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苏教版2019高一数学（必修一）第一章 集合
2.3.2 全程量词命题与存在量词命题
学习目标
1.理解全称量词与存在量词的意义.
2.会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，
并会判断它的真假.（重点）
3.用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，
重点提升数学抽象、逻辑推理素养.（难点）
情景导入
在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:
“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”
来找他刮脸的人络绎不绝,这些人自然都是那些不给自己刮脸的人.
可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀.
你们觉得他能不能给自己刮脸呢
如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸.而如果他给自己刮脸,他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题的知识,就可以通过逻辑推理方法进行分析了.
在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的语句：
（1）对任意实数 x，都有 x >0；
（2）存在有理数x，使x -2=0；
（3）有的矩形是菱形；
（4）所有的质数都是奇数；
（5）有一个素数是偶数.
这些语句中用到了“任意”“存在”“有的”等词，它们表示什么含义？
1.全称量词与存在量词
新知探究
语句（1）使用了“任意”，
表示对每一个实数x，必定有“x ≥0”，
即没有使“x ≥0”不成立的实数x存在.
语句（2）使用了“存在”，
表示至少可以找到一个有理数 x，使“x —2 = 0”成立.
语句（3）使用了“有的”，
表示可以找到一个矩形，它是菱形.
语句（4）使用了“所有”，
表示每一个质数都是奇数.
全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 “所有”“________”
“每一个”等表示________的词 “存在”“_______” “有一个”等表示_______或_______的词
符号 用“_______”表示“对任意 x” 用“_______”表示“存在 x”
任意
全体
有的
部分
个体
x
x
概念归纳
例如：
上面的语句（1）可以表示为“ ∈R，x ≥ 0”，
即“任意实数的平方都不小于 0”.
上面的语句（2）可以表示为“ x∈Q，x —2=0”，
即“方程x -2 =0 存在有理数解”.
那么你知道常见的全称量词、存在量词还有哪些
答：（答案不唯一）
常见的全称量词还有“一切”“任给”“凡是”等.
常见的存在量词还有“有些”“对某些”“有的”等.
想一想
(1) 定义和表示方法：
全称量词命题 存在量词命题
定义 含有_________的命题称为全称量词命题 含有_________的命题称为存在量词命题
表示 一般形式可表示为：____________ 一般形式可表示为：____________
全称量词
存在量词
x∈M，p(x)
x∈M，p(x)
2.全称量词命题与存在量词命题
新知探究
(2) 本质：
全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.
(3) 应用:
全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语，数学中存在大量的全称量词命题和存在量词命题.
概念归纳
全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么
答：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，
相应的集合M是这些元素的某一特定的范围，
p(x)表示集合M的所有元素满足的性质，也可以用q(x)，r(x)等符号表示.
想一想
判断下列命题的真假：
课本例1
解：因为对任意实数x，都有 x2≥0 ，
所以对任意实数x，都有 x2＋2≥2＞0，
即对任意实数x，都有 x2＋2＞0 成立，
因此，“ x∈R，x2＋2＞0”是真命题.
由例1我们发现：
要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为真即可；否则命题为假.
要判定一个全称量词命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素，命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为假.
概念归纳
给定的集合对存在量词命题、全称量词命题的真假有没有影响
试举例说明.
思考探究
例 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1)平面内,凸多边形的外角和等于360° ;
(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;
(3) x∈{x|x>0},x+ ≥2.
解 (1)可以改写为“平面内,所有凸多边形的外角和都等于360°”,故是全称量词命题,是真命题.
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在量词命题,是真命题.
(3)命题中含有全称量词“ ”,是全称量词命题,是真命题.
典例剖析
题型一 全称量词命题与存在量词命题的辨析及真假判断
1.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法
(1)分析命题中是否含有量词;
(2)分析量词是全称量词还是存在量词;
(3)若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断.
归纳总结
2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定全称量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.
(2)要判定存在量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题就是假命题.
归纳总结
1.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使 >2
B
练一练
例2.若命题p“ x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　.
解析 命题p的否定为“ x∈R,2x2-3ax+9≥0”,真命题.
