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(共23张PPT)
2.7 角的和与差
几何图形的初步认识
数学冀教版七年级上册
1.通过类比线段的和与差，理解两个角的和与差，会进行角的和、差运算，进一步发展抽象能力，提高运算能力.
2.理解角平分线的概念，体会对称美，提升空间观念.
3.通过对角的大小关系的分析，理解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，经历用数学语言表达问题的过程，形成一定的推理能力.
情境
我们已经学了哪些几何图形？
同学们，我们生活在一个千姿百态的图形世界里，我们已经研究了图形世界中的两个成员--线段和角,请同学们回想我们都学习了线段的哪些知识 角的哪些知识 类比线段的学习思路，我们将研究角的哪些内容
线段、角
我们学习了线段的表示方法、线段长短的比较、线段的和与差；我们还学习了角的的表示方法、角大小的比较，所以类比线段的学习思路，我们将学习角的和与差.
1.如图，线段AB上有一点M，则图中线段的关系是
AM+MB= AB AB－AM=MB AB－MB=AM
A
B
M
2.如果点M为线段AB的中点，则_____________
情境
规则：
1.积极发言 +2分
2.认真倾听 +1分
3.质疑 +2分
O
A
C
B
如图，在∠AOB的内部画射线OC,图中有哪几个角？这些角之间有什么关系？
O
A
C
B
图中共有三个角，
关系：∠AOC+∠BOC=∠AOB，
∠AOB－∠AOC=∠BOC ，
∠AOB－∠BOC=∠AOC .
如图，在∠AOB的内部画射线OC,图中有哪几个角？这些角之间有什么关系？
O
A
C
B
若射线OC绕点O旋转，旋转到如图位置时，这些角之间有什么关系
在射线OC绕点O旋转过程中，是否会出现恰好被分成相等的两部分呢？类比线段中点的定义，你能给此时的射线起个名字吗？
∠AOC＋∠AOB=∠BOC，
∠BOC－∠AOC=∠AOB
∠BOC－∠AOB=∠AOC
可以；角平分线.
图片替换区
角的平分线:如果从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，那么,这条射线叫做这个角的角平分线.
总结
图片替换区
已知一个角，你能得到这个角的平分线吗？用折纸法能得到角的平分线吗？
按下列步骤进行操作：
（1）在半透明的纸上画出∠AOB；
（2）折纸，使角的两边重合；
（3）把纸展开，以点O为端点，沿折痕画射线OP．
15°可以用45°与30°相减得到,或者60°和45°相减得到.
75°可以用45°与30°相加得到.
还可以得到135°，120°，150°等等，这些角都是15°的倍数.
请尝试用三角板拼出15°、75°的角 用一副三角板，你还能拼出哪些角呢
例1
已知∠1=103°24′28″，∠2=30°54′.
求（1）∠1＋∠2 的度数（2）∠1－∠2 的度数.
解：（1）∠1＋∠2=133°25′22″
（2）∠1－∠2=73°23′34″
角度加减运算时，相同单位进行相加减，满60进位，不够减时，向前一位借.
概念
已知∠α和∠β ．
如果∠α + ∠β =90°，我们就称∠α与∠β互为余角，简称互余．其中∠α (∠β) 叫做∠β(∠α)的余角．
如果∠α+ ∠β =180 °，我们就称这两个角互为补角，简称互补．其中∠α (∠β) 叫做∠β(∠α)的补角．
例2
图片替换区
（1）如图所示，∠AOD=64° ，∠DOC=26°，
则 ∠AOC= ，我们就称∠AOD 与∠DOC互为 .
（2）如图所示，∠AOD=64°，∠BOD=116°,则∠AOB= ，
我们就称∠AOD与∠BOD 互为 .
A
O
B
D
C
180°
90°
余角
互补
例2
图片替换区
（3）①如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等吗 说明理由.
