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4.3 多边形和圆的初步认识
第四章 基本平面图形
【2025新教材】北师大版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
4.3 多边形和圆的初步认识
一、情境导入
同学们，在之前的学习中，我们探索了线段、角的奥秘，也学会了用尺规作角 。当我们环顾四周，会发现生活中有许多形状各异的物体：五星红旗上的五角星、自行车的车轮、建筑中的窗户…… 这些物体的形状都与我们今天要学习的4.3 多边形和圆密切相关 。它们有着怎样独特的性质和特点呢？让我们一起走进多边形和圆的世界，去揭开它们的神秘面纱。
二、多边形的初步认识
（一）多边形的定义
由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形 。例如三角形、四边形、五边形等都是多边形 。通过在黑板或课件上画出不同边数的多边形，让学生直观感受多边形的构成。强调 “不在同一直线上”“首尾顺次相连”“封闭” 等关键要素，比如一条折线由于不封闭就不是多边形，几条在同一直线上的线段连接起来也不符合多边形的定义 。
展示生活中多边形的实例图片，如三角形的路标、四边形的桌面、六边形的螺母等，让学生进一步理解多边形在实际生活中的广泛存在，加深对定义的印象 。
（二）多边形的相关概念
边：组成多边形的每一条线段叫做多边形的边 。如三角形有\(3\)条边，四边形有\(4\)条边 。
顶点：相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点 。三角形有\(3\)个顶点，四边形有\(4\)个顶点 。
内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角 。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线 。以四边形为例，通过画图演示，让学生清楚看到从一个顶点出发可以引出\(1\)条对角线，四边形共有\(2\)条对角线 。进一步推导，从\(n\)边形的一个顶点出发，可以引出\((n - 3)\)条对角线，\(n\)边形对角线的总条数为\(\frac{n(n - 3)}{2}\) 。
（三）多边形的分类
按照边数的多少，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形…… 其中三角形是最基本的多边形，其他多边形都可以通过分割成若干个三角形来研究其性质 。
还可以根据多边形的边、角是否都相等，分为正多边形和一般多边形 。各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形，如正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）等 。展示正多边形和一般多边形的对比图形，让学生观察它们的差异 。
三、圆的初步认识
（一）圆的定义
动态定义：在一个平面内，线段\(OA\)绕它固定的一个端点\(O\)旋转一周，另一个端点\(A\)所形成的图形叫做圆 。固定的端点\(O\)叫做圆心，线段\(OA\)叫做半径，通常用字母\(r\)表示 。通过动画演示线段绕端点旋转形成圆的过程，帮助学生理解圆的动态形成原理 。
集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合 。定点就是圆心，定长就是半径 。从集合的角度解释圆，让学生明白圆上的每一个点都满足到圆心的距离等于半径这一特性 。
（二）圆的相关概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦 。经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，通常用字母\(d\)表示，且\(d = 2r\) 。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 。通过在圆中画出不同的弦、弧，标注名称，让学生直观认识这些概念 。
扇形：由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形 。圆心角是指顶点在圆心的角，扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关 。
四、典型例题讲解
（一）多边形相关
例题 1：一个多边形从一个顶点出发有\(5\)条对角线，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形有\(n\)条边，根据从\(n\)边形的一个顶点出发，可以引出\((n - 3)\)条对角线，可列方程\(n - 3 = 5\)，解得\(n = 8\) 。所以这个多边形是八边形 。
例题 2：下列图形中，是正多边形的是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 长方形 D. 正方形
解：正多边形要求各边相等、各角也相等。直角三角形和等腰三角形的边和角不一定都相等；长方形的边不一定都相等；正方形的四条边相等，四个角都是直角也相等，符合正多边形定义，所以答案选 D 。
（二）圆相关
例题 3：已知圆的半径\(r = 3\)厘米，求圆的直径\(d\)和周长\(C\)（\(\pi\)取\(3.14\)） 。
解：因为\(d = 2r\)，\(r = 3\)厘米，所以\(d = 2 3 = 6\)厘米 。圆的周长公式\(C = 2\pi r\)，则\(C = 2 3.14 3 = 18.84\)厘米 。
例题 4：如图，扇形\(AOB\)的圆心角为\(60^{\circ}\)，半径为\(4\)厘米，求扇形的面积（\(\pi\)取\(3.14\)） 。
