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4.2.2 角的比较
第四章 基本平面图形
【2025新教材】北师大版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
4.2.2 角的比较
一、情境导入
同学们，上节课我们深入认识了角的世界，了解了角的定义、表示方法以及度量单位 。在生活里，我们经常会比较物体的大小，比如比较两根绳子的长短、两个盒子的大小 。那在数学中，我们该如何比较角的大小呢？比如三角板上不同的角，钟面上不同时刻指针形成的角，它们谁大谁小？今天就让我们一起走进4.2.2 角的比较，探寻比较角大小的方法。
二、角的比较方法
（一）度量法
方法讲解：使用量角器测量出各个角的度数，再根据度数的大小来判断角的大小关系 。量角时，将量角器的中心与角的顶点重合，量角器的\(0\)刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数 。例如，测量出\(\angle A = 45^{\circ}\)，\(\angle B = 60^{\circ}\)，因为\(45^{\circ} < 60^{\circ}\)，所以\(\angle A < \angle B\) 。
操作演示：在黑板或课件上展示使用量角器测量角的详细过程，强调测量的注意事项，如量角器的摆放位置要准确，读数时视线要垂直于刻度线等 。同时，通过测量不同大小的角，让学生直观感受度数与角大小的关系 。
（二）叠合法
方法讲解：把两个角的顶点及一条边重合，观察另一条边的位置 。如果另一条边也重合，那么这两个角相等；如果一个角的另一边在另一个角的内部，那么这个角小于另一个角；如果一个角的另一边在另一个角的外部，那么这个角大于另一个角 。例如，将\(\angle AOB\)与\(\angle COD\)的顶点\(O\)和边\(OA\)、\(OC\)重合，若\(OB\)落在\(\angle COD\)内部，则\(\angle AOB < \angle COD\) 。
操作演示：通过动画或教具演示叠合过程，清晰呈现角的大小比较结果 。可以准备可活动的角模型，现场操作展示不同角的叠合情况，让学生更直观地理解叠合法的原理和应用 。
三、角平分线
（一）定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线 。例如，若\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，则\(\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB\)，\(\angle AOB = 2\angle AOC = 2\angle BOC\) 。
（二）性质应用
计算角的度数：已知\(\angle AOB = 80^{\circ}\)，\(OC\)平分\(\angle AOB\)，根据角平分线的性质，可直接得出\(\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2} 80^{\circ} = 40^{\circ}\) 。
证明角的关系：在几何证明题中，若已知某射线是角平分线，可利用其性质得到角之间的等量关系，从而进行推理证明 。比如在证明三角形全等或相似时，角平分线所分的角相等这一性质常常能起到关键作用 。
四、典型例题讲解
（一）角的比较
例题 1：如图，比较\(\angle 1\)和\(\angle 2\)的大小。
（此处插入包含\(\angle 1\)和\(\angle 2\)的图形）
解：
方法一：度量法：用量角器测量\(\angle 1\)约为\(50^{\circ}\)，\(\angle 2\)约为\(70^{\circ}\)，因为\(50^{\circ} < 70^{\circ}\)，所以\(\angle 1 < \angle 2\) 。
方法二：叠合法：将\(\angle 1\)和\(\angle 2\)的顶点和一条边重合，发现\(\angle 1\)的另一边落在\(\angle 2\)的内部，所以\(\angle 1 < \angle 2\) 。
（二）角平分线的应用
例题 2：已知\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，\(\angle AOC = 35^{\circ}\)，求\(\angle AOB\)的度数。
解：因为\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，根据角平分线的性质\(\angle AOB = 2\angle AOC\) 。
已知\(\angle AOC = 35^{\circ}\)，所以\(\angle AOB = 2 35^{\circ} = 70^{\circ}\) 。
（三）综合应用
