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苏教版2019高一数学（必修一）第四章 指数与对数
4.2 对 数
4.2.1 对数的概念
学习目标
1.理解对数的概念.
2.知道自然对数和常用对数.
3.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化.
4.通过理解和掌握对数的性质，求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养.
已知1个细胞经过 x 次分裂后，相应的细胞个数为
y＝2x.
由此，若知道了分裂的次数 x，就能求出分裂后相应的细胞数 y . 反过来，
● 若知道了分裂后相应的细胞数 y，怎样求出分裂的次数 x 呢
情景导入
一、对数的概念
(1) 定义：
一般地，如果 ab＝N (a＞0，a≠1)，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数，记作__________，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.
logaN＝b
上述问题也就是在 y＝2x中，已知 y，求 x 此时问题就转化为已知底数和幂的值求指数的问题.
新知探究
(2) 特殊对数：
常用对数：以10为底，记作________；
自然对数：以e为底，记作_________.
(3) 指数与对数的关系：
当 a＞0，a≠1 时，ab＝N __________.
lg N
ln N
b＝logaN
由对数的定义可知，ab＝N与 b＝ logaN 两个等式所表示的是a，b，N 这3个量之间的同一个关系.
例如：


根据对数的定义，要解决本节开头提出的问题，就只要计算 log2y 的值.
例 1
将下列指数式改写成对数式：
解：log216 ＝ 4.
解：log220 ＝ 5.
解：log3 0.45＝b.
课本例题
例 2
将下列对数式改写成指数式：
(1) log5125＝3；
(2) log 3＝－2；

(3) log10 a ＝－1.699.
解：53 ＝ 125.
解：10－1.699 ＝ a .
课本例题
例 3
求下列各式的值：
(1) log264；
解：由 26＝64 ，得 log264 ＝ 6.
课本例题
(2) log9 27.
二、常用对数
通常将以10为底的对数称为常用对数 ，如log102，log1012 等.为了方便起见，对数 log10N 简记为lg N，如 lg 2，lg 12 等.
三、自然对数
在科学技术中，常常使用以 e为底的对数，这种对数称为自然对数. e＝2.718 28···是一个无理数. 正数N的自然对数 logeN 一般简记为 ln N，如loge2，loge15 分别记为 ln 2，ln 15 等.
1. 根据对数的定义，写出下列各对数的值 (a＞0，a≠1)：
2

－1
0
课本练习
log33＝________，log 3＝_________，
loga1＝________， loga a＝__________，

1
－1
0
1
2. 填空：
题 号 指 数 式 对 数 式
(1) 24＝16 log216＝4
(2)
(3) 5a＝25 log525＝a
3. 将下列指数式改写成对数式：
log3243＝5
log210＝x
log 12＝x

4. 将下列对数式改写成指数式：
(1) log 4 ＝ － 4； (2) lg 10 000＝4；
(3) lg a＝ 0.4771； (4) ln 12＝b.

104＝10000
100.4771＝a
eb＝12
5. 求下列各式的值：

＝3
＝－3
＝－2
＝3
＝－2
6. 利用计算器计算下列对数的值(结果保留4 位小数)：
(1) lg 2； (2) lg 5；
(3) lg 1.078； (4) lg 0.84.
≈0.3010
≈0.6990
≈0.0326
≈－0.0757
7. 已知 a＞0，a≠1，N＞0，b∈R.
(1) logaa2 ＝_____________，logaa5 ＝___________，
logaa－3＝____________，logaa ＝___________，
一般地，logaab＝__________，请证明这个结论；

2log2a
5
－3
b
(2) 证明： a ＝ N.
logaN
C
一、选择题
1.如果a＝b2(b>0，b≠1)，则有(　　)
A.log2a＝b B.log2b＝a
C.logba＝2 D.logb2＝a
解析　指数式b2＝a化为对数式2＝logba.
分层练习-基础
B
3.设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为(　　)
A
解析　因为log2x＝3，所以x＝23＝8.
D
AD
5.(多选题)下列结论正确的是(　　)
A.lg(lg10)＝0
B.若10＝lg x，则x＝10
C.若e＝ln x，则x＝e2
D.使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是(1，2)∪(2，＋∞)
解析　lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
若10＝lg x，则x＝1010，故B错误；
若e＝ln x，则x＝ee，故C错误；
8
7.若log2(log3x)＝log3(log4y)＝0，则x＝________，y＝________.
解析　∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1，∴x＝3.
∵log3(log4y)＝0，∴log4y＝1，∴y＝4.
3
4
解析　∵3log2x＝3－3，
三、解答题
9.将下列指数式、对数式互化.
解　(1)log3243＝5；
(4)27＝128.
10.求下列各式中的x的值.
解　(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1.
∴x＝2.
ACD
11.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(　　 )
解析　log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误；A，C，D正确.
分层练习-巩固
3
13.求下列各式中的x的值.
解　(1)∵log5(log2x)＝1，
∴log2x＝5，∴x＝25＝32.
∵310＞215＞56，∴y＞x＞z.
分层练习-拓展
1.理解4个知识点
(1)对数的概念. (2)自然对数、常用对数.
(3)指数式与对数式的互化. (4)对数的性质.
课堂小结
2.理清1组关系——指数式与对数式的关系
(1)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N logaN＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：①logaab＝b；②alogaN＝N.
(2)在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
3.规避1个易错点
注意对数式中底数与真数的范围.　
课堂小结

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