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重难强化三 动态平衡问题 平衡中的临界和极值问题
目录
_Toc202376362
01考情解码·命题预测 1
02体系构建·思维可视 2
03核心突破·靶向攻坚 3
考点一 动态平衡 3
知识点1 动态平衡问题 3
考向1 动态平衡的常用方法 4
考向2 相似三角形 辅助圆等解决动态平衡问题 6
考点二 临界与极值 10
知识点1 平衡中的临界与极值问题 10
考向1 平衡中的极值与临界问题 10
04真题溯源·考向感知 13
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
共点力的平衡 选择题 非选择题 江苏卷T7
受力分析 选择题 非选择题 江苏卷T7
考情分析： 1．共点力的平衡是力学核心内容，属于必考知识点，在考试大纲中明确要求掌握受力分析、平衡条件及应用。其考查贯穿整个力学体系，常与牛顿定律、运动学结合，是解决复杂力学问题的基础。 2．从命题思路上看，试题情景为 情境创新：未来可能结合科技前沿（如机器人、航天器）或生活实际（如建筑结构），增强试题的应用性和综合性。 跨模块融合：与牛顿定律、能量守恒等知识点结合，考查综合分析能力。
复习目标： 目标一：掌握共点力的定义及平衡状态的本质特征（加速度为零），能准确区分 “静止” 与 “速度为零” 的差异（如竖直上抛最高点并非平衡状态） 目标二：熟练运用动态平衡中几种方法及其应用条件。
考点一 动态平衡
知识点1 动态平衡问题
1.基本思路
化“动”为“静”，“静”中求“动”。
2.分析动态平衡问题的常用方法
（1）解析法
①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
（2）图解法
①根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化。
②确定未知量大小、方向的变化。
在同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任一个力与其它两个力夹角正弦的比值相等，即：
推论1：当 时， 推论2：两个相等的力，当它们的夹角为 时，合力等于每一个分力；若大于 则合力小于每一个分力：若小于 则合力大于每一个分力。
（3）相似三角形法
①适用情况：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变，其他两个力的方向均变化，能找到与力的矢量三角形相似的线、杆等围成的几何三角形。示例如图，基本关系式为
②分析方法：画出力的矢量三角形，找到与力的矢量三角形相似的几何三角形，建立比例关系，根据几何三角形中边长的变化，得出变力的变化情况。
（4）辅助圆法
①适用情况：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力方向、大小都在变，但它们的夹角不变。
②分析方法
Ⅰ、构建力的矢量三角形。
Ⅱ、画矢量三角形的外接圆，恒力对应的弦长不变，其对应的圆周角也不变。
Ⅲ、分析变力的变化情况。
注：当两个变力的夹角是90°时，恒力对应外接圆的直径。
考向1 动态平衡的常用方法
例1 （25-26江苏·课后作业）如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平地面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C．整个装置处于静止状态，设杆与水平地面间的夹角为。下列说法错误的是（　　）
A．当m一定时，越大，每根轻杆对滑块的弹力越小
B．当M、m一定时，每个滑块对地面的压力大小为
C．当m和一定时，每个滑块与地面间的摩擦力大小为
D．若最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，当时，无论怎样增大m，都不能使M沿地面滑动
【答案】B
【详解】根据力的平行四边形定则，有，故一定时，越大，轻杆受力越小，则轻杆对滑块的弹力越小，A正确；对、、整体进行受力分析可知，对地压力为，因此每个滑块对地的压力大小为，B错误；对滑块受力分析，受重力，杆的推力，地面的支持力和向右的摩擦力，根据平衡条件有，C正确；滑块不能沿地面滑动时满足，即，解得，当时，有，即当时，无论怎样增大，都不能使沿地面滑动，D正确。
【变式训练1】（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，OA为遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连。当绳处于竖直位置时，滑块A对地面有压力作用。B为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度。现有一水平力F作用于A，使A向右缓慢地沿直线运动，则在运动过程中（　　）
