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苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式
第二课时　一元二次不等式的应用
3.3.2　从函数观点看一元二次不等式
学习目标
1.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
3.从函数观点认识不等式，解决不等式的实际问题，提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养，在解决实际问题时，培养数学建模素养.
情景导入
随着城市人口的急剧增加和人们生活水平的不断提高,道路上车辆日益增多,很多城市需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体的布局,以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的连接也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导,保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全,交通部门规定,在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长的积,且车距不得小于
半个车身长,假定车身长均为l m,当车速为60 km/h时,
车距为1.44个车身长,那么在交通繁忙时,应规定最高车
速为多少,才使此处的车流量最大
例 2
用一根长为 100 m的绳子能围成一个面积大于 600 m的矩形吗 当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大
解：设矩形一边的长为 x m，则另一边的长为 (50－x) m，其中0＜x＜50.
由题意，得 x(50－x) ＞600，
即 x2－50x＋600＜0，
解得 20＜x＜30.
课本例题
所以，当矩形一边的长在 20 m 至 30 m 的范围内取值时，能围成一个面积大于 600 m2 的矩形.
例 2
用一根长为 100 m的绳子能围成一个面积大于 600 m的矩形吗 当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大
课本例题
用 S 表示矩形的面积，则
S＝x(50－x)
＝－ (x－25)2＋625 (0＜x＜50).
当x＝25 时，S 取得最大值，此时 50－x＝25.
答 当矩形的长、宽都为25m时，所围成的矩形的面积最大.
例 3
某小型服装厂生产一种风衣，日销货量 x 件(x∈N*)与货价 P 元/件之间的关系为 P＝160－2x，生产 x 件所需成本为 C＝500＋30x 元.
问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300 元
解 由题意，得 (160－2x)x－(500＋30x)＞1300，
化简，得 x2－65x＋900＜0，
解得 20≤x≤45.
答 该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.
课本例题
例 4
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.
在一个限速为 40 km/h的弯道上，甲乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰.
课本例题
事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m. 又知甲两种车型的刹车距离 (单位：m)与车速 x (单位：km/h)之间分别有如下关系：
s甲＝ 0.1x＋ 0.01x， s乙＝0.05x＋0.005x2.
问：甲、乙两车有无超速现象
分析 根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速.
解 由题意知，对于甲车，有 0.1x＋0.01x2＜12，
即 x2＋10x－1200＜0，
解得 －40＜x＜30.
这表明甲车的车速低于 30 km/h，未超过规定限速.
对于乙车，有 0.05x＋0.005x2＞10，
即 x2＋10x－2000＞0，
解得 x＞40 或 x＜－50 (不合实际意义，舍去).
这表明乙车的车速超过 40 km/h，超过规定限速.
答 甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速.
1. 如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的 2倍， 那么明、后两年每年的平均增长率至少是多少
解：设该厂今的产量为a，明、后两年每年的平均增长率至少是x%，
则a(1＋x%)2≥2a，
解得 x%≥41.4%.
∴ 明、后两年每年的平均增长率至少是41.4%.
课本练习
3. 国家为了加强对饮用酒生产的宏观管理，实行征收附 加税政策.已知某种洒每瓶 70 元，不征收附加税时，每年大约销售 100 万瓶；若政府征收附加税每销售 100 元要征税 R元 (叫作税率 R%)，则每年的销售量将减少 10R 万瓶. 要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于 112 万元，R 应怎样确定
解：设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收的税金为 70x·R%万元，其中 x＝100－10R.
由70(100 － 10R)·R%≥112，
即 R2－10R＋16 ＜ 0.
解得 2≤R≤8.
故税率定在2% ~ 8%之内，年收附加税额将不低于112万元.
错因分析
易错点1　忽略二次项系数的讨论而致错
{a|0≤a≤4}
{m|2易错点2　审题不仔细而致错
D
易错点3　认为分式不等式与一元二次不等式等价致错
D
故－1分层练习-基础
2.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，4) B.[0，4) C.(0，4] D.[0，4]
解析　当a＝0时，ax2－ax＋1<0无解，符合题意；
当a<0时，ax2－ax＋1<0的解集不可能为空集；
当a>0时，要使ax2－ax＋1<0的解集为空集，
D
B
故选B.
D
4.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|a<2} B.{a|a≤2}
C.{a|－2解析　当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，恒成立；
解得－2AB
5.(多选题)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝(500＋30x)元.若要求每天获利不少于1 300元，则日销售量x的取值范围可以是(　　)
A.{x|20≤x≤30，x∈N*} 　 B.{x|30≤x≤45，x∈N*}
C.{x|15≤x≤30，x∈N*} 　 D.{x|15≤x≤45，x∈N*}
解析　设该厂每天获得的利润为y元，
则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，0根据题意知，－2x2＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45，
故当20≤x≤45且x∈N*时，每天获得的利润不少于1 300元.故选AB.
二、填空题
6.已知命题p： x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，则实数a的取值范围是______________.
解析　当a＝0时，1>0为真命题，符合题意；
当a≠0时，要使 x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，
则对应的抛物线开口向上且与x轴没有交点，
[0，4)
综上可得，实数a的取值范围是[0，4).
