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2024-2025学年辽宁省抚顺市新抚区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＜2 B. x＞2 C. x≤2 D. x≥2
2.将化为最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
3.下列各组数为勾股数的是（　　）
A. 7，12，13 B. 3，4，7 C. 8，15，17 D. 4，5，6
4.如图是某次视力检测的结果，参加测验的有10人，其中有部分数据丢失，根据目前已知数据仍旧可以确定这组数据的（　　）
视力 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 2 4
A. 平均数，方差 B. 中位数，平均数 C. 中位数，众数 D. 方差，中位数
5.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文，今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为根据勾股定理，可以列出方程（　　）
A. x2+82=（x+3）2 B. x2+82=（x-3）2 C. （x-3）2+82=x2 D. （x+3）2+82=x2
6.如图，一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象过点A（0，-1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（　　）
A. x＞0
B. x＜0
C. x＞1
D. x＜1
7.如图，四边形ABCD为平行四边形，EB⊥BC于B，ED⊥CD于D．若∠E=55°，则∠A的度数是（　　）
A. 100°
B. 110°
C. 125°
D. 135°
8.如图，在 ABCD中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M，交AB于点N，分别以点M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交DC于点E，DE=2CE，点F，G分别是AE，BE的中点，若FG=6cm,则四边形ABCD的周长是（　　）
A. 20cm B. 32cm C. 36cm D. 40cm
9.已知A，B两地相距1200米，甲和乙两人均从A地出发，向B地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离y（米）和甲出发的时间x（分）之间的关系，现有如下结论：
①乙每分钟比甲多走10米；
②乙用18分钟追上了甲；
③乙比甲早1分钟到达终点B；
④图中点Q的坐标为（23，50）.
则下列结论正确的有（　　）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
10.如图，点E是正方形ABCD边AB上任意一点，DE⊥EF，且DE=EF，连接CF.若DF+CF的最小值为，则正方形的边长为（　　）
A. 1
B.
C. 2
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：=______．
12.点P1（-1，m），P2（1，n）是y=2x+b上的两个点，则m______n.（填“＞”或“＜”）
13.某中学规定学生的学期体育成绩满分100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中成绩占30%，期末成绩占50%.小明的三项成绩（百分制）依次是95分，90分，80分.小明这学期的体育成绩是______分.
14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2-S1=18，则图中阴影部分的面积为______.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E为边BC上一个动点，把△AEB沿AE折叠得到△AEB′，连接CB′，当△CEB′是直角三角形时，则BE的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
（1）；
（2）.
17.(本小题6分)
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
（1）在图（a）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图（b）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为；
（3）在图（c）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，直角边长都是无理数.
18.(本小题8分)
某中学为提升学生的数学素养，组织八、九年级学生进行“数学文化与历史”主题知识竞赛.从这两个年级中各随机抽取50名学生的成绩x（单位：分）作为样本进行整理，分成5组（A.50≤x＜60；B.60≤x＜70；C.70≤x＜80；D.80≤x＜90；E.90≤x≤100），并绘制了如下尚不完整的统计图表.
八年级50名学生竞赛成绩统计表
组别 频数
A 4
B m
C 12
D n
E. 5
已知八年级50名学生竞赛成绩的中位数为75分，竞赛成绩在C组的具体数据是：
70，71，72，72，74，74，76，77，77，77，78，79.
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）m= ______，n= ______；
（2）①补全频数分布直方图；
②小慧认为无法从样本的统计图中得知九年级学生竞赛成绩的中位数，所以不能从中位数的角度判断哪个年级的学生成绩更好.她的说法是否正确，请说明理由.
（3）若该校八年级有900名学生，九年级有800名学生，竞赛成绩不低于80分为优秀，根据样本数据，估计八、九年级此次竞赛共有多少名同学达到优秀.
19.(本小题8分)
辽宁省今年南果梨喜获丰收.国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示.
（1）当x≥4时，求销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式；
（2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折销售.若购买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算.
20.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF.
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD=8，EC=6，∠BAE=30°，求OF的长度.
21.(本小题8分)
直播带货是目前盛行的销售方式，小静为了推销家乡的樱桃和甜瓜，在抖音上进行直播带货.小静和她的团队每天在家乡收购两种水果共600箱.且当天全部售出.进货成本、销售单价如表所示，设该团队每天收购樱桃x箱，每天获得的利润为y元.
进货成本（元/箱） 销售单价（元/箱）
樱桃 34 50
甜瓜 28 41
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该团队每天投入总成本不超过19200元，应怎样安排樱桃和甜瓜的进货量，才能使该团队一天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
22.(本小题12分)
在菱形ABCD中，，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，连接CE.
（1）如图1，当点E落在对角线BD上时，请求出BP的长；
（2）点E的位置随点P的位置变化而变化，如图2，求证：BP=CE，BC⊥CE；
（3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，ED，若BE=2，求△BDE的面积.
