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苏教版2019高一数学（必修一）第一章 集合
2.1 命题、定理、定义
学习目标
1.理解命题、定理及定义的概念.(数学抽象)
2.理解命题的构成形式,能将命题改写为“若p,则q”的形式.
(逻辑推理)
3.能判断一些简单命题的真假.(逻辑推理)
情景导入
同住一间寝室的四名女生,她们当中有一人在修指甲,一人在看书,一人在梳头发,另一人在听音乐.
①A不在修指甲,也不在看书;
②B不在听音乐,也不在修指甲;
③如果A不在听音乐,那么C不在修指甲;
④D既不在看书,也不在修指甲;
⑤C不在看书,也不在听音乐.
若上面的命题都是真命题,问她们各在干什么呢
1.命题的概念
新知探究
定义：可判断真假的陈述句叫作命题.
我们来考察下列两个命题：
命题 1：两个偶数的和是偶数.
命题 2：和是偶数的两个数一定都是偶数.
为了判断这两个命题的正确性，我们换一种语言来表述它们：
命题1：如果a是任意的偶数，b是任意的偶数，那么a+b一定是偶数.
命题 2：如果a+b 是偶数，那么a 和b 都是偶数.
对于命题1，
因为a是偶数，所以存在m∈Z，使a =2m.
因为b是偶数，所以存在n∈Z，使b=2n.
所以a+b= 2m+2n = 2（m+n）.
因为m∈Z，n∈Z，所以m+n∈Z，所以 a+b 为偶数.
对于命题 2，取a= 3，b = 5，这时a+b= 8是偶数，但3不是偶数，5也不是偶数.
经过上述推理，我们可以判断命题1是正确的，命题 2是错误的.
根据命题的定义思考,命题可分为哪几类
思考探究
答：可分为两类
一类是判断为真的命题，即真命题；
另一类是判断为假的命题，即假命题.
(1) 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等!
(2) 有一个内角是 60°的等腰三角形是正三角形；
(3) 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；
例如：
课本例题
(4) 对顶角相等；
(5) 若 x2＝1，则 x＝1；
(6) 若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余.
其中语句(1)(2)(4)(6)判断为真，语句(3)(5)判断为假. 因而它们都是命题.
● 观察上述命题中的 (1)(3)(5)(6)，这些命题具有怎样的表示形式
观察上述命题中的(1)(3)(5)6)可以发现，这些命题都具有
“如果 p，那么q”或“若 p，则q”的形式.
命题(1)中：p 是“两条平行直线被第三条直线所截”，q 是“同位角相等”；
命题(3)中：p 是“两个三角形的面积相等”，q 是“这两个三角形全等”；
命题(5)中：p 是“x2＝1”，q 是“x＝1”；等等.
例如：
数学中，许多命题可表示为
“_________________” 或“____________”的形式，
其中______叫作命题的条件，________ 叫作命题的结论.
如果 p，那么 q
若 p，则 q
p
q
概念归纳
课本例 1
指出下列命题中的条件 p 和结论 q：
(1) 若 ab ＝ 0，则a ＝ 0；
(2) 若 a＜0，则 a＞0；
解：p：ab ＝0，q：a＝0.
解：p：a＜0，q：∣a∣＞0.
(3) 如果二次函数 y＝x2＋k 的图象经过坐标原点，那么k＝0；
(4) 如果两个三角形的三边分别对应相等,那么这两个三角形全等.
解：p：二次函数y＝x2＋k的图象经过坐标原点，
q：k＝0.
解：p：两个三角形的三边分别对应相等，
q：这两个三角形全等.
将下列命题改写成“若 p，则 q ”(或“如果 p，那么 q”)的形式：
(1)有一个内角是 60°的等腰三角形是正三角形；
解： 若一个等腰三角形有一个内角是 60°，
则这个三角形是正三角形.
课本例 2
(2) 对顶角相等；
解： 若两个角是对顶角，则这两个角相等.
