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4.2.3 尺规作角
第四章 基本平面图形
【2025新教材】北师大版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
4.2.3 尺规作角
一、情境导入
同学们，在前面的学习中，我们已经学会了角的定义、表示、度量以及比较 。那如果现在只给你一把没有刻度的直尺和一个圆规，如何作出一个与已知角相等的角呢？这就需要用到我们今天要学习的4.2.3 尺规作角 。尺规作图是数学中一种非常重要的作图方法，它有着悠久的历史和广泛的应用，让我们一起开启这场几何作图的奇妙之旅吧！
二、尺规作图简介
（一）工具介绍
直尺：在尺规作图中，直尺没有刻度，主要用于连接两点，作出直线、射线或线段 。它的作用是帮助我们确定图形的方向和位置关系 。
圆规：圆规可以用来画圆或弧，通过调整圆规两脚间的距离，能够确定圆的半径或弧的半径 。在作角的过程中，圆规起着关键的作用，用于截取相等的线段长度 。
（二）作图要求
尺规作图要求只能使用直尺和圆规这两种工具，不能借助其他带有刻度的测量工具，如量角器、三角板等 。
作图过程要保留作图痕迹，这些痕迹能够清晰地展示我们的作图思路和方法，方便检查和交流 。
作图要力求准确，虽然不能精确度量，但要尽量保证图形的准确性 。
三、作一个角等于已知角
（一）作图步骤
已知\(\angle AOB\)，求作\(\angle A'O'B'\)，使\(\angle A'O'B' = \angle AOB\) 。
步骤一：作射线：作射线\(O'A'\) 。这是新角的起始边，确定了角的位置方向 。
步骤二：以点\(O\)为圆心：以点\(O\)为圆心，任意长为半径画弧，分别交\(OA\)，\(OB\)于点\(C\)，\(D\) 。这里的 “任意长” 要适中，方便后续操作 。
步骤三：以点\(O'\)为圆心：以点\(O'\)为圆心，\(OC\)长为半径画弧，交\(O'A'\)于点\(C'\) 。这样就保证了在新的图形中截取了与原图形中相等的线段长度 。
步骤四：以点\(C'\)为圆心：以点\(C'\)为圆心，\(CD\)长为半径画弧，与步骤三中所画的弧相交于点\(D'\) 。
步骤五：作射线：过点\(D'\)作射线\(O'B'\) 。则\(\angle A'O'B'\)就是所求作的角，即\(\angle A'O'B' = \angle AOB\) 。
原理分析：通过圆规截取相等的线段长度，利用全等三角形的判定定理 “边边边”（SSS） 。在\(\triangle OCD\)和\(\triangle O'C'D'\)中，\(OC = O'C'\)，\(CD = C'D'\)，\(OD = O'D'\)（因为都是以相同半径画弧得到的），所以\(\triangle OCD\cong\triangle O'C'D'\)，根据全等三角形对应角相等，可得\(\angle AOB = \angle A'O'B'\) 。
（二）易错点提醒
在使用圆规画弧时，要注意圆规两脚间的距离保持不变，否则会导致截取的线段长度不准确，从而影响所作角的准确性 。
作射线时，要注意射线的方向和位置，确保所作的角符合要求 。
保留作图痕迹要清晰，不要因为作图过程的混乱而影响最终的结果判断 。
四、典型例题讲解
（一）基本作图
例题 1：已知\(\angle ABC\)，用尺规作一个角，使它等于\(\angle ABC\) 。
解：
作射线\(DE\)；
以点\(B\)为圆心，任意长为半径画弧，分别交\(BA\)，\(BC\)于点\(F\)，\(G\)；
以点\(D\)为圆心，\(BF\)长为半径画弧，交\(DE\)于点\(H\)；
以点\(H\)为圆心，\(FG\)长为半径画弧，与前面所画的弧相交于点\(I\)；
过点\(I\)作射线\(DJ\)，则\(\angle EDJ\)就是所求作的角 。
（二）综合应用
例题 2：已知\(\angle 1\)和\(\angle 2\)，用尺规作一个角，使它等于\(\angle 1 + \angle 2\) 。
解：
作射线\(OA\)；
用尺规作\(\angle AOB = \angle 1\)；
以\(OB\)为一边，在\(\angle AOB\)的外部，用尺规作\(\angle BOC = \angle 2\)；
