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5.1 认识方程
第五章 一元一次方程
【2025新教材】北师大版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
5.1 认识方程
一、教学目标
知识与技能目标
学生能准确理解方程的概念，明晰方程与等式的区别和联系。
能够熟练识别一元一次方程，并依据具体问题情境列出方程。
深入理解方程的解的意义，学会检验给定值是否为方程的解。
过程与方法目标
经历从实际问题中抽象出数量关系、构建方程模型的过程，提升分析问题和解决问题的能力。
通过对比算术方法与方程方法，体会方程在解决问题时的优势，培养代数思维。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的重要作用，增强学习数学的兴趣和应用数学的意识。
在小组合作交流中，培养团队协作精神和表达能力。
二、教学重难点
教学重点
深刻理解方程、一元一次方程的概念，掌握列方程的方法。
明确方程的解的含义，能准确检验方程的解。
教学难点
从复杂的实际问题中精准找出等量关系，列出正确的方程。
体会方程思想，实现从算术思维到代数思维的转变。
三、教学方法
讲授法：清晰讲解方程、一元一次方程等重要概念，明确其定义和关键特征，使学生准确理解基础知识。
问题导向法：通过呈现一系列生活中的实际问题，引导学生分析问题中的数量关系，激发学生的思考，促使学生主动探索如何用方程解决问题。
小组合作法：组织学生进行小组讨论，针对实际问题共同探讨解决方案，在交流中相互启发，培养学生的合作能力和思维能力。
练习巩固法：设计多样化的练习题，让学生在练习中加深对概念的理解，熟练掌握列方程和解方程的方法，及时反馈学习效果。
四、教学过程
（一）情景导入
展示问题：在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了 45 张门票，学生票每张 10 元，成人票每张 15 元，师生总票款为 475 元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗？购买学生票和成人票的票款分别是多少？
引导分析
提问：这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
学生思考后回答，教师总结：涉及的量有学生人数、老师人数、学生票款、成人票款。等量关系为：①学生人数 + 老师人数 = 门票总数；②学生人数 × 学生票价 = 学生票款；③老师人数 × 成人票价 = 成人票款；④学生票款 + 成人票款 = 总票款。
设未知数尝试解决
设学生人数为\(x\)，让学生尝试用含\(x\)的代数式表示师生总票款。
学生交流讨论，得出师生总票款为\(10x + 15(45 - x)\)。
进一步引导学生根据总票款为 475 元，得到表示量相等的式子\(10x + 15(45 - x) = 475\) 。
（二）新知探究
呈现更多实际问题，加深对列方程的理解
问题 1：某长方形操场的面积是 5850 \(m^2\)，长比宽多 25 m。
引导学生分析涉及的量及等量关系。涉及的量有长方形操场的面积、长、宽。等量关系为：面积 = 长 × 宽，长 = 宽 + 25 m。
设这个操场的宽为\(x\) m，让学生表示操场的面积，得出\(x(x + 25)\) 。
进而得到表示量相等的式子\(x(x + 25) = 5850\) 。
问题 2：甲、乙两地相距 22 km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走 1 km，因此提前 12 min 到达乙地。
帮助学生梳理涉及的量及等量关系。涉及的量有甲、乙两地的距离、原计划的速度、实际的速度、提前到达的时间。等量关系为：实际的速度 = 原计划的速度 + 1 km/h，提前到达的时间 = 甲、乙两地的距离 ÷ 原计划的速度 - 甲、乙两地的距离 ÷ 实际的速度。
设张叔叔原计划每小时走\(x\) km，让学生尝试表示他比原计划提前的时间，经过思考和交流，得出\(\frac{22}{x} - \frac{22}{x + 1}\) （注意单位换算，12 min = \(\frac{12}{60}\) h = \(\frac{1}{5}\) h ） 。
得到表示量相等的式子\(\frac{22}{x} - \frac{22}{x + 1} = \frac{1}{5}\) 。
方程的定义
引导学生观察\(10x + 15(45 - x) = 475\) 、\(x(x + 25) = 5850\) 、\(\frac{22}{x} - \frac{22}{x + 1} = \frac{1}{5}\) 这些式子，提问它们有什么共同特点。
