性，即“若 1是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，则 a＋b＋c＝0”.
∵ x＝1是方程的根，将 x＝1 代入方程，得 a·12＋b·1＋c＝0，
即 a＋b＋c＝0.
(2) 充分性，即“若 a＋b＋c ＝ 0，则 x＝1是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根”.
把 x＝1代入方程的左边，得a·12＋b.1＋c＝a＋b＋c.
∵ a＋b＋c＝0，
∴x＝1是方程的根.
综合(1)(2)知命题成立.
5. 设集合A＝ {x∣x满足条件p}，B＝{x∣x满足条件q}.
(1) 如果 A B，那么p是q的什么条件
(2) 如果 B A，那么p是q的什么条件
(3) 如果 A＝B，那么p是q的什么条件
试举例说明.
探究·拓展
解：（1）若A B，则有 x∈A x∈B，
即每个使 p 成立的元素也使q成立，即p q，
所以 p 是 q 的充分条件.
(3) 如果 A＝B，那么p是q的什么条件
解：若A＝B，则 A B 且 B A，所以p是q的充要条件.
(2) 如果 B A，那么p是q的什么条件
解：若 B A，则有 x∈B x ∈A，
即每个使 q 成立的元素也使p成立，即 q p，
所以 p是 q 的必要条件.
如A ＝ {x∣x ＞0}，B ＝ {x∣x ＞1}，B A，
则 x＞1是x＞0的充分条件，x＞0是x＞1的必要条件.
易错点1　条件判定不全面而致误
A
错因分析
解析：
错因分析
易错点2　不能正确区分命题的条件与结论而致误
错因分析
求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
错因分析
一、选择题
1.使x>3成立的一个充分条件是(　　)
A.x>4 B.x>0 C.x>2 D.x<2
A
解析　只有x>4 x>3，其他选项均不可推出x>3.
2.若a∈R，则“a＞1”是“|a|＞1”的(　　)
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分又不必要 D.无法判断
分层练习-基础
A
3.(多选题)下列选项中不是“x＞y”的一个充分条件的是(　　 )
A.|x|＞y B.x2＞y2
C.|x|＞|y| D.x＞|y|
解析　取x＝－2，y＝1，
适合选项A，B，C，但推不出“x＞y”；
由x＞|y|≥y知“x＞|y|”是“x＞y”的一个充分条件.
ABC
分层练习-基础
ABD
A.a<0分层练习-基础
C
5.设p：－1≤x＜2，q：x＜a.若q是p的必要条件，则实数a的取值范围(　　)
A.{a|a≤－1} B.{a|a≤－1或a≥2}
C.{a|a≥2} D.{a|－1≤a＜2}
解析　由题意p q，即{x|－1≤x＜2} {x|x＜a}，
∴a≥2.
分层练习-基础
二、填空题
6.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，
则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件(填“充分”或“必要”).
充分
解析　若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；
而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，
所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件.
分层练习-基础
必要
分层练习-基础
②
8.下列说法不正确的是________(填序号).
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2解析　②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确.
分层练习-基础
A
一、选择题
1.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.充要条件
D.无法判断
解析　当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；
令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，
故选A.
分层练习-基础
2.已知p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2，则p是q的(　　)
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要
解析　p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2.
∵(－1，2)?(－2，2)，
∴p是q的必要条件但不是充分条件.
B
分层练习-基础
3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)
A.必要条件但不是充分条件
B.充分条件但不是必要条件
C.充要条件
D.无法判断
解析　“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定有“攻破楼兰”.
A
分层练习-基础
C
解析　选项中只有x∈{－1，3，5}
分层练习-基础
5.(多选题)－1＜x＜3的一个必要条件但不是充分条件可以是(　　)
A.－2C.0AB
解析　由于－1－1分层练习-基础
二、填空题
6.设x∈R，则0|x－1|<1是0解析　由|x－1|<1，解得0因为(0，2)?(0，5)，
故0＜x＜5是|x－1|＜1的必要条件但不是充分条件，
|x－1|＜1是0＜x＜5的充分条件但不是必要条件.