A．水平拉力F保持不变 B．地面对A的摩擦力变大
C．地面对A的摩擦力变小 D．地面对A的支持力保持不变
【答案】D
【详解】D．设开始时AB的长度为L，则开始时刻地面对A的支持力为
设某一时刻绳子与水平方向的夹角为θ，则绳子的弹力为
其向上分力
故地面对物体的支持力为
由此可知地面对物体的支持力保持不变，故D正确；
BC．由于，FN不变，则摩擦力f也保持不变，故BC错误；
A．对水平方向分析，由平衡条件可知
物块向右运动的过程中，θ变小，f不变，故F变大，故A错误。
故选D。
【变式训练2】（24-25高三下·江苏南通·开学考试）斜面体置于粗糙水平面上，斜面上的物块B通过细线跨过轻质定滑轮与小球A相连。从图示位置释放静止小球，A下降过程中B始终处于静止状态。则A下降过程中（　　）
A．物块对斜面体的压力始终不变
B．物块对斜面体的摩擦力先减小后增大
C．斜面体对地面的压力始终不变
D．斜面体对地面的摩擦力先增大后减小
【答案】D
【详解】A．从图示位置释放静止小球A，A下降过程中，随速度增加，绳上拉力逐渐增大，则绳上拉力垂直于斜面分力逐渐增大，则由平衡条件可知，斜面对物块的支持力减小，由牛顿第三定律可知，物块对斜面体的压力逐渐减小，故A错误；
B．由平衡条件可知，初始时斜面体对物块B的摩擦力大小等于B的重力沿斜面向下的分力，方向沿斜面向上，A下降过程中，绳上拉力逐渐增大，由于不知道绳上拉力沿斜面方向的分力大小与B的重力沿斜面向下的分力大小关系，所以无法判断物块受到斜面的摩擦力是一直增大还是先减小后反向增大，则根据牛顿第三定律可知，无法判断物块对斜面体的摩擦力如何变化，故B错误；
C．结合前面分析可知，A下降过程，该系统整体，竖直方向的加速度有变化，则该系统整体竖直方向的合外力有变化，则地面对斜面体的支持力有变化，则由牛顿第三定律可知，斜面体对地面的压力有变化，故C错误；
D．对该系统整体，由平衡条件可知，初始时地面对斜面体摩擦力为零，A下降过程，该系统存在水平向右的加速度，且加速度先增大后减小，则斜面体受到的摩擦力先增大后减小，根据牛顿第三定律可知，斜面体对地面的摩擦力先增大后减小，故D正确；
故选D。
考向2 相似三角形 辅助圆等解决动态平衡问题
例3如图所示，质量分布均匀的细棒中心为O点，为光滑铰链，为光滑定滑轮，且在正上方，细绳跨过与O连接，水平外力F作用于细绳的一端。用表示铰链对杆的作用力，现在水平外力F作用下，从缓慢减小到0的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．F逐渐变小，大小不变
B．F逐渐变小，逐渐变大
C．F先变小再变大，逐渐变小
D．F先变小再变大，逐渐变大
【答案】A
【详解】细棒质量分布均匀，重心在O点，对细棒进行分析如图所示
令杆长为L，与间距为h，左侧绳长为x，根据相似三角形有
从缓慢减小到0的过程中，左侧绳长为x减小，可知，F逐渐变小，大小不变。
故选A。
【变式训练1】（24-25江苏苏州·期中）新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%棉田都是通过机械自动化采收，自动采棉机将棉花打包成圆柱形棉包，然后平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”型挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转动，使BP板由水平位置逆时针缓慢转动，忽略“V”型挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．棉包对AP板的压力先增大后减小
B．棉包对BP板的压力先减小后增大
C．棉包对BP板的压力一直减小
D．当BP板转过30°时，棉包对BP板的压力大小为mg
【答案】C
【详解】ABC．对棉包受力分析，如图所示，设BP板转动的角度为θ（0<θ<60°），根据正弦定理可得
当θ从0°增大到60°的过程中，AP板对棉包的支持力F2一直增大，根据牛顿第三定律可得棉包对AP板的压力一直增大，BP板对棉包的支持力F1一直减小，则棉包对BP板的压力一直减小，故AB错误，C正确；
D．当BP板转过30°时，两板间夹角为120°固定不变，可知此时两板对棉包的支持力大小相等，由平衡条件则有
根据牛顿第三定律可得，棉包对BP板的压力大小为，故D错误。
故选C。
【变式训练2】（24-25江苏常州·期中）如图甲所示，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向上攀爬，绳的一端固定在较高处的A点，另一端拴在人的腰间C点（重心处）。人攀爬的过程可以把人简化为乙图所示的物理模型：脚与崖壁接触点为O点，人的重力G全部集中在C点，O到C点可简化为轻杆，AC为轻绳。已知OC长度不变。下列说法正确的是（　　）