7.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b元所在的范围应是______________.
解析　设每个涨价a元，则涨价后的利润与原利润之差为(10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a.
要使商家利润有所增加，则必须使－20a2＋200a>0，即a2－10a<0，
得0∴售价b元所在的范围应为90{b|908.若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是_________________________.
解析　不等式x2－ax－a≤－3变形为x2－ax＋3－a≤0，
∵不等式有解，
∴方程x2－ax＋3－a＝0的判别式Δ≥0，即a2－4(3－a)≥0，
解得a≤－6或a≥2，
故实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
(－∞，－6]∪[2，＋∞)
10.已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求实数m的取值范围.
解　对于所有实数x都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数y＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方.
当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；
当m≠0时，由二次函数的图象可知有
B
11.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则实数a的取值范围是(　　)
A.[－4，1] B.[－4，3] C.[1，3] D.[－1，3]
解析　由x2－(a＋1)x＋a≤0得(x－a)(x－1)≤0.
若a＝1，则不等式的解集为{1}，符合题意；
若a<1，则不等式的解集为[a，1]，若满足[a，1] [－4，3]，则－4≤a<1；
若a>1，则不等式的解集为[1，a]，若满足[1，a] [－4，3]，则1综上，－4≤a≤3，即实数a的取值范围是[－4，3].
分层练习-巩固
12.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0解析　依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去).
因为0即最低产量是150台.
150
13.已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，求关于x的不等式
x2－x－a2＋a<0的解集.
解　∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，
∴当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
综上，0≤a≤1.
由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.
∵0≤a≤1，
B
14.若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，2]恒成立，则a的最小值是(　　)
解析　由于x∈(0，2]，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，
因此a≥－2，则a的最小值为－2.
分层练习-拓展
感受·理解
1. 证明：函数 y＝x2－x＋1 没有零点.
解：∵ ＝ b2－4ac ＝ (－1)2－4×1×1＝1－4 ＝－3 ＜0.
∴ 函数 y＝x2－x＋1没有零点.
习题3.3
2. 设 m 为实数，若函数 y＝ x2－mx＋2 有只有一个零点， 求 m 的值.
3. 设k为实数，若方程 x2－3x＋k－3＝0 有实数根，求 k的取值范围.
解：将方程整理得：4x2－12x＋k－3＝0，有题意知：
＝122－4×4×(k－3)＜0，
解得：k＞12.
∴ k 取值范围是(12，+∞).
故答案为：(12，＋∞)
解：令f(x)＝5x2－7x－1，则f(x)在R上是连续函数.
∵ ＝(－7)2－4×5－(－1) ＝49＋20＝69＞0，∴方程 f(x)＝0 有两个不等实数根，即f(x) ＝5x2－7x－1在R上有两个零点；
又∵f(－1)＝5×(－1)2－7×(－1) －1＝11＞0， f(0)＝ －1＜0，
4. 证明：函数 y＝5x2－7x－1的一个零点在区间(－1，0)内，另一个零点在区间
(1，2)内.
∴ 在区间(－1，0)内，函数f(x)＝5x2－7x－1存在零点；
又∵ f(1) ＝ 5－7－1＝－3＜0，f(2) ＝ 5×22－7×2－1＝5＞0，
∴在区间(1，2)内，函数f(x)＝5x2－7x－1存在零点.
又∵函数f(x)＝5x2－7x－1在R上有且仅有两个零点，
∴ 函数f(x)＝5x2－7x－1一个零点在区间(－1，0)内，另一个零点在区间(1，2)内.
5. 解下列不等式：
(1) x(x－1) ≤ 0；
(2) (x＋1)(x－5)＞0；
解：因为对应方程的两根为0和1，
所以不等式的解集是{x∣0≤x≤1}.
解：因为对应方程的两根为－1和5，
所以不等式的解集是{x∣x＜－1或x＞5}.
(3) x2－6x＋9≤0；
(4) 3x2－7x＋2 ＞ 0；
解：因为对应方程为(x－3)2＝0，
对应方程的一个根为3，
所以不等式的解集是{x∣x＝3}.
(5) －2x2－x＋6＞0；
(6) x2－x＋1＞0.
解：因为对应方程判别式 ＜0，
所以不等式的解集为R.
6. 解下列不等式：
(1) 2x2－3x＞2；
(2) 3x2－5x＋4＞0；
解：∵ ＝25－4×3×4
＝－23＜0，
∴不等式3x2－5x＋4＞0的解集为R.
(3) x(x＋2) ＜x(3－x) ＋1；
(4) (3x－1) (x＋1)＞4.
7. 当x是什么实数时，函数 y＝－x2－8x＋20 的值是：
(1) 0
解：－x2－8x＋20 ＝0
x2＋8x－20 ＝0
(x－2)(x＋10) ＝0
x＝－10或x＝2
(2)正数
解：－x2－8x＋20 ＞0
x2＋8x－20 ＜0
(x－2)(x＋10) ＜0
－10＜x＜2
(3)负数
解：－x2－8x＋20 ＜0
x2＋8x－20 ＞0
(x－2)(x＋10) ＞0
x＜－10 或 x＞2
8. 制作一个高为 20 cm 的长方体容器，底面矩形的长比 宽多 10 cm，并且容积不少于 4 000 cm3.
问：底面矩形的宽至少应是多少
解：设底面矩形的宽为 x cm，
由题意可得20x(x＋10) ≥ 4000.
即 x2＋10x－200≥0，
解得：x≤－20 (舍) 或x≥10.
∴ 底面矩形的宽至少应为10 cm.
9. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，求关于x的不等式 x2＋bx＋c＞0 的解集.
解：∵ 二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于
A(－1，0)，B(2，0) 两点，
∴ －1，2 是关于x的一元二次方程 x2＋bx＋c＝0
的两个实数根，
∴关于x的不等式x2＋bx＋c＞0 的解集为：{x∣x＜－1或x＞2}.
思考·运用
10. 设m为实数已知二次函数 y＝x2－5x＋m 的两个零点都在区间(0，＋∞)内，求 m 的取值范围.
11. (1) k 是什么实数时，方程 x2＋2(k－1)x＋3k2－11＝0有两个不相等的实数根
解：方程 x2＋2(k－1)x＋3k2－11＝0中，
令 ＞0，得 4(k－1)2－4(3k2－11)＞0，
化简得 k2＋k－6＜0，
解得 －3＜k＜2，
所以 k∈(－3，2) 时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 已知不等式 x2－2x＋k2－1＞0 对一切实数 x 恒成立，求实数k的取值范围.
12. 已知不等式 ax2＋b－1＞0的解集是{ x∣3＜x＜4 }，求实数 a，b 的值.
解：由题意知，a＜0，
且 3，4 是方程 ax2＋bx－1＝0的根.
∴
解得
9a＋3b－1＝0
16a＋4b－1＝0

