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章末复习
第四章 基本平面图形
【2025新教材】北师大版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第四章 基本平面图形 章末复习
一、知识框架构建
通过这张知识框架图，我们可以清晰地看到第四章基本平面图形所涵盖的主要内容，各知识点之间相互关联，形成一个完整的知识体系。接下来，我们将对每个部分进行详细的回顾与梳理。
二、知识要点回顾
（一）线段、射线、直线
定义与表示
线段：有两个端点，可表示为线段\(AB\)（\(A\)、\(B\)为端点）或线段\(a\) 。
射线：有一个端点，向一端无限延伸，如射线\(OA\)（\(O\)为端点） 。
直线：没有端点，向两端无限延伸，可表示为直线\(AB\)或直线\(l\) 。
区别与联系：从端点个数看，线段\(2\)个，射线\(1\)个，直线\(0\)个；从能否延伸看，线段不能延伸，射线向一端延伸，直线向两端延伸；它们都是直的，射线和线段是直线的一部分 。
基本性质：两点确定一条直线；两点之间，线段最短 。
（二）角
定义与表示
静态定义：由两条具有公共端点的射线组成 。
动态定义：一条射线绕端点旋转形成 。
表示方法：可用三个大写字母（如\(\angle AOB\)）、一个大写字母（顶点唯一时）、一个数字或希腊字母（如\(\angle 1\)、\(\angle \alpha\)）表示 。
度量与单位换算：度量单位有度、分、秒，\(1^{\circ}=60'\)，\(1' = 60''\) ，可进行度、分、秒的相互换算 。
比较与角平分线
比较方法：度量法和叠合法 。
角平分线：从角的顶点出发，将角分成相等的两个角的射线，若\(OC\)平分\(\angle AOB\)，则\(\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB\) 。
尺规作角：可作一个角等于已知角，依据是全等三角形 “边边边” 判定定理 。
（三）多边形
定义与相关概念：由不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形，有边、顶点、内角、对角线等概念 。
分类：按边数分为三角形、四边形等；按边和角是否相等分为正多边形和一般多边形 。
对角线计算：从\(n\)边形一个顶点出发可引出\((n - 3)\)条对角线，\(n\)边形对角线总条数为\(\frac{n(n - 3)}{2}\) 。
（四）圆
定义与相关概念
动态定义：线段绕端点旋转一周形成 。
集合定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合 。相关概念有圆心、半径、弦、直径、弧、扇形等 。
基本计算：直径\(d = 2r\)，圆的周长\(C = 2\pi r\)，面积\(S = \pi r^2\)，扇形面积\(S = \frac{n\pi r^2}{360}\)（\(n\)为圆心角度数） 。
三、典型例题精讲
（一）线段、射线、直线相关
例题 1：下列说法正确的是（ ）
A. 射线\(AB\)和射线\(BA\)是同一条射线
B. 直线比射线长
C. 经过两点有且只有一条直线
D. 线段\(AB\)和线段\(BA\)不是同一条线段
答案：C
解析：射线\(AB\)端点是\(A\)，射线\(BA\)端点是\(B\)，不是同一条射线，A 错误；直线和射线长度无限，无法比较，B 错误；经过两点有且只有一条直线，C 正确；线段\(AB\)和线段\(BA\)是同一条线段，D 错误 。
（二）角相关
例题 2：已知\(\angle AOB = 60^{\circ}\)，\(OC\)平分\(\angle AOB\)，\(\angle AOD = 15^{\circ}\)，求\(\angle DOC\)的度数 。
解：因为\(OC\)平分\(\angle AOB\)，所以\(\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} 60^{\circ} = 30^{\circ}\) 。
当\(OD\)在\(\angle AOC\)内部时，\(\angle DOC = \angle AOC - \angle AOD = 30^{\circ} - 15^{\circ} = 15^{\circ}\)；
