资源简介

(共63张PPT)
苏教版2019高一数学（必修一）第一章 集合
2.3 全称量词命题与存在量词命题
第二课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
学习目标
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.（重点）
2.通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，
重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
情景导入
有一个百米赛道，现在让你和一只乌龟进行赛跑。
当你把这乌龟领先的2米跑完之后，乌龟又向前爬了0.4米……如此无穷无尽，你虽然越来越接近乌龟，但乌龟永远领先你一丢丢。因此，你永远也追不上这只乌龟。
你为了不欺负这只慢悠悠的老乌龟，决定让它先跑50米。
但问题来了，如果你要追上这只乌龟，你需要先跑完这50米，而当你跑完这50米的时候，乌龟已经又向前爬了10米。
你要追上乌龟，就必须再抓紧时间跑完这10米，但你跑完10米，乌龟又向前爬了2米。
这就是芝诺悖论的故事
或许有人会愤怒地指出芝诺完全就是胡扯。
毕竟，我跑完100米只需要不到11秒，超过一只乌龟也是轻而易举，我明明在跑步，你却说我静止不动，不是睁着眼睛说瞎话是什么？
但是，你觉得是芝诺哪里错了吗？
给出下列命题：
(1) 所有的正方形都是矩形；
(2) 存在有理数x，使 x－2 ＝ 0；
(3) 对任意的实数a，都有 a＞0；
(4) 有的矩形是菱形.
1.全称量词命题与存在量词的否定
新知探究
(1) 所有的正方形都是矩形；
命题(1)的否定是“不是所有的正方形都是矩形”，换言之，“有的正方形不是矩形”命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变成“否定”.
(2) 存在有理数x，使 x－2 ＝ 0；
命题(2)的否定是“不存在有理数x，使x2－2＝0”，换言之，“对所有的有理数 x，x2－2≠0”.命题否定后存在量词变为全称量词“肯定”成“否定”.
(3) 对任意的实数a，都有 a＞0；
命题(3)的否定是“不是对任意的实数 a，都有∣a∣≥ 0”，换言之“存在实数a，使∣a∣＜0”命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变成“否定”.
(4) 有的矩形是菱形.
命题(4)的否定是“不是有的矩形是菱形”，换言之，“所有的矩形都不是菱形”命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变成“否定”.
全称量词命题与存在量词命题的否定
原命题 否定
x∈M，p(x) ___________________
x∈M，p(x) ___________________
注：“﹁p(x)”是对语句“p(x)”的否定
x∈M，﹁p(x)
x∈M，﹁p(x)
概念归纳
对省略量词的全称量词命题或存在量词命题怎样否定
答：对于省略了量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定时，
可先根据题意补上适当的量词，再对命题进行否定.
想一想
命题与其否定的真假关系
对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，
这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”.
写出下列命题的否定：
课本例1
解： “所有的无理数都是实数”的否定是
“有的无理数不是实数”.
解：“菱形不是矩形”是指“任意一个菱形都不是矩形”，它的否定是“存在一个菱形，它是矩形”，或 “存在是矩形的菱形”.
一般地，对全称量词命题的否定，
主要是对全称量词的否定，
“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；
对存在量词命题的否定，主要是对存在量词的否定，
“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”.
概念归纳
题型一　全称量词命题的否定
【例1】　判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定.
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)任何一个平行四边形的对边都平行；
(4)负数的平方是正数.
典例剖析
解：(1)是全称量词命题且为真命题.
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°.
(2)是全称量词命题且为假命题.
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下.
(3)是全称量词命题且为真命题.
命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(4)是全称量词命题且为真命题.
命题的否定：某个负数的平方不是正数.
典例剖析
概念归纳
1.写出下列全称量词命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0.
解　(1)该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)该命题的否定为：有些自然数的平方不是正数.
(3)该命题的否定为：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.
(4)该命题的否定为：存在实数x，使得x2＋1<0.
练一练
题型二　存在量词命题的否定
【例2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1) x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(2)至少有一个实数x，使x3＋1＝0；
典例剖析
解　(1)命题的否定： x∈R，x2＋2x＋3>0.
∵ x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0恒成立，
∴命题的否定为真命题.