②已知∠1与∠2互余，∠3与∠4 互余，如果∠1=∠3，那么,∠2与∠4 相等吗 请试着说明理由.
解：①相等 理由：因为∠1+∠α= 90°，∠2+∠α=90°，所以∠1=∠2
②相等 理由：因为∠1 +∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠1=∠3，所以∠1=∠4.
同角(或等角)的 余角相等.
总结
例2
图片替换区
（4）若将题中的互余改为互补，有什么结论 请说明理由.
余角和补角的性质:同角(或等角)的余角相等，同角(或等角)的补角相等.
总结
同角(或等角)的补角相等.
请同学们自己画图并证明.
练 习
1.若∠a+∠b=90°，∠b+∠c=90°，则∠a与∠c的关系是( )
A.互余 B. 互补 C. 相等 D.∠a=90°+∠c
2.填空：（1）61°40′的余角的度数为 .
（2）35°20′的补角的度数为 .
144°40′
28°20′
C
练 习
2.如图，已知∠AOB=180°，OM是∠AOC的平分线，ON是∠COB的平分线.
（1）请指出图中所有互为补角的角.
（2）求角∠MON的度数.
（3）请指出图中所有互为余角的角，并说明理由.
解：(1)互为补角的角有:∠AOM与∠NOM，∠COM与∠BOM，∠AOC与∠BOC，∠BON与∠AON，∠CON与∠AON
练 习
2.如图，已知∠AOB=180°，OM是∠AOC的平分线，ON是∠COB的平分线.
（1）请指出图中所有互为补角的角.
（2）求角∠MON的度数.
（3）请指出图中所有互为余角的角，并说明理由.
解：（2）因为OM是∠AOC的平分线，ON是∠COB的平分线
所以∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠COB
所以∠MON=∠MOC+NOC=∠AOC+∠COB=（∠AOC+∠COB）
又因为∠AOC+∠COB=∠AOB=180 所以∠MON=180 =90
练 习
2.如图，已知∠AOB=180°，OM是∠AOC的平分线，ON是∠COB的平分线.
（1）请指出图中所有互为补角的角.
（2）求角∠MON的度数.
（3）请指出图中所有互为余角的角，并说明理由.
解：（3）∠AOM与∠CON互余，理由：∠MOC与∠NOC互余，而∠AOM=∠MOC，∠AOM与∠CON互余；∠AOM与∠BON互余，理由：∠MOC与∠NOC互余，而∠AOM=∠MOC，∠BON=∠CON，∠AOM与∠BON互余;∠MOC与∠BON互余，理由：∠MOC与∠NOC互余，而∠BON=∠NOC，∠MOC与∠BON互余.
练 习
1．点P在∠MAN内，现有如下等式：①∠PAM＝∠MAN；②∠PAN＝∠MAN；③∠PAM＝∠PAN；④∠MAN＝2∠PAN.其中能表示AP是角平分线的等式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，填出符合下列等式的角：
（1）∠AOB+∠BOC= ; （2）∠BOC=∠BOD－ ;
（3）∠AOD=∠AOB+∠COD+ ;
（4）∠BOD=∠DOA－∠COA+ .
C
D
O
A
B
D
∠AOC
∠DOC
∠BOC
∠BOC
练 习
3.计算：
（1）12°59′57″＋57′58″； （2）97°3′12″－1°45′53″.
解：（1）70°55″.（2）95°17′19″.
144°42′
4.已知∠α与∠β互补，且∠α=35 18′，则∠β=________.
练 习
5.如图, OD平分∠BOC ， OE平分∠AOC ,若∠BOC=70 °，
∠AOC=50°.
（1）求∠AOB及其补角的度数；
（2）求∠DOC的∠COE度数
O
A
E
C
D
B
①这节课你学到了哪些知识？
②我们学习这个知识经历了怎样的过程？你从中学到了哪些经验？
③你认为今天的知识可以解决哪些问题？

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