（此处插入扇形\(AOB\)的图形）
解：扇形面积公式为\(S = \frac{n\pi r^2}{360}\)（\(n\)为圆心角度数，\(r\)为半径） 。把\(n = 60^{\circ}\)，\(r = 4\)厘米，\(\pi = 3.14\)代入公式，可得\(S = \frac{60 3.14 4^2}{360} 8.37\)平方厘米 。
五、课堂练习
填空题
由一些不在同一条直线上的线段______ 相连组成的封闭平面图形叫做多边形 。
圆上任意两点间的部分叫做______ ，大于半圆的弧叫做______ 。
从七边形的一个顶点出发，可以引出______ 条对角线，七边形对角线的总条数为______ 。
选择题
下列图形中，是多边形的是（ ）
A. 圆 B. 扇形 C. 三角形 D. 弧
一个圆的直径是\(10\)厘米，它的半径是（ ）
A. \(20\)厘米 B. \(15\)厘米 C. \(10\)厘米 D. \(5\)厘米
解答题
一个多边形的对角线总条数为\(9\)条，求这个多边形的边数 。
已知一个扇形的半径为\(6\)厘米，圆心角为\(90^{\circ}\)，求该扇形的弧长（\(\pi\)取\(3.14\)） 。
如图，在一个半径为\(5\)厘米的圆中，有一条弦\(AB\)，\(AB = 6\)厘米，求圆心\(O\)到弦\(AB\)的距离 。
（此处插入相应图形）
六、课堂小结
回顾多边形的定义、相关概念、分类，重点强调多边形的构成要素和对角线的计算方法 。
总结圆的定义、相关概念，以及圆的一些基本计算公式，如直径与半径的关系、周长和面积公式，扇形的面积公式等 。
通过典型例题和课堂练习，提醒同学们在解决多边形和圆的问题时，要准确运用相关概念和公式，鼓励大家课后多观察生活中的多边形和圆，加深对知识的理解和应用 。
七、课后作业
完成课本上对应本节内容的练习题，巩固多边形和圆的相关知识 。
用彩纸剪出不同的多边形和圆，测量它们的相关数据（如多边形的边长、圆的半径等），并计算周长或面积 。
思考：如何用圆规和直尺画一个正六边形？尝试探索并写出你的方法 。
这份课件全面介绍了多边形和圆的初步知识，旨在帮助学生打好几何学习基础。你对课件的内容编排、讲解方式、例题难度等方面有任何想法，都能随时和我说，我们一起完善。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．在具体情境中认识多边形和圆，了解与多边形和圆有关的概念，会计算扇形圆心角的度数，体会数学的应用价值，培养数学思维。
2．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩，在丰富的活动中训练发散思维和逻辑思维。
3．结合本课教学特点，教育学生热爱生活，热爱学习，体验数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
重点
难点
图片导入
观察图片，你能发现哪些熟悉的平面图形？
情境引入
观察图片，你能发现哪些熟悉的平面图形？与同伴进行交流。
能发现圆、三角形、四边形、五边形、六边形等
探究新知
探究点1 多边形的初步认识
问题1
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形。这些图形是由什么样的线按怎样的方式组成的？如何对多边形进行定义？
由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫作多边形
注意：如没有特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧。
A
B
C
D
E
问题2
观察下面这个多边形中的一些点、角、线段等元素，回忆以前学过的知识，想一想这些都是什么？
顶点：相邻两条边的公共端点
点A，B，C，D，E
五边形ABCDE
注意：表示多边形时，先写出多边形的名称，再按照顺时针或逆时针的顺序依次写出各顶点的字母
A
B
C
D
E
边：组成多边形的各条线段
线段AB，BC，CD，DE，EA
内角：相邻两条边所组成的角
∠EAB，∠ABC ，∠BCD ，∠CDE，∠DEA
对角线：连接不相邻两个顶点的线段
线段AC，AD
A
B
C
D
E
问题3
你还能画出图中其他对角线吗？
线段BD，BE，CE
问题4
（1）n边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？
多边形 … n边形
顶点数 …
边数 …
内角数 …
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
n
n
n
观察
归纳
猜想
（2）过n边形的每个顶点有几条对角线？
多边形 … n边形
边数 …
对角线条数 …
4
5
6
n
1
2
3
n-3
过n边形的每个顶点有（n-3）条对角线
【对应训练】
1.下列图形中，属于多边形的有（ ）
A
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n为______。
七
观察·交流
观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？与同伴进行交流。
图形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
各边关系
各内角度数关系
各边相等
各边相等
各边相等
各边相等
各边相等
各角相等，都是60°
各角相等，都是90°
各角相等，都是108°
各角相等，都是120°
各角相等，都是135°
各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形
两个条件缺一不可
正三角形
