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7.2.1　任意角的三角函数（第二课时）
课标要求 素养要求
1.会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值.
2.理解三角函数线的画法，掌握三角函数值的规律.
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 通过三角函数线的作法和三角函数线的应用提升直观想象和数学运算素养.
新知探究
角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢？能否用几何方式来表示三角函数呢？
如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x都是正数.
(2)用类似的方法过点P分别向x轴作垂线及过点A(1，0)作单位圆的切线，则有向线段MP、OM、AT就分别等于sin α，cos α，tan α.
1.有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为__________；对于有向线段AB，把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的______，即为AB.
有向线段
数量
2.三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段______、______、______分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
记作：sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.
MP
OM
AT
MP
OM
AT
3.三角函数的定义域
基础自测
[判断题]
1.正弦线MP也可写成PM.( )
提示　三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒.
2.三角函数线表示的值都只能是非负值.( )
提示　三角函数线表示的值也可取负值.
3.当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.( )
4.当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.( )
×
×
√
√
[基础训练]
A.正弦值 B.余弦值
C.正切线 D.不能确定
答案　C
A.MP与AT的方向相同 B.MP＝AT
C.MP>0，AT<0 D.MP<0，AT>0
答案　C
3.下列角的正切线不存在的是(　　)
答案　B
[思考]
1.若α为任意角，则sin α，cos α的取值范围是多少？
提示　根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得－1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1.
2.设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin α＋cos α>1吗？
提示　设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，则sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1，在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OM>OP，即sin α＋cos α>1.
题型一　作三角函数线
解　如图所示，
规律方法　(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.
(2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
【训练1】　如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　)
A.正弦线为PM，正切线为A′T′
B.正弦线为MP，正切线为A′T′
C.正弦线为MP，正切线为AT
D.正弦线为PM，正切线为AT
答案　C
题型二　利用三角函数线比较大小
规律方法　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：
(1)角的位置要“对号入座”.
(2)比较三角函数线的长度.
(3)确定有向线段的正负.
【训练2】　依据三角函数线作出如下四个判断：
其中判断正确的有________.
答案　②④
题型三　利用三角函数线解不等式(组)
【例3】　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.
规律方法　利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sin x≥m或sin x≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用.
【训练3】　已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0，2π)内，求α的取值范围.
一、课堂小结
1.通过利用三角函数线解决问题，重点提升直观想象和数学运算素养；
2.不论角的终边落在第几象限，sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.
二、课堂检测
1.若角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为(　　)
答案　D
2.使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是(　　)
解析　当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足sin x≤cos x.
答案　A
解析　由图可知，
答案　AT>MP>OM
5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并利用它们求出各角的正弦、余弦和正切.
解　如图所示，正弦线、余弦线和正切线分别为MP，OM，AT.

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