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苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式
3.1 不等式的基本性质
学习目标
1.掌握不等式的基本性质.
2.运用不等式的性质解决有关问题.
3.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.
情景导入
我们知道，实数可分为正数、零和负数，任给一个实数，它只可能为正数、零和负数中的一种. 那么，对于任意两个实数 a，b，它们的差 a－b 也只可能为正数、零和负数中的一种.
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌，轻与重，不超过或不少于等.类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等.相等用等式表示，不等用不等式表示.
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号
“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
连接起来的式子
文字语言 符号表示
当a－b为正数时，称a＞b； a＞b a－b＞0
当a－b为零时，称a＝b； a＝b a－b＝0
当a－b为负数时，称a＜b. a＜b a－b＜0.
新知探究
1.实数比较大小的基本事实
在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质：
● 不等式有哪些基本性质呢
性质1　如果a>b，那么bb，即a>b b性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c a____c.
性质3　如果a>b，那么a＋c____b＋c.
性质4　如果a>b，c>0，那么ac____bc；如果a>b，c<0，那么ac____bc.
性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c____b＋d.
性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac____bd.
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新知探究
2.不等式的性质
性质1
若 a ＞ b，则 b ＜ a.
分析 要证 b ＜ a ，只要证 b － a ＜ 0.
证明 因为 a＞b，所以 a－b＞0.
又因为正数的相反数是负数，所以－(a－b)＜0，
即 b－a＜0.
所以 b＜a.
性质2
若 a ＞ b，b ＞ c，则 a ＞ c.
分析 要证 a＞c，只要证 a－ c＞0.
证明 因为 a＞b，b＞c，所以 a－b＞0，b－c＞0.
由两个正数的和是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，
即 a－c＞0.
因此 a＞c.
性质3
若 a＞b，则 a＋c＞b＋c.
分析 要证 a＋c＞b＋c，只要证(a＋c)－(b＋c)＞0，即 a－b ＞ 0.
证明 因为a ＞ b，所以 a－b＞0.
又因为 (a＋c) －(b＋c) ＝ a－b，
所以 (a＋c) －(b＋c) ＞ 0.
故 a＋c ＞ b＋c.
本性质告诉我们，不等式两边都加上(或都减去)同一个实数，不等号的方向不变. 利用它可以把不等式中某一项改变符号后，从不等式的一边移到另一边，即
a ＋ b ＞ c a ＞ c － b.
性质4
若 a ＞ b，c ＞ 0，则 ac ＞ bc；若 a ＞ b，c ＜ 0，则 ac ＜ bc.
证明 ac－bc＝(a － b)c.
因为 a＞b，所以 a－b＞0.
因此，当c＞0时，(a－b)c＞0，从而 ac＞bc；
当c＜0时，(a－b)c＜0，从而 ac ＜ bc.
本性质告诉我们，不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变.
性质5
若 a＞b，c＞d，则 a＋c ＞ b＋d.
证明 由 a ＞ b 和性质3，得 a＋c ＞ b＋c.
又由 c ＞ d 和性质3，得 b＋c ＞ b＋d.
于是，由性质 2，得 a＋c ＞ b＋d.
本性质告诉我们，两个同向不等式两边分别相加，所得的不等式和原不等式同向.
性质6
若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 ac＞bd.
证明 因为a＞b＞0，c＞0，由性质4，得 ac＞bc.
因为c＞d＞0，b＞0，由性质4，得 bc＞bd.
由性质 2，得 ac＞bd.
特别地，当 a＝c，且b＝d时，有a2＞b2.
以后，我们可以用数学归纳法证明如下结论：
若 a＞b＞0，则 an＞bn( n∈N*).
本性质告诉我们，两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向。
性质 5 和性质 6 也可以看成是前面性质的推论.
以上性质是求解和证明不等式的基础.
例 1
课本例题
课本练习
例 2
已知 a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d.
证法1 由a＞b，得 a－b＞0；
由c＜d，得 d－c＞0.
因为(a－c) －(b－d) ＝(a－b)＋(d－c) ＞0，
所以 a－c＞b－d.
证法2 因为c＜d，所以－c＞－d.
又因为 a＞b，所以 a＋ (－c) ＞b＋ (－d).
即 a－c＞b－d
课本例题
证明　(1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.
又e>f，即f∵a0，ab>0，
练一练
用不等式的性质进行证明时，要善于寻找欲证不等式与已知条件的关系,利用相应的不等式性质证明;
要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘(除以)一个常数;
一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的;
一个不等式是不是将一个不等式的两边取了倒数而得到的等等.
概念归纳
例 3
比较两数(a2＋1)2与 a4＋a2＋1的大小.
解： 因为 (a2＋1)2－ (a4＋a2＋1)
＝ a4＋2a2＋1－a4－a2－1
＝a2.
当a＝0时，a2＝0，所以(a2＋1)2 ＝a4＋a2＋1；
当a≠0时，a＞0，所以 (a2＋1)2＞a4＋a2＋1.