正四边形（正方形）
正五边形
正六边形
正八边形
【对应训练】
【教材 P130随堂练习第1题】
现实生活中有许多正多边形的实例，试举出两例。
解：如在生活中用正六边形的地板砖铺地面，六角螺母的上下两个底面外轮廓是正六边形或用正多边形设计图案。
探究点2 圆的初步认识
问题1
（1）下面的图形中有我们熟悉的圆和扇形，你还记得用哪些方法可以画一个圆吗？
（2）你能用一根细绳和笔画出一个圆吗？
问题2
回忆小学时学过的有关圆的知识，说一说圆的相关要素是如何定义的？
圆：平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形
A
O
圆心：固定的端点O
半径：线段OA
A
O
B
圆弧：圆上任意两点 A，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 ，读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”
弧有两个端点，是一条曲线
圆心角
扇形：由一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA，OB 所组成的图形
圆心角：顶点在圆心的角
例 将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数。
解：因为一个周角为360°，所以分成的三个扇形的圆心角分别是
将一个圆分割成若干个扇形，这些扇形的圆心角度数之和等于 360°，所以每一个扇形圆心角的度数=360°×这个扇形的圆心角占周角的百分比。
【教材 P129例题】
问题3
（1）如图，将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗？
三个大小相同的扇形
每个扇形的圆心角都是 120°
每个扇形的面积都是圆面积的
（2）画一个半径是2 cm的圆，并在其中画一个圆心角为60°的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？与同伴进行交流。
60°
一个周角为360°
圆心角为60°的扇形面积是圆面积的 ，
扇形的面积
π×22× = π（cm2）
在同一个圆中，扇形的面积比即为圆心角的度数之比
【对应训练】
1.下列各图中，∠AOB是圆心角的是（ ）
A
A
B
C
D
【教材 P130随堂练习第2题】
2. 如图，将一个圆分割成三个扇形，求这三个扇形的圆心角的度数。
360°×20% = 72°
360°×30% = 108°
360°×50% = 180°
解：因为一个周角为360°，
所以扇形AOB的圆心角的度数为
扇形AOC的圆心角的度数为
扇形BOC的圆心角的度数为
例 在多边形中，三角形是最基本的图形，每一个多边形都可以被分割成若干个三角形。如图，数一数每一个多边形中三角形的个数，你能发现什么规律？按这种分割方式，n边形可以分割成多少个三角形？
四边形被分成两个三角形
五边形被分成三个三角形
六边形被分成四个三角形
n边形可以分割成（n-2）个三角形
【对应训练】
如图，将多边形分割成三角形，图①中可分割出2个三角形，图②中可分割出3个三角形，图③中可分割出4个三角形……按照这种分割方式，n边形可以分割出多少个三角形？
n边形可以分割成（n-1）个三角形
知识点1 多边形及其相关概念
1.下列图形中，属于多边形的是( )
C
A. B. C. D.
2.［2025咸阳期末］过八边形的一个顶点可以作出对角线的条数是
( )
A
A.5 B.4 C.6 D.7
3.一个正五边形的边长为6，则其周长为____。
30
4.［教材尝试·思考变式］ 边形有___个顶点，___条边，___个内角，
过边形的每一个顶点有________条对角线，此时将 边形分割成
_________个三角形。
知识点2 圆
5.下列条件中，能确定一个圆的是( )
D
A.以点为圆心 B.以 长为半径
C.经过已知点 D.以点为圆心， 长为半径
6.下列图形中的角是圆心角的是( )
B
A. B. C. D.
7.［教材P随堂练习T 变式］一个圆中有甲、乙、丙三个扇形，其中
甲、乙占总面积的百分比如图所示，则扇形丙的圆心角的度数是______。
8.［教材习题变式］已知在圆中圆心角度数为 ，半径为10，
则这个圆心角所在扇形的面积为_____。
9.把一张形状是四边形的纸片剪去其中一个角，剩下部分的形状不可能
是( )
A
A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形
10.从多边形的一个顶点出发引对角线，这些对角线把这个多边形分割
成了15个三角形，则这个多边形的边数是____。
17
11.（8分）［教材 例题变式］把一个半径为2的圆分成三个扇形，使
它们的圆心角的度数之比为 。
（1）求这三个扇形的圆心角的度数；
解：, , ，
。
答：这三个扇形的圆心角的度数分别是 ， ， 。
（2）求这三个扇形的面积（结果保留 ）。
解： ， ， ， 。
答：这三个扇形的面积分别是 ，
， 。
12.观察、探究及应用。
（1）观察下面图形并填空：
一个四边形有___条对角线；一个五边形有___条对角线；一个六边形有
___条对角线；一个七边形有____条对角线；
2
5
9
14
（2）分析探究：由凸 边形的一个顶点出发，可作________条对角线;
多边形有 个顶点，若允许重复计数，共可作_________条对角线；
（3）结论：一个凸 边形有_ ______条对角线；
（4）应用：一个凸十二边形有____条对角线。
54
知识结构
多边形和圆的初步认识
多边形
多边形的相关概念
正多边形的概念
圆
圆的相关概念
扇形
扇形的概念
圆心角
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