典例剖析
题型二 由全称(存在)量词命题的真假确定参数的范围
应用全称(存在)量词命题求参数范围的两类题型
(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解,也可以根据函数等数学知识来解决.
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.
归纳总结
2.是否存在整数m,使得命题“ x≥- ,-5<3-4m若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
练一练
1.(2020广东广州期末)设命题p: x∈[0,1],都有x2-1≤0.则命题p的否定为(　　)
A. x∈[0,1],使x2-1≤0
B. x∈[0,1],使x2-1≥0
C. x∈[0,1],使x2-1>0
D. x∈[0,1],使x2-1>0
解析 根据全称量词命题的否定为存在量词命题,命题p: x∈[0,1],都有x2-1≤0的否定为 x∈[0,1],使x2-1>0.故选C.
C
随堂练
2.(2020山东滕州第一中学新校高一月考)设命题p: k∈N,k2>2k+3,则命题p的否定为(　　)
A. k∈N,k2>2k+3
B. k∈N,k2<2k+3
C. k∈N,k2≤2k+3
D. k∈N,k2≤2k+3
随堂练
解析 因为命题p: k∈N,k2>2k+3,所以其否定为 k∈N,k2≤2k+3.故选C.
C
3.(2020江苏南京外国语学校高一月考)下列命题为真命题的是(　　)
A. x∈Z,1<4x<3
B. x∈Z,15x+1=0
C. x∈R,x2-1=0
D. x∈R,x2+x+2>0
D
随堂练
4.已知命题:“ x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　　.
解析 当x∈[1,2]时,x2+2x=(x+1)2-1单调递增,
所以3≤x2+2x≤8,由题意可得a+8≥0,解得a≥-8.
随堂练
[-8,+∞)
5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1)对某些实数x,有2x+1>0;
(2) x∈{3,5,7},3x+1是偶数;
(3) x∈Q,x2=3.
随堂练
解： (1)命题中含有存在量词“某些”,因此是存在量词命题,真命题.
(2)命题中含有全称量词的符号“ ”,因此是全称量词命题.
把3,5,7分别代入3x+1,得10,16,22,都是偶数,因此,该命题是真命题.
(3)命题中含有存在量词的符号“ ”,因此是存在量词命题.
由于使x2=3成立的实数只有± ,且它们都不是有理数,故没有一个有理数的平方等于3,所以该命题是假命题.
随堂练
1. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
(1) 任何实数的平方都是非负数；
(2) 任何数与0相乘，都等于0；
任何实数指都是，故是全称命题；
任何实数指都是，故是全称命题；
课本练习
(3) 任何一个实数都有相反数；
(4) 有些三角形的三个内角都是锐角.
任何实数指都是，故是全称命题；
有些是指存在的，故是存在性命题.
课本练习
2. 判断下列命题的真假：
(1) 任意一个平行四边形对边都相等；
(2) 有的四边形既是矩形又是菱形；
因为平行四边形的对边相等，所以任意一个平行四边形对边都相等是正确的，所以是真命题.
正方形既是矩形又是菱形，所以是真命题.
课本练习
(3) 实系数方程都有实数解；
(4) 有的正数比它的倒数小.
实系数方程 x2＋1＝0没有实数解，所以是假命题；
课本练习
错因分析
易错点　不能正确理解全称量词与存在量词的概念而致错
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(1)矩形有一个外接圆；
(2)非负实数有两个平方根；
(3)有一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立．
解：
(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题．
(2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题．　
(3)可以改写为“ x∈R，y∈R，使2x－y＋1<0成立”，是存在量词命题．　
一、选择题
1.下列命题中存在量词命题的个数是(　　)
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0 B.1 C.2 D.3
B
解析：命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题，故有一个存在量词命题.
分层练习-基础
2.已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，4) B.(4，＋∞) C.(－∞，0) D.[4，＋∞)
解析　∵p是假命题，
∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，
即Δ＝16－4a<0，即a>4.
B
分层练习-基础
3.下列命题不是“ x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　)
A.有一个x∈R，使得x2>3成立
B.对有些x∈R，使得x2>3成立
C.任选一个x∈R，都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立
解析：“任选一个”“任意一个”是全称量词.