例题 3：如图，\(\angle AOB = 120^{\circ}\)，\(OC\)平分\(\angle AOB\)，\(\angle AOD = 30^{\circ}\)，求\(\angle DOC\)的度数。
（此处插入相应图形）
解：因为\(OC\)平分\(\angle AOB\)，\(\angle AOB = 120^{\circ}\)，所以\(\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} 120^{\circ} = 60^{\circ}\) 。
又因为\(\angle AOD = 30^{\circ}\)，所以\(\angle DOC = \angle AOC - \angle AOD = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}\) 。
五、课堂练习
填空题
比较角的大小的方法有______ 和______ 。
若\(OD\)平分\(\angle AOC\)，则\(\angle AOD =\)______ \(=\frac{1}{2}\)______ 。
已知\(\angle 1 = 40^{\circ}\)，\(\angle 2 = 65^{\circ}\)，\(\angle 3 = 90^{\circ}\)，则\(\angle 1\)、\(\angle 2\)、\(\angle 3\)从大到小的顺序是______ 。
选择题
用量角器测量角的度数时，下列操作正确的是（ ）
A. 量角器的中心与角的顶点重合 B. 量角器的\(0\)刻度线与角的一边可以不重合 C. 读数时，视线可以不垂直于量角器 D. 测量完一个角后，不用将量角器复位
已知\(OE\)是\(\angle AOF\)的平分线，\(\angle AOE = 25^{\circ}\)，则\(\angle AOF\)的度数为（ ）
A. \(25^{\circ}\) B. \(50^{\circ}\) C. \(75^{\circ}\) D. \(100^{\circ}\)
解答题
如图，比较\(\angle AOC\)与\(\angle BOD\)的大小。
（此处插入相应图形）
已知\(OB\)平分\(\angle AOC\)，\(OC\)平分\(\angle AOD\)，\(\angle AOB = 20^{\circ}\)，求\(\angle AOD\)的度数 。
如图，\(\angle AOB = 150^{\circ}\)，\(\angle AOC = 30^{\circ}\)，\(OD\)平分\(\angle BOC\)，求\(\angle BOD\)的度数 。
（此处插入相应图形）
六、课堂小结
回顾角的比较方法，包括度量法和叠合法，明确各自的操作要点和适用场景 。
总结角平分线的定义和性质，强调其在计算角的度数和几何证明中的重要作用 。
提醒同学们在比较角的大小时要认真仔细，利用好量角器和叠合的方法；在涉及角平分线的问题中，要善于运用角之间的等量关系进行求解 。鼓励大家课后多做练习，提高对角的相关知识的运用能力 。
七、课后作业
完成课本上对应本节内容的练习题，巩固角的比较和角平分线的知识 。
制作两个不同大小的角的纸片，用叠合法比较它们的大小，并尝试用多种方式描述比较的过程和结果 。
思考：如果一个角的平分线把这个角分成的两个角，其中一个角是另一个角的\(2\)倍，如何求出原角的度数？尝试通过设未知数的方法解决 。
这份课件围绕角的比较展开教学，旨在帮助学生掌握相关知识与技能。你若对课件的内容讲解、例题难度、练习设置等方面有不同意见，欢迎随时提出，我们共同完善。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．会用度量法和叠合法比较两个角的大小，培养学生动手操作的能力。
2．理解角平分线的定义，并能借助角平分线的定义解决问题，培养学生分析、解决问题的能力。
3．让学生经历在现实情境中比较角的大小的数学活动过程，感受图形世界的丰富多彩，增强审美意识，激发学生的求知欲。
重点
难点
1．什么是角？
旧知回顾
角是由两条具有公共端点的射线组成的。角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的
2．角的单位如何进行换算？
1°＝60′，1′＝60″
情境引入
成功永远属于肯攀高峰的人，你会选择从哪一面上山呢？为什么？
1
2
思考：如何比较∠1和∠2的大小？
探究新知
探究点1 角的比较及角的平分线的探究
问题1 你还记得怎样比较线段的长短吗？类似地，你能比较下图中每组角的大小吗？
（1）
（2）
（3）
Ⅰ. 角的比较
方法一
观察法
通过观察得知（1）中的∠AOB＞∠CO′D，
而（2）（3）中的两个角的大小难以通过观察得知。
（1）
（2）
（3）
无法直接观察判断的角度，可以用什么方法判断呢？
方法二
度量法
用量角器量出它们的角度，再进行比较
B
C
A
E
F
D
70°
30°
∠ABC ＞∠DEF
方法三
叠合法
将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧比较大小