学生思考回答后，教师总结：像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程。强调方程必须满足两个条件，一是等式，二是含有未知数，两者缺一不可。同时指出方程中的未知数可以用\(x\)表示，也可以用其他字母表示，并且方程中可含多个未知数。
进行小练习，判断下列式子是否为方程：
\(3x - 5\) （不是，因为它不是等式）
\(2 + 3 = 5\) （不是，因为它不含有未知数）
\(4y + 7 = 15\) （是）
\(x^2 - 3x + 2 = 0\) （是）
一元一次方程的概念
让学生观察方程\(10x + 15(45 - x) = 475\) 、\(2x + 3 = 7x + 4\) ，思考它们还有哪些特殊之处。
引导学生发现这些方程只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是 1 。
给出一元一次方程的定义：在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是 1，这样的方程叫作一元一次方程。
举例巩固，判断以下方程是否为一元一次方程：
\(3x - 1 = 2x + 5\) （是）
\(x^2 + 2x - 3 = 0\) （不是，因为未知数的最高次数是 2）
\(\frac{1}{x} + 3 = 5\) （不是，因为\(\frac{1}{x}\)不是整式）
\(3y + 2 = 5y - 1\) （是）
方程的解与解方程
提出问题：你能求出满足方程\(10x + 15(45 - x) = 475\) 的未知数\(x\)的值吗？引导学生先将方程左边的式子化简，得到\(10x + 15(45 - x) = 10x + 675 - 15x = 675 - 5x\) 。
回顾代数式求值的知识，让学生尝试代入不同的\(x\)值，看是否能使方程左右两边相等。通过计算，当\(x = 40\)时，左边 = \(675 - 5 40 = 675 - 200 = 475\) ，右边 = 475，方程左右两边相等。
给出方程的解的定义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。求方程的解的过程称为解方程。
进行练习，判断\(x = 3\)是否为方程\(2x + 5 = 11\) 的解。将\(x = 3\)代入方程左边，\(2 3 + 5 = 6 + 5 = 11\) ，右边 = 11，左边 = 右边，所以\(x = 3\)是方程\(2x + 5 = 11\) 的解。
（三）例题讲解
例 1：根据题意列出方程
一个数的\(\frac{1}{2}\)与 3 的差等于最大的一位数，求这个数。设这个数为\(x\) ，则可列方程为\(\frac{1}{2}x - 3 = 9\) 。
小颖栽种了一株高为 40 cm 的树苗，在栽种后的一段时间内，树苗每周长高约 5 cm。按照这样的速度，大约几周后树苗长高到 1 m ？设\(x\)周后长到 1 m（注意单位换算，1 m = 100 cm），可列方程为\(40 + 5x = 100\) 。
从正方形的铁皮上，截去一个 2 cm 宽的长方形条，余下的面积是 80 \(cm^2\) ，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？设原来正方形铁皮的边长是\(x\) cm，则可列方程为\(x^2 - 2x = 80\) 。
例 2：判断下列方程是否为一元一次方程
\(3x - 2 = 2x + 1\) （是一元一次方程，只含有一个未知数\(x\) ，且未知数次数为 1，代数式都是整式）
\(x^2 - 4x + 3 = 0\) （不是一元一次方程，因为未知数\(x\)的最高次数是 2）
\(\frac{2}{x} + 3 = 5\) （不是一元一次方程，因为\(\frac{2}{x}\)不是整式）
\(4y - 5 = 3y + 2\) （是一元一次方程）
例 3：已知\(x = 2\)是方程\(3x - a = 5\) 的解，求\(a\)的值。
分析：因为\(x = 2\)是方程的解，所以将\(x = 2\)代入方程中，方程左右两边相等。
解答：把\(x = 2\)代入方程\(3x - a = 5\) ，得到\(3 2 - a = 5\) ，即\(6 - a = 5\) ，移项可得\(a = 6 - 5 = 1\) 。
（四）课堂练习
基础练习
下列式子中，是方程的是（ ）
A. \(2x + 3\) B. \(3 + 5 = 8\) C. \(x + 2 = 7\) D. \(4x - 3 > 0\)
答案：C
方程\(3x - 5 = 7\)中，未知数是______ ，方程的解是______ 。
答案：\(x\) ；\(x = 4\)
根据下列条件列出方程
某数的\(3\)倍比它的\(2\)倍大\(1\)，设这个数为\(x\) ，则可列方程为______ 。
答案：\(3x - 2x = 1\)
