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5.2.1 等式的基本性质
第五章 一元一次方程
【2025新教材】北师大版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
5.2.1 等式的基本性质
一、教学目标
知识与技能目标
学生能准确理解等式的基本性质，熟练掌握等式两边进行加、减、乘、除运算时等式保持成立的条件。
能够运用等式的基本性质对等式进行变形，为后续解方程奠定坚实基础。
过程与方法目标
通过观察天平平衡的现象，抽象概括出等式的基本性质，培养学生的观察、分析和归纳能力。
在运用等式基本性质解决问题的过程中，提高学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
情感态度与价值观目标
让学生在探索等式基本性质的过程中，感受数学的严谨性和规律性，激发学生对数学学习的兴趣。
通过合作交流，培养学生的团队协作精神和积极参与数学活动的意识。
二、教学重难点
教学重点
深入理解等式的两条基本性质，清晰掌握等式变形的规则。
能够熟练运用等式的基本性质解决简单的等式变形问题。
教学难点
准确把握等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为\(0\)的条件，避免在应用中出现错误。
灵活运用等式的基本性质进行复杂的等式变形，解决实际问题。
三、教学方法
直观演示法：利用天平平衡的实验演示，将抽象的等式性质直观化，帮助学生理解等式两边进行运算时等式保持成立的原理。
启发式教学法：通过提问、引导学生思考，启发学生自主探索等式的基本性质，培养学生的思维能力。
练习巩固法：设计多样化的练习题，让学生在练习中巩固对等式基本性质的理解和应用，及时反馈学习效果。
小组合作法：组织学生进行小组讨论，在交流中加深对等式基本性质的理解，培养学生的合作能力和表达能力。
四、教学过程
（一）情境导入
天平演示
展示天平，在天平两边分别放置相同质量的砝码，使天平保持平衡。向学生提问：“此时天平两边的情况如何？” 引导学生回答天平两边平衡，意味着两边砝码的质量相等，就像一个等式。
在天平两边同时添加相同质量的砝码，让学生观察天平的状态。提问：“现在天平发生了什么变化？这说明了什么？” 学生观察后发现天平仍然平衡，得出在等式两边同时加上相同的数，等式仍然成立的初步结论。
接着，在天平两边同时减去相同质量的砝码，再次引导学生观察和思考，进一步验证上述结论。
引入课题
通过天平的演示，引出本节课的课题 —— 等式的基本性质。告诉学生，我们今天要深入研究等式在进行加、减、乘、除运算时，如何保持等式成立的规律。
（二）新知探究
等式的基本性质 1
归纳总结：引导学生根据天平的演示过程，总结等式的基本性质 1。即等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(a + c = b + c\)，\(a - c = b - c\)。
深入理解：通过举例进一步解释性质 1。例如，对于等式\(x = 5\)，在等式两边同时加上\(3\)，得到\(x + 3 = 5 + 3\)，即\(x + 3 = 8\)，等式仍然成立；在等式两边同时减去\(2\)，得到\(x - 2 = 5 - 2\)，即\(x - 2 = 3\)，等式依然成立。
强调要点：强调等式两边加上或减去的必须是同一个整式，可以是数，也可以是式子。同时，要注意运算的一致性，两边都进行加法或都进行减法运算。
等式的基本性质 2
实验探究：再次利用天平进行演示。在天平两边放置质量成倍数关系的砝码，使天平平衡，如左边放\(2\)个\(50\)克的砝码，右边放\(100\)克的砝码，天平平衡，此时可表示为\(2 50 = 100\)。
在天平两边砝码的数量同时扩大\(2\)倍，即左边放\(4\)个\(50\)克的砝码，右边放\(200\)克的砝码，让学生观察天平状态，发现天平仍然平衡，得出等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。
然后，将天平两边砝码的数量同时缩小到原来的\(\frac{1}{2}\)，即左边放\(1\)个\(50\)克的砝码，右边放\(50\)克的砝码，天平还是平衡的，进而得出等式两边同时除以同一个不为\(0\)的数，等式仍然成立。
总结性质：引导学生总结等式的基本性质 2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为\(0\)的数，等式仍然成立。用字母表示为：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)（\(c\)为任意数），\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)（\(c\neq0\)）。
