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苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式
3.2.2　基本不等式的应用

学习目标
1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.
2.能够利用基本不等式解决实际问题.
3.通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.
情景导入
例 3
用长为 4a 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大
上式当且仅当 x＝2a－x，即 x＝a 时，等号成立.由此可知，
当x＝a时，S＝(2a－x)取得最大值 a2.
答： 将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为 a2.
课本例题
例 4
某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m，深度为 3m. 如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价为多少元
课本例题
对于正数 a，b，在运用基本不等式时，应注意：
归纳总结
例 5

课本例题
例 6
如图 ，一份印刷品的排版面积(矩形)为 A，它的两边都留有宽为 a 的空白，顶部和底部都留有宽为的空白如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少
解 设纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别是 x，y
(x＞0，y＞0)，则 xy＝A.
课本例题


D
课本练习
D
3. 设 x＞0，y＞0，且 2x＋5y＝20，求xy的最大值.
4. 将一段圆木制成横截面是矩形的柱子，怎样加工才能使横截面的面积最大
故 AB＝2rcosα，BC＝2rsinα，
故 S＝4r2sinαcosα＝2r2sin2α≤2r2，
故当α＝45°时，sin2α 取得最大值1，
此时面积 S 取得最大值 S＝2r2.
5. 如图，质量是 W 的重物挂在杆上距支点 a 处. 质量均的杆子每单位长度的质量为 m. 杠杆应当多长，才能使得加在另一端用来平衡重物的力 F最小
错因分析
易错点1　忽略等号成立的条件而致错
A
9
错因分析
易错点2　多次应用基本不等式而致错
C
错因分析
B
分层练习-基础
2.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为(　　)
C
3.欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长、宽分别为(　　)
解析　设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，
A
C
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
∵要求够用且浪费最少，故选C.
C
∴9m≤54，即m≤6，故选C.
二、填空题
6.已知x，y都是正数.
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________.
5
7.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处.
∴k1＝20，k2＝0.8.
三、解答题
9.已知x，y都是正数.
(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立.
∴xy的最大值为6.
解　∵3x＋2y＝12，
解　设总费用为y元.
由题意得
所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.
BC
11.(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　)
当且仅当a＝b时等号成立.
分层练习-巩固
当且仅当a＝b时等号成立，∴C正确；
又a2＋b2≥2ab，
∴B正确；
20
12.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m，面积最大为________m2.
当且仅当x＝20时，等号成立，
即当x＝20 m时，面积最大，最大值为400 m2.
400
13.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，求车厢的最大容积.
解　设车厢的长为b m，高为a m.
设a＋1＝t，
当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立.
故车厢的最大容积是16 m3.
解析　正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
分层练习-拓展
感受·理解
1. 证明下列不等式：
(1) a2＋b2≥2a＋2b－2；
证明：∵a2＋1＞2a，b2＋1＞2b，
∴ a2＋b2＋2≥2a＋2b，
即 a2＋b2≥2a＋2b－2.
习题3.2
3. 证明：

6. 如图，墙角线互相垂直，长为 a m 的木棒AB的两个端 点分别在这两墙角线上，如何放置木棒才能使围成区域的面积最大
解：如图，设 AO＝a m，BO＝y m.
∵OA⊥OB，∴ OA2＋OB2＝AB2∴ x2＋y2＝a2

证明：设点A(b，a)，B(－c,－c)，C(－d，－d)，
∵a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，
∴点A在第一象限，点B在第三象限，点C第三象限，
且点B、点C都在直线 y＝x上，
思考·运用

解：设提价前的价格为1，那么两次提价后的价格为，
方案甲：(1＋p %)(1＋q%)＝1＋p%＋q%＋0.01pq%；
方案乙：(1＋q%)(1＋p%) ＝ 1＋p%＋q% ＋0.01pq%；
探究·拓展
乙：因为y＝2x2－1在区间[1，＋∞)上的图象随着x增大而逐渐上升，即y随x增大而增大，所以y的最小值是 2×12＋1＝3.试判断谁错，错在何处
解：甲的解法错误，乙的解法正确.
掌握1种方法——利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①一正——各项为正数；
②二定——和或积为定值；
③三相等——等号一定能取到.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，要采用“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.
课堂小结

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