A．OC杆上的弹力方向可能不沿杆
B．AC绳对人的拉力一定大于人所受的重力
C．AC绳在虚线位置与实线位置承受的拉力大小相等
D．OC杆在虚线位置与实线位置承受的压力大小相等
【答案】D
【详解】A．一端有铰链的动杆处于平衡时，杆所受弹力方向一定沿杆，即OC杆上的弹力方向一定沿杆，故A错误；
B．对人受力分析，人受到重力G、轻绳的拉力T和轻杆的支持力F，构成力的三角形，如图所示
由几何知识可知，该力的三角形与三角形AOC相似，则有
由于AC不一定大于AO，所以绳对人的拉力T不一定大于人所受的重力G，故B错误；
C．由图可知，AO为定值，AC在虚线位置时比实线位置时大，根据以上分析可知，轻绳AC在虚线位置比实线位置承受的拉力大，故C错误；
D．OC在虚线位置时与在实线位置时相等，则轻杆OC在虚线位置与实线位置时对人的支持力相等，则轻杆OC在虚线位置与实线位置承受的压力相等，故D正确。
故选D。
考点二 临界与极值
知识点1 平衡中的临界与极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，该类问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界常见的种类：
（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
（2）绳子由松弛到绷紧，拉力F＝0。
（3）恰好离开接触面，支持力N＝0。
2.极值问题
平衡问题的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解决极值问题和临界问题的方法
（1）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
（2）数学方法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论或说明。
考向1 平衡中的极值与临界问题
例2 （24-25高三上·江苏·阶段练习）如图是老师带领同学们做实验的情景。有顶角不同的圆锥放在桌面上，同学们发现顶角为的圆锥，无论多大的力都不能按图示那样拿起，设手与圆锥体间的动摩擦因数为，若最大静摩擦力大小近似为滑动摩擦力大小， 则角度与满足的关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对左侧接触面分析，圆锥受手作用力如图，设手对接触面弹力为F，则对于圆锥整体而言
整理得
因为无论多大的力都无法拿起，则当时
解得
故选D。
【变式训练1】（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，倾角为、静置在水平地面上的斜面体顶端有一光滑的定滑轮，斜面上的物块A通过细线绕过定滑轮与物块B相连，此时物块A恰要沿斜面滑动，现在物块B上施加水平向右的力使物块B缓慢升高（图中未画出），当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角时，物块A也恰要沿斜面滑动，已知物块B的质量为，重力加速度为，整个过程斜面体始终静止，则（　　）
A．外力的最大值为
B．物块A的质量为
C．物块A和斜面间的最大静摩擦力为
D．地面和斜面体间的摩擦力一直减小
【答案】C
【详解】A．当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角时，外力具有最大值，以B为对象，根据受力平衡可得
可得外力的最大值为
故A错误；
BC．设A的质量为，由题意可知，对B施加外力前，物块A恰要沿斜面下滑，则有
当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角时，此时绳子拉力为
物块A恰要沿斜面上滑，则有
联立解得
，
故B错误，C正确；
D．以A、B和斜面为整体，根据受力平衡可得
由于水平外力逐渐增大，则地面和斜面体间的摩擦力一直增大，故D错误。
故选C。
【变式训练2】（23-24江苏扬州·期中）如图所示，质量为的物块上系着一条长的轻绳，轻绳的另一端连着轻质圆环，圆环套在水平棒上可以滑动，环与棒间的动摩擦因数，另有一条细绳，其一端跨过光滑定滑轮与物块相连，另一端挂上重物G，定滑轮在距离圆环处固定。当圆环刚好要开始滑动时（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取），则：
（1）与物块相连的两绳夹角是多大？
（2）长为的细绳的张力是多少？
（3）定滑轮所受细绳的作用力是多大？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）当圆环将要开始滑动时，对圆环进行受力分析得
解得
即
由于
，
由数学知识求得
（2）建立坐标轴，如图所示
物块处于平衡状态，则有
解得
，