当\(OD\)在\(\angle AOC\)外部时，\(\angle DOC = \angle AOC + \angle AOD = 30^{\circ} + 15^{\circ} = 45^{\circ}\) 。
（三）多边形相关
例题 3：一个多边形的内角和是外角和的\(3\)倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形是\(n\)边形，多边形外角和是\(360^{\circ}\)，内角和公式为\((n - 2) 180^{\circ}\) 。
由题意得\((n - 2) 180^{\circ} = 3 360^{\circ}\)，\(n - 2 = 6\)，解得\(n = 8\) 。所以这个多边形是八边形 。
（四）圆相关
例题 4：已知圆的半径增加\(2\)厘米，圆的周长增加了多少厘米？（\(\pi\)取\(3.14\)）
解：设原来圆的半径为\(r\)厘米，原来周长\(C_1 = 2\pi r\)厘米 。
半径增加\(2\)厘米后，半径为\((r + 2)\)厘米，此时周长\(C_2 = 2\pi (r + 2) = 2\pi r + 4\pi\)厘米 。
周长增加的值为\(C_2 - C_1 = 2\pi r + 4\pi - 2\pi r = 4\pi\) 。
把\(\pi = 3.14\)代入，得\(4 3.14 = 12.56\)厘米 。
四、专项巩固练习
填空题
把\(15^{\circ}30'\)化成度的形式是______ 。
从五边形的一个顶点出发，可以作______ 条对角线 。
已知扇形的圆心角为\(120^{\circ}\)，半径为\(3\)厘米，扇形的面积是______ 平方厘米（\(\pi\)取\(3.14\)） 。
选择题
下列图形中，是正多边形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正六边形
用一个平面去截一个圆，得到的图形不可能是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 三角形 D. 线段
解答题
已知线段\(AB = 10\)厘米，点\(C\)在线段\(AB\)上，且\(AC = 4\)厘米，点\(M\)是\(AB\)中点，点\(N\)是\(AC\)中点，求线段\(MN\)的长度 。
如图，\(\angle AOC = 80^{\circ}\)，\(\angle BOC = 50^{\circ}\)，\(OD\)平分\(\angle AOB\)，求\(\angle AOD\)的度数 。
（此处插入相应图形）
一个圆的周长是\(31.4\)厘米，求这个圆的半径和面积（\(\pi\)取\(3.14\)） 。
五、课堂总结
再次回顾本章的知识框架和重点内容，强化对基本平面图形概念、性质、计算方法的记忆 。
强调在解决问题时，要认真分析题目条件，灵活运用所学知识，注意分类讨论等数学思想的应用 。
鼓励同学们课后对做错的题目进行整理和反思，加强薄弱环节的练习，进一步提升对基本平面图形知识的掌握程度 。
这份复习资料系统梳理了第四章知识，通过多种题型帮助巩固。你若对内容深度、例题类型、练习难度等有不同想法，欢迎随时提出，我们共同调整。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识框架
基本平面图形
直线
射线
线段
线段的中点
两点之间线段最短
两点之间线段的长度
角
概念
角的度量
角的平分线
角的大小比较
多边形
概念
多边形的对角线
正多边形
圆
概念
圆弧
扇形
圆心角
知识梳理
1.线段、射线、线段的联系与区别
（1）区别
一、线段、射线、直线
图形名称 图形画法 表示方法 延伸情况 端点个数 能否度量
线段
射线
直线
A
B
a
O
A
A
B
m
线段AB
或线段a
射线OA
直线AB
或直线m
不能延伸
一方延伸
两方延伸
两个
一个
没有
能
否
否
①都是直的
②射线和线段都可以看做是直线的一部分；线段向一方无限延伸就成为_____，向两方无限延伸就成为_____；射线向反方向无限延伸就成为_____。
（2）联系
射线
直线
直线
A
B
a
O
A
A
B
m
2.有关线段的基本事实
（1）两点之间，_____最短。
线段
（2）两点之间线段的长度，叫作这两点之间的_____。
距离
3.比较线段的长短
A
B
（C）
