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(共38张PPT)
6.1　幂函数
新知探究
给出下列五个问题：①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数.
②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数.
③如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数.
(3)幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上为增函数时，α满足的条件是什么？在区间(0，＋∞)上为减函数时，α满足的条件是什么？
(2)依据是幂函数的定义，即解析式符合幂函数解析式的形式.
(3)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数；
当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.
1.幂函数的概念
我们把形如__________的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.幂函数y＝xα的性质
(1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质：
①函数的图象过点________________________.
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而______，即函数在区间______________上是增函数.
y＝xα
(0，0)，(1，1)
上升
[0，＋∞)
(2)当α<0时，具有的性质为：
①函数的图象都过点____________.
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而______，即函数在区间______________上是减函数.
(1，1)
下降
(0，＋∞)
基础自测
[判断题]
1.函数y＝－x2是幂函数.( )
提示　根据幂函数的定义.
2.幂函数y＝x2是偶函数.( )
3.幂函数y＝x－1是增函数.( )
提示　y＝x－1在(0，＋∞)和(－∞，0)上为减函数.
4.幂函数的图象不过第四象限.( )
×
√
×
√
×
[基础训练]
1.下列所给的函数中是幂函数的为(　　)
A.y＝2x5 B.y＝x3＋1
C.y＝x－3 D.y＝3x
解析　选项C符合y＝xα的形式，对于A系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式.
答案　C
2.已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝________.
解析　由于幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，即2α＝4，解得α＝2，故f(－3)＝
(－3)2＝9.
答案　9
3. 3.17－1与3.71－1的大小关系为_____________.
答案　3.17－1>3.71－1
[思考]
幂函数y＝xα的定义域，值域等性质在α取不同的数值时都一样吗？
题型一　幂函数的概念
【例1】　(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
解析　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，
即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案　(1)B　(2)5或－1
规律方法　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.
【训练1】　(1)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b＝(　　)
解析　(1)设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，
∴4α＝16，解得α＝2，
∴f(－4)＝(－4)2＝16.
(2)因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
答案　(1)16　(2)A
题型二　幂函数的图象及应用
答案　(1)B　(2)B
【训练2】　(1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
A.－1B.n<－1，0C.－11
D.n<－1，m>1
解析　(1)在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0答案　(1)B　(2)C
题型三　由幂函数单调性比较大小
【例3】　比较下列各组数中两个数的大小：
解　(1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，
规律方法　比较幂值大小的两种基本方法
【训练3】　比较下列各组数的大小：
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，
所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1，2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a规律方法　幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值.
【训练4】　已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域.
解　因为m∈{x|－2所以m＝－1，0，1.因为对任意x∈R，
都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
当m＝－1时，
f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)，(2)都不满足.
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)，(2)都满足，
且在区间[0，3]上是增函数，
f(0)＝03＝0，f(3)＝33＝27，所以x∈[0，3]时，
函数f(x)的值域为[0，27].
一、课堂小结
1.结合常见幂函数的图象，归纳幂函数的图象与性质，提升学生的数学抽象素养，逻辑推理素养.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小.
3.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.恒过点(1，1).
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
4.(1)五个幂函数的图象：
(2)五个幂函数的性质：
二、课堂检测
A.1，3 B.－1，1
C.－1，3 D.－1，1，3
解析　可知当α＝－1，1，3时，y＝xα为奇函数，又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1，3.
答案　A
2.下列不等式成立的是(　　)
答案　A
3.幂函数y＝f(x)的图象过点(2，m)，且f(m)＝16，则实数m的值为________.
答案　(1，1)

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