（3）根据题意，对定滑轮受力分析可知，定滑轮所受细绳的作用力
（23-24江苏扬州·期中）如图所示，光滑的半圆环沿竖直方向固定，M点为半圆环的最高点，N点为与圆心O等高的点，直径MH沿竖直方向，光滑的定滑轮固定在M处，另一小圆环穿过半圆环用质量不计的轻绳拴接并跨过定滑轮。开始小圆环处在半圆环的H点，拉动小圆环使其缓慢地运动到M点。滑轮大小可以忽略，在运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．半圆环对小圆环的作用力始终指向圆心
B．半圆环对小圆环的作用力大小一直在变小
C．半圆环对小圆环的作用力大小始终等于小圆环重力
D．小圆环受到的绳拉力、半圆环的支持力及小圆环的重力始终不能相等
【答案】C
【详解】A．拉动小半圆环使其缓慢地运动到M点，则有小圆环处于三力平衡状态，其受力分析如图所示，受重力mg，半圆环对小圆环的弹力FN和轻绳的拉力T，由图可知，半圆环对小圆环的作用力不是指向圆心，A错误；
BCD．由相似三角形可得
由图中的几何关系可知，MP变小，MO=OP恒定不变，则有T变小，解得
不变，BD错误，C正确。
故选C。
如图所示，轻质硬杆一端与固定在地面上的光滑铰链O相连，另一端固定一定质量的小球，站在地面上的某人用轻绳绕过处在铰链正上方的小定滑轮拉住小球。若该人拉住轻绳缓慢向左移动，不计轻绳与滑轮之间的摩擦，则在轻杆到达竖直位置之前的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．绳子拉力逐渐增大
B．硬杆对小球的支持力增大
C．地面对人的摩擦力逐渐增大
D．地面对人的支持力逐渐增大
【答案】D
【详解】AB．分别对小球和人受力分析如下图所示，对小球，由相似三角形可知
由于mg、h、Op不变，随着小球向上转动，L变短，故减小、不变，故A、B错误；
C．对人进行受力分析，水平方向上有
因为减小，因人向左移动减小，故增大，因此无法判断，故C错误；
D．对人进行受力分析，在竖直方向上有
因、同时减小，G不变，故增大，D正确。
故选D。

如图所示，水平面上固定一光滑半球，球心O的正上方固定一个小滑轮，绳上拴一小球，小球置于半球面上的A点，绳绕过定滑轮，另一端用力T拉，现缓慢地将小球从B点释放到A点，则此过程中，小球对半球面的压力N以及细线拉力T的大小变化情况，以下说法正确的是（　　）

A．T变小；N不变
B．T变小；N变小
C．T变大；N不变
D．T变大；N变大
【答案】C
【详解】对小球受力分析，由 可得
，
得
，
缓慢地将小球从B点释放到A点过程中，、AO不变，变大，所以T变大，N不变。故选C。

（2023·江西宜春·二模）生活中人们为了往高楼中搬运大型货物，可能会用到如图所示的方法提升重物。图中甲、乙两名工人分别位于两栋楼的六楼和二楼窗口，两人各用一根轻绳与质量为m的重物相连。初始时重物在甲的正下方地面上，此时工人甲的绳长为L，甲、乙两人间的距离也为L、楼间距为，现甲拉住绳端不动的同时乙缓慢收短手中的轻绳，最终将重物拉至乙处。重力加速度取g，则在将重物拉离地面至接近乙的过程中下列说法正确的是（　　）

A．甲、乙绳的拉力始终大于mg
B．甲、乙绳的拉力始终小于mg
C．当重物接近乙处时甲绳的拉力接近
D．当重物接近乙处时乙绳的拉力接近mg
【答案】B
【详解】
AB．重物被拉升过程中运动轨迹为绕甲的圆周运动，转过圆心角30°，过程中甲、乙、重物构成等腰三角形。受力分析由图所示

则有
，
则
过程中，则
由相似三角形法可知，对边mg始终大于甲、乙绳中拉力，A错误，B正确；
CD．接近乙时，趋近于90°，趋近60°，则有
CD错误。
故选B。
一个球面光滑的半圆球体固定于墙壁上，点为球心，球体上点有一质量不可忽略的小球，通过细线连接在墙壁上的A点，以下说法正确的是（　　）
A．若绳长度和A、O点位置不变，减小球体半径，则球体给小球的支持力增大
B．若绳长度和A、O点位置不变，减小球体半径，则绳中受力减小
C．若保持球体半径和B位置不变，则A点下移过程中，球体给小球的支持力增大
D．若保持球体半径和B位置不变，则A点下移过程中，球体给小球的支持力减小
【答案】C
【详解】对小球进行受力分析，可知它受重力，球体给它的支持力，绳中拉力，做出力的矢量三角形如图所示
观察几何三角形和力三角形相似，有
AB．不变，重力不变，所以比值不变，AB绳长不变，拉力大小不变，减小球体半径，即OB减小，支持力减小，AB错误；
CD．A点下移，比值增大，不变，支持力必然增大，C正确，D错误。
故选C。
（24-25江苏徐州·阶段练习）如图，水平地面上竖直固定一根粗细均匀、光滑的直杆，杆上套有圆环A，地面上有一个滑块B，A、B用轻杆通过活动铰链连接，轻杆与竖直方向的夹角为，A、B处于静止状态。现缓慢减小角，在角减小的前、后两个状态中，下列说法正确的是（　　）
A．直杆对圆环A的弹力减小 B．物块B对地面的压力减小