必要条件但不是充分
充分条件但不是必要
分层练习-基础
7.已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m(3，＋∞)
解析　由p q，∴A B，
分层练习-基础
8.关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的所有实数根的和为2的充要条件是________.
解析　当m2＝0，即m＝0时，此时方程为x＝2，适合；
当m2≠0，即m≠0时，
m＝0
解之m∈ .综上：m＝0.
分层练习-基础
三、解答题
9.下列各题中，p是否为q的充分条件？
(1)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对边分别相等；
(2)p：x为无理数，q：x2为无理数.
解　(1)p q，所以p是q的充分条件.
分层练习-巩固
10.下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形是正方形，q：四边形的四条边相等；
分层练习-巩固
a2＋b2＝0 a＋b＝0.
∴p是q的必要条件，但不是充分条件.
(2)∵四边形是正方形 四边形的四条边相等，
∴p是q的充分条件，但不是必要条件.
∴p是q的充分条件，也是必要条件.
分层练习-巩固
11.已知集合A＝{x∈R|－1A.[2，＋∞) B.(－∞，2]
C.(2，＋∞) D.(－2，2)
A
解析　因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A B，
所以3≤m＋1，即m≥2.
分层练习-巩固
12.(多选题)下列选项中能成为x>y的充分条件的有(　　 )
ACD
解析　A.由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2 x>y；
B.当t>0时，x>y，当t<0时，xyt x>y；
C.由x3＞y3 x＞y；
分层练习-巩固
解　若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根，
分层练习-巩固
从而方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根.
分层练习-巩固
14.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；
解　若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B A.
∵A＝{x|－1≤x≤2}，
分层练习-巩固
(2)若B∩( RA)中只有一个整数，求实数m的取值范围.
解　∵A＝{x|－1≤x≤2}，
∴ RA＝{x|x＜－1或x＞2}.
分层练习-巩固
三、解答题
9.指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
故p是q的必要条件但不是充分条件.
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解　(1)x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，
故p是q的充分条件但不是必要条件.
(3)a>b a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c a>b，故p是q的充要条件.
分层练习-巩固
10.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
分层练习-巩固
11.“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向上”的一个必要条件但不是充分条件的是(　　)
C
分层练习-巩固
12.设A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5，a∈R}，B＝[3，22].则A (A∩B)的
充要条件为________.
解析　由题意A (A∩B) A B，B＝{x|3≤x≤22}.
若A＝ ，则2a＋1>3a－5，解得a<6；
a≤9
解得6≤a≤9.
综上可知，A (A∩B)的充要条件为a≤9.
分层练习-巩固
14.求方程ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件.
当a≠0时，原方程为一元二次方程，
又ax2＋2x＋1＝0只有负实根，
综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.
分层练习-巩固
如图所示的电路图中,“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件
分层练习-拓展
点评：实际问题中的充要条件要从实际含义去理解其是否成立,从而确定充要条件,主要考查逻辑推理的核心素养.
解 如题图1,闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮.
反之,若要灯泡B亮,不一定非要闭合开关A.
因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.
如题图2,闭合开关A而不闭合开关C,灯泡B不亮.
反之,若要灯泡B亮,则开关A必须闭合,说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.
如题图3,闭合开关A可使灯泡B亮,而灯泡B亮,开关A一定是闭合的,因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件.
如题图4,闭合开关A但不闭合开关C,灯泡B不亮.
反之,灯泡B亮也可不必闭合开关A,只要闭合开关C即可,说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分又不必要条件.
分层练习-拓展
课堂小结
1.理解3个概念
(1)充分条件；(2)必要条件. (3)充要条件
2.掌握2种方法——充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)等价法：“p q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立.
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件.
3.注意2个易错点
(1)充分条件、必要条件不唯一.
(2)求参数范围时，要注意能否取到端点值.
课堂小结
课堂小结
充分条件与必要条件
分类
应用
充分条件
必要条件
充要条件
既不充分也不必要条件
充分与必要条件的判断
充要条件的证明