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苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式
第一课时　一元二次不等式的解法
3.3.2　从函数观点看一元二次不等式
学习目标
1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系.
2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
我们来看下面的问题：
某杂志以每册 2 元的价格发行时，发行量为 10 万册经过调查若单册价格每提高 0.2 元，则发行量就减少 5000 册要使杂志社的销售收入大于 22.4 万元，每册杂志的价格应定在怎样的范围内
情景导入
一、一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是 2 的_______________叫作一元二次不等式.
整式不等式
我们知道，一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.那么，
● 一元二次不等式和相应的二次函数是否也有内在的联系
新知探究
二、一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系
(1) 关系：(a＞0)
判别式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
方程
ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根
x1，x2 (x1＜x2) 有两个相等的实数根
x1＝x2＝－ 没有实数根
判别式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c的图象
判别式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
ax2＋bx＋c＞0的解集 (－∞，x1)
∪
(x2，＋∞) (－∞，－) ∪
(－，＋∞) R
ax2＋bx＋c＜0的解集 (x1＜x2)
当a＜0 时，通过不等式两边同乘以－1，可将问题转化为二次项系数为正的情形，利用表上表解决.
例 1
解下列不等式：
(1) x2－7x＋12＞0；
(2) －x2－2x＋3≥0；
课本例题
解 方程 x2－7x＋12＝0 的解为
x1＝3，x2＝4.
根据 y＝x2－7x＋12 的图象
可得原不等式的{ x∣x＜3 或 x＞4}.
解 不等式两边同乘以－1，得 x2＋2x－3≤0.
方程 x2＋2x－3＝0 的解为 x1＝－3，x2＝1.
根据 y ＝ x2＋2x－3 的图象，
可得原不等式的解集为 { x∣－3≤x≤1).
(3) x2－2x＋1＜0；
解 方程 x2－2x＋1＝0
有两个相同的解x1＝x2＝1.
根据 y＝x2－2x＋1的图象，
可得原不等式的解集为 .
(4) x2－2x＋2＞0.
解 因为 ＜0，所以方程 x2－2x＋2＝0
无实数解.
根据 y＝x2－2x＋2 的图象，
可得原不等式的解集为 R .
1. (1) 不等式(x－1)(x－3)＞0的解集为( )。
A.{ x∣x＜1} B.{ x∣x＞3}
C.{ x∣x＜1 或 x＞3} D.{ x∣1＜x＜3}
(2) 不等式－x2＋2x－4＞0 的解集为( ).
A. R B.
C. { x∣x＞0，x∈R} D.{ x∣x＜0，x∈R}.
C
B
课本练习
2. 解下列不等式：
(1) x2＋4x－12＞0；
解：该不等式可化为(x＋6)(x－2)＞0，
解得 x＜－6或 x＞2，
故原不等式的解集为
{ x∣x＜－6 或 x＞2}.
(2) x2－x＋1≤0；
(3) 2x2－5x＋3＜0；

(4) 3x2－x－4＞0；

(5) 2x2＋4x＋3＞0；
解：该不等式可化为
2(x＋1)2＋1＞0，
恒成立，
故原不等式的解集为R.
(6) 9x2－6x＋1≤0.
3. 解下列不等式：
(1) －6x2－x＋2＜0；