一个长方形的长为\(x\) cm，宽比长少 3 cm，面积为\(40\) \(cm^2\) ，则可列方程为______ 。
答案：\(x(x - 3) = 40\)
提高练习
已知方程\((m - 2)x^{|m| - 1} + 3 = 5\)是关于\(x\)的一元一次方程，则\(m\)的值为______ 。
分析：因为是一元一次方程，所以未知数\(x\)的次数\(|m| - 1 = 1\) ，且系数\(m - 2 \neq 0\) 。
解答：由\(|m| - 1 = 1\) ，可得\(|m| = 2\) ，\(m = \pm 2\) ，又因为\(m - 2 \neq 0\) ，即\(m \neq 2\) ，所以\(m = - 2\) 。
若方程\(2x + a = 1\)与方程\(3x - 1 = 2x + 2\)的解相同，求\(a\)的值。
分析：先求出方程\(3x - 1 = 2x + 2\)的解，再将解代入方程\(2x + a = 1\)中求\(a\)的值。
解答：解方程\(3x - 1 = 2x + 2\) ，移项可得\(3x - 2x = 2 + 1\) ，\(x = 3\) 。把\(x = 3\)代入方程\(2x + a = 1\) ，得\(2 3 + a = 1\) ，\(6 + a = 1\) ，解得\(a = - 5\) 。
拓展练习
某商场购进一批服装，每件进价为 200 元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利 20% ，则该服装标价是多少元？设该服装标价是\(x\)元，可列方程为______ 。
分析：利润 = 售价 - 进价，售价为标价的六折即\(0.6x\) ，进价为 200 元，利润为\(200 20\%\) 。
解答：可列方程为\(0.6x - 200 = 200 20\%\) 。
某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产 40 个，实际每天生产 50 个，结果提前 3 天完成任务。求原计划生产的天数。设原计划生产\(x\)天，可列方程为______ 。
分析：零件总数 = 每天生产个数 × 生产天数，原计划生产的零件总数为\(40x\) ，实际生产的天数为\((x - 3)\)天，实际生产的零件总数为\(50(x - 3)\) ，因为零件总数不变，所以可列方程。
解答：可列方程为\(40x = 50(x - 3)\) 。
（五）课堂小结
与学生一起回顾本节课的重点内容
方程的定义：含有未知数的表示量相等的等式。
一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是 1 的方程。
方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值。
解方程：求方程的解的过程。
强调从实际问题中找出等量关系列方程的重要性，鼓励学生在生活中多运用方程思想解决问题，实现从算术思维到代数思维的转变。
（六）布置作业
必做题
课本课后练习题，进一步巩固方程、一元一次方程的概念以及列方程的方法。
已知关于\(x\)的方程\(2x + 3 = 4x - a\)的解是\(x = 2\) ，求\(a\)的值。
选做题
某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少 10 元，而它们的售后利润额相同。其中，每个小书包的利润率为 30% ，每个大书包的利润率为 20% ，试求两种书包的进价。
甲、乙两人骑自行车，同时从相距 65 km 的两地相向而行，甲的
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．通过对问题情境的分析，让学生逐步掌握分析实际问题的一般方法，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，提高学生的应用意识。
2．通过观察、分析、归纳一元一次方程的相关概念，培养学生的抽象能力。
3．鼓励学生进行观察思考，利用已掌握的知识辨析相关问题，培养合作交流的意识和能力。
重点
难点
游戏导入
师：请同学们随便想一个你熟悉的朋友的年龄。
(1)将这个人的年龄乘2减5，把结果告诉老师，老师就能猜出你想的那个人的年龄。
(2)将这个人的年龄乘2减5，再把结果乘2加8，把最终的结果告诉老师，老师能够迅速猜出你想的那个人的年龄，大家信不信？不信试一试。
我国古代数学著作《九章算术》中，有一个著名的“鸡兔同笼”问题：笼子里有若干只鸡和兔. 从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚. 鸡和兔各有几只 你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗
解法一 鸡：(35×4-94) ÷2=23（只）
兔：35-23=12（只）.