C．A、B间轻杆的弹力增大 D．地面对物块B的摩擦力增大
【答案】A
【详解】A．直杆对A的弹力
可知越小，N越小，故A正确；
B．地面对B的支持力等于A、B整体的重力，始终不变，根据牛顿第三定律知物块B对地面的压力不变，故B错误；
C．设轻杆上的弹力为F，对圆环A研究，有
可知越小，F越小，故C错误；
D．对整体研究，地面对B的摩擦力
越小，N越小，因此地面对B的摩擦力减小，选项D错误。
故选A。
（24-25江苏苏州·期中）如图所示，斜面上有一小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知轻绳与竖直方向的夹角为，斜面倾角为，所有接触面均光滑。开始时在外力作用下，整个装置处于静止状态。现水平向左缓慢移动斜面，直至轻绳到达竖直位置。下列说法正确的是（　　）
A．开始时，轻绳对小球的拉力大于斜面对小球的支持力
B．斜面缓慢移动过程中，斜面对小球的支持力先增大后减小
C．斜面缓慢移动过程中，轻绳对小球的拉力一直增大
D．斜面缓慢移动过程中，斜面对水平面的压力一直增大
【答案】C
【详解】A．小球开始静止时，根据平衡条件，水平方向有
解得
所以轻绳对小球的拉力小于斜面对小球的支持力，故A错误；
BC．分析小球的受力情况，如图所示
斜面缓慢向左运动过程中，细线与竖直方向的夹角不断减小，由图可看出，拉力T逐渐增大，支持力N逐渐减小，故B错误，C正确；
D．设绳子与竖直方向夹角为，利用整体法，竖直方向有
由于水平向左缓慢移动斜面，减小且拉力T逐渐增大，可知水平面对斜面的支持力逐渐减小，由牛顿第三定律可知斜面对水平面压力减小，故D错误。
故选C。
（24-25江苏·阶段练习）质量的斜面置于粗糙水平面上，其上表面光滑，质量为的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，如图所示，图中，整个装置处于静止状态。重力加速度取。求：
(1)轻绳的弹力大小；
(2)地面对斜面的支持力大小；
(3)另外用一个拉力拉小球，要使地面对斜面摩擦力为零，对小球施加拉力的最小值。
【答案】(1)12.5N
(2)60N
(3)12N
【详解】（1）对小球做受力分析
建立直角坐标系，根据平衡条件,方向上有
方向上
以上两式联立代入数据解得
（2）对斜面与球整体进行受力分析可知
解得
（3）用一个外力把小球刚好拉离斜面时，由图可知，当与绳的拉力垂直时，最小
为将一批圆筒从车厢内卸下，工人师傅利用两根相同的钢管A、B搭在水平车厢与水平地面之间构成一倾斜轨道，两钢管底端连线与车厢尾部平行，轨道平面与地面夹角θ=37°，如图甲所示。车厢内有两种不同的圆筒P、Q，图乙所示为圆筒P置于轨道上时圆筒P与钢管A、B的截面图，当两钢管间的距离与圆筒P的截面半径R相等时，轻推一下圆筒P，圆筒P可沿轨道匀速下滑。已知圆筒P、Q的质量均为m，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos37°=0.8。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略钢管粗细。
(1)求此时圆筒P受到钢管的摩擦力f的大小；
(2)求此时单根钢管对圆筒P的支持力的大小（结果可保留根号）；
(3)工人师傅想通过调整两钢管间的距离（夹角θ=37°不变），使圆筒Q被轻推后匀速下滑，但是发现无论怎样调整都不能使圆筒Q匀速或加速下滑，试通过计算分析圆筒Q与轨道间的动摩擦因数满足的条件。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设两钢管对圆筒P的支持力的合力为N，摩擦力的合力为f，圆筒P受力如图所示
垂直轨道平面方向有
沿轨道平面方向有
解得
，
（2）由几何知识可知，将圆筒P所受支持力的合力N沿AO、BO方向分解，如图所示
则
解得
（3）结合以上分析，可知两钢管间的距离越小，则单根钢管对圆筒Q的支持力越小，当两根钢管紧靠在一起时，支持力最小，此时单根钢管对圆筒Q的滑动摩擦力最小，有
其中
无论怎样调整都不能使圆筒Q下滑，则
联立解得
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难强化三 动态平衡问题 平衡中的临界和极值问题
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02体系构建·思维可视 2
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考点一 动态平衡 3
知识点1 动态平衡问题 3
考向1 动态平衡的常用方法 4
考向2 相似三角形 辅助圆等解决动态平衡问题 6
考点二 临界与极值 10
知识点1 平衡中的临界与极值问题 10
考向1 平衡中的极值与临界问题 10
04真题溯源·考向感知 13