(2)命题的否定： x∈R，x3＋1≠0.
∵当x＝－1时，x3＋1＝0，∴命题的否定为假命题.
∴命题的否定为假命题.
典例剖析
概念归纳
2.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形.
解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.
练一练
题型三　由命题真假求参数的值(取值范围)
【例3】　已知p： x∈[－1，2]，x2－m≥0.若p的否定为假命题，
求实数m的取值范围.
解　∵p的否定为假命题，∴p为真命题，
即x2－m≥0，x∈[－1，2]恒成立.
∴m≤x2，x∈[－1，2]恒成立.
易知y＝x2，x∈[－1，2]的最小值为0，∴m≤0，
即实数m的取值范围是(－∞，0].
典例剖析
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“ x∈M，a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“ x∈M，a>y(或aymin(或a概念归纳
3.已知命题p： x∈R，m－x2＋2x－5>0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围.
解　因为p的否定为假命题，
所以命题p： x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，
m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，
即 x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，
故实数m的取值范围为{m|m>4}.
(本题也可利用二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图象的顶点在x轴上方，转化为对应方程Δ>0进行解题)
练一练
例4 (1)命题“ x∈R,x2≠x”的否定是(　　)
A. x R,x2≠x B. x∈R,x2=x
C. x R,x2≠x D. x∈R,x2=x
(2)写出下列命题的否定,并判断其真假:
①p: x∈R,x2-x+ ≥0;
②p:所有的正方形都是菱形;
③p:至少有一个实数x,使x3+1=0.
题型四 全称量词命题与存在量词命题的否定
D
典例剖析
解析 原命题的否定为“ x∈R,x2=x”,故选D.
②至少存在一个正方形不是菱形,假命题.
③ x∈R,x3+1≠0,假命题.
因为x=-1时,x3+1=0.
典例剖析
对全称量词命题和存在量词命题进行否定的步骤与方法
(1)确定类型:是全称量词命题还是存在量词命题.
(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词.
(3)否定结论:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
归纳总结
4.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)q:某些平行四边形是菱形;
(2)r:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;
(3)t: x∈R,x2+2x+2≤0.
解：(1)命题q的否定是“任意平行四边形都不是菱形”,假命题;
(2)命题r的否定是“存在实数m,使得方程x2+x-m=0没有实数根”.
当Δ=1+4m<0时,即当m<- 时,方程x2+x-m=0没有实数根,命题r的否定为真命题;
(3)命题t的否定是“ x∈R,x2+2x+2>0”.
因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0,命题t的否定为真命题.
练一练
4.命题p: x∈R,x2+2x+5<0是　　　　　　　　　(填“全称量词命题”或“存在量词命题”),命题p是　　(填“真”或“假”)命题,命题p的否定为　　　　　　　　　　　.
解析 命题p: x∈R,x2+2x+5<0是存在量词命题.
因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0恒成立,所以命题p为假命题.
命题p的否定为 x∈R,x2+2x+5≥0.
随堂练
存在量词命题
假
x∈R,x2+2x+5≥0
1.判断正误
(1)命题“ x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题.( )
解析：　是存在量词命题.
(2)若命题p的否定是全称量词命题，则命题p是存在量词命题.( )
(3)命题p： x＞2，x－2＞0，则p的否定是 x＞2，x－2≤0.( )
(4)命题 x∈N，x2＞0的否定是真命题.( )
解析:　其否定为 x∈N，x2≤0，显然是假命题.
×
√
√
×
随堂练
2.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　)
A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
C
解析　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，
即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.
随堂练
A
随堂练
4.命题： x∈R，x2－x＋1＝0的否定是__________________________.
解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以 x∈R，x2－x＋1＝0的否定是： x∈R，x2－x＋1≠0.
x∈R，x2－x＋1≠0
随堂练
1. 写出下列命题的否定：
(1) 所有的矩形都是平行四边形；
(2) 有的梯形是平行四边形；
存在一个矩形不是平行四边形；
所有的梯形都不是平行四边形；
课本练习
(3) 锐角都相等；
(4) 有的梯形是等腰梯形
有些锐角不相等；
所有的梯形都不是等腰梯形.