则\(\angle AOC\)就是所求作的角，即\(\angle AOC = \angle 1 + \angle 2\) 。
五、课堂练习
填空题
尺规作图的工具是______ 和______ 。
作一个角等于已知角的依据是______ 。
用尺规作角时，要保留______ 。
选择题
用尺规作角的过程中，圆规的主要作用是（ ）
A. 画直线 B. 画射线 C. 截取相等的线段长度 D. 确定角的顶点
下列关于尺规作图的说法，错误的是（ ）
A. 可以作一条线段等于已知线段 B. 可以作一个角等于已知角 C. 可以作一条直线平分已知角 D. 作图时要保留痕迹
解答题
已知\(\angle MPN\)，用尺规作一个角，使它等于\(\angle MPN\) 。
已知\(\angle \alpha\)和\(\angle \beta\)，用尺规作一个角，使它等于\(\angle \alpha - \angle \beta\)（\(\angle \alpha > \angle \beta\)） 。
如图，已知\(\angle AOB\)，在\(\angle AOB\)的内部用尺规作射线\(OC\)，使\(\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB\) 。
（此处插入相应图形）
六、课堂小结
回顾尺规作图的工具和要求，明确直尺和圆规的作用以及作图的规范 。
总结作一个角等于已知角的步骤和原理，强调在作图过程中需要注意的易错点 。
通过典型例题和课堂练习，让同学们进一步掌握尺规作角的方法，鼓励大家在课后多进行练习，提高尺规作图的能力和准确性 。
七、课后作业
完成课本上对应本节内容的练习题，巩固尺规作角的知识和技能 。
尝试用尺规作一些特殊的角，如\(30^{\circ}\)、\(45^{\circ}\)、\(60^{\circ}\)、\(90^{\circ}\)等，并思考它们的作图方法与作一般角的联系和区别 。
思考：如何用尺规作一个角的平分线？尝试根据所学知识进行探索，并写出你的作图步骤和思路 。
这份课件围绕尺规作角展开教学，助力学生掌握这一几何技能。你对课件中的内容讲解、例题难度、练习设置等方面若有新想法，欢迎随时交流，我们一起优化完善。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．会用尺规作图作一个角等于已知角，培养学生的动手操作能力。
2．会通过尺规作图比较两个角的大小，培养学生的观察能力和总结能力。
3．通过尺规作图，规范学生的作图步骤，培养学生的规范性。
重点
难点
打台球时，球的反射角总是等于入射角。
如右图。红球能否被击入右下角的袋中？
你能画出红球在第一次反弹后的运动路
线吗？
图片导入
视频导入
请同学们阅读教材124－125页，思考并回答以下问题。
1．①思考：如何用尺规作∠A′O′B′＝∠AOB
作法：如上图，(1)作射线O′A′。(2)以点______为圆心，以________为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D。(3)以点______为圆心，以______的长为半径作弧，交O′A′于点C′。
O
任意长
O′
OC
(4)以点______为圆心，以______的长为半径作弧，交前面的弧于点D′。(5)过点______作射线_____。∠A′O′B′就是所要作的角。
归纳总结：无刻度的直尺的功能是画________，圆规的功能是截取等长的________。
C′
CD
D′
O′B′
线
线段
2．①比较两个角的大小的方法有哪些？
②思考：如图，已知∠AOB和∠CDE，
如何用尺规作图比较它们的大小？
度量法，叠合法
以点D为顶点，DE为一边，作∠FDE＝∠AOB，并且使DF与DC在DE的同侧，观察射线DF的位置。若射线DF在∠CDE的内部，则∠AOB<∠CDE；若射线DF与射线DC重合，则∠AOB＝∠CDE；若射线DF在∠CDE的外部，则∠AOB>∠CDE
1．上面比较∠AOB和∠CDE的大小，除了作∠FDE＝∠AOB外，还
有别的方法吗？