(4) 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
解： 如果一个四边形的对角线互相平分，
那么这个四边形是平行四边形.
(3) 平行四边形的对角线互相平分；
解： 如果一个四边形是平行四边形，
那么这个四边形的对角线互相平分.
课本例 2
判断下列命题的真假：
(1) 若 a＝b，则a2＝b2；
(2) 若 a2＝b2，则a＝b；
解：当a＝b时，显然有a2＝b2. 所以，命题为真.
解：当a＝1，b＝－1时，a2＝b2＝1，即由a2＝b2，
不能推出a＝b.
所以，命题为假.
课本例 3
(3) 全等三角形的面积相等；
解：由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，
这两个三角形的面积一定相等.
所以，命题为真.
(4) 面积相等的三角形全等.
解：如图 ，直角三角形 ABC 与等腰三角形A′BC 同底等高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等. 所以，命题为假.
(1) 已经被证明为真的命题；
(2) 可以作为推理的依据而直接使用.
一般称之为定理.
2.定理与定义的概念与特点
新知探究
在数学中，
定理的概念：
例如：“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”.
概念：对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.
定义的概念
例如： “平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”
分别“平行”来描述的.
特点： 用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别.
定义的特点
题型一　命题与真假命题的判断
1.判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.
(1)奇数的平方仍是奇数；
(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；
(3)所有的质数都是奇数；
(4)5x>4x；
(5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(6)未来是多么美好啊！
(7)你是高二的学生吗？
(8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数.
典例剖析
典例剖析
【方法技巧】
并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.
命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；
其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.
因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.
归纳总结
1.下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由.
(1)x≥16.
(2)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根.
(3)空集是任何非空集合的真子集.
(4)指数函数是增函数吗？
解　(1)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假.
(2)是真命题.代入验证即可.
(3)是真命题.由空集的定义和性质不难得出.
(4)不是命题.因为是疑问句无法判断真假.
练一练
题型二　命题的条件与结论
2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式.
(1)在△ABC中，大角对大边.
(2)矩形的对角线互相垂直.
(3)相等的两个角的正弦值相等.
(4)等底等高的两个三角形是全等三角形.
典例剖析
解　(1)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC.
(2)若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直.
(3)若∠A＝∠B，则sin A＝sin B.
(4)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等.
归纳总结
【方法技巧】
命题“若p，则q”形式是由条件p和结论q组成的，
在写命题时为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，
但不能改变条件和结论.
2.指出下列命题中的条件p和结论q.
(1)若x＋y＝0，则x，y互为相反数.
(2)如果x∈A，则x∈A∩B.
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
练一练
解　(1)p：x＋y＝0，q：x，y互为相反数.
(2)p：x∈A，q：x∈A∩B.
(3)p：x＝2，q：x2＋x－6＝0.
3.判断下列命题的真假：
(1)若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根.
(2)若A B，则A∩B＝A.
(3)如果两个三角形相似，则两个三角形全等.
(4)若x＋y>5，则x>2且y>3.
题型三　命题真假的判断
典例剖析
解　(1)当k>0时，Δ＝4＋4k>0恒成立，则方程x2＋2x－k＝0一定有实数根，故是真命题.
(2)当A B时，任意x∈A，则x∈B，∴A∩B＝A成立，故是真命题.
(3)若两个三角形相似，则三个内角对应相等，边长对应成比例，不一定相等，故两个三角形不一定全等，是假命题.
(4)若x＋y>5，可以x＝1，y＝6，不满足x>2且y>3，是假命题.
典例剖析
命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法：
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.
(2)假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
归纳总结
3.判断下列命题的真假.
(1)若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根.
(2)若x>y，则x2>y2.
(3)若x>2，则x>1.
解　(1)当mn<0时，Δ＝1－4mn>0恒成立，
∴方程mx2－x＋n＝0有实根，是真命题.
(2)当x＝1，y＝－2时满足x>y，但x2(3)对每一个大于2的数一定大于1，故是真命题.