2. 写出下列命题的否定：
(1) 三角形的内角和是 180°；
(2) 所有的正三角形都相似；
有的三角形的内角和不是180°；
存在一些正三角形不相似；
(3) 二次函数有最小值；
(4) 有的实系数一元二次方程无实数解.
存在二次函数的值域不是R；
实系数一元二次函数都有实数解.
D
(1) 任一个质数都是奇数；
(2) 所有实数的绝对值都是正数；
(3) 有些相似三角形全等；
1. 指出下列语句中的全称量词或存在量词：
习题1.2
感受·理解
(4) 有的四边形有外接圆；
(5) 任意一个矩形都是轴对称图形；
(6) 有一个数不能做除数
2. 试判断下列命题的真假：
真命题
假命题
假命题
真命题
3. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并
判断它们的真假：
(1) 有的偶数是 3 的倍数；
存在量词命题，真命题
思考·运用
(4) 平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的
切线.
全称量词命题，真命题
(2) 矩形的对角线相等；
(3) 有的平行四边形的四个角都相等；
全称量词命题，真命题
存在量词命题，真命题
4. 写出下列命题的否定：
(1) 菱形的对角线互相垂直平分；
(2) 有的三角形一条边上的高与中线相等；
有些菱形的对角线不互相垂直平分.
所有的三角形一条边上的高与中线都不相等.
(3) 每一个正整数都比它的倒数大；
(4) 有的二次函数的图象关于坐标原点中心对称.
有的正整数不比它的倒数大.
所有二次函数的图象都不关于坐标原点中心对称.
5. 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)大于3的自然数是不等式 x2＞10 的解；
该命题的否定为：
存在大于3的自然数不是不等式 x2＞10 的解.
因为大于3的自然数有4，5，6，···， 它们的平方一定大于10，
即大于3的自然数都是不等式 x2＞10 的解，故该否定为假命题；
(2) 存在有序整数组 (x，y) 满足 xy ＝x＋y；
该命题的否定为：
所有有序整数组 (x，y) 不满足 xy＝ x＋y.
取整数组(0，0)，满足 xy ＝ x＋y，故该命题的否定为假命题；
(3) 任何一个四边形的四个顶点都共圆；
该命题的否定为：
存在一个四边形的四个顶点不共圆.
由于对角不互补的四边形不内接于圆，故该命题的否定为真命题.
(4) 有的反比例函数的图象与 轴有公共点.
该命题的否定为：
所有反比例函数的图象与x轴没有公共点.
由反比例函数的性质知该命题的否定为真命题.
6. (阅读题) 假设我们要否定命题“所有水生动物都用鳃呼吸”，可以这样做：
画出表示用鳃呼吸的动物的集合，
并包含表示所有水生动物的集合，如
图(1)所示，那么此图就表示“所有水
生动物都用鳃呼吸”.
探究·拓展
再将图(1)中水生动物的集合部分地移出用鳃呼吸的动物的集合，如图(2)，那么此图就表示“并非所有水生动物用鳃呼吸”，即“一些水生动物不用鳃呼吸”. 这就得到了原命题的否定.
可以看出，当我们否定一个含有全称量词的命题时，就会得到一个含有存在量词的命题.
试举社会生活或其他学科中命题的例子，并图示命题及该命题的否定.
命题“所有动物都是哺乳动物”为全称量词命题，该命题可以用下图表示：
该命题的否定可以用下图表示：
易错点　忽视否定的范围而致错
a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解
错因分析
一、选择题
1.关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A.p的否定为： x∈R，x2＋1≠0
B.p的否定为： x∈R，x2＋1＝0
C.p是真命题，p的否定是假命题
D.p是假命题，p的否定是真命题
C
解析　命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”.
p是真命题，p的否定是假命题.
分层练习-基础
2.设命题p： x∈Z，(x＋1)2－1>0，则p的否定为(　　)
A. x∈Z，(x＋1)2－1>0 B. x∈Z，(x＋1)2－1>0
C. x Z，(x＋1)2－1≤0 D. x∈Z，(x＋1)2－1≤0
解析：存在量词命题的否定为全称量词命题.
