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5.1　函数的概念与图象（第二课时）
函数的图像
课标要求 素养要求
1.理解用函数图象表示函数.
2.会画函数图象，并结合图象求函数值域. 通过函数图象的画法及图象的应用提升数学直观想象素养与逻辑推理素养.
新知探究
如图，艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐慢了，这条曲线表明了遗忘的发展规律是“先快后慢”.
问题　根据初中学习的知识，你能说出以上问题是用什么方法表示函数的吗？
提示　图象法.
函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为________，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即_______________________，所有这些点组成的______就是函数y＝f(x)的图象.
纵坐标
{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}
图形
基础自测
[判断题]
1.任何一个函数都可以画出图象.( )
3.函数f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋1(x∈N)的图象相同.( )
×
2.函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( )
×
×
提示　两函数的定义域不同，则图象不同.
4.函数y＝f(x)图象上所有的点组成的集合是{y|y＝f(x)，x∈A}.( )
提示　集合应为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}.
×
[基础训练]
1.函数f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的图象是(　　)
A.直线 B.射线
C.线段 D.离散的点
解析　∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1，5]，则此时图象为线段.故选C.
答案　C
2.下列可以作为函数y＝f(x)的图象的是(　　)
解析　看图象中x轴上任意一个x是否有唯一的y与之对应.
答案　B
[思考题]
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
提示　要检验一个图形是否为函数的图象，其法则为：在定义域内任取一个x对应的点作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象.
题型一　画函数图象
【例1】　画出下列函数的图象：
(1)y＝x2＋x，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2)y＝x2＋x，x∈R；
(3)y＝x2＋x，x∈[－1，1).
解　(1)列表：
x －1 0 1 2 3
y 0 0 2 6 12
描点得该函数的图象如图：
又y＝x2＋x开口向上，且与x轴，y轴分别交于点(－1，0)，(0，0).故图象如图.
(3)y＝x2＋x，x∈[－1，1)的图象是y＝x2＋x，x∈R的图象上x∈[－1，1)的一段，其中点(－1，0)在图象上，用实心点表示；点(1，2)不在图象上，用空心点表示.
规律方法　(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.
(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点.
【训练1】　作出下列函数图象：
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3).
解　(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}.
所以图象为一直线上的孤立点(如图①).
(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.所画函数图象如图②.
题型二　函数图象的应用
【例2】　画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域.
解　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x －1 0 1 3
y 0 3 4 0
描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，
容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1，4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4].
【训练2】　(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________.
(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围.
(1)解析　函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合.
答案　[－2，4]∪[5，8]　[－4，3]
(2)解　f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图所示，
f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1题型三　由函数图象求值域
【例3】　作出下列函数的图象并求出其值域.
解　(1)列表：
x 0 1 2
y 1 2 3 4 5
当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5].
(2)列表：
X 2 3 4 5 …
y 1 …
(3)列表：
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分.由图可得函数的值域是[－1，8].
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
规律方法　数形结合法求函数值域要注意找函数的最高点与最低点，并注意定义域的影响.
【训练3】　已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解　(1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].
一、课堂小结
1.利用函数图象直观分析数学问题，提升直观想象素养和逻辑推理素养.
2.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，然后列表描点，画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点，要分清这些关键点是实心点还是空心点.
3.在利用图象研究函数时，准确地作出函数的图象是解决问题的关键，只有这样，对性质的研究才更准确.
二、课堂检测
1.下列四个图形中是函数图象的是(　　)
A.① B.①③④
C.①②③ D.③④
解析　由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知②不是函数图象，①③④是函数图象. 答案　B
2.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　　)
解析　A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误，故选B.
答案　B
3.函数y＝2x＋1，x∈[1，5]的值域为________.
解析　当x∈[1，5]时，3≤2x＋1≤11，∴值域为[3，11].
答案　[3，11]
4.函数f(x)的定义域为[－1，3]，则y＝f(x)的图象与x＝1的交点个数为________个，与x＝－2的交点个数为________个.
解析　∵定义域为[－1，3]，∴1∈[－1，3]，即y＝f(x)的图象与x＝1有一个交点而－2 [－1，3]，即x＝－2与图象无交点.
答案　1　0
5.2019年是中国高铁发展迅速的一年，山东某一高铁站1～12月份的客流量走势如图所示.
(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
(2)根据图象，求9月份所对应的客流量.
解　(1)由走势图可知，函数的定义域为{x|1≤x≤12且x∈N*}，值域为{y|100≤y≤160}.
(2)由图形知，9月份所对应的客流量约为100万人次.

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