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第1章 因式分解
八年级数学湘教版·上册
1.3 第1课时 利用平方差公式进行因式分解
教学目标
1.能说出平方差公式的结构特征．（重点）
2.能较熟练地应用平方差公式分解因式．（难点）
新课导入
1.平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
从左边到右边的这个过程叫___________.
整式乘法
2.反过来，a2-b2=__________.
(a+b)(a-b)
从左边到右边的这个过程叫___________.
分解因式
因此，a2-b2= (a+b)(a-b)是因式分解中的一个公式.
思考：如何把x2-25进行因式分解？
回顾与思考
新知探究
如何把 x2-25 因式分解？
平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2，
把这个乘法公式从右到左地使用，得
a2-b2=(a+b)(a-b)
因此 x2-25
= x2-52
= (x+5)(x-5) .
a2-b2
= (a+b)(a-b) .
利用平方差公式进行因式分解
新知探究
像上述例子那样，把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
结论
新知探究
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
(y+x)(y-x)
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
新知探究
分析: 可以用平方差公式吗？
因为4x2 可以写成(2x)2 ,所以能用平方差公式因式分解.
=(2x) -y
解: 4x -y 　
=
怎么化成平方差公式的形式？
典例精析
例1 把4x -y 因式分解 .
新知探究
例2 把 因式分解.
解：
新知探究
例3 把 因式分解.
解:
新知探究
例4 把 因式分解 .
分析：可以用平方差公式吗？
因为 所以能用平方差公式分解.
解:　
=
=
=
注意：因式分解中必须进行到每个因式都不能分解为止.
新知探究
例5 把x3y2-x5 因式分解.
解：x3y2-x5
= x3(y2-x2)
= x3(y+x)(y-x)
分析 : x3y2-x5有公因式 x3，应先提出公因式，再用公式进行因式分解.
问题：能直接用公式分解因式吗？
又如：把-4ax2+16ay2因式分解
解：-4ax2+16ay2
= -4a(x2-4y2)
= -4a(x+2y)(x-2y)
本课小结
分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法;
(2)看是否能用公式法 ;
(3)务必检查是否分解到底了;
多项式具有如下特征时，可以运用平方差公式因式分解：
1.多项式是二项式或可以看成二项式；
2.两项符号相反；
3.每项都可以写成某数或某式的平方的形式.
提公因式后不要漏掉“1“或“-1“这一项.
(4)答案要写成最简形式.
课堂小测
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式？
2.判断正误:
(1) x2+y2=(x+y)(x-y) ( )
(2) x2-y2=(x+y)(x-y) ( )
(3) -x2+y2=(-x+y)(-x-y) ( )
(4) -x2-y2=-(x+y)(x-y) ( )
√
×
×
×
不能
能
能
不能
课堂小测
（4）a3-ab2
a(a+b)(a-b)
（3）9x4-36y2
9(x2+2y)(x2-2y)
（5）25x4y2-x2
3.把下列各式因式分解:
（6）2a(x2+1)2-2ax2
x2(5xy+1)(5xy-1)
2a(x2+x+1)(x2-x+1)
课堂小测
4. 手表表盘的外圆直径D=3.2厘米，内圆直径d=2.8厘米，在外圆与内圆之间涂有防水材料.试求涂上防水材料的圆环的面积(结果保留π).怎样计算较简便？
课堂小测
5. 如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得
6.82－4×1.62
＝6.82－ (2×1.6)2
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂小测
6.你知道992-1能否被100整除吗？
解：因为 992-1=(99+1)(99-1)
=100×98，所以992-1能被100整除.
能力提升：n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除？
解:原式＝(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
所以(2n+1)2-25能被4整除.

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