课本例题
【解】运用作差法：
作差
变形
定号
定论
0是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆.
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式).
这是解决不等式问题的常用方法.
练一练
作差法比较两个实数大小的基本步骤
概念归纳
作差
变形
定号
结论
a-b
采用配方、因式分解、通分、有理化等手段
判断差与0的大小
利用实数a，b大小比较的基本事实
错因分析
1.若a＞b，则ac2________bc2.
易错警示　忽视因式可能为0
错解：因为c2＞0，且a＞b，所以ac2＞bc2，故填＞.
易错防范：上面的解法错在忽视了c＝0的情况．当c＝0时，ac2＝bc2.防范措施是使用不等式的性质时，不可忽视条件．
正解：因为c2≥0，且a＞b，所以ac2≥bc2，故应填≥.
2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是(　　)
A.A≤B B.A≥B
C.A>B D.大小关系不确定
错因分析
因忽视配方法在判断符号中的应用致错
错解:因为A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab,所以A,B的大小关系不确定.
B
防范措施
1.用作差法比较两个数(式)的大小时,其关键是变形,一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段变形,这样有利于定号.特别是作差后的式子为二次三项式时,常考虑因式分解或配方法变形.
2.注意培养逻辑推理素养和数学运算素养.
归纳总结
错用不等式的性质
1.已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.
错解:1≤a-b≤2,①
2≤a+b≤4,②
错因分析
这个方法错在哪里？
提示:上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的,但实际上答案是错误的.
那到底是为什么呢
我们先看不等式4a-2b ≥3什么时候取等号,
由上述解题过程可知,当 ,才取等号,而此时a-b=0,不满足①式,
因此4a-2b是不能等于3的.同理可验证4a-2b也不能等于12.
出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的,用它来做变形,是非同解变形,因此结论是错误的.
归纳总结
错因分析
防范措施
1.建立待求取值范围的整体与已知取值范围的整体的关系,利用不等式的性质进行运算,求得待求的取值范围.
2.同向(异向)不等式的两边可以相加(减),但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围,所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎,必要时改换求解的思路和方法.
归纳总结
课本练习
1. 回答下列问题，并说明理由.
(1)由 a＞b，能否得到ac2＞bc2？
不能
解：当c＝0时，ac2＝bc2＝0，∴当c＝0时，不能得到 ac2＞bc2.
当c≠0时，c2＞0，∴ ac2＞bc2，
∴ c≠0 时，能得到 ac2＞bc2，
故 c＝0时，不能得到ac2＞bc2；
c≠0 时，能得到 ac2＞bc2 .
(2) 由 a＞b，c＞d，能否得到 a－c ＞ b－d
不能
解：由 a＞b，c＞d 不一定能得到 a－c＞b－d.
例如，令 a＝3，b＝2，c＝－1，d ＝－2，
满足 a＞b，c＞d，但是 a－c＝b－d，
故 a＞b，c＞d 不一定能得到 a－c＞b－d.
1. 回答下列问题，并说明理由.
课本练习
(3) 由 a＞b，c＞d，能否得到ac＞bd
不能
解：由 a＞b，c＞d 不一定能得到 ac＞bd.
例如，令a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3.
满足a＞b，c＞d，但是ac＝bd，
当 a＞b＞0，c＞d＞0时，可以得到 ac＞bd.
故只有 a＞b＞0，c＞d＞0时，可以得到ac＞bd.
1. 回答下列问题，并说明理由.
课本练习
3. 比较两数 (x＋1)(x2－x＋1)与(x－1)(x2＋x＋1)的大小.
解：(x＋1)(x2－x＋1)＝x3－x2＋x＋x2－x＋1＝x3＋1，
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1，
∵ x3＋1＞x3－1
∴ (x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)，
综上所述，结论为：
(x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)
课本练习
4. 已知 a ＜ b ＜ 0，求证： a2 ＞ b2.
证明：∵ a＜b＜0，
∴－a＞－b＞0.
(→或由 a＜b＜0 得 ∣a∣＞∣b∣＞0，
进而得 a2＞b2.
由不等式性质6，得(－a)2＞(－b)2，
即a2＞b2.
课本练习
课本练习
题型一　用不等式的性质判断真假
a＋b<0，ab>0，则a＋ba3>b3，④正确.
故不正确的不等式的个数为2.
C
典例剖析
①③
综上，真命题的序号是①③.
对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，
则7－0<6－(－10)，②错误；
对于③，对于正数a，b，m，
若a所以0不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值法求解.
题型二　证明不等式
∵a>b>0，c∴a＋b>0，c＋d<0，b－a<0，c－d<0，
∴(a＋b)－(c＋d)>0，(b－a)＋(c－d)<0.
∵e<0，∴e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]>0.
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴(a－c)2>(b－d)2>0，
1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；
2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.