C
分层练习-基础
A
4.将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为(　　)
A.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C.对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立
D.存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立
解析：B，D有存在量词“存在”，
C中，x，y的范围与原命题不符.
分层练习-基础
5.(多选题)下列命题中的真命题是(　　 )
ACD
解析:A项，∵x∈R，∴|x|＋1>0，故A正确；
B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾，故B错误；
D项，当x＝1时，5x－3＝2，故D正确.
分层练习-基础
二、填空题
6.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“ ”写成存在量词命题为__________________________.
解析：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M，p(x)”.
x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
分层练习-基础
7.若命题“ x∈R，使x2＋2x－3m＝0”为真命题，则实数m的取值范围为
________________.
解析　由方程有实根，即Δ＝4＋12m≥0，
分层练习-基础
8.下列全称量词命题中真命题的个数为________.
① x∈R，x2＋2>0；
② x∈N，x4≥1；
③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
1
解析：①由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，
所以命题“ x∈R，x2＋2>0”是真命题.
②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“ x∈N，x4≥1”是假命题.
③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.
分层练习-基础
三、解答题
9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？
(1)矩形有一个外接圆.
(2)非负实数有两个平方根.
(3)方程x2－x＋1＝0有实数根.
解　(1)原命题可改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题.
(2)原命题可改写为“任意的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题.
(3)原命题可改写为“存在实数x，使x2－x＋1＝0”，是存在量词命题.
分层练习-巩固
10.用量词符号“ ”“ ”表示下列命题，并判断其真假.
(1)实数都能写成分数形式；
解:(1) x∈R，x能写成分数形式.因为无理数不能写成分数形式，
所以该命题是假命题.
分层练习-巩固
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)至少有一个集合A，满足A?{1，2，3}.
解：(3) x∈{x|x是平行四边形}，x的对角线互相平分.
由平行四边形的性质可知此命题是真命题.
(4) A∈{A|A是集合}，A?{1，2，3}.
例如存在A＝{3}，使A?{1，2，3}成立，所以该命题是真命题.
分层练习-巩固
11.已知命题p： x≥3，使2x－15
解析：命题p为假命题，则任意x≥3，2x－1因为当x≥3时，2x－1≥5，故m≤5.
分层练习-巩固
12.(多选题)已知a＞0，函数y＝ax2＋bx＋c，实数m满足关于x的方程2ax＋b＝0，当x＝m时的函数值记为M，则下列选项中的命题为真命题的是(　　 )
A. x∈R，ax2＋bx＋c≤M B. x∈R，ax2＋bx＋c≥M
C. x∈R，ax2＋bx＋c≤M D. x∈R，ax2＋bx＋c≥M
ABD
分层练习-巩固
13.若 x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解　(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒在m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}.
分层练习-巩固
14.已知命题p：存在实数x∈R，使得ax2＋2x－1＝0成立.若命题p为真命题，求实数a的取值范围.
解　当a＝0时，方程2x－1＝0显然有解，符合题意；
当a≠0时，由题意可知Δ＝4＋4a≥0，∴a≥－1且a≠0.
综上a的取值范围为[－1，＋∞).
分层练习-巩固
15.已知函数y=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若存在一个实数x,使不等式m-y>0成立,求实数m的取值范围.
分层练习-拓展
全称(存在)量词命题在不等式中的应用
解 (1)存在.不等式m+y>0可化为m>-y,即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立,且m>-4.
(2)不等式m-y>0可化为m>y,若存在一个实数x,使不等式m>y成立,只需m>ymin.
又y=(x-1)2+4,∴ymin=4,则m>4.
故实数m的取值范围是(4,+∞).
分层练习-拓展
一般地,对任意的实数x,a>y恒成立,只要a>ymax;
若存在一个实数x,使a>y成立,只需a>ymin.
课堂小结
1.理解2个概念
(1)全称量词命题.
(2)存在量词命题.
2.掌握3种方法
(1)判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
(2)要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
(3)要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
课堂小结
全程量词命题与存在量词命题
全程量词
存在量词
全程量词命题
全程量词命题

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