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苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式
3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1　从函数观点看一元二次方程
学习目标
1.了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系.
2.会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况.
3.通过用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况，提升直观想象素养、逻辑推理素养.
情景导入
我们知道，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系. 例如，可以借助函数 y＝2x－3 的图象来求解 2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0.
反过来，也可以通过求解 2x－3＝0，2x－3＞0，
2x－3＜0，来深人理解函数 y＝2x－3的性质，那么
●怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题
新知探究
从函数的观点看，方程 x2－2x－3＝0的两个根 x1＝－1，x2＝3，就是二次函数 y＝x2－2x－3 当函数值取零时自变量x的值，即二次函数 y＝x2－2x－3 的图象与x轴交点的横坐标.
这时，我们称－1，3 为二次函数 y＝x2－2x－3 的零点.
一、二次函数的零点
一般地，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的根就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 当函数值取零时_______________，即二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 的图象与______________________，也称为二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c (a≠0)的零点.
自变量x的值
x轴交点的横坐标
归纳总结
二、一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根、
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象、
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点之间的关系.
归纳总结
(1) 关系 (当a＞0时).
判别式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
方程
ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根
x1，2＝ 有两个相等的实数根
x1＝x2＝－ 没有实数根
判别式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c的图象
判别式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点
x1，2＝
有一个零点x＝－ 无零点
当a＜0时，一元二次方程 ax2＋ba＋c＝0 的根次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点之间的关系请同学们自行完成(见练习 1).
例 1
求证：二次函数 y＝2x2＋3x－7 有两个零点.
分析 要证明二次函数 y＝x2＋3x－7 有两个零点，只需证明元二次方程 2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根即可.
课本例题
证明：考察一元二次方程 2x2＋3x－7＝0.
因为 ＝32－4×2×(－7) ＝65＞0，
所以方程 2x2＋3x－7＝0 有两个不相等的实数根.
因此，二次函数 y＝2x2＋3x－7有两个零点.
例 2
判断二次函数 y＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点.
课本例题
1. 当 a ＜ 0 时，请填下表：
判别式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
方程
ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根
x1，2＝ 有两个相等的实数根
x1＝x2＝－ 没有实数根
课本练习
判别式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c的图象
判别式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点
x1，2＝
有一个零点x＝－ 无零点
2. 画出二次函数 y＝x2－x－2 的图象，并指出该函数的零点.
解：二次函数 y＝x2－x－2 图象如下：
由 x2－x－2＝0 得，x＝－1或x＝2.
故所求零点为－1，2.
3. 求下列二次函数的零点：
(1) y＝(x＋1)(x－1)； (2) y＝x2－4x；
解：令 y＝0，得x1＝－l，x2＝1，
所以函数的零点为－1和 1.
解：令 y＝0，即 x2－4x＝0，得x(x－4)＝0，
解得x1＝0，x2＝4，
所以函数的零点为 0 和 4 .
(3) y＝－3x2－9； (4) y＝－x2＋2x－1.
解：令 y＝－3x2－9＝0，
方程无实数根，所以函数无零点.
解：令 y＝－x2＋2x－1＝0，即x2－2x＋1＝0，
得 (x－1)2＝0，解得 x＝1.
所以函数的零点为1.
D
易错点　忽略对参数的分类讨论而致错
错因分析
C
一、选择题
1.函数y＝－x2＋x＋2的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　由－x2＋x＋2＝0得Δ＝1＋8＝9>0，
∴方程有两个实根，即函数有两个零点.
分层练习-基础
2.已知关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则实数a的取值范围是(　　)
A.(4，＋∞) B.(－∞，4)
C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
解析　∵关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，
∴令y＝x2－ax＋3，其图象开口向上，
只需y|x＝1＝1－a＋3＝4－a<0，得a>4.
故选A.
A
3.若二次函数y＝ax2＋2x＋1(a≠0)有一个正零点和一个负零点，则有(　　)
A.a<0 B.a>0 C.a<－1 D.a>1
解析　法一　由y＝ax2＋2x＋1(a≠0)的图象过(0，1)点，知要使函数的图象与x轴的交点分别在y轴的左、右两侧，则a<0.
A
法二　由方程ax2＋2x＋1＝0有两相异号实根，设两根为x1，x2，
C
4.若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1，2，则函数y＝cx2＋bx＋a的零点为(　　)
解析　∵1和2是ax2＋bx＋c＝0的两根，
B
5.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足y|x＝1＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.0 D.不能确定
解析　由y|x＝1＝a＋b＋c＝0，又a>b>c，
∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0，
∴函数的零点有2个.
二、填空题
6.函数y＝x2－mx－2的一个零点是－1，则m＝________，另一个零点是________.
解析　由y|x＝－1＝1＋m－2＝0得m＝1，
∴y＝x2－x－2，由x2－x－2＝0得x1＝－1或x2＝2.
1
2
7.已知函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________.
－3
解析　由题意知ax2＋2ax＋c＝0的一个根为1，设另一根为x0.
则1＋x0＝－2，∴x0＝－3.
0
8.函数y＝x2－5x－6在区间[1，4]上的零点个数是________.
解析　由x2－5x－6＝0得x1＝－1，x2＝6.
即函数的零点是－1，6，
∴函数在区间[1，4]上的零点个数为0.
三、解答题
9.已知二次函数y＝－x2－x＋a只有一个零点，求实数a的值.
解　二次函数y＝－x2－x＋a只有一个零点，即方程－x2－x＋a＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝1＋4a＝0.
10.已知函数y＝ax2＋2ax＋1有两个零点x1，x2且x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)，求实数a的取值范围.
解　∵y＝ax2＋2ax＋1有两个零点，则函数的图象过(0，1)且与x轴有两个交点，又x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)，
11.若函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点，则实数a＝___________.
当a≠0时，ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0为一元二次方程，且有两个相等的实数根，
分层练习-巩固
B
12.在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则y＝x⊙(x－2)的零点为(　　)
A.0和2 B.－2和1
C.－1和2 D.－2和0
解析　由题意y＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
令y＝0，
∴x＝－2或x＝1.
13.若二次函数y＝x2＋2x－m＋1没有零点，试说明关于x的方程x2＋mx＋12m＝1一定有实数根.
解　由题意知，关于x的方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，
∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0.
而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判别式
Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，
∵m<0，∴m2>0，－48m>0，
∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，
∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不相等的实数根，即一定有实数根.
ABD
14.(多选题)函数y1＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1A.x1<2且22且x2>5
C.x1<2且x2>5 D.25
解析　令y2＝(x－2)(x－5)，则y1＝y2－1，
∴函数y1＝(x－2)(x－5)－1的零点就是函数y2＝(x－2)·(x－5)与函数y＝1图象的交点的横坐标.
在同一坐标系内画出y2＝(x－2)(x－5)的图象与
y＝1的图象如图所示，结合图象知只有C正确.
分层练习-拓展
1.掌握1个概念——函数的零点
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是方程y＝0的实数根，也就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数而不是一个点，在写函数零点时，所写的一定是一个数，而不是一个坐标.
2.提升1个素养——数形结合
结合二次函数图象理解一元二次方程的根与函数的零点的关系.
课堂小结

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