D
A
D
（C）
B
A
B
（C）
（D）
线段AB大于线段CD
AB＞CD
线段AB等于线段CD
AB=CD
线段AB小于线段CD
AB＜CD
点M把线段AB 分成_____的两条线段AM与BM，点M 叫作线段 AB 的中点。
相等
4.线段的中点
A
B
M
几何语言：
若点M 是线段 AB 的中点，
则
AM=MB= AB
（或AB=2AM=2BM ）
1.角的概念
类型 概念 举例
静态描述
动态描述
角由两条具有公共顶点的射线组成
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的
顶点
边
边
顶点
终边
始边
二、角
表示方法 图示 记法 注意
用三个大写英文字母表示
用一个大写英文字母表示
用数字或希腊字母表示
O
A
B
∠AOB或∠BOA
∠O
∠AOB记作∠α
∠BOC记作∠1
顶点字母写在中间
在顶点处只有一个角时才能用这种方法表示
要在靠近顶点处加上弧线并标注
O
A
B
C
α
1
2.角的表示方法
3.角的度量与单位换算
1°的 为 1 分，记作 1′，
即 1°= 60′。
1′ 的 为 1 秒，记作 1′′，
即 1′ = 60′′。
度
分
秒
×60
×60
×3600
÷60
÷60
÷3600
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
4.方位角
北
西
东
南
O
东北
东南
西南
西北
北偏西45°
南偏西45°
北偏东45°
南偏东45°
A
D
C
B
北
西
东
南
O
30°
25°
M
N
南偏西25°
北偏东30°
5.角的比较
O C在∠AOB内部
O C与OA重合
O C在∠AOB外部
O
B
A
（D）
（O'）
C
O
B
A
（O'）
（D）
（C）
O
B
A
（O'）
（D）
C
∠AOB大于∠CO′D
记作∠AOB＞∠CO′D
∠AOB等于∠CO′D
记作∠AOB=∠CO′D
∠AOB小于∠CO′D
记作∠AOB＜∠CO′D
6.角的和与差
语言表示 数学记法
O
A
C
B
∠AOC=∠AOB+
∠BOC
∠AOC是∠AOB与
∠BOC的和
∠AOB=∠AOC-
∠BOC
∠AOB是∠AOC与
∠BOC的差
∠BOC=∠AOC-
∠AOB
∠BOC是∠AOC与
∠AOB的差
7.角的平分线
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个_____的角，这条射线叫作这个角的平分线。
相等
几何语言：
O
B
A
C
如图，射线 OC 是∠AOB 的平分线
这时，∠AOC =∠BOC = ∠AOB
（或∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC）
三、多边形和圆的初步认识
1.多边形的顶点、边、内角、对角线的概念
元素 概念 举例 图例
顶点
边 内角 对角线
A
B
C
D
E
五边形ABCDE
相邻两条边的公共端点
点A，B，C，D，E
组成多边形的各条线段
线段AB，BC，CD，DE，EA
相邻两条边所组成的角
∠EAB，∠ABC ，∠BCD ，∠CDE，∠DEA
连接不相邻两个顶点的线段
线段AC，AD
各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形
两个条件缺一不可
正三角形
正四边形（正方形）
正五边形
正六边形
正八边形
2.正多边形
3.圆
概念 概念 图例
圆
圆心 半径
A
O
平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形
固定的端点O
线段OA
概念 概念 图例
圆弧
扇形 圆心角
A
O
B
圆上任意两点 A，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 ，读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”
由一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA，OB 所组成的图形
顶点在圆心的角
复习题
1.如图，在同一平面内有四个点 A，B，C，D，请用直尺按下列要求作图：
（1）作射线 CD；
（2）作直线 AD；
（3）连接AB；
（4）作直线 BD与直线
AC 相交于点O.