注意事项：着重强调等式两边同时除以一个数时，这个数不能为\(0\)，因为\(0\)做除数没有意义。通过反例，如\(5 = 5\)，若两边同时除以\(0\)，式子无意义，帮助学生理解这一关键条件。
对比分析
组织学生对等式的基本性质 1 和性质 2 进行对比，讨论它们的相同点和不同点。
相同点：都是在等式两边进行相同的运算，以保持等式成立。
不同点：性质 1 是在等式两边进行加、减运算，性质 2 是在等式两边进行乘、除运算，且性质 2 中除以的数不能为\(0\)。通过对比，加深学生对两条性质的理解和记忆。
（三）例题讲解
例 1：根据等式的基本性质，将下列等式变形。
已知\(x - 3 = 5\)，求\(x\)的值。
分析：根据等式的基本性质 1，在等式两边同时加上\(3\)，等式仍然成立。
解答：\(x - 3 + 3 = 5 + 3\)，即\(x = 8\)。
例 2：已知\(2y = 10\)，求\(y\)的值。
分析：根据等式的基本性质 2，在等式两边同时除以\(2\)，等式仍然成立。
解答：\(\frac{2y}{2}=\frac{10}{2}\)，即\(y = 5\)。
例 3：如果\(3a + 1 = 7\)，那么\(3a = 7 - \_\_\_\)，\(a = \_\_\_\)。
分析：第一个空根据等式的基本性质 1，等式两边同时减去\(1\)，得到\(3a = 7 - 1\)；第二个空根据等式的基本性质 2，等式两边同时除以\(3\)，求出\(a\)的值。
解答：\(3a = 7 - 1\)，即\(3a = 6\)，\(\frac{3a}{3}=\frac{6}{3}\)，所以\(a = 2\)。
（四）课堂练习
基础练习
填空
若\(a = b\)，则\(a + 5 = b + \_\_\_\)，根据等式的基本性质___。
答案：\(5\)；\(1\)
若\(4x = 20\)，则\(x = \_\_\_\)，根据等式的基本性质___，在等式两边同时___。
答案：\(5\)；\(2\)；除以\(4\)
判断
若\(m = n\)，则\(m + 7 = n - 7\)。（ ）
答案：×
若\(3x = 12\)，则\(3x ·3 = 12 ·4\)。（ ）
答案：×
提高练习
已知\(2x - 5 = 7\)，根据等式的基本性质，求出\(x\)的值。
解答：根据等式的基本性质 1，在等式两边同时加上\(5\)，得到\(2x - 5 + 5 = 7 + 5\)，即\(2x = 12\)；再根据等式的基本性质 2，在等式两边同时除以\(2\)，\(\frac{2x}{2}=\frac{12}{2}\)，解得\(x = 6\)。
若\(\frac{1}{3}y + 2 = 8\)，求\(y\)的值。
解答：首先根据等式的基本性质 1，在等式两边同时减去\(2\)，得到\(\frac{1}{3}y + 2 - 2 = 8 - 2\)，即\(\frac{1}{3}y = 6\)；然后根据等式的基本性质 2，在等式两边同时乘以\(3\)，\(\frac{1}{3}y 3 = 6 3\)，解得\(y = 18\)。
拓展练习
已知\(3a - 2b = 1\)，且\(a\)，\(b\)满足等式\(a + 2b = 5\)，求\(a\)，\(b\)的值。
分析：将两个等式相加，消去\(b\)，求出\(a\)的值，再将\(a\)的值代入其中一个等式，求出\(b\)的值。
解答：\((3a - 2b) + (a + 2b) = 1 + 5\)，根据等式的基本性质 1，得到\(4a = 6\)；再根据等式的基本性质 2，\(\frac{4a}{4}=\frac{6}{4}\)，解得\(a = \frac{3}{2}\)。把\(a = \frac{3}{2}\)代入\(a + 2b = 5\)，得到\(\frac{3}{2} + 2b = 5\)，根据等式的基本性质 1，在等式两边同时减去\(\frac{3}{2}\)，\(\frac{3}{2} + 2b - \frac{3}{2} = 5 - \frac{3}{2}\)，即\(2b = \frac{7}{2}\)；再根据等式的基本性质 2，\(\frac{2b}{2}=\frac{\frac{7}{2}}{2}\)，解得\(b = \frac{7}{4}\)。
（五）课堂小结
知识回顾：与学生一起回顾本节课所学的等式的基本性质，包括性质 1（等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立）和性质 2（等式两边同时乘或除以同一个不为\(0\)的数，等式仍然成立），强调性质 2 中除数不能为\(0\)的条件。
方法总结：总结运用等式基本性质进行等式变形的方法和步骤，提醒学生在应用时要仔细分析等式的结构，选择合适的性质进行变形。
学习感悟：鼓励学生分享在本节课学习过程中的收获和体会，以及在理解和应用等式基本性质时遇到的问题和解决方法，促进学生之间的学习交流。
（六）布置作业
必做题
课本课后练习题，巩固等式基本性质的概念和简单应用。
已知\(4x + 5 = 17\)，根据等式的基本性质求出\(x\)的值。