练一练
1.(2020江苏南京高一检测)下列语句不是命题的是(　　)
A.-3>4
B.0.3是整数
C.a>3
D.4是3的约数
随堂练
解析：由题知,选项A,B,D都是可以判断真假的陈述句或式子,均为命题;C选项中a的值不能确定,故无法判断真假.故选C.
C
2.给定下列命题:①若xy=0,则|x|+|y|=0;②若a>b,则a+c>b+c;③矩形的对角线互相垂直;④若a,b是无理数,则a+b是无理数.其中真命题共有(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析 ①由xy=0得x=0或y=0,所以|x|+|y|=0不一定成立,是假命题;
②当a>b时,有a+c>b+c成立,正确,所以是真命题;
③矩形的对角线不一定互相垂直,不正确,是假命题.
④若a= 是无理数,则a+b=0是有理数,
所以④是假命题.因此真命题共有1个.故选B.
B
随堂练
3.(2021山东潍坊高一检测)下列命题是真命题的是(　　)
A.空集是任何集合的真子集
B.等腰三角形是锐角三角形
C.函数y=ax2+x+1是二次函数
D.若a∈A∩B,则a∈B
解析：空集是任何非空集合的真子集,故选项A错误;等腰三角形顶角可以为钝角,故选项B错误;对于函数y=ax2+x+1,当a=0时,该函数是一次函数,故选项C错误;若a∈A∩B,则a是集合A,B的公共元素,所以a∈B,故选项D正确.故选D.
随堂练
D
4.下列语句中,是命题的有　　　　.(填序号)
①这棵树好大啊; ②地球是太阳系中的一颗行星;
③4>5; ④等边三角形是等腰三角形吗
随堂练
解析：命题的定义为能够判断真假的陈述句叫命题.
①不是陈述句,不是命题; ②是陈述句,可以判断真假,是命题;
③4>5,能判断真假,是命题; ④是疑问句,不是命题.故是命题的有②③.
②③
5.(2021安徽合肥高一检测)
将命题“面积相等的两个三角形全等”写成“若p,则q”的形式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等
6.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.
(1)偶数能被2整除;
(2)当m> 时,mx2-x+1=0无实根.
解 (1)若一个数是偶数,则这个数能被2整除,真命题;
(2)若m> ,则mx2-x+1=0无实数根,真命题.
随堂练
1. 写出下列命题的条件和结论：
(1) 如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；
条件是“两个三角形相似”，结论是“这两个三角形的对应角相等”；
课本练习
(2) 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；
(3) 若a，b都是偶数，则 a＋b 是偶数；
条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角相等”；
条件是“a，b都是偶数”，结论是“a＋b是偶数”；
(4) 若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同；
(5) 若a＝b，则a2＝ab；
条件是“两个实数的积为正数”，结论是“这两个实数的符号相同”；
条件是“a＝b”，结论是“a2＝ab”；
条件是“q ＞ － 1”，结论是“方程 x2＋2x－q＝ 0有实数解”“.
(6) 若q≥－1，则方程 x2＋2－q＝0有实数解.
2. 将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式：
(1) 绝对值相等的数也相等；
(2) 矩形的对角线相等；
若两个数的绝对值相等，则这两个数相等.
若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等.
(3) 角平分线上的点到角两边的距离相等；
(4) 两角分别相等的两个三角形相似.
若一个点是角平分线上的点，则这个点到这个角两边的距离相等.
若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似.
3. 判断下列命题的真假：
(1) 若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形；
因为三角形的两个角互余，则另外一个角为直角，所以这个三角形是直角三角形. 该命题为真命题.
(2) 若一个整数的个位数字是 0，则这个数是 5 的倍数；
因为一个整数的末位数字是0，所以这个数必是5的倍数.
故该命题为真命题.
(3) 等腰三角形的底角相等；
(4) 矩形的对角线相等.
因为这个三角形为等腰三角形，所以这个三角形的底角相等.
故该命题为真命题.