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
共点力的平衡 选择题 非选择题 江苏卷T7
受力分析 选择题 非选择题 江苏卷T7
考情分析： 1．共点力的平衡是力学核心内容，属于必考知识点，在考试大纲中明确要求掌握受力分析、平衡条件及应用。其考查贯穿整个力学体系，常与牛顿定律、运动学结合，是解决复杂力学问题的基础。 2．从命题思路上看，试题情景为 情境创新：未来可能结合科技前沿（如机器人、航天器）或生活实际（如建筑结构），增强试题的应用性和综合性。 跨模块融合：与牛顿定律、能量守恒等知识点结合，考查综合分析能力。
复习目标： 目标一：掌握共点力的定义及平衡状态的本质特征（加速度为零），能准确区分 “静止” 与 “速度为零” 的差异（如竖直上抛最高点并非平衡状态） 目标二：熟练运用动态平衡中几种方法及其应用条件。
考点一 动态平衡
知识点1 动态平衡问题
1.基本思路
化“动”为“静”，“静”中求“动”。
2.分析动态平衡问题的常用方法
（1）解析法
①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
（2）图解法
①根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化。
②确定未知量大小、方向的变化。
在同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任一个力与其它两个力夹角正弦的比值相等，即：
推论1：当 时， 推论2：两个相等的力，当它们的夹角为 时，合力等于每一个分力；若大于 则合力小于每一个分力：若小于 则合力大于每一个分力。
（3）相似三角形法
①适用情况：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变，其他两个力的方向均变化，能找到与力的矢量三角形相似的线、杆等围成的几何三角形。示例如图，基本关系式为
②分析方法：画出力的矢量三角形，找到与力的矢量三角形相似的几何三角形，建立比例关系，根据几何三角形中边长的变化，得出变力的变化情况。
（4）辅助圆法
①适用情况：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力方向、大小都在变，但它们的夹角不变。
②分析方法
Ⅰ、构建力的矢量三角形。
Ⅱ、画矢量三角形的外接圆，恒力对应的弦长不变，其对应的圆周角也不变。
Ⅲ、分析变力的变化情况。
注：当两个变力的夹角是90°时，恒力对应外接圆的直径。
考向1 动态平衡的常用方法
例1 （25-26江苏·课后作业）如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平地面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C．整个装置处于静止状态，设杆与水平地面间的夹角为。下列说法错误的是（　　）
A．当m一定时，越大，每根轻杆对滑块的弹力越小
B．当M、m一定时，每个滑块对地面的压力大小为
C．当m和一定时，每个滑块与地面间的摩擦力大小为
D．若最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，当时，无论怎样增大m，都不能使M沿地面滑动
【变式训练1】（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，OA为遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连。当绳处于竖直位置时，滑块A对地面有压力作用。B为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度。现有一水平力F作用于A，使A向右缓慢地沿直线运动，则在运动过程中（　　）
A．水平拉力F保持不变 B．地面对A的摩擦力变大
C．地面对A的摩擦力变小 D．地面对A的支持力保持不变
【变式训练2】（24-25高三下·江苏南通·开学考试）斜面体置于粗糙水平面上，斜面上的物块B通过细线跨过轻质定滑轮与小球A相连。从图示位置释放静止小球，A下降过程中B始终处于静止状态。则A下降过程中（　　）
A．物块对斜面体的压力始终不变
B．物块对斜面体的摩擦力先减小后增大
C．斜面体对地面的压力始终不变
D．斜面体对地面的摩擦力先增大后减小
考向2 相似三角形 辅助圆等解决动态平衡问题
例3如图所示，质量分布均匀的细棒中心为O点，为光滑铰链，为光滑定滑轮，且在正上方，细绳跨过与O连接，水平外力F作用于细绳的一端。用表示铰链对杆的作用力，现在水平外力F作用下，从缓慢减小到0的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．F逐渐变小，大小不变
B．F逐渐变小，逐渐变大
C．F先变小再变大，逐渐变小