选做题
若\(2a - 3b = 4\)，且\(a + 2b = 5\)，求\(a\)和\(b\)的值（提示：可利用等式的基本性质对两个等式进行变形，再通过加减消元法求解）。
思考：等式的基本性质在解决实际问题中有哪些应用？举例说明。
这份课件围绕等式基本性质展开教学，注重引导学生理解与应用。你若对课件中的内容讲解、例题设置、练习难度等方面有新想法，欢迎随时交流，我们一起优化完善。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1．通过自主探究，掌握等式的基本性质；会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程，提高学生的解题能力和应用意识。
2．通过观察、探究、归纳、应用，培养学生观察、分析、综合、抽象的能力，获取学习数学的方法。
重点
难点
1．什么是方程的解和解方程？
旧知回顾
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。求方程的解的过程称为解方程
2．什么是一元一次方程？
在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程
方程是含有未知数的等式，解方程自然要研究等式的基本性质.
两个基本事实:
(1)如果a=b，那么b=a；
(2)如果a=b， b=c，那么a=c.
设置疑问，导入新课
除此之外，等式还有哪些基本性质呢？
等式的对称性
等式的传递性
探究点1　等式的基本性质
问题1
成立
等式的两边都加(减)、乘(除以)同一个数，等式还成立吗？
问题引入，探究新知
问题2　
天平保持平衡
天平两边同时加入相同质量的砝码，天平仍然平衡
天平两边同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡
（1）如图①，天平要保持平衡，其两边的质量应相等.
如图②③，如果天平两边同时加入或拿去相同质量的砝码，
那么天平还保持平衡吗？
①
②
③
(2)如图，把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等式成立就可看作是天平两边保持平衡.
a
b
等式的左边
等式的右边
等号
a=b
通过天平图示，你可以得到什么等式？
(3)如图， 类比（1）中的做法，我们在天平上加上或拿去一个质量为c 的砝码，你可以得到什么等式？
a
b
等式的左边
等式的右边
等号
c
c
a+c=b+c
a-c=b-c
(4)如图，类比(3)中的做法，我们使天平两边砝码的质量变成之前的2倍，你可以得到什么等式？ 变成之前的呢？ 变成之前的c 倍呢？ 变成之前的(c≠0)呢？
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
b
b
b
b
左
右
左
右
c个
c个
2a=2b
=
ac=bc
= (c≠0)
等式的基本性质:
等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式.
等边的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式.
用字母可以表示为：
如果a=b，那么 a+c=b+c ， a-c=b-c；
如果a=b，那么 ac=bc ，
= (c≠0)
归纳总结
探究点2 利用等式的基本性质解一元一次方程
问题： 结合天平的操作图解释5 x =3 x +2的变形过程
x
x
x
x
x
x
x
x
5 x = 3 x + 2
假设天平左边有5个质量为 x g的小球
假设天平右边有5个质量为 x g的小球个和2个质量为1g的砝码
1
1
平衡
状态
=
5 x
3 x +2
x
x
x
x
x
x
x
x
2 x = 2
1
1
平衡
状态
=
5 x -3 x =3 x -3 x +2
等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式
5 x =3 x +2
天平两边各拿去3个质量为 x g的小球，天平仍然平衡
x
x = 1
1
1
平衡
状态
=
等边的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式
2 x =2
x
天平两边各减去一半的质量，天平仍然平衡
例题讲解
（1） x + 2 = 5； （2）3 = x – 5.
解：（1）方程两边都减 2，得
x + 2 – 2 = 5 – 2.
于是 x = 3.
例1 解方程：
（2）方程两边都加 5，得
3 + 5 = x – 5 + 5.
于是 8 = x .
习惯上，我们写成
x = 8.
追问1：怎么确定 x =3是否是方程 x +2=5的解？
把求出的解代入原方程，可以检验解方程是否正确.
例如，把 x =3代入方程 x ＋2=5，左边＝3+2=5，右边=5，左边=右边，所以 x =3是方程 x ＋2=5的解.