23.(本小题13分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=-x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数经过点B.
（1）求线段AC的长；
（2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（秒）.
①当△BPO的面积为6时，请求出t的值；
②在线段BC上存在点D，点E是坐标平面内一点，以点B，E，P，D为顶点的四边形是正方形时，请求出t的值.
1.【答案】
解：∵二次根式有意义，
∴x-2≥0，
解得：x≥2，
故选：D．
2.【答案】
解：根据二次根式的性质、最简二次根式的定义可知：
，
故选：C．
3.【答案】
解：A、72+122≠132，
∴7，12，13不是勾股数；
B、32+42≠72，
∴3，4，7不是勾股数；
C、82+152=172，
∴8，15，17是勾股数；
D、42+52≠62，
∴4，5，6不是勾股数，
综上所述，A，B，D不符合题意，C选项符合题意，
故选：C．
4.【答案】
解：根据表格数据，可得视力为4.9和5.0的总人数为3（人），
视力为4.8所占人数最多为4，因此众数为4.8，
从小到大排列后中间两个数是4.8、4.8，因此中位数为4.8，
则与被遮盖的数据无关的是中位数和众数，
数据不全无法求平均数，也不能求方差．
故选：C．
5.【答案】
解：设绳索长为x尺，可列方程为根据勾股定理，可以列出方程（x-3）2+82=x2．
故选：C．
6.【答案】
解：如图所示：不等式kx+b＞1的解集为：x＞1．
故选：C．
7.【答案】
解：∵EB⊥BC于B，ED⊥CD于D，
∴∠EBC=∠EDC=90°，
∵∠E=55°，
∴∠C=360°-∠CBE-∠CDE-∠E=125°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C=125°，
故选：C．
8.【答案】
解：由题意可知，AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=DC，AD=BC，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE，
∵点F，G分别是AE，BE的中点，FG=6cm,DE=2CE，
∴CD=AB=2FG=12cm,
∴，
∴ ABCD的周长=2（AD+DC）=2（8+12）=40（cm），
故选：D．
9.【答案】
解：乙每分钟比甲多走150÷（18-3）=10（米），
∴①正确，符合题意；
乙用18-3=15（分钟）追上了甲，
∴②不正确，不符合题意；
甲的速度为150÷3=50（米/分钟），则甲到达B地所用时间为1200÷50=24（分钟），
乙的速度为50+10=60（米/分钟），则乙到达B地所用时间为1200÷60=20（分钟），
∴当x=20+3=23时乙到达B地，
∴乙比甲早24-23=1（分钟）到达终点B，
∴③正确，符合题意；
由③可知，点Q的横坐标为23，
甲出发后23分钟距A地50×23=1150（米），则当x=23时，甲、乙两人之间的距离为1200-1150=50（米），
∴点Q的纵坐标为（23，50），
∴④正确，符合题意．
综上，①③④正确．
故选：C．
10.【答案】
解：延长AB到点H，使BH=BC，连接CH、DH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
∴AD=AB=BH，
∴AH=2AD，
∴DH===AD，
作FQ⊥BH于点Q，FP⊥BC于点P，则∠EQF=∠A=90°，
∵∠BQF=∠BPF=∠PBQ=90°，
∴四边形PBQF是矩形，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠QEF=∠ADE=90°-∠AED，
在△QEF和△ADE中，
，
∴△QEF≌△ADE（AAS），
∴QF=AE，QE=AD=AB，
∵QE-BE=AB-BE，
∴QB=AE，
∴QF=QB，
∴四边形PBQF是正方形，
∴FQ=FP，
∴点F在∠CBH的平分线上，
∴BF平分∠CBH，
∴BF垂直平分CH，
∴HF=CF，
∵DF+FH≥DH，
∴DF+CF≥AD，
∴当DF+CF=AD时，DF+CF的值最小，
∵DF+CF的最小值为2，
∴AD=2，
∴AD=2，
∴正方形ABCD的边长为2，
故选：C．
11.【答案】
解：原式=+3=4．
故答案为4．
12.【答案】
解：由条件可知一次函数y随x的增大而增大，
∵P1（-1，m）、P2（1，n）是函数y=2x+b图象上的两个点，-1＜1，
∴m＜n.