A
B
C
D
O
知识技能
2. 将弯曲的河道改直，可以缩短航程，请你说一说其中的道理。
解：两点之间线段最短。
3.如图，∠ABC 是平角，过点 B 任作一条射线 BD ，得到 ∠DBA 与 ∠DBC。当∠DBA 分别是什么角时，∠DBA＜∠DBC ， ∠DBA＞∠DBC， ∠DBA=∠DBC？
A
B
C
解：当∠DBA 是锐角时，∠DBA＜∠DBC。
当∠DBA 是钝角时，∠DBA＞ ∠DBC。
当∠DBA 是直角时，∠DBA= ∠DBC。
4.一副三角尺拼成如图所示的图案，求∠EFC，∠CED，∠AFC 的度数.
解：∠EFC = 45°，
∠CED =60°，
∠AFC = 135°。
5. 如图，分别求出甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数。
解：甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数分别为
360°×25% = 90°，360°×40% = 144°，
360°×35% = 126°。
6. 如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为 1∶2∶3∶4，分别求出它们圆心角的度数。
解：甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角的度数分别为
数学理解
7.如图，建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，请你用数学知识解释这样做的道理。
解：两点确定一条直线。
问题解决
8.如图，已知线段 a，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，请用尺规按下列要求作图：
（1）在射线OA，OB， OC，OD上作线段 OA′，OB′，OC′，OD′，使它们分别与线段 a 相等；
（2）连接 A′C′，C′B′，B′D′，D′A′。
你得到了一个怎样的图形？
解：（1）（2）如图所示。
所得到的图形是正四边形(正方形).
9.用尺规完成下列作图：
（1）如图（1），已知∠α，∠β，且∠α＞∠β，作∠DEF，使∠DEF=∠α-∠β ；
（2）如图（2），以点B为顶点、射线BC为一边，作∠EBC，使∠EBC=∠A。
α
β
（1）
（2）
A
B
C
D
解：（1）如图，∠DEF即为所求。
解：（2）如图，∠EBC即为所求。
考点1 六个概念
概念1 直线、射线、线段
1.下列说法正确的是( )
C
A.直线与直线是不同的直线 B.射线与射线 是同一条射线
C.线段与线段是同一条线段 D.直线
概念2 线段的中点
2.如图，点是线段的中点，点是线段 的中点，则下列式子不正
确的是( )
D
A. B.
C. D.
概念3 角
3.（4分）［教材习题变式］如图，以 为顶
点的角有几个？把它们表示出来。以 为顶点的小于
平角的角有几个？把它们表示出来。
解：以为顶点的角有3个，分别是，， 。
以为顶点的小于平角的角有4个，分别是，， ，
。
概念4 角平分线
4.如图，射线平分，射线平分 ，有以
下结论：
； ；
； 。
其中正确的有( )
A
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
概念5 多边形
5.［2025洛阳期末］从七边形的一个顶点出发，最多可以引出 条对角
线，这些对角线将该七边形分割成个三角形，则 的值为( )
C
A.7 B.8 C.9 D.10
概念6 圆及其相关概念
6.如图是一个以 为圆心的圆。
（1）半径有_________；
（2）直径有____。
，
考点2 两个性质（基本事实）
性质1 直线的基本事实
7.生活中有下列两种现象，对于这两种现象的解释正确的是( )
现象1：打靶瞄准
现象2：燃放的烟花在天空形成美丽的弧线
D
A.均用“两点之间线段最短”来解释
B.均用“两点确定一条直线”来解释
C.现象1用“两点之间线段最短”来解释，现象2用“线动成面”来解释
D.现象1用“两点确定一条直线”来解释，现象2用“点动成线”来解释
性质2 线段的基本事实
8.下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是( )
B
A.用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B.把弯曲的公路改直，就能缩短路程