追问2：观察上述解方程的过程，你认为解方程最终是要转化为什么形式？
解方程是逐步把方程转化为 x =a(a是常数)的形式.
例2 解方程
（1）-3 x =15 （2）
解：（1）方程两边都除以 –3，得
化简，得 x = –5.
（2）方程两边都加 2，得
化简，得
方程两边都乘 -3，得
n = – 36.
你是怎样解方程的？每一步的依据是什么？还有其他解法吗？
针对练习
解方程
(1) x -9=8 (2)5-y=-16
解：
（1）方程两边都加 9，得
x – 9 + 9 = 8 + 9.
于是 x = 17.
（2）方程两边都减 5，得
5 – y – 5 = – 16 – 5.
于是 – y = – 21.
方程两边都乘 – 1，得
y = 21.
【选自教材P141 随堂练习第1题】
解：（1）方程两边都减 4，得
3 x + 4 – 4 = – 13 – 4.
于是 3 x = –17 .
方程两边都除以3，得
x = – .
（3）3 x + 4 = – 13；
（4） x – 1 = 5.
解：（2）方程两边都加 1，得
x = 9.
方程两边都除以 ，得
x – 1 + 1 = 5 + 1.
于是 x = 6.
王老师说:“我是2月出生的，我年龄的减3，正好是2024年我生日那月的总天数，你猜我有几岁？”请求出王老师的年龄
解:设王老师的年龄为 x 岁.
2024年是闰年，2月总天数为29，
所以列出方程为 x -3=29.
解得 x ＝40.
答:王老师的年龄为40岁.
知识升华，巩固提升
针对训练
小红编了一道题:“我是4月出生的，我年龄的2倍加6，正好是我出生那个月的总天数，你猜我有多少岁？”请你求出小红的年龄.
解：设小红的年龄是 x .
2 x + 6 = 30.
方程两边都减 6，得
2 x + 6 – 6 = 30 – 6.
于是 2 x = 24.
方程两边都除以 2，得
x = 12.
答：小红的年龄是 12 岁.
【选自教材P141 随堂练习第2题】
知识点1 等式的基本事实
1.（1）等式两边可以交换。如果，那么 _____。
（2）相等关系可以传递。如果，，那么___ ；如果
，，那么 ___。
5
知识点2 等式的基本性质
2.已知，若根据等式的性质可变形为，则， 满
足的条件是( )
C
A. B.
C. D.， 可以是任意的数或式子
3.已知 ，则下列各式不正确的是( )
D
A. B. C. D.
4.根据等式的基本性质填空：
（1）由，得 ，是根据等式的性质：等式的两边都
_____；
（2）由，得 _____，是根据等式的性质：等式的两边都
_____；
（3）由，得 ____，是根据等式的性质：等式的两边都
_________。
减1
乘5
除以
知识点3 利用等式的基本性质解方程
5.由得到 可分两步，其步骤如下：第一步：根据等式的
基本性质，等式两边_______，得 ___；第二步：根据等式的基本性
质，等式两边_________，得 。
都加1
5
都除以2
6.（12分）［教材 例1变式］解方程：
（1） ；
解：两边都加4，得 。
（2） ；
解：两边都除以，得 。
（3） ；
解：两边都加7，得 ，
两边都除以2，得 。
（4） 。
解：两边都加2，得 ，
两边都乘，得 。
7.［2025武汉期中］下列由等式的性质进行的变形，不正确的是( )
D
A.如果，那么
B.如果，那么
C.如果，那么
D.如果，那么
8.（12分） 阅读理解题。下面是小明将等式
进行变形的过程。
， ，②
。③
（1）①的依据是_________________；
（2）小明出错的步骤是____（填序号），错误的原因是_____________
_______________________________；
等式的基本性质1
③
没有确定是
不是0，就在等式的两边同时除以
（3）给出正确的解法。
解：，， ，
，， 。
9.［2024贵州中考］［教材习题 变式］小红学习了等式的性质后，
在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“ ”“ ”“ ”三种物体，如图所示，
天平都保持平衡。若设“ ”与“ ”的质量分别为， ，则下列关系式正
确的是( )
C
A. B. C. D.
课堂小结
等式的基本性质
基本性质1
利用等式大的基本性质解方程
如果a=b，那么ac=b c
如果a=b，那么ac=bc，
利用等式的基本性质把方程“化归”为最简单的形式 x =a
基本性质2
谢谢观看！

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