矩形的对角线相等且互相平分，所以该命题为真命题.
习题1.2
感受·理解
1. 写出下列命题的条件与结论：
(1) 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；
条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形对应的高相等”；
(2) 如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；
(3) 若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等;
条件是“两个三角形的两边及其夹角分别相等”
结论是“这两个三角形全等”；
条件是“一个四边形是菱形”，结论是“这个四边形的四边相等”；
(4) 若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.
条件是“两条直线被一组平行线所截”，结论是截得的对应线段成比例”.
2. 将下列命题改写成“若 p，则 q ”的形式：
(1) 平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；
(2) 平行于同一条直线的两条直线平行；
在同一平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行.
若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行.
(3) 两个无理数的和是无理数；
(4) 乘积为正数的两个数同号；
若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数.
若两个数的乘积为正数，则这两个数同号.
(5) 两个奇数的和是偶数；
(6) 矩形的四个角相等；
若两个数均为奇数，则这两个数的和是偶数.
若一个四边形是矩形，则这个四边形的四个角相等.
(7) 等腰三角形的两个底角相等；
(8) 直径所对的圆周角是直角.
若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等.
若圆中的一个圆周角是直径所对的圆周角，则这个圆周角是直角.
3. 判断下列命题的真假：
(1) 若 x2＋x－2＝0，则 x＝1；
∵x2＋x－2＝0，
∴x＝1或 x＝－2，(1)是假命题.
思考·运用
(2) 若 x∈A∩B，则 x∈A∪B；
(3) 若 x＞1，则 x2＞1；
根据集合的交、并集运算的定义，(2) 真命题.
∵x＞1，
∴x2＞1，(3)真命题
将原点坐标代入函数的解析式，得 m＝0，(4)是真命题.
(6) 若 a＋b＞0，则 a2＋b2＞0.
∵ a ＋b ＞ 0，a、b至少有一个大于零，
∴ a2＋b2 ＞ 0，(6)是真命题.
4. 考察下述推导过程，找出错误原因.
若 x ＝ y，则有 xy ＝y2，
从而有 x2－xy ＝ x2－y2，
即有 x(x－y) ＝(x＋y)(x－y).
所以 x ＝ x ＋ y.
又因为 x ＝ y，
所以 x ＝ 2x.
所以 1＝2.
探究·拓展
解：推理中，由 x(x－y) ＝(x＋y)(x－y)得到 x＝x＋y 是错误的，
错误原因在于有可能 x－y＝0；
由 x＝2x 得到1＝2 也是错误的，错误原因在于x有可能为 0.
9．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是(　　)
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思

A
易错辨析：红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．故选A.
错因分析
分层练习-基础
A
2.命题“在三角形中,大边对大角”改写成“若p,则q”的形式为 (　　)
A.在三角形中,若一边较大,则其所对角较大
B.在三角形中,若一角较大,则其所对边较大
C.若某平面图形是三角形,则其大边对大角
D.若某平面图形是三角形,则其大角对大边

分层练习-基础
A
3.命题“一次函数y=2x+1的值随x值的增大而增大”的条件是　 　　　　,结论是　　 　　　.
一次函数 y=2x+1
y的值随x值的增大而增大
分层练习-基础
ACD
分层练习-基础
BCD
分层练习-基础
分层练习-基础
C
8.(2022江苏陆慕高级中学月考)已知命题“若19.(2022江苏天星湖中学阶段检测)命题p:对于任意x∈R,x2+1>a,命题q:a2-4>0,若p和q一真一假,则实数a的取值范围为　　　　　.
[-2,1)∪(2,+∞)
分层练习-基础
10.已知A:5x-1>a,B:x>1,请确定实数a的取值范围,使得由A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.
一、选择题
1.下列语句中命题的个数是(　　)
①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；
④函数f(x)＝x2的图象是开口向上的抛物线；
⑤人类可以在火星上居住；⑥打开窗户.