G

13. 如图，某房地产开发公司要在矩形地块 ABCD 上规划出一块矩形地块PQCR 建造住宅区为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区△AEF的界线EF. 由实地测量知，AB＝200 m，AD＝160 m，AE ＝60 m，AF＝40 m.
问：怎样设计矩形住宅区的长和宽，才能使其面积最大 最大面积是多少
14. 已知某公司每天生产的某种产品的数量 (单位：百件)与其成本y (单位：千元)之间的函数解析式可以近似地用 y＝ax2＋b＋c 表示其中a，b，为常数. 现有实际统计数据如下表所示：
产品数量x/百件 6 10 20
成本y/千元 104 160 370
产品数量x/百件 6 10 20
成本y/千元 104 160 370

(1) 求a，b，c 的值；
(2) 若每件产品销售价为 200 元，则该公司每天生产多少 产品时才能盈利 (假设每天生产的产品可以全部售完)
探究·拓展
15. (阅读题)重新考察不等式 5x2－10x＋4.8＜0 这个不等式的左边可分解因式为
(x－1.2)(5x－4). 根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组
的两个解集的并集.
x－1.2＜0， x－1.2＞0.
(1) 和 (2)
5x－4＞0 5x－4＜0
(1) (2x－3)(x＋1) ＞0；

2x－3＞0
x＋1＞0
2x－3＜0
x＋1＜0
(2) (1－x)(2＋x)≥0；
解：∵ (1－x)(2＋x)≥0，
∴ ，或
解得 －2≤x≤1，或 无解，
∴ 原不等式的解集为{x∣ －2≤x≤1}；
1－x≥0
2＋x≥0
1－x≤0
2＋x≤0

x－1＜0
x＋3＞0
x－1 ＞ 0
x＋3＜0

1－2x ≤ 0
x＋4＞0
1－2x ≥ 0
x＋4 ＜ 0
课堂小结
(3)利用不等式解决实际问题：
一般步骤
①选取合适字母表示未知数.
②由题目条件，列出关于未知数的不等式或不等式组.
③求解所列的不等式(组).
④结合题目的实际意义确定答案.
课堂小结

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