D．F先变小再变大，逐渐变大
【变式训练1】（24-25江苏苏州·期中）新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%棉田都是通过机械自动化采收，自动采棉机将棉花打包成圆柱形棉包，然后平稳将其放下。放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”型挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转动，使BP板由水平位置逆时针缓慢转动，忽略“V”型挡板对棉包的摩擦力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．棉包对AP板的压力先增大后减小
B．棉包对BP板的压力先减小后增大
C．棉包对BP板的压力一直减小
D．当BP板转过30°时，棉包对BP板的压力大小为mg
【变式训练2】（24-25江苏常州·期中）如图甲所示，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向上攀爬，绳的一端固定在较高处的A点，另一端拴在人的腰间C点（重心处）。人攀爬的过程可以把人简化为乙图所示的物理模型：脚与崖壁接触点为O点，人的重力G全部集中在C点，O到C点可简化为轻杆，AC为轻绳。已知OC长度不变。下列说法正确的是（　　）
A．OC杆上的弹力方向可能不沿杆
B．AC绳对人的拉力一定大于人所受的重力
C．AC绳在虚线位置与实线位置承受的拉力大小相等
D．OC杆在虚线位置与实线位置承受的压力大小相等
考点二 临界与极值
知识点1 平衡中的临界与极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，该类问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界常见的种类：
（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
（2）绳子由松弛到绷紧，拉力F＝0。
（3）恰好离开接触面，支持力N＝0。
2.极值问题
平衡问题的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解决极值问题和临界问题的方法
（1）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
（2）数学方法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论或说明。
考向1 平衡中的极值与临界问题
例2 （24-25高三上·江苏·阶段练习）如图是老师带领同学们做实验的情景。有顶角不同的圆锥放在桌面上，同学们发现顶角为的圆锥，无论多大的力都不能按图示那样拿起，设手与圆锥体间的动摩擦因数为，若最大静摩擦力大小近似为滑动摩擦力大小， 则角度与满足的关系是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练1】（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，倾角为、静置在水平地面上的斜面体顶端有一光滑的定滑轮，斜面上的物块A通过细线绕过定滑轮与物块B相连，此时物块A恰要沿斜面滑动，现在物块B上施加水平向右的力使物块B缓慢升高（图中未画出），当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角时，物块A也恰要沿斜面滑动，已知物块B的质量为，重力加速度为，整个过程斜面体始终静止，则（　　）
A．外力的最大值为
B．物块A的质量为
C．物块A和斜面间的最大静摩擦力为
D．地面和斜面体间的摩擦力一直减小
【变式训练2】（23-24江苏扬州·期中）如图所示，质量为的物块上系着一条长的轻绳，轻绳的另一端连着轻质圆环，圆环套在水平棒上可以滑动，环与棒间的动摩擦因数，另有一条细绳，其一端跨过光滑定滑轮与物块相连，另一端挂上重物G，定滑轮在距离圆环处固定。当圆环刚好要开始滑动时（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取），则：
（1）与物块相连的两绳夹角是多大？
（2）长为的细绳的张力是多少？
（3）定滑轮所受细绳的作用力是多大？
（23-24江苏扬州·期中）如图所示，光滑的半圆环沿竖直方向固定，M点为半圆环的最高点，N点为与圆心O等高的点，直径MH沿竖直方向，光滑的定滑轮固定在M处，另一小圆环穿过半圆环用质量不计的轻绳拴接并跨过定滑轮。开始小圆环处在半圆环的H点，拉动小圆环使其缓慢地运动到M点。滑轮大小可以忽略，在运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．半圆环对小圆环的作用力始终指向圆心