有。如图，分别以点O，D为圆心，相同长度的长为半径作弧，分别与OA，OB交于点P，Q，与DC，DE交于点M，N，比较线段PQ和线段MN的长短。若PQ＝MN，则∠AOB＝∠CDE；若PQ＞MN，则∠AOB＞∠CDE；若PQ＜MN，则∠AOB＜∠CDE
2．如图，已知∠AOB，请用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB。
作图如下：
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
(1)作射线O′A′；(2)以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；(3)以点O′为圆心，以OC的长为半径作弧，交O′A′于点C′；(4)以点C′为圆心，以CD的长为半径作弧，交前面的弧于点D′；(5)过点D′作射线O′B′。∠A′O′B′就是所要作的角。
知识点1：利用尺规作一个角等于已知角(重难点)
圆规两脚间的距离固定不变，分别以两个角的顶点为圆心作弧，分别交角的两边于两点；再用圆规测量一个角上两交点之间的距离，与另一个角上两交点之间的距离比较，距离大的角大。
知识点2：利用尺规作图比较角的大小(难点)
知识点3: 利用尺规作已知角的和差(难点)
1．作已知角∠1与∠2(∠1>∠2)的和：①作射线OA；②以O为顶
点作∠AOB＝∠1；③以O为顶点，在∠AOB外部作射线OC，
使∠BOC＝∠2。∠AOC即为所求。
2．作已知角∠1与∠2(∠1>∠2)的差：①作射线OA；②以O为顶
点作∠AOB＝∠1；③以O为顶点，在∠AOB内部作射线OC，
使∠AOC＝∠2。∠BOC即为所求。
【题型一】根据尺规作图的痕迹进行判断
例1：如图，用直尺和圆规作∠PCD＝∠AOB，作图痕迹中，弧MN是
(　 　)
A．以点C为圆心，OE的长为半径的弧
B．以点C为圆心，EF的长为半径的弧
C．以点G为圆心，OE的长为半径的弧
D．以点G为圆心，EF的长为半径的弧
D
例2：如图，已知∠α、∠β，利用尺规作∠AOB，使∠AOB＝∠α＋∠β。(不写作法，保留作图痕迹)
【题型二】尺规作角
解：如图，∠AOB即为所求作。
知识点 用尺规作一个角等于已知角
（第1题）
1.［2025太原月考］如图，点在 的边
上，用尺规作出了 ，在作图
痕迹中，弧 是( )
D
A.以点为圆心，为半径的弧 B.以点为圆心， 为半径的弧
C.以点为圆心，为半径的弧 D.以点为圆心， 为半径的弧
2.求作一个角等于已知角 。如图，根据图形，补全作法。
（第2题）
（1）作射线_____；
（2）以_____为圆心，________为半径
画弧，交于点，交于点 ；
点
任意长
（3）以_____为圆心，_______________
______________为半径画弧，交 于点
；
点
的长
（或的长）
（4）以______为圆心，________为半径画弧，交前面的弧于点 ；
点
的长
（5）过_____作射线 。
则 就是所求作的角。
点
3.（4分）［2025成都月考］如图，已知 ， ，用尺规作 ，
使 。
解：如图， 即为所作。
（第4题）
4.如图，已知。①以点 为圆心，任意长为半径画
弧，交于点，交于点；②以点为圆心，
的长为半径画弧，交已画的弧于点；③作射线 。
那么下列角的数量关系不正确的是( )
B
A. B.
C. D.
5.如图， ， ，根据图中尺规作图的痕迹，
可知 的度数为_____。
（第5题）
6.（4分）［教材P随堂练习T变式］如图，已知， ，求作一个
角，使它等于 。（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图， 就是所求的角。
7.（4分）如图，在一张地图上有，，三个城市，其中城市 的位置
被墨迹污染了，但知道， ，请你在图中确定城市
的具体位置。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
解：如图，点 即为所求。
同学们，我们本节课主要学习了哪些内容？
用尺规作一个角等于已知角，以及用尺规作已知角的和差
同学们，要熟悉用尺规作一个角等于已知角的作法，虽然不用写出，但是我们要能用语言描述出来。
谢谢观看！

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