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6.3 对数函数（第二课时）
课标要求 素养要求
1.进一步理解对数函数的图象和性质.
2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题. 结合对数函数的图象理解反函数的概念，掌握对数型函数的有关性质，发展直观想象素养、数学抽象素养及数学运算素养.
新知探究
观察图形，回答下列问题：
图(1)　　　　　　　　图(2)
问题　(1)观察图(1)所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x图象，你能得出什么结论？
(2)函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图(2)所示，那么a，b，c的大小关系如何？
提示　(1)对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0(2)由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝logbx的图象在(1，＋∞)上比y＝logcx的图象靠近x轴，所以b反函数
(1)当a>0，a≠1时，y＝logax称为______的反函数，反之，y＝ax也称为________的反函数.一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么反函数记作____________.
(2)互为反函数的两个函数，图象关于y＝x对称.
y＝ax
y＝logax
y＝f－1(x)
基础自测
[判断题]
2.ln x<1的解集为(－∞，e).( )
提示　由ln x<1，解得03.y＝ax与x＝logay的图象相同(a>0且a≠1).( )
4.由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位可得y＝log2x＋1的图象.( )
提示　向左平移1个单位可得y＝log2(x＋1)的图象.
×
×
√
×
[基础训练]
2.已知log7(2x)解析　由0<2x答案　(0，2)
答案　(－∞，0)
[思考]
1.不同底的对数函数y＝logax与y＝logbx，a≠b的图象之间有何相对位置关系？
提示　作直线y＝1，与各图象会有交点，底数越大，交点越靠右，简称“底大图右”.
2.y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，它们的性质有何关系？
提示　①y＝ax的定义域为y＝logax的值域，y＝ax的值域为y＝logax的定义域.
②y＝ax上任一点为(m，n)，则点(n，m)必在其反函数y＝logax的图象上，即互为反函数的两个函数的图象关于y＝x对称.
③互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.
题型一　对数函数的图象及应用
【例1】　(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.
答案　C
对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C.
(2)解　∵f(x)＝loga|x|，
∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，
∴f(x)＝log5|x|，
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示.
【迁移1】　(变换条件)将本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)
解析　∵在y＝loga(－x)中，－x>0，∴x<0，
∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；
当a>1时，y＝loga(－x)是减函数，
答案　C
【迁移2】　(变换条件)将本例(2)中的函数改为f(x)＝loga|x＋1|，且满足f(－5)＝1，求解析式并画其图象.
解　由f(－5)＝loga|－5＋1|＝1得a＝4，
即f(x)＝log4|x＋1|.
其图象画法：①先作y＝log4x的图象，②将y＝log4x的图象向左平移1个单位得y＝log4(x＋1)的图象，③再将y＝log4(x＋1)的图象关于x＝－1对称，如图所示.
规律方法　有关对数函数图象间的变换规律
(1)一般地，函数y＝f(x＋a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度，再沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.
【训练1】　作出下列函数的大致图象：
(1)y＝|log2x|；(2)y＝|log2(x－1)|；
(3)y＝|log2(1－x)|.
解　(1)第一步：作函数y＝log2x的图象；
第二步：把函数y＝log2x的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(位于x轴和x轴上方的不变)，即得y＝|log2x|的图象(如图①).
(2)第一步和第二步同(1)；
第三步：把y＝|log2x|的图象向右平移1个单位长度即得y＝|log2(x－1)|的图象(如图②).
(3)第一步：作函数y＝log2x的图象；
第二步：把函数y＝log2x的图象沿y轴翻折，
得y＝log2(－x)的图象；
第三步：把y＝log2(－x)的图象向右平移1个单位长度，得函数y＝log2(1－x)的图象；
第四步：把y＝log2(1－x)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(x轴上及x轴上方的不变)，即得y＝|log2(1－x)|的图象(如图③).
题型二　对数型函数的单调性
角度1　解对数不等式
【例2－1】　解下列不等式.
(2)因为log3x<1＝log33，
所以原不等式的解集为{x|0所以原不等式的解集为{x|0当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，
当0所以x2<1，所以－1因此函数的定义域为(－1，1).
令t＝1－x2，x∈(－1，1).
单调递增区间为[0，1).
角度3　由单调性求参数
【例2－3】　(1)若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.(1，3)
C.(1，3] D.[3，＋∞)
解析　(1)函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0，2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1答案　(1)B　(2)(－8，－6]
规律方法　1.对数不等式的三种类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解.
(3)形如logax>logbx的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.
2.若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0【训练2】　(1)已知log0.3(3x)答案　A
题型三　对数型函数性质的综合问题
角度1　值域问题
【例3－1】　求下列函数的值域.
(1)y＝log2(x2－4x＋6)；
(2)y＝log2(x2－4x－5).
解　(1)令u＝x2－4x＋6.∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函数，∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1，
∴函数的值域是[1，＋∞).
(2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9，∴x2－4x－5能取到所有正实数，
∴函数y＝log2(x2－4x－5)的值域是R.
角度2　奇偶性判断
所以f(－x)＝－f(x)，
角度3　综合应用
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
规律方法　(1)对于y＝logaf(x)型函数，在函数定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单.
【训练3】　已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
解　(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)设0因此log4(4x1－1)即f(x1)一、课堂小结
1.由对数函数的图象，反函数概念，研究对数型函数的性质，发展直观想象素养，数学抽象素养及数学运算素养.
2.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和03.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
4.y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定).
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.
二、课堂检测
1.函数y＝ax与y＝－logax(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是(　　)
解析　函数y＝－logax恒过定点(1，0)，排除B；当a>1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，当0答案　A
答案　D
3.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为________.
解　设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.

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