B．半圆环对小圆环的作用力大小一直在变小
C．半圆环对小圆环的作用力大小始终等于小圆环重力
D．小圆环受到的绳拉力、半圆环的支持力及小圆环的重力始终不能相等
如图所示，轻质硬杆一端与固定在地面上的光滑铰链O相连，另一端固定一定质量的小球，站在地面上的某人用轻绳绕过处在铰链正上方的小定滑轮拉住小球。若该人拉住轻绳缓慢向左移动，不计轻绳与滑轮之间的摩擦，则在轻杆到达竖直位置之前的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．绳子拉力逐渐增大
B．硬杆对小球的支持力增大
C．地面对人的摩擦力逐渐增大
D．地面对人的支持力逐渐增大
如图所示，水平面上固定一光滑半球，球心O的正上方固定一个小滑轮，绳上拴一小球，小球置于半球面上的A点，绳绕过定滑轮，另一端用力T拉，现缓慢地将小球从B点释放到A点，则此过程中，小球对半球面的压力N以及细线拉力T的大小变化情况，以下说法正确的是（　　）

A．T变小；N不变
B．T变小；N变小
C．T变大；N不变
D．T变大；N变大
（2023·江西宜春·二模）生活中人们为了往高楼中搬运大型货物，可能会用到如图所示的方法提升重物。图中甲、乙两名工人分别位于两栋楼的六楼和二楼窗口，两人各用一根轻绳与质量为m的重物相连。初始时重物在甲的正下方地面上，此时工人甲的绳长为L，甲、乙两人间的距离也为L、楼间距为，现甲拉住绳端不动的同时乙缓慢收短手中的轻绳，最终将重物拉至乙处。重力加速度取g，则在将重物拉离地面至接近乙的过程中下列说法正确的是（　　）

A．甲、乙绳的拉力始终大于mg
B．甲、乙绳的拉力始终小于mg
C．当重物接近乙处时甲绳的拉力接近
D．当重物接近乙处时乙绳的拉力接近mg
一个球面光滑的半圆球体固定于墙壁上，点为球心，球体上点有一质量不可忽略的小球，通过细线连接在墙壁上的A点，以下说法正确的是（　　）
A．若绳长度和A、O点位置不变，减小球体半径，则球体给小球的支持力增大
B．若绳长度和A、O点位置不变，减小球体半径，则绳中受力减小
C．若保持球体半径和B位置不变，则A点下移过程中，球体给小球的支持力增大
D．若保持球体半径和B位置不变，则A点下移过程中，球体给小球的支持力减小
（24-25江苏徐州·阶段练习）如图，水平地面上竖直固定一根粗细均匀、光滑的直杆，杆上套有圆环A，地面上有一个滑块B，A、B用轻杆通过活动铰链连接，轻杆与竖直方向的夹角为，A、B处于静止状态。现缓慢减小角，在角减小的前、后两个状态中，下列说法正确的是（　　）
A．直杆对圆环A的弹力减小 B．物块B对地面的压力减小
C．A、B间轻杆的弹力增大 D．地面对物块B的摩擦力增大
（24-25江苏苏州·期中）如图所示，斜面上有一小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知轻绳与竖直方向的夹角为，斜面倾角为，所有接触面均光滑。开始时在外力作用下，整个装置处于静止状态。现水平向左缓慢移动斜面，直至轻绳到达竖直位置。下列说法正确的是（　　）
A．开始时，轻绳对小球的拉力大于斜面对小球的支持力
B．斜面缓慢移动过程中，斜面对小球的支持力先增大后减小
C．斜面缓慢移动过程中，轻绳对小球的拉力一直增大
D．斜面缓慢移动过程中，斜面对水平面的压力一直增大
（24-25江苏·阶段练习）质量的斜面置于粗糙水平面上，其上表面光滑，质量为的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，如图所示，图中，整个装置处于静止状态。重力加速度取。求：
(1)轻绳的弹力大小；
(2)地面对斜面的支持力大小；
(3)另外用一个拉力拉小球，要使地面对斜面摩擦力为零，对小球施加拉力的最小值。
为将一批圆筒从车厢内卸下，工人师傅利用两根相同的钢管A、B搭在水平车厢与水平地面之间构成一倾斜轨道，两钢管底端连线与车厢尾部平行，轨道平面与地面夹角θ=37°，如图甲所示。车厢内有两种不同的圆筒P、Q，图乙所示为圆筒P置于轨道上时圆筒P与钢管A、B的截面图，当两钢管间的距离与圆筒P的截面半径R相等时，轻推一下圆筒P，圆筒P可沿轨道匀速下滑。已知圆筒P、Q的质量均为m，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos37°=0.8。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略钢管粗细。
(1)求此时圆筒P受到钢管的摩擦力f的大小；
(2)求此时单根钢管对圆筒P的支持力的大小（结果可保留根号）；
(3)工人师傅想通过调整两钢管间的距离（夹角θ=37°不变），使圆筒Q被轻推后匀速下滑，但是发现无论怎样调整都不能使圆筒Q匀速或加速下滑，试通过计算分析圆筒Q与轨道间的动摩擦因数满足的条件。
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