(2) 1－4x2≥4x＋2；
解：不等式可变形为4x2＋4x＋1＜0，
即(2x＋1)2＜0，
显然无解，
即解集为 .
(3) 1－3x＜x2；

(4) (x－2)(x＋2) ＞1.
4. 当 x 是什么实数时，函数 y＝－x2＋5x＋14 的值是：
(1) 0
解： －x2＋5x＋14＝0
x2－5x－14＝0
(x－7)(x＋2) ＝0
x1＝7，x2＝－2
(2) 正数
解： －x2＋5x＋14＞0
x2－5x－14＜0
(x－7)(x＋2) ＜0
－2＜x＜7
(3) 负数
解： －x2＋5x＋14＜0
x2－5x－14＞0
(x－7)(x＋2) ＞0
x＞7 或 x＜－2.
5. (1)已知集合 M＝{x|－4≤x≤7，N＝{x|x2－x－6＞0}， 求M∩N；
解：∵集合M ＝ {x∣－4≤x≤7}，
N ＝ {x|x2－x－6＞0}
＝ {x∣x＜－2或 x＞3}，
∴ M∩N ＝{x∣－4≤x＜－2 或 3＜ x≤7}；
(2) 已知集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|(x－2)(x－5) ＜0}，求 A∪B.
解：∵集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}
＝{x∣1＜x＜3}，
B＝{x|(x－2)(x－5)＜0}
＝{x∣2＜x＜5}，
∴ A∪B ＝{x∣1＜x＜5}.
错因分析
易错点　随意消项致错
A
一、选择题
1.不等式6x2＋x－2≤0的解集为(　　)
解析　因为6x2＋x－2≤0 (2x－1)(3x＋2)≤0，
分层练习-基础
D
3.如果关于x的不等式x2A.－81 B.81 C.－64 D.64
解析　不等式x2B
故1和3是x2－ax－b＝0的两根，
解得a＝4，b＝－3.
所以ba＝(－3)4＝81.故选B.
B
4.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A.{x|0C.{x|x<－2或x>1} D.{x|－1解析　根据给出的定义得，
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，
则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－2A
5.若一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－3或x>5}，则ax2－bx＋c<0的解集为(　　)
A.{x|x<－5或x>3} B.{x|－5C.{x|x<－3或x>5} D.{x|－3解析　由题意知－3和5是ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系得：
代入得ax2＋2ax－15a<0，
又由解集的形式知a<0，∴x2＋2x－15>0，
∴(x－3)(x＋5)>0
∴x>3或x<－5.
4
故a＋b＝4.
7.不等式－1解析　由－1＜x2＋2x－1≤2，
{x|－3≤x<－2或0∴－3≤x<－2或08.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为2，－1，则当a＜0时，不等式
ax2＋bx＋c≥0的解集为_______________.
[－1，2]
解析　由题意ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x＋1)，
故原不等式可化为a(x－2)(x＋1)≥0，
又∵a＜0，∴(x－2)(x＋1)≤0，
所求解集为[－1，2].
三、解答题
9.解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.
(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.
作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图③.
③
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为 .
10.已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B.
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋bx＋3<0的解集.
解　(1)由x2＋x－6<0得－3∴A＝{x|－3∴B＝{x|－1(2)由已知得－1和2为x2＋ax＋b＝0的两根，
∴不等式ax2＋bx＋3＜0为－x2－2x＋3<0，即x2＋2x－3>0，
解得x<－3或x>1.
∴所求不等式的解集为{x|x<－3或x>1}.
BC
11.(多选题)下列不等式的解集为R的是(　　)
B中，Δ＝62－4×10＜0，解集为R；
C中，不等式可化为x2－x＋2＞0，Δ＝(－1)2－4×2＜0，解集为R；
D中不等式化为2x2－3x＋3<0，Δ＝(－3)2＋4×2×3＜0，解集为 .
分层练习-巩固
∴m的取值范围是{m|m<0}.
(－∞，0)
13.解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R).
解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；
当0a}；
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a>1时，aa2}.
综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}.
又f(1)＝a－b＋c＞0，f(－1)＝a＋b＋c＜0，
作出函数y＝ax2－bx＋c的简图如图.
③⑤
∴b＜0，而f(0)＝c＞0，
故③⑤正确.
分层练习-拓展
1.掌握1个知识点——一元二次不等式的解法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集.
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}.
有口诀如下：大于取两边，小于取中间.
课堂小结
2.突破1个重难点——含参数的一元二次不等式的解法
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
3.规避1个易误点
当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的.
课堂小结

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