A.1 B.2 C.3 D.4
D
解析　①③④⑤是命题，
②不能判断真假，不是命题，
⑥是祈使句不是命题.
分层练习-巩固
2.命题“素数都是奇数”写成“若p，则q”的形式为(　　)
A.若一个数是素数，则一定是奇数
B.任一个素数都是奇数
C.若一个实数是奇数，则一定是素数
D.所有的奇数都是素数
A
分层练习-巩固
3.给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(　　)
A.4 B.2 C.0 D.－3
解析　方程无实数根，则Δ＝a2－4<0，故a＝0时适合条件.
C
分层练习-巩固
解析　是“若p，则q”形式的命题，而且x>1 x>2，∴是假命题.
4.对语句：“如果x>1，那么x>2”，下列判断正确的个数是(　　)
①不是命题；②是命题；③是假命题；④是真命题
A.0 B.1 C.2 D.3
C
分层练习-巩固
5.(多选题)下列说法不正确的是(　　)
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C.命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题
D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
AB
解析　命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；
语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C，D正确.
分层练习-巩固
二、填空题
6.下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；
②平面内，四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中是真命题的序号是________.
①④
解析　①④是真命题；②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形；③平行四边形不是梯形.
分层练习-巩固
7.命题“偶数的平方仍是偶数”是________命题(填“真”或“假”).
真
分层练习-巩固
8.“不是矩形的四边形对角线不相等”这一命题的条件是___________________，结论是_____________.
一个四边形不是矩形
对角线不相等
三、解答题
9.判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆.
分层练习-巩固
解　(1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.
(3)真命题.∵m>1 Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.
(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
分层练习-巩固
10.判断下列语句是否为命题，若是，是真命题还是假命题？
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
②一个数的绝对值一定是非负数；
③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；
④请完成第九题.
解　①不是命题，因为它不是陈述句；
②是命题，且是真命题；
④不是命题，因为它不是陈述句.
分层练习-巩固
11.命题“集合M是集合A∪B的子集，所以M是集合A∩B的子集”.写成“若p，则q”形式为______________________________________________________，
是________命题(填“真”或“假”).
解析　若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，
则A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2，3}.
M A∪B，不妨取M＝{1，2}，
则M不是A∩B的子集，故是假命题.
若集合M是集合A∪B的子集，则M是集合A∩B的子集
假
分层练习-巩固
12.下列语句中的命题是____________，其中的真命题是________(填序号).
①等边三角形是等腰三角形；
②一个整数不是偶数就是奇数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④若xy为有理数，则x，y也都是有理数.
①②③④
①②
分层练习-巩固
13.写出下列命题的条件p和结论q，并判断真假.
(1)若x＋y≠8，则x≠2或y≠6.
(2)若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.
解　(1)条件p：x＋y≠8，结论q：x≠2或y≠6，是真命题.
(2)条件p：xy＝0，结论q：x，y中至少有一个为0，是真命题.
分层练习-巩固
14.是否存在整数m，使得对任意x∈R，－5＜3－4m＜x2＋x＋1是真命题？
若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
解　假设存在整数m，使得对任意x∈R，－5＜3－4m＜x2＋x＋1是真命题.
又∵m为整数，∴m＝1，∴存在m＝1.
分层练习-巩固
18.判断下列语句是否为命题,若是,请判断真假并改写成“若p,则q”的形式.
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗
(2)三角形中,大角所对的边大于小角所对的边;
(3)当x+y是有理数时,x,y都是有理数;
(4)1+2+3+…+2 021;
(5)这盆花长得太好了!
分层练习-拓展
分层练习-拓展
1.理解2个概念
(1)命题.(2)定理、定义.
2.掌握2种方法——判断命题的真假
(1)真命题的判定方法：(推理法)
弄清命题条件，选择正确逻辑推理.
(2)假命题的判定方法：(反例法)
通过构造反例否定命题的正确性.
课堂小结
课堂小结
命题、定理、定义
命题
定理
定义
命题
分类
形式
真命题
假命题
条件
结论

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