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6.2　指数函数（第一课时）
指数函数的图象与性质
课标要求 素养要求
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.
2.掌握指数函数的图象及简单性质.
3.会用指数函数的图象与性质解决问题. 通过指数函数的图象及性质的理解与应用，提升直观想象素养、逻辑推理素养和数学抽象素养.
新知探究
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
提示　(1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量.
1.指数函数的概念
2.指数函数的图象和性质
结合函数的图象熟记指数函数的性质
a>1 0图象
(0，＋∞)
(0，1)
00y>1
减函数
R
基础自测
[判断题]
1.函数y＝2x＋1是指数函数.( )
提示　因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数.
2.函数y＝(－5)x是指数函数.( )
提示　因为底数小于0，所以函数y＝(－5)x不是指数函数.
3.y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.( )
提示　因为指数函数的图象都在x轴上方，值域为(0，＋∞)，没有最小值.
×
×
×
[基础训练]
1.下列函数中一定是指数函数的是(　　)
答案　B
2.函数y＝2－x的图象是(　　)
答案　B
3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
[思考题]
1.为什么规定指数函数的底数a>0且a≠1
提示　规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
2.若x10且a≠1)大小关系如何？
提示　当a>1时，y＝ax在R上为单调增函数.
所以ax1ax2.
题型一　指数函数的概念
【例1】　(1)给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
解析　(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2<0，不是指数函数.
答案　(1)B　(2)125
规律方法　1.指数函数的解析式必须具有三个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
【训练1】　(1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　)
A.a＝1或－1 B.a＝1
C.a＝－1 D.a>0且a≠1
(2)已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，则函数f(x)的解析式为________.
题型二　指数函数的性质
角度1　函数过定点
【例2－1】　函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
解析　因为y＝ax的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1).
答案　(－1，－1)
角度2　函数的定义域、值域
【例2－2】　(1)若函数f(x)＝2x＋3，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为________.
(2)函数f(x)＝2－x－1的值域是________.
解析　(1)由题意知函数f(x)＝2x＋3在R上是增函数，且x∈[2，3]，所以2x∈[4，8]，故f(x)的值域为[7，11].
∴值域为(－1，＋∞).
答案　(1)[7，11]　(2)(－1，＋∞)
角度3　由单调性比较大小
【例2－3】　比较下列各组数的大小：
规律方法　(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.
(2)合理利用指数型函数的单调性、图象的变化规律及中间值进行幂的大小判断.
(3)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0，1进行分组，再比较各组数的大小.
【训练2】　(1)函数y＝a2x＋1－4(a>0，且a≠1)的图象恒过点________，值域为________.
题型三　指数函数的图象变换
【例3】　画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的.
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；
(4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.
解　如图所示.
(1)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的.
(2)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的.
(3)y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右侧的图象和其关于y轴对称的图象组成的，包括y轴上的(0，1)点.
(4)y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位长度，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的.
(5)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称.
(6)y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称.
规律方法　函数图象的变换规律
(1)平移变换：将函数y＝f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(若m<0，就是向左平移|m|个单位长度)，将函数y＝f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(若n<0，就是向下平移|n|个单位长度).
(2)对称变换：
①函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称；
②函数y＝f(|x|)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y＝f(x)位于y轴右侧的图象保留(左侧的擦去)，然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧，就得到函数y＝f(|x|)的图象；
③函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的部分不变.
【训练3】　(1)如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)
A.aC.1(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0解析　(1)可先分两类，③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由图象③④比较c，d的大小，由图象①②比较a，b的大小.在y轴右侧，当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象越靠近y轴，当指数函数的底数大于0且小于1时，图象下降，且底数越小，图象越靠近x轴(即用x＝1截图，底大图高)，故选B.
(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0(或令x＝0得a－b<1即a－b0，即b<0).
答案　(1)B　(2)D
一、课堂小结
1.通过指数函数的图象与性质的学习，提升数学直观想象素养、逻辑推理素养与数学抽象素养.
2.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
3.指数函数的图象与性质，要注意分a>1与0二、课堂检测
1.指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则(　　)
A.a<0，b<0
B.a<0，b>0
C.01
D.0解析　结合指数函数图象的特点可知01.
答案　C
2.当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是(　　)
答案　A
3.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点________.
解析　令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1，3).
答案　(1，3)
4.不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.
解析　原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}.
答案　{x|x<1}
5.比较下列各组值的大小：
(1)1.8－0.1，1.8－0.2；
(2)1.90.3，0.73.1；
(3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1).
解　(1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2.
(2)因为1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，
所以1.90.3>0.73.1.
(3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3当0a2.5.

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