题型三　利用不等式的性质求范围
解　∵3∴1－4典例剖析
求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.
B
一、选择题
1.设xA.x2ax>a2
C.x2a2>ax
解析　∵xa2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.
分层练习-基础
2.设a当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确；
|a|＝－a>－b，则选项C正确；
B
∵a>b>c，∴b－c>0，c－a<0，b－a<0，
A
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
C
4.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)
解析　当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；
ACD
5.(多选题)已知a，b，c，d∈R，则下列结论中不成立的是(　　 )
A.若a>b，c>b，则a>c
B.若a>－b，则c－a解析　选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；B正确；
选项C，不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0选项D，若a＝－3，b＝2，显然不成立.故选ACD.
D.若a2>b2，则－a<－b
又因为12解析　由15又因为12(－24，45)
①②④
7.下列命题中的真命题是________(填序号).
②a>b －2a<－2b c－2a解析　∵a>b>c>0，
y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2ac－2bc
＝2c(a－b)>0，
∴y2>x2，即y>x.同理可得z>y，故z>y>x.
z>y>x
三、解答题
9.判断下列四个命题的真假.
(2)∵a>b，|c|≥0，当c≠0时，|c|>0，∴a|c|>b|c|.
当c＝0时，|c|＝0，∴a|c|＝b|c|＝0.
∴(2)是假命题.
(3)当b－a>0.∴(－b)n>(－a)n.
∵n为奇数，∴－bn>－an.∴an>bn.∴(3)是真命题.
∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0，a－b>0.
B
11.若a>b>0，c法二　依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入验证得A，C，D均错误，只有B正确.
分层练习-巩固
13.已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围.
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.
故4a－2b的取值范围为[－2，10].
法二　令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.
∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b).
故4a－2b的取值范围为[－2，10].
14.已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.
(1)求a＋b的取值范围；
(2)求证：a，b中至少有一个大于或等于0.
(1)解　a＋b＝x2－1＋2x＋2＝(x＋1)2≥0.
故a＋b的取值范围为[0，＋∞).
(2)证明　假设a，b都小于0，
即a＜0，b＜0，∴a＋b＜0.
又a＋b＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，
这与假设所得结论矛盾.故假设不成立，
∴a，b中至少有一个大于或等于0.
分层练习-拓展
感受·理解
习题3.1
2. 已知a ≠b，比较 a2－ab 与ba－b2 的大小.
解： a2－ab－(ba－b2) ＝ a2－ab－ba＋b2
＝ a2－2ab＋b2
＝ (a－b)2
∵ a ≠b，
∴ (a－b)2＞0，
∴ a2－ab ＞ ba－b2.
3. 已知 x≠0，比较(x2＋2)2与x4＋x2＋4的大小.
解： (x2＋2)2 － x4＋x2＋4
＝ x4＋4x2＋4－x4 － x2－4＝3x2，
∵ x≠0，
∴ 3x2＞0，
∴ (x2＋2)2 － x4＋x2＋4 ＞0，
∴ (x2＋2)2 ＞ x4＋x2＋4 .
4. 证明下面的结论：
(1) 如果 a＞b＞0，c＞d，且 c＞0，那么ac＞bd；
证明：由题知 a＞b＞0，c＞d，c＞0，
若d＞0即c＞d＞0，
由不等式的同向可乘性得 ac＞bd，
若 d＝0，则bd＝0，又ac＞0，所以 ac＞bd，
若 d＜0，则bd＜0，又ac＞0，所以 ac＞bd，
综上 ，ac＞bd；
(2) 如果 a＜b＜0，c＜d＜0，那么 ac＞bd；
证明：由题知 a＜b＜0，c＜d＜0，
则－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，
∴ (－a)·(－c) ＞(－b)·(－d)，
即 ac＞bd；
5. 设m为实数，解关于 x 的不等式 m(x＋2)x＋m.
思考·运用
8. 已知 a＜b＜0，求证：a4＞ b4.
证明：∵ a＜b＜0 ，
∴ a－b＜0，且 a＋b＜0.
从而 (a－b)(a＋b)＞0，即 a2－b2＞0.
又∵ a＞0，b＞0，
∴ a＋b＞0，
从而 (a2－b2)(a2＋b2)＞0，即a－b＞0，故a4＞b4.
9. 已知 a ＞ b ＞ 0，求证：
9. 已知 a ＞ b ＞ 0，求证：
探究·拓展
11. 已知b g糖水中含有a g(b＞a＞0)，若再添m g(m＞0) 解在其中，则糖水变得更甜(即糖水中含糖浓度变大).
试根据这个事实写出 a，b，m 所满足的不等关系，并给予证明.
1.牢记2组性质
(1)等式的3个性质；(2)不等式的7个性质.
2.掌握不等式性质应用的条件：
(1)使用的前提条件.
(2)是否可逆.
3.注意1个易错点
注意不等式性质的单向性或双向性.
课堂小结

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