O
B
A
O'
D
C
O C在∠AOB内部
O C与OA重合
O C在∠AOB外部
O
B
A
（D）
（O'）
C
O
B
A
（O'）
（D）
（C）
O
B
A
（O'）
（D）
C
∠AOB大于∠CO′D
记作∠AOB＞∠CO′D
∠AOB等于∠CO′D
记作∠AOB=∠CO′D
∠AOB小于∠CO′D
记作∠AOB＜∠CO′D
问题2
想一想，你能结合下图说明什么是两个角的和与差吗？
O
A
C
B
∠AOC是∠AOB与∠BOC的和
记作 ∠AOC=∠AOB+∠BOC
O
A
C
B
∠AOB是∠AOC与∠BOC的差
记作 ∠AOB=∠AOC－∠BOC
∠BOC是∠AOC与∠AOB的差
记作 ∠BOC=∠AOC－∠AOB
O
A
C
B
共顶点的几个角，可进行加减
【对应训练】
如图，用“>”“<”或“=”填空：
（1）∠AOC____∠AOB+∠BOC；
（2）∠AOC____∠AOB；
（3）∠BOD-∠BOC____∠COD；
（4）∠AOD____∠AOC+∠BOD；
（5）若∠AOB=∠COD，
则∠AOC____∠BOD。
＞
=
＜
=
=
问题3
（1）比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE 的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角；
O
A
B
C
D
E
∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE
∠AOB是锐角，∠AOC是直角，∠AOD是钝角，∠AOE是平角。
（2）试比较∠BOC和∠DOE的大小；
∠BOC＞∠DOE
Ⅱ. 角的平分线
O
A
B
C
D
E
（3）小亮通过折叠的方法，使 OD 与 OC 重合，OE 落在∠BOC的内部，所以∠BOC＞∠DOE。你能理解这种方法吗？
O
A
B
C
（D）
E
（4）请在图中画出小亮折叠的折痕 OF，∠DOF 与∠COF 有什么大小关系？
O
A
B
C
D
E
F
∠DOF = ∠COF
射线OF把∠COD进行了平分
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。
角平分线的定义：
几何语言：
O
B
A
C
如图，射线 OC 是∠AOB 的平分线
这时，∠AOC =∠BOC = ∠AOB
（或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC）
注意：角平分线满足的三个条件
①从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分。
O
B
A
C
反之也成立：
如图，∠AOC =∠BOC = ∠AOB
（或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC）
这时，射线 OC 是∠AOB 的平分线
拓展
如图，射线 OB，OC在∠AOD 的内部，若∠1=∠2=∠3。则OB，OC是∠AOD的三等分线。
类似地，还有四等分线、五等分线等。
【对应训练】
【教材 P123随堂练习第2题】
2. 如图，OC 是 ∠AOB 的平分线，∠BOD = ∠COD，∠BOD = 15°，则 ∠COD = _____，∠BOC = _____，∠AOB = _____。
45°
30°
60°
操作·思考
问题4 （1）估计下图中∠AOB，∠DEF的度数。
估计∠AOB≈60°,∠DEF≈105°
O
B
A
E
D
F
Ⅲ. 角度的估计
（2）量一量，验证你的估计。
O
B
A
E
D
F
用量角器量得∠AOB≈61°,
∠DEF≈106°
【对应训练】
【教材 P123随堂练习第1题】
1.如图，在点阵中有三个角。
（1）先估计每个角的大小，再用量角器量一量；
（2）找出三个角之间的等量关系。
解:(1)估计这三个角的度数分别为135°，45°，135°。再用量角器量出这三个角的度数，验证估计准确。
(2)这三个角之间存在着相等或互补的关系。
探究点2 用尺规作角
问题1
我们已经知道可以通过移动其中一个角的方法比较两个角的大小。如何移动一个角呢？比如，如何将图①中的∠AOB 移动到图②的位置，使 OA 与O′A′重合？
O
B
A
①
O′
A′
②
O
B
A
①
O′
A′
②
（1）请你用三角尺、量角器、圆规等工具解决这一问题。
（2）如果只用尺规，如何解决这个问题？请你试一试，并与同伴进行交流。
图①中的∠AOB 移动到图②的位置，使 OA 与O′A′重合，这个角的大小由什么来决定？
这个角的大小由另一条边的位置决定
例2 如图，已知∠AOB ，用尺规作∠A′O′B′ ，使∠A′O′B′ = ∠AOB 。
O
B
A
作法：
①作射线O′A′
②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C ，交OB 于点D
D
C
O′
A′
O
B
A
O′
A′
D
C