C.利用圆规可以比较两条线段的长短关系
D.植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
考点3 三个计算
计算1 线段的有关计算
9.（4分）［2025湛江期末］如图，，是线段上的两点，是 的
中点，是的中点，若，，求 的长。
解：因为， ，
所以 。
因为是的中点，是的中点，所以， ，
所以 ，
所以 。
计算2 角的有关计算
10.（4分）已知 ，，求 的度数。
解：因为 ， ，所以
。
分以下两种情况：
①如图①，则 ；
②如图②，则
。
综上，的度数为 或 。
计算3 圆心角与扇形面积的计算
11.（8分）将一个半径为 的圆分成三个扇形，其圆心角的比为
，求：
（1）各个扇形的圆心角的度数；
解：因为一个周角为 ，所以各个扇形的圆心角的度数分别为
， ， 。
（2）其中面积最大的扇形的面积。
解：因为 ，所以圆心角为 的扇形的面积最大，
其面积为 。
故其中面积最大的扇形的面积是 。
考点4 三个方法
方法1 几何计数的方法
12.（12分）如图，平面内有，， 三点，过其中任意两点画直线，
有如下两种情况：
（1）若平面内有，，， 四个点，过其中任意两点画直线，有多
少种情况？请画图说明。
解：如图所示，有三种情况。
（2）若平面内有六个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条
直线？
解：最多可以画 （条）直线。
（3）若平面内有 个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直
线？（直接写出结果）
解：最多可以画 条直线。
方法2 线段、角的大小的比较方法
13.（8分）如图，点，， 在正方形网格的格点上，所有小正方形的
边长都相等，按要求画图：
（1）画出线段，直线，射线 ；
解：如图所示，线段，直线，射线 即为所求。
（2）延长线段到点，使，根据画图可以发现： __
，线段___线段；___（后两个空填“ ”“ ”或“
”）。
解：如图所示， 即为所求。
方法3 尺规作图的方法
14.（8分）［2025杭州月考］如图，已知平面上有射线，线段 和
。
（1）用尺规完成下列作图：延长线段到，使；以 为顶
点，射线为一边，在射线上方作，使它等于 ；
（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，， 即为所求。
（2）根据（1）中所作图形，比较和的大小。若点 是线段
的中点，，，求线段 的长度。
解：由（1）知， ,
因为 ,
所以 。
因为， ,
所以 。
因为点是线段 的中点，
所以 ，
所以 。
考点5 四种思想
思想1 方程思想
15.在一条直线上顺次取，，，四点，使 ，若
，，则___ 。
5
思想2 从特殊到一般的思想
16.（8分）如图，为直线 上一点，
，平分 。
（1）若 ，求 的度数；
解：因为 ，平分 ，
所以 。
所以 。
（2）猜想与 之间有怎样的数量关系，并说明理由。
解： 。理由如下：
因为，平分 ，所以
，
即 。
又因为 ，
所以 。
思想3 分类讨论思想
17.（4分）已知线段，直线上有一点，且 ，
是线段的中点，求线段 的长。
解：当点在线段 上时，如图①所示。
因为是线段 的中点，
所以 。
又因为，， ，
所以 。
当点在线段 的延长线上时，如图②所示。
同理可得 。
又因为，， ，
所以 。
综上，线段的长为或 。
思想4 数形结合思想
18.（8分） 如图，已知数轴上有三点，， ，它们
表示的数分别为，，，且，点 表示的数是20。
（1）若，求， 的值；
解：因为，所以，所以 。
因为点表示的数是20，所以点表示的数是，点 表示
的数是 。
所以的值为，的值为 。
（2）在（1）的条件下，动点，分别从， 两点同时出发向左运动，
同时动点从点出发向右运动，点，， 的速度分别为8个单位长度
/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点为线段的中点，点 为
线段的中点，在点，相遇前，运动多少秒时恰好满足 ？
解：设运动秒时恰好满足，易知 。
由（1）得 ，所以易得
， ，
所以当时，，解得 。
所以运动2.5秒时恰好满足 。
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