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5.3　函数的单调性（第二课时）
函数的最大(小)值
课标要求 素养要求
借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义. 通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
新知探究
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况？
问题　(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
提示　(1)该天的最高气温为25 ℃，最低气温为－5 ℃.
(2)该天某时刻的气温变化范围是[－5 ℃，25 ℃].
(3)气温的最大值在t＝17处取得，气温的最小值在t＝6时取得.
函数的最大值与最小值
设函数y＝f(x)的定义域是A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A.都有_________.那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为______________；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有_________，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为___________.
f(x)≤f(x0)
ymax＝f(x0)
f(x)≥f(x0)
ymin＝f(x0)
基础自测
[判断]
1.若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值.( )
提示　M是存在的，并且 x0∈I，使得f(x0)＝M.
2.一个函数可能有多个最小值.( )
提示　最大(小)值至多有1个.
3.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
4.如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
提示　值域确定，但不一定有最值.
5.因为不等式x2>－1总成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.( )
提示　f(x)＝x2的最小值为0.
×
×
√
×
×
[基础训练]
1.函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最大值为________.
解析　根据图象可知f(x)max＝3.
答案　3
3.函数y＝－3x2＋2在区间[－1，2]上的最大值为________.
解析　函数y＝－3x2＋2的对称轴为x＝0，又0∈[－1，2]，∴f(x)max＝f(0)＝2.
答案　2
[思考题]
任何函数都有最大(小)值吗？
题型一　利用函数图象求最值
解　作出f(x)的图象如图：
规律方法　用图象法求最值的三个步骤
解　 y＝f(x)的图象如图所示，y＝f(x)的单调增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.
题型二　利用单调性求最值
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
(1)证明　任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1∵1≤x11，∴x1x2－1>0，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
(2)解　由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，
规律方法　1.利用单调性求最值：
首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系：
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
解　(1)f(x)是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1因为3≤x10，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3，5]上为增函数.
(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，
题型三　二次函数的最值
【例3】　已知函数f(x)＝x2－ax＋1.
(1)求f(x)在[0，1]上的最大值；
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值.
所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
规律方法　1.含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.
2.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
【训练3】　已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.
(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).
解　f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.
(1)当x∈[－2，0]时，f(x)在[－2，0]上是减函数，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
(2)当x∈[－2，3]时，f(x)在[－2，3]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|>|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.
(3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
一、课堂小结
1.通过函数图象经历函数最值的抽象过程、发展数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
2.求函数最大(小)值的常用方法有：
(1)观察法，对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；
(2)配方法，对于“二次函数”类的函数，一般通过配方法求最值；
(3)图象法，对于图象较容易画出来的函数，可借助图象直观地求出最值；
(4)单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性(需给出证明)后，依据单调性确定函数最值.
二、课堂检测
1.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为(　　)
A.3，5 B.－3，5
C.1，5 D.5，－3
解析　因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.
答案　B
2.函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A.－2，f(2)
B.2，f(2)
C.－2，f(5)
D.2，f(5)
答案　C
答案　1　0
解析　作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0.
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
4.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是________.
解析　由题意a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
答案　±2
解　任取2≤x1∵2≤x1∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0.
∴f(x2)三、审题答题
示范(一)　利用函数的单调性求最值
看到①想到利用函数单调性的定义，证明f(x)在(－1，＋∞)上的单调性.
看到②首先利用(1)的结论首先判断f(x)在[0，3]上的单调性→求f(x)在[0，3]上的最值→得到f(x)在[0，3]上的值域.
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数.6分

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