③以点O′为圆心，以OC的长为半径作弧，交O′A′于点C′
④以点C′为圆心，以CD的长为半径作弧，交前面的弧于点D′
C′
D′
⑤过点D′作射线O′B′
B′
∠A′O′B′ 就是所要作的角
作一个角等于已知角
操作·思考
如图，已知∠AOB，∠EO′F，用尺规作图比较它们的大小。你是怎样做的？
O
B
A
O'
F
E
O
B
A
O'
F
可通过作一个角等于已知角的尺规作图，将∠AOB移动到∠A′O′B′处，使∠ A′O′B′ =∠AOB，
E
A′
∠A′O′B′＞∠EO′F
∠AOB＞∠EO′F
【教材 P125随堂练习第1题】
如图，已知∠AOB ，请用尺规作∠A′O′B′ ，使∠ A′O′B′ = 2∠AOB 。
O
B
A
解：如图，∠A'O'B'即为所求。
【对应训练】
例 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，求∠BOD的度数。
思路分析：
OB是∠AOC的平分线
∠AOB=40°
OD是∠COE的平分线
∠DOE=30°
∠BOC=40°
∠COD=30°
∠BOC+∠COD=∠BOD
解：因为OB是∠AOC的平分线，
所以∠BOC=∠AOB=40°。
因为 OD 是∠COE 的平分线，
所以∠COD=∠DOE=30°，
所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°
例 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，求∠BOD的度数。
【对应训练】
如图，∠AOB=60°，射线 OC，OD 是∠AOB 内部的两条射线。若∠AOC=10°：
（1）当OD平分∠BOC时，则∠BOD=_______；
（2）当∠BOD= ∠BOC 时，求∠AOD 的度数。
25°
解：因为∠AOB=60°，∠AOC=10°,
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-10°=50°。
因为∠BOD= ∠BOC，
所以∠BOD=25°。
所以∠AOD=∠AOB-∠BOD=60°-25°=35°。
知识点1 角的大小比较
1.用叠合法比较与的大小，把它们的顶点和边 重合，
把它们的另一条边和放在的同一侧，若在 的内部，
则( )
B
A. B.
C. D.无法确定
（第2题）
2.［教材P随堂练习T 变式］如图，正方形网格
中有 和 ，如果每个小正方形的边长都为1，
估测 和 的大小关系为( )
A
A. B.
C. D.无法估测
知识点2 角的和差
3.如图所示，_______， _______。
（第3题）
4.用一副三角尺按如图方式放置，则 的大小为_____。
（第4题）
（第5题）
5.［教材习题 变式］如图，
， ，则
的大小为( )
C
A. B. C. D.
（第6题）
6.如图，已知点在点的北偏东 方向，点在点
的南偏西 方向，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
知识点3 角的平分线
（第7题）
7.如图，是 的平分线，则下列等式中错误
的是( )
C
A. B.
C. D.
8.如图，已知是直线上一点， ，平分，则 的
度数是( )
B
（第8题）
A. B. C. D.
9.（4分）［教材P随堂练习T 变式］如图，
，，平分 ，
求 的度数。
解：因为 ， ，
所以 ， 。
因为平分 ，
所以 。
10.如图，利用一副三角尺比较与 的大小，则下列判断正确
的是( )
B
A. B.
C. D.无法判断
11. 已知 ， ，则 等于( )
D
A. B. 或 C. D. 或
12.［教材习题 变式］下列角度中，不能用一副三角尺画出来的是
( )
C
A. B. C. D.
13.如图，为直线上一点，是 的平分
线，在的内部， ,
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
14.（8分）如图，射线，分别是和 的平分线，且
。
（1） 的度数为_____；
（2）当在内转动时， 的度数是否会发生变化？简单说
明理由。
解：当在内转动时， 的度数不会发生变化。理由:
易得 ,
所以只要的大小不变，无论在内怎样转动， 的度
数不会发生变化。
15.（8分）
【问题提出】
（1）如图①，已知是内的一条射线， ，
，则的度数为____ ；
20
【问题探究】
（2）如图②，是内的一条射线，若 ， 平分
， 。
①求 的度数；
解：因为，所以 ，
所以。因为平分 ，
所以。因为 ，
所以 ，所以 。
②若，求 的度数。
解：因为 ，所以 ，
。
如图①，当在 的内部时，
；
如图②，当在 的内部时，
。
综上所述，的度数是 或 。
知识结构
角的比较
角的比较
观察法
移角
方法
度量法
叠合法
角的估计
用尺规作图
角的
平分线
定义
角度数量关系及相关计算
谢谢观看！

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