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(共36张PPT)
7.1角与弧度（第二课时）弧度制
课标要求 素养要求
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.
2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.
新知探究
摄氏度与华氏温度
“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度.”
摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(Anders Celsius 1701～1744)，其结冰点是0 ℃，沸点为100 ℃.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度.
人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1 ?”.按照华氏温标，则水的冰点为32 ?，沸点为212 ?.“华氏温标”是经验温标之一.在美国的日常生活中，多采用这种温标.规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示.
摄氏温度(℃)和华氏温度(?)之间的换算关系为：
华氏度(?)＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏度(?)－32)÷1.8.
问题　温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？
提示　弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角.
1.度量角的两种单位制
在用弧度制表示角时，单位可以省略
度
弧度
半径长
rad
2.弧度数
(1)正角：正角的弧度数是______.
(2)负角：负角的弧度数是______.
(3)零角：零角的弧度数是____.
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是
|α|＝______.
正数
负数
0
3.角度制与弧度制的换算
2π rad
360°
π rad
180°
4.扇形的弧长和面积公式
如图：(1)则有l＝____________.
若r＝1，则有l＝________.
5.角与实数的关系
在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起__________关系.
如图所示：
|α|·r
|α|
一一对应
正实数
负角
基础自测
[判断题]
1.1弧度就是1°的圆心角所对的弧.( )
提示　1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.
2.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.( )
4.扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm).( )
提示　扇形的弧长公式l＝|α|r，α的单位为弧度.
×
√
√
×
[基础训练]
1.下列命题中的假命题是(　　)
解析　根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D.
答案　D
2.将2 340°转化为弧度为________.
答案　13π
4.若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限.
解析　2π－5与－5的终边相同，
答案　一
[思考]
1.对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
2.角α的弧度数与α所在的圆的半径有关吗？
提示　α的弧度数由角α的大小唯一确立，而与其所在圆的大小(半径)无关.
题型一　角度与弧度的互化及应用
【例1】　将下列角度与弧度进行互化：
题型二　用弧度制表示角的集合
【例2】　用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).
规律方法　根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形.
(2)写出区域边界作为终边时角的表示.
(3)用不等式表示区域范围内的角.
(4)按逆时针方向书写.
【训练2】　已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.
又－5π≤γ<0，
解　如图所示，
根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，
设⊙O1与OA切于C点.连接O1O，O1C.
OO1＝OA－O1C＝300－O1C，
解得O1C＝100 m.
这时⊙O1的面积为π·1002＝10 000 π(m2).
规律方法　扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法
首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)，其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意：
(1)看清角的度量制，选用相应的公式；
(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.
∴OD＝OA＋AD＝100＋20＝120，
一、课堂小结
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养.
2.本节课主要讲述角度制与弧度制的互化和利用弧长公式、面积公式解决有关计算问题.
二、课堂检测
1.下列各命题中，真命题是(　　)
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角
解析　根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.
答案　D
2.将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
答案　D
4.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图是书画家唐寅(1 470—1 523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________cm2.
解析　如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，
答案　704
5.已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.
解　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∵r>0，l＝a－2r>0，

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