D
分层练习-基础
3.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p： x∈A，2x∈B，则p的否定为(　　)
A. x∈A，2x∈B B. x A，2x B
C. x A，2x∈B D. x∈A，2x B
解析　命题p： x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，
p的否定应为： x∈A，2x B.选D.
D
分层练习-基础
4.已知命题p： x>0，总有x＋1>1，则p的否定为(　　)
A. x≤0，使得x＋1≤1 B. x>0，使得x＋1≤1
C. x>0，总有x＋1≤1 D. x≤0，总有x＋1≤1
B
解析　“ x>0，总有x＋1>1”的否定是“ x>0，使得x＋1≤1”.故选B.
分层练习-基础
5.(多选题)下列命题p的否定正确的是( 　 　)
A.p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C.p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D.p： n∈N，2n≤100；p的否定： n∈N，2n>100.
ABD
解析：“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.A，B，D正确.
分层练习-基础
7.命题“每个函数都有最大值”的否定是__________________________.
解析　命题的量词是“每个”，即为全称量词，因此其否定是存在量词，
故应填：有些函数没有最大值.
有些函数没有最大值
x∈(0，＋∞)，x2≠x－1
分层练习-基础
8.已知命题p： x∈R，x2＋2ax＋a>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____________________.
解析　若命题p为假命题，
则命题p的否定： x∈R，x2＋2ax＋a≤0为真命题，
故Δ＝4a2－4a≥0，∴a≤0或a≥1，
∴当p为假命题时，a的取值范围是{a|a≤0或a≥1}.
{a|a≤0或a≥1}
分层练习-基础
三、解答题
9.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：每一个素数都是奇数；
(2)q：有理数都能写成分数的形式；
(3)s：有些实数的绝对值是正数.
解:(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，p的否定为：存在一个素数不是奇数，是真命题.
(2)q是全称量词命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，q的否定为：存在一个有理数不能写成分数的形式，是假命题.
(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，s的否定为：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题.
分层练习-巩固
10.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(2)q的否定为：有的正方形不是矩形，假命题.
(3)r的否定为： x∈R，x2＋2x＋2＞0.
∵ x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，∴r的否定是真命题.
∴p的否定是假命题.
分层练习-巩固
11.(多选题)下列命题的否定是假命题的是(　　 )
A.三角形角平分线上的点到角两边的距离相等
B.所有平行四边形都不是矩形
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.3是方程x2－9＝0的一个根
ACD
解析：A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到角两边的距离不相等，假命题，
B的否定：有些平行四边形是矩形，真命题，
C的否定：有些等边三角形不相似，假命题，
D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题.
分层练习-巩固
12.已知命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”，若此命题是假命题，则实数a的取值范围为_______________.若此命题是真命题，则实数a的取值范围为_______________.
解析　因为全称量词命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”的否定为：“存在x∈R，函数y＝x2＋ax＋1<0”.
当此命题是假命题时，其否定为真命题.
由于函数y＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数图象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.
所以实数a的取值范围是a<－2或a>2.
当此命题是真命题时，知Δ≤0，
则a2－4≤0，得－2≤a≤2.
{a|a<－2或a>2}
{a|－2≤a≤2}
分层练习-巩固
13.已知命题p： x∈R，x2－2x＋m＝0，若p的否定是假命题，求实数m的取值范围.
解　因为p的否定为假命题，所以p为真命题，
即 x∈R，x2－2x＋m＝0成立，
即方程x2－2x＋m＝0有实根，有Δ＝(－2)2－4m≥0，所以m≤1.
故实数m的取值范围为{m|m≤1}.
分层练习-巩固
解析　由二次函数的性质可得函数y1＝x2－2x，
－1≤x1≤2的取值范围为{y1|－1≤y1≤3}.
由一次函数的性质可知函数y2＝ax＋2(a＞0)，
－1≤x≤2的取值范围是{y2|2－a≤y2≤2＋2a}.
[3，＋∞)
分层练习-巩固
1.理解2个概念
全称量词命题、存在量词命题的否定.
2.注意4个问题
(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.
课堂小结
3.注意2个易错点
对含有一个量词的命题，否定时，不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论否定。
课堂小结

展开更多......

收起↑