故答案为：＜．
13.【答案】
解：该选手的成绩是95×20%+90×30%+80×50%=86（分），
故答案为：86．
14.【答案】
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2=BC2，
即S1+S2=S3，
∵S3+S2-S1=18，
∴S2=9，
由图形可知，阴影部分的面积=S2，
∴阴影部分的面积=×9=4.5，
故答案为：4.5．
15.【答案】
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=8，
∴∠B=90°，BC=AD=8，
由折叠得∠AB′E=∠B=90°，∠AEB′=∠AEB，AB′=AB=6，B′E=BE，
如图1，△CEB′是直角三角形，且∠CB′E=90°，
∵∠AB′E+∠CB′E=180°，
∴A、B′、C三点在同一条直线上，
∴AC===10，
∴B′C=AC-AB′=10-6=4，
∵B′C2+B′E2=CE2，且CE=8-BE，
∴42+BE2=（8-BE）2，
解得BE=3；
如图2，△CEB′是直角三角形，且∠CEB′=90°，
∵∠BEB′=180°-∠CEB′=90°，
∴∠AEB′=∠AEB=∠BEB′=45°，
∴∠EAB=∠AEB=45°，
∴BE=AB=6；
∵AB′＜AD，
∴在点E的运动过程中，点B′在∠BCD的内部，
∴∠ECB′＜90°，
∴不存在△CEB′是直角三角形，且∠ECB′=90°的情况，
综上所述，BE的长为3或6，
故答案为：3或6．
16.【答案】
（1）
=4+
=4；
（2）
=1
=0．
20.【答案】
（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=8，
∵EC=6，
∴BE=CF=2，
∴BF=10，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，BE=2，
∴AB=2BE=4，
∴DF=AE==2，
在Rt△BDF中，
∴BD===4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OF=BD=2．
21.【答案】
（1）y=（50-34）x+（41-28）（600-x）
=16x+7800-13x
=3x+7800；
（2）34x+28（600-x）＜19200，
解得：x≤400，
由条件可知y随x的增大而增大．
∴当xmax=400时，y最大，且ymax=3×400+7800=9000（元），
此时600-x=200（箱），
答：当购进樱桃400箱，甜瓜200箱的时候，总利润最大，最大利润为9000元．
22.【答案】
（1）解：如图，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AC⊥BD，BO=DO，∠ABD=30°，
∴AO=AB=，BO=AO=3，
∴BD=6，
∵△APE是等边三角形，AC⊥BD，
∴PO=OE=AP，∠APE=60°，
∴AO=OP=，
∴OP=1，
∴BP=2；
（2）证明：连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP=∠CAE．
在△BAP和△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP=CE，∠PBA=∠ACE=30°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCE=90°，
即CE⊥BC；
（3）解：如图过点E作EH⊥BP于H，连接AC，交BD于O，
由（2）可知CE⊥BC，BP=CE，
∵BC=AB=2，BE=2，
在Rt△BCE中，CE===8．
∴BP=CE=8，
∴OP=BP-BO=5，
在Rt△AOP中，AP==2．
∴EP=AP=2，
∵EH2=BE2-BH2=EP2-PH2，
∴76-BH2=28-（8-BH）2，
∴BH=7，
∴EH===3，
∴△BDE的面积=BD EH=9．
23.【答案】
（1）当x=0时，y=3，
∴B（0，3），
当y=0时，x=3，
∴A（3，0），
将B点代入y=x+b,
∴b=3，
∴y=x+3，
当y=0时，x=-6，
∴C（-6，0），
∴AC=9；
（2）①∵动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，
∴P（-6+t,0），
∴△BPO的面积=OP×OB=3|-t+6|=6，
解得t=2或t=10；
②设D（m,m+3），
当∠DBP=90°时，过点B作EF⊥y轴，过点P作PF⊥EF交于F点，过点D作DE⊥EF交于E点，
∵∠DBP=90°，
∴∠EBD+∠FBP=90°，
∵∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠FBP=∠EDB，
∵BD=BP，
∴△BED≌△PFB（AAS），
∴DE=BD，BF=PF=3，
∴m=3，
∴D（3，），
∴DE=BF=，
∴-6+t=，
解得t=；
当∠BPD=90°时，P点在y轴左侧，过D点作DE⊥x轴交于E，
同理△DEP≌△POB（AAS），
∴EP=OB=3，OP=DE=6-t,
∴D（-9+t,6-t），
∴6-t=（-9+t）+3，
解得t=5；
当∠BPD=90°时，P点在y轴右侧，过点D作DE⊥x轴交于E，
同理△BOP≌△PED（AAS），
∴OP=DE=-6+t,BO=PE=3，
∴D（-3+t,-6+t），
∴-6+t=（-3+t）+3，
解得t=15；
当∠PBD=90°时，P点在y轴左侧，过点D作EF⊥x轴交于E，过点B作BF⊥EF交于F，
同理△BDF≌△DPE（AAS），
∴BF=ED，DF=EP，
∴m+3=-m,
解得m=-2，
∴D（-2，2），
∴DF=EP=1，
∴OP=1，
∴6-t=1，
解得t=5；
当∠PBD=90°时，P点在y轴右侧，过点D作EF⊥y轴交于F，过点P作PE⊥EF交于E，
同理△BDF≌△DPE（AAS），
∴DF=EP，BF=ED，
∴m=m+3，
解得m=6，
∴m=-6+t,
解得t=15；
综上所述：t的值为或5或15．

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