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第1章 因式分解
八年级数学湘教版·上册
1.1 多项式的因式分解
教学目标
1.理解因式分解的意义和概念;
2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
新课导入
问题1 6 等于 2 乘哪个整数？
6＝2×3
问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式？
回顾与思考
新知探究
对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6＝2×3，我们把2叫作6的一个因数．同理，3也是6的一个因数．
对于多项式 ，有多项式 x－1使得 ，我们把x+1叫作 x2－1的一个因式，同理，x－1也是 x2－1 的一个因式．
多项式的因式分解
新知探究
一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式．
把 写成 的形式，叫作把 因式分解.
归纳总结
新知探究
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解，也称分解因式．
为什么要把一个多项式因式分解呢？
新知探究
万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因
此， 砖是基本建筑块之一.
在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式．
新知探究
①
②
有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为
进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得
例如
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
新知探究
例1 检验下列因式分解是否正确？
(1) x2 y-xy 2=xy(x-y)；
(2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1);
(3) x2+3x+2=(x+1)(x+2).
用什么方法检验
因式分解是否
正确呢？
分析：看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等
新知探究
解：（1）因为xy(x-y)=x2 y-xy 2，所以因式分解 x2 y-xy2 =xy(x-y)正确；
(2)因为(2x+1)(2x-1)= 4x2-1,所以因式分解 2x2-1=(2x+1)(2x-1)错误；
（3）因为(x+1)(x+2)= x2+3x+2，所以因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确.
新知探究
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
新知探究
x2-y2
9-25x2
x2+2x+1
xy-y2
(x+1)2
y(x-y)
(3-5x)(3+5x)
(x+y)(x-y)
练一练:
本课小结
因式分解要注意以下几点:
3.要分解到不能分解为止.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
1.分解的对象必须是多项式.
因式分解与整式乘法是互逆过程.
课堂小测
1.把下列多项式因式分解：
2.求4，6，14的最大公因数.
4=1×2×2
6=1×2×3
14=1×2×7
最大公因数是2
解：
课堂小测
3.判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2)2x(x-3y)=2x2-6xy
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1
(4)x2+4x+4=(x+2)2
(5)2πR+ 2πr= 2π(R+r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
因式分解
课堂小测
a
a
b
b
a – b
a + b
a2– b2 =
（a + b）（a – b）
4.手工课上，老师给南韩兵同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助南韩兵同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？

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