解法二 兔：(94-35×2) ÷2=12（只）
鸡： 35-12=23 （只）
创设情境，导入新课
问题1：
在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元. 你知道学生和老师的人数分别是多少吗 购买学生票和成人票的票款分别是多少
(1)这个问题涉及哪些量 它们之间有怎样的等量关系
(2)如果设学生人数为x，那么师生总票款可以用含x的代数式表示为____.
(3)你能得到怎样的表示量相等的式子
探究点1：根据问题列方程
合作交流，探究新知
问题1：在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学
生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元. 你知道学生和老师的人数分别是多少吗 购买学生票和成人票的票款分别是多少
(1)这个问题涉及哪些量 它们之间有怎样的等量关系
涉及的量：学生人数、老师人数、学生票款、成人票款.
在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每
张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗 购买学生票和成人票的票款分别是多少
(2)如果设学生人数为x，那么师生总票款可以用含x的代数式表示为_____.
(3)你能得到怎样的表示量相等的式子
（2）10x+15(45-x)
（3）10x+15(45-x)=475
问题2
某长方形操场的面积是5850 m2，长比宽多25 m.
(1)这个情境涉及哪些量 它们之间有怎样的等量关系
(2)如果设这个操场的宽为x m，那么操场的面积可以用含x的代数式表示为_______.
(3)你能得到怎样的表示量相等的式子
问题2：某长方形操场的面积是5850 m2，长比宽多25 m.
(1)这个情境涉及哪些量 它们之间有怎样的等量关系
涉及的量: 长方形操场的长、宽、面积
问题2：某长方形操场的面积是5850 m2，长比宽多25 m.
(2)如果设这个操场的宽为x m，那么操场的面积可以用含x的代数式表示为______.
(3)你能得到怎样的表示量相等的式子
(2) x (x+25)
(3) x (x+25)=5850
问题3：甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙地， 每小时比原计划多走1 km，因此提前12 min到达乙地.
(1)这个情境涉及哪些量 它们之间有怎样的等量关系
(2)如果设张叔叔原计划每小时走x km，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表示为______.
(3)你能得到怎样的表示量相等的式子
问题3：甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙 地， 每小时比原计划多走1 km，因此提前12 min到达乙地.
(1)这个情境涉及哪些量 它们之间有怎样的等量关系
涉及的量: 张叔叔原计划每小时走的路程、实际每小时走的路程、原计划所用时间、实际所用时间
问题3：甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙地， 每小时比原计划多走1 km，因此提前12 min到达乙地.
(2)如果设张叔叔原计划每小时走x km，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表示为______.
(3)你能得到怎样的表示量相等的式子
注意：（1）方程中包含两个要求：① 必须是等式；② 必须含有未知数.两者缺一不可.
（2）方程一定是等式，但等式不一定是方程.
（3）方程中的未知数可以用x 表示，也可以用其他字母表示.
（4）方程中可含多个未知数.
等式10x+15(45-x)=475 ，x(x+25)=5850，
都是用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程
1.下列式子不是方程的是( )
A．3x=4　　　　B.5x+4y=0　　　C.2x+5　　　D．2(x-4)=3
对应训练
C
不是等式
2.根据题意列出方程:
（1）在公元前1600年左右遗留下来的一卷古埃及纸草书中，记载着一些数学问题. 其中一个问题翻译过来是：“啊哈，它的全部，它的，其和等于19.”你能求出问题中的“它”吗
解：设“它”为 x，得
【选自教材P137 随堂练习 第1题】
（2）某球队参加足球联赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 球队已比赛了10场，并保持不败，一共得了22分. 该球队已胜了多少场 平了多少场
解:设该球队已胜了x场，则平了(10-x)场
3x+(10-x)=22
（3）我国古代数学著作《九章算术》中，有一个著名的“鸡兔同笼”问题：笼子里有若干只鸡和兔. 从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚. 鸡和兔各有几只
解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只
2x+4(35-x)=94
或 设兔有x只，则鸡有(35-x)只
4x+2(35-x)=94
探究2：一元一次方程的概念与方程的解
Ⅰ．一元一次方程的概念
问题1 观察方程10x+15(45-x)=475，2x+3=7x+4，它们有什么共同特点
在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
未知数的个数
未知数的次数
等式左、右两边的式子
1
1
整式
Ⅱ．方程的解与解方程
问题2　你能求出满足方程 10x+15(45-x)=475 的未知数 x 的值吗
(1)将左边的式子化简，你能得到什么
10x+15(45-x)= 675-5x
(2)回顾前面代数式求值的有关知识，当x 为下面何值时，675-5x与475相等
x 20 30 40 50 …
675-5x …
当x=40时， 675-5x=475
（3）你还有无其他方法？
根据有理数的运算，x =(675-475)÷5=40
575
525
475
425
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.
求方程的解的过程称为解方程.
对应训练
1．下列式子中是一元一次方程的有_________.(填序号)
①2x2-5=4 ②-m+8=1 ③x=1 ④x+y=1
⑤x+3>0 ⑥2x2-2(x2-x)=1 ⑦ ⑧πx=12
②③⑥⑧
2. x =2是下列方程的解吗？
（1） 3x+(10-x)=20 （2） 2x2+6=7x
解：（1）把 x = 2 代入原方程得，
左边 = 3×2 ＋（10－2）= 14 ，
右边 = 20，
左边 ≠ 右边，
所以 x = 2 不是方程 3x＋（10－ x）= 20 的解.
（2）把 x = 2 代入原方程得，
左边 = 2×22 ＋6 = 14 ，
右边 = 7×2 = 14，
左边 = 右边，
所以 x = 2 是方程 2x2 ＋6 = 7x 的解.
【选自教材P137 随堂练习 第2题】
（1）若xk-1+21=0是关于x的一元一次方程，则k=________
(2)若x|k|+21=0是关于x的一元一次方程，则k=________
因为原方程是一元一次方程，所以k-1=1，所以k=2.
因为原方程是一元一次方程，所以|k|=1，所以k=1或-1.
2
1或-1
知识升华，巩固提升
(3)若关于x的方程(k-1)x|k|+21=0是一元一次方程，则k=___
因为原方程是一元一次方程，所以|k|=1，且k-1≠0，所以k=-1.
-1
总结：已知方程是一元一次方程，求方程中除未知数外的字母的值，需注意两点：
(1)未知数的次数为1；(2)未知数的系数不为0.
知识点1 方程及一元一次方程的定义
1.下列选项中，是方程的是( )
B
A. B. C. D.
2.下列方程中，是一元一次方程的是( )
A
A. B. C. D.
3.若关于的方程是一元一次方程，则 的值为( )
D
A. B.0 C.1 D.2
4.若关于的方程是一元一次方程，则 的取值范围是
_______。
知识点2 方程的解
5.下列方程，解为 的是( )
C
A. B. C. D.
6. 写一个未知数的系数是 且解是1的一元一次方程：
___________________________。
（答案不唯一）
7.（6分）［教材习题变式］ 是下列方程的解吗？
（1） ;
解：当时，左边，右边。因为左边 右边，
所以 是该方程的解。
（2） 。
解：当时，左边右边，所以 不是该方
程的解。
知识点3 列方程
8.［教材习题变式］用等式表示“ 的一半与10的和等于8”，下
列正确的是( )
B
A. B. C. D.
9.［教材P随堂练习T 变式］某校举办班级篮球比赛，每场比
赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。如果七年级（1）
班在8场比赛中共得13分，设获胜的场数是 ，则可列方程为__________
_____________________________________________________________。
10. 如果是关于的一元一次方程，则 的
值为( )
B
A.4 B. C.2 D.2或
11. 若是方程的解，则代数式
的值为( )
B
A.0 B.4 C. D.3
12.（12分）［教材习题 变式］新年将至，乐乐和丽丽所在的活动
小组计划做一批“中国结”。若每人做5个，则比计划多了9个；若每人做
4个，则比计划少15个。
（1）若设乐乐和丽丽所在的活动小组有人，你能用含 的代数式表示
该活动小组计划做的“中国结”的个数吗？
解：因为乐乐和丽丽所在的活动小组有 人，所以该活动小组计划做的
“中国结”的个数为或 。
（2）若设该活动小组计划做“中国结”个，你能用含 的代数式表示该
活动小组的人数吗？
解：因为活动小组计划做“中国结”个，所以该活动小组的人数为 或
。
（3）由 ，你能得到哪些方程？
解：由（1）可得方程 ；
由（2）可得方程 。
课堂小结
实际问题
数量关系
列等式
方程
(一元一次方程)的概念
方